\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr}

\input{listki.tex}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Для зачета по каждому листку достаточно сдать все задачи со
звездочками, либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя
звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же
листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{12}{Алгебра 12: полупростые и нильпотентные операторы}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{Артиновы алгебры над алгебраически замкнутым полем}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Пусть $R$ -- артиново кольцо над полем $k$.
Напомним, что в листке 9 мы построили каноническое 
разложение $R\cong \oplus_i e_i R_i$, где $e_i$ -- неразложимые
ортогональные идемпотенты, а $e_i R$ -- артиново кольцо, в котором
нет неединичных идемпотентов, причем это разложение
единственно.

\begin{zadacha}[!]
Предположим, что $R$ 
не имеет неединичных идемпотентов, а $k$ алгебраически
замкнуто. Докажите, что если $R$ полупросто, то $R=k$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Предположим, что $R$ 
не имеет неединичных идемпотентов, а $k$ алгебраически
замкнуто. Докажите, что $R= k \oplus {\goth n}$, где
${\goth n}$ -- нильрадикал.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Докажите, что $R/{\goth n}$ полупросто, и примените
предыдущую задачу.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]\label{_razlozhe_kolca_Zadacha_}
Пусть $R$ -- артиново кольцо над 
алгебраически замкнутым полем $k$.
Докажите, что $R= R_{ss} \oplus {\goth n}$,
где $R_{ss}$ -- полупростое артиново подкольцо
в $R$. Докажите, что $R_{ss}\subset R$ определяется
однозначно.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Верно ли это, если $k$ не алгебраически замкнуто?
\end{zadacha}

В дальнейшем, нам понадобится следующее утверждение.

\begin{zadacha}[!]\label{_Syurie_polupro_Zadacha_}
Пусть $R$ полупростое артиново кольцо над полем $k$,
а $R\arrow R'$ -- сюрьективный гомоморфизм $k$-алгебр.
Докажите, что $R'$ -- тоже полупростое артиново
кольцо.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Похожая задача была листке Алгебра 9.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie}
Пусть $R$ -- алгебра над полем $k$. {\bf Представлением}
алгебры $R$ называется гомоморфизм алгебр из $R$ в $\End(V)$, где
$V$ -- линейное пространство над $k$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
Пусть $R$ -- алгебра над полем $k$.
Рассмотрим отображение $R\arrow \End(R)$, заданное формулой
$r \mapsto (v\arrow rv)$. Докажите, что
это представление.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Пусть $R$ -- алгебра над $k$, изоморфная 
конечному расширению $k$, а $V$ -- конечномерное
представление $R$. Докажите, что $V\cong R^n$, то есть 
$V$ изоморфно (как представление $R$) сумме нескольких копий $R$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Пусть $V$ -- конечномерное 
представление алгебры кватернионов ${\mathbb H}$ над $\R$.
Докажите, что $V$ изоморфно ${\mathbb H}^n$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Пусть $G$ -- группа, $k$ -- поле. 
{\bf Групповой алгеброй} $G$ над $k$ (обозначается $k[G]$)
линейное линейное пространство, свободно порожденное
линейными комбинациями вида $\sum \lambda_i g_i$
($\lambda_i \in k$, $g_i\in G$), с умножением,
которое задается по формуле
\[ 
(\sum \lambda_i g_i)(\sum \lambda'_j g'_j) = 
 \sum_{i,j}\lambda_i\lambda'_jg_ig'_j.
\]
Докажите, что это действительно алгебра. Докажите, что 
любое представление группы $G$ однозначно продолжается
до представления групповой алгебры. 
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $G_1, G_2$ -- группы, 
а $k[G_1\times G_2]$ -- групповая алгебра их
произведения. Докажите, что $k[G_1\times G_2]\cong k[G_1]\otimes k[G_2]$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $G = (\Z/2\Z)^n$ -- произведение 
$n$ копий $\Z/2\Z$. Докажите, что $k[G]\cong k^{\oplus_{2^n}}$
(прямая сумма $2^n$ копий $k$).
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Докажите, что $k[\Z/2\Z]\cong k\oplus k$, а затем
воспользуйтесь соотношением 
$k[G_1\times G_2]\cong k[G_1]\otimes k[G_2]$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
Рассмотрим группу Клейна (подгруппу порядка 8 в кватернионах,
состоящую из $\{\pm 1, \pm I, \pm J, \pm K\}$). 
Докажите, что ее групповая алгебра над $\R$ изоморфна
${\mathbb H}\oplus \R \oplus \R \oplus \R \oplus \R$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $G$ -- конечная абелева группа, а $k$ -- алгебраически
замкнутое поле нулевой характеристики. 
Докажите, что $k[G]$ -- полупростое
артиново кольцо над $k$. 
Выведите из этого, что $k[G]$ -- прямая
сумма $|G|$ копий $k$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь критерием, приведенным в листке 9:
артиново кольцо $R$ над полем нулевой характеристики
полупросто тогда и только тогда, когда след задает
на $R$ невырожденную форму.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $G$ -- конечная абелева группа,
$k$ -- алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики,
а $\rho:\; G \arrow \End(V)$ -- представление $G$ над $k$.
Докажите, что $V$ разлагается в прямую
сумму одномерных  $G$-инвариантных 
подпространств.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Воспользуйтесь предыдущей задачей
и задачей \ref{_Syurie_polupro_Zadacha_}.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $G$ -- конечная абелева группа,
а $\R[G]$ -- ее групповое кольцо над $\R$.
Докажите, что $\R[G]$ изоморфно
прямой сумме нескольких копий $\R$ и $\C$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $G$ -- конечная абелева группа,
а $\rho:\; G \arrow \End(V)$ -- представление $G$ над $\R$.
Докажите, что $V$ разлагается в прямую
сумму одномерных и двумерных 
$G$-инвариантных подпространств.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $G$ -- конечная абелева группа,
а $\rho:\; G \arrow \End(V)$ -- ее трехмерное представление
над $\R$. Докажите, что в $V$ найдется 
$G$-инвариантная прямая.
\end{zadacha}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{Полупростые операторы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Пусть $A\in \End(V)$ -- линейный оператор
на конечномерном векторном пространстве.
Легко видеть, что подалгебра 
$\langle 1, A, A^2, A^3, \dots \langle\subset \End(V)$,
порожденная $A$, коммутативна.

\begin{opredelenie}
Оператор $A\in \End(V)$ называется {\bf полупростым}, если порожденная
им подалгебра в $\End(V)$ полупроста.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
Докажите, что линейный оператор над алгебраически
замкнутым полем полупрост тогда и только тогда, когда он 
диагонализуем.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $k\subset \bar k$ -- два поля, причем $\bar k$
алгебраически замкнуто, и пусть $V$ -- конечномерное векторное 
пространство над $k$. Рассмотрим $V\otimes_k \bar k$ как 
векторное пространство над $\bar k$. 
Докажите, что $\End(V)\otimes_k \bar k$
естественно изоморфно $\End_{\bar k}(V\otimes_k \bar k)$.
Это задает естественное вложение
$\End(V)\arrow \End_{\bar k}(V\otimes_k \bar k)$.
Докажите, что линейный оператор 
$A\in \End(V)$ полупрост тогда и только тогда, когда
доответствующий линейный оператор 
в $V\otimes_k \bar k$ диагонализуем.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Пусть $V$ -- двумерное векторное пространство над $\R$, наделенное
положительно определенной билинейной симметричной формой,
а $A\in \End(V)$ -- ортогональный оператор. Докажите, что он
полупрост.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $V$ -- векторное пространство над $\R$ произвольной конечной 
размерности, наделенное положительно определенной билинейной 
симметричной формой, а $A\in \End(V)$ -- ортогональный оператор.
Докажите, что он полупрост.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $V$ -- векторное пространство над $\R$, наделенное
невырожденной билинейной симметричной формой, не
обязательно положительно определенной, а $A\in \End(V)$ --
ортогональный оператор. Всегда ли он полупрост?
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Элемент артинового
кольца над $k$ называется {\bf полупростым}, если он
порождает полупростую подалгебру в $R$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
Пусть $R$ -- артиново кольцо над $k$,
а $r\in R$ -- полупростой элемент. Докажите, что 
при любом представлении $R \arrow \End(V)$,
$r$ переходит в полупростой эндоморфизм $V$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь задачей \ref{_Syurie_polupro_Zadacha_}.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $V$ -- конечномерное векторное пространство
над алгебраически замкнутым полем, а
$A\in \End(V)$ -- линейный оператор. Докажите, что $A$
разлагается в сумму полупростого и нильпотентного
оператора, $A= A_{ss}+A_n$, которые коммутируют.
Докажите, что это разложение единственно, и $A_{ss}$,
$A_n$ полиномиально выражаются через $A$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь \ref{_razlozhe_kolca_Zadacha_}.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
Верно ли это, если основное поле $k$ не алгебраически замкнуто? 
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $A$ -- верхнетреугольная матрица,
$A_\delta$ -- ее
диагональная часть. Докажите, что $A$ и $A_\delta$
коммутируют.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[**]
Пусть $(V,g)$ -- векторное пространство,
снабженное билинейной кососимметричной формой,
пусть $A$ -- антисимметрический оператор, 
а $A=A_{ss}+A_n$ -- его разложение
в полупростую и нильпотентную часть.
Докажите, что $A_{ss}$, $A_n$ антисимметричны.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Может ли антисимметричный оператор над $\C$ быть
нильпотентным?
\end{zadacha}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{Теорема Гамильтона-Кэли}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Пусть $k$ -- любое поле, $k(t)$ -- поле рациональных функций над
$k$, $V$ -- $n$-мерное векторное пространство над $k$,
а $B(t)\in \End(V)[t]$ -- полином с коэффициентами в
$\End(V)$. Напомним, что в такой ситуации
$\det(B(t))$ -- полином от $t$ (см. листок 8).
Рассмотрим $B(t)$ как $k(t)$-линейный эндоморфизм $V\otimes k(t)$
Рассмотрим эндоморфизм $\Lambda^{n-1}(V\otimes k(t))$
индуцированный $B(t)$, и пусть $\check B(t)$ --
сопряженный к нему относительно естественного спаривания
\[ 
\Lambda^{n-1}(V\otimes k(t))\otimes V\otimes k(t)
\arrow \det V\otimes  k(t)
\]
эндоморфизм $V \otimes k(t)$. В листке 7 доказывается,
что $B(t)\check B(t)= \check B(t)B(t)=\det(B(t))\Id_V$.

\begin{zadacha}
В этой ситуации, докажите, что $\check B(t)$ это
$\End(V)$-значный полином:  $\check B(t)\in \End(V)[t]$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Выразите $\check B(t)$ через миноры $B(t)$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}
Пусть $A\in \End(V)$.
Применив это рассуждение к $B=t-A$,
докажите, что $(t-A)\check{(t-A)}= \chpoly_A(t)$.
Докажите, что коэффициенты многочлена
$\check{(t-A)}\in \End(V)[t]$ коммутируют с $A$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Пусть $R\subset \End(V)$ -- некоторое подмножество.
Обозначим через $Z(R)$ множество всех операторов
$A'\in \End(V)$, коммутирующих со всеми операторами
 $r\in R$ (это множество
называется {\bf централизатором} $R$). Докажите, что
$Z(R)$ -- подалгебра в $\End(V)$. 
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Пусть $R\in \End(V)$ -- некоторая подалгебра,
$A_1\in Z(A)$ -- элемент централизатора $R$,
$R[t]$ -- алгебра $R$-значных полиномов,
а $R[t]\stackrel \phi \arrow R'$ -- гомоморфизм алгебр.
Обозначим через $R[A_1]$ подалгебру $\End(V)$, порожденную
$R$ и $A_1$. Докажите, что существует такой
гомоморфизм $\phi_0:\; R[A_1]\arrow R'$,
что $\phi_0\restrict R = \phi\restrict R$
и $\phi_0(A_1) = \phi(t)$. Докажите, что
эти условия однозначно определяют $\phi_0$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Пусть $A\in \End(V)$ -- линейный оператор,
Применив предыдущую задачу,
постройте гомоморфизм $Z(A)[t]\stackrel \Psi\arrow Z(A)$,
переводящий $t$ в $A$, и тождественный на $Z(A)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
(Теорема Гамильтона-Кэли)
Рассмотрим соотношение 
$(t-A)\check{(t-A)}= \chpoly_A(t)$ в $Z(A)[t]$.
Применим к правой и левой частям уравнения
гомоморфизм $\Psi$, построенный выше. Докажите, что
получится следующее соотношение в алгебре $\End(V)$:
\[ \chpoly_A(A)=0.
\]
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $A,B\in \End V$ -- линейные операторы. 
Рассмотрите функцию от двух переменных $Q(t_1, t_2) = \det(t_1A + t_2 B)$,
где $t_1A + t_2 B$ рассматривается как линейный оператор
на $V\otimes_k k(t_1,t_2)$, а $k(t_1,t_2)=k(t_1)(t_2)$ --
поле рациональных функций над $k(t_1)$. Докажите, что
$Q(t_1, t_2)$ -- полином с коэффициентами в $k$. 
Докажите, что в кольце $\End V$ имеет место 
соотношение $Q(-B,A)=0$. 
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $A\in \End(V)$ -- линейный оператор, действующий 
на конечномерном пространстве над алгебраически замкнутым 
полем $k$. Пусть $\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$ --
корни характеристического полинома оператора $A$.
Рассмотрим пространство $V_{\lambda_i}$ всех $v\in V$
таких, что $(A-\lambda_i)^{m_i}(v)=0$, где
$m_i$ -- кратность корня $\lambda_i$ полинома $\chpoly_A(t)$. 
Докажите, что $V= \oplus V_{\lambda_i}$,
где $\lambda_i$ пробегает все корни 
характеристического полинома $A$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь теоремой Гамильтона-Кэли
\end{ukazanie}

\begin{zamechanie}
Пространство $V_{\lambda_i}$ называется
{\bf корневым пространством} для оператора $A$.
\end{zamechanie}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{Минимальный многочлен и характеристический многочлен}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{opredelenie}
Пусть $A\in \End(V)$ -- линейный оператор, действующий 
на конечномерном пространстве над $k$. Рассмотрим
последовательность эндоморфизмов $1, A, A^2,\dots \in \End(V)$.
Поскольку пространство $\langle 1, A, A^2, \dots \rangle$
конечномерно, начиная с какого-то $i$
все $A^i$ выражаются через сумму такого вида:
$A^N = \sum_{i=0}^{l-1} \lambda_i A^i$, где $\lambda_i\in k$,
$l=\dim \langle 1, A, A^2,\dots \rangle$. 
Запишем такое соотношение для $A^l$:
$A^l+ \sum_{i=0}^{l-1} \lambda_i A^i=0$.
Напомним, что 
полином $P(t)=t^l +  \lambda_{l-1} t^{l-1} + \dots +\lambda_0$
называется {\bf минимальным полиномом} $A$ и обозначается
$\minpoly_A(t)$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
Докажите, что в алгебре $\End(V)$ выполняется
такое соотношение: 
$$
\minpoly_A(A)=0.
$$
Докажите, что любой полином
$Q(t)=t^{m} +  \mu_{m-1} t^{l-1} + \dots +\mu_0$,
для которого $Q(A)=0$, делится на $\minpoly_A(t)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Докажите, что характеристический полином оператора
делится на его минимальный полином.
\end{zadacha}


\begin{zadacha}
Пусть $A\in \End(V)$ -- линейный оператор.
\begin{enumerate}
\item Докажите, что $A$ нильпотентен тогда и только тогда,
когда $\minpoly_A(t) = t^n$.

\item Докажите, что $A$ является неединичным идемпотентом
тогда и только тогда, когда $\minpoly_A(t)= t^2-t$.
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Пусть $A\in \End(V)$ -- линейный оператор, действующий 
на конечномерном пространстве над алгебраически замкнутым
полем $k$, а $V=\oplus V_{\lambda_i}$ --
разложение $V$ в сумму корневых подпространств.
Пусть $P(t)$ -- минимальный полином $A$,
а $P_i(t)$ -- минимальные полиномы для
ограничений $A$ на $V_{\lambda_i}$.
Докажите, что $P(t)=P_1(t)P_2(t)\dots$.
Докажите, что $P_i(t)= (t-\lambda_i)^k$,
где $k\leq \dim V_{\lambda_i}$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
То, что $P_i(t)= (t-\lambda_i)^k$,
ясно, поскольку оператор $A-\lambda_i$ на $V_{\lambda_i}$ 
нильпотентен. То, что $P(t)=P_1(t)P_2(t)\dots$ легко следует
из того, что все $P_j(A)$ $j\neq i$) 
обратимы на $V_{\lambda_i}$.
\end{ukazanie}

\begin{zamechanie} 
Таким же свойством мультипликативности
обладает, очевино, и характеристический полином.
\end{zamechanie}


\begin{zadacha} \label{_minpoly_chpoly_nilpo_Zadacha_}
Пусть $A\in \End(V)$ -- линейный оператор
в $n$-мерном векторном пространстве. Докажите, что
$\minpoly_A(t)= (t-\lambda)^n$ тогда и только тогда,
когда в некотором базисе $A$ записывается 
в виде матрицы
\begin{equation}\label{_Zhordanova_Cletka_Equation_}
\begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 0 &\hdotsfor{3} &0\\
0 & \lambda & 1 & 0 &\hdotsfor{2} &0\\
0 & 0 & \lambda & 1 & 0 &\dots &0\\
\vdots &\vdots &\vdots
&\ddots 
&\vdots &\vdots &\vdots\\
0 & 0 &\hdotsfor{2} &\lambda & 1 &0\\
0 & 0 &\hdotsfor{3} &\lambda & 1\\
0 & 0 &\hdotsfor{4} &\lambda
\end{pmatrix}
\end{equation}
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
Заменив $A$ на $A-\lambda \Id_V$, можно считать,
что $\minpoly_A(t)=t^n$. Возьмите такой вектор $v\in V$,
что $(A-\lambda)^{n-1}(v)\neq 0$. Докажите, что 
$v, A(v), A^2(v), \dots, A^{n-1}(v)$ образуют базис в $V$,
и в этом базисе $A$ записывается в виде 
\eqref{_Zhordanova_Cletka_Equation_}.
\end{ukazanie}

\begin{zamechanie}
Такая матрица называется {\bf жордановой клеткой}.
Мы будем обозначать ее через $J(n,\lambda)$.
\end{zamechanie}

\begin{opredelenie}
Пусть $e_1,\dots,e_n$ -- базис в векторном пространстве, а
$A_i^j$ -- матрица линейного оператора $A$, записанная в этом базисе.
Предположим, что $e_1,\dots,e_n$ разбиты в группы (блоки)
$[e_1,\dots, e_{k_1}] [e_{k_1+1},\dots, e_{k_2}] \dots$,
причем $A$ переводит каждый $e_i$ в линейную комбинацию
векторов, лежащих в том же блоке. В таком случае
$A$ составлен из квадратных кусков размера $k_i-k_{i-1}$,
а вне этих квадратов располагаются нули:
$$
\begin{pmatrix}
* & \dots & * &0 &\dots &0 &0 &\dots &0\\
\vdots &\ddots &\vdots
&\vdots &\ddots &\vdots
&\vdots &\ddots &\vdots\\
* & \dots & * &0 &\dots &0 &0 &\dots &0\\
0 & \dots & 0 &* &\dots &* &0 &\dots &0\\
\vdots &\ddots &\vdots 
&\vdots &\ddots &\vdots
&\vdots &\ddots &\vdots\\
0 & \dots & 0 &* &\dots &* &0 &\dots &0\\
0 &\dots &0 &0 &\dots &0 &* & \dots & * \\
\vdots &\ddots &\vdots
&\vdots &\ddots &\vdots
&\vdots &\ddots &\vdots\\
0 &\dots &0 &0 &\dots &0 &* & \dots & *
\end{pmatrix}
$$
Такая матрица называется блочно-диагональной.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} \label{_cikli_zhorda_Zadacha_}
Пусть $A\in \End(V)$ -- линейный оператор, действующий 
на конечномерном пространстве над алгебраически замкнутым полем
$k$. Предположим, что минимальный полином
$\minpoly_A(t)$ равен характеристическому полиному 
$\chpoly_A(t)$. Докажите, что
в некотором базисе $A$ 
записывается в виде блочно-диагональной
матрицы, составленной из жордановых клеток
$J(n_i, \lambda_i)$, причем все $\lambda_i$ разные.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользовавшись мультипликативностью
$\minpoly$ и $\chpoly$ при разложении
$V$ в сумму корневых подпространств, 
сведите задачу к случаю $V=V_{\lambda_i}$.
Теперь примените \ref{_minpoly_chpoly_nilpo_Zadacha_}.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie}
Пусть оператор $A$ записывается в некотором базисе
в виде блочно-диагональной
матрицы, составленной из жордановых клеток.
Эта запись называется {\bf жордановой нормальной
формой} оператора.
\end{opredelenie}

Сейчас мы докажем сначала единственность жордановой
нормальной формы, а потом -- ее существование.
Мы работаем в предположении, что основное поле
алгебраически замкнуто.

\begin{zadacha} 
Пусть $A\in\End(V)$ -- нильпотентный оператор,
с жордановой нормальной формой, составленной
из клеток $J(0, n_1),\dots,J(0,n_k)$.
Докажите, что число клеток в жордановой нормальной форме $A$
равно размерности пространства $V/AV$. Докажите, что
$A^jV/A^{j+1}V$ -- число клеток $J(0,n_i)$
с $n_j\geq j$. Выведите из этого, что
жорданова нормальная форма нильпотентного
оператора определена однозначно, с точностью
до перестановки клеток.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Докажите, что жорданова нормальная форма 
любого оператора единственна,
с точностью до перестановки клеток.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
Раскладывая $V$ в сумму корневых подпространств,
сведите задачу к случаю $V=V_{\lambda_i}$.
Заменяя $A$ на $A-\lambda_i$, можно ограничиться
нильпотентными операторами. Теперь все следует из
предыдущей задачи.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie}
Пусть $A\in \End(V)$ -- линейный оператор.
Мы говорим, что $A$ {\bf циклически действует}
на $V$, если в $v$ найдется такой элемент,
что $v, Av, A^2v, A^3 v, \dots$ порождает $V$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} 
Пусть $A\in \End(V)$ -- линейный оператор,
который циклически действует на $V$.
Докажите, что $\minpoly_A(t)=\chpoly_A(t)$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Если $A$ действует циклически, то степень
$\minpoly_A(t)$ равна $\dim V$ равна степени
$\chpoly_A(t)$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha} 
Пусть $A\in \End(V)$ -- такой линейный оператор,
что $V$ разлагается в сумму $A$-инвариантных 
подпространств, на которых $A$ действует циклически.
Докажите, что $A$ приводится в некотором
базисе к жордановой нормальной форме.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь задачей \ref{_cikli_zhorda_Zadacha_}.
\end{ukazanie}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{Модули над кольцом и жорданова нормальная форма}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie}
Пусть $R$ -- кольцо. {\bf Модулем} над $R$ называется абелева группа $М$,
наделенная операцией $R\times M\arrow M$, которая
согласована со сложением в следующем смысле
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item Для любых $\lambda\in R$, $u, v\in M$, имеем $\lambda(u+v) =
\lambda u+ \lambda v$. Для любых $\lambda_1, \lambda_2\in R$, $u\in
M$, имеем $(\lambda_1+\lambda_2) u = \lambda_1 u +\lambda_2 u$
(дистрибутивность умножения относительно сложения).

\item Для любых $\lambda_1, \lambda_2\in R$, $u\in M$, имеем
$\lambda_1(\lambda_2 u) = (\lambda_1 \lambda_2) u$ (ассоциативность
умножения).

\item Для любого $v\in M$, имеем $1v=v$, где 1 обозначает
единицу в $R$.
\end{enumerate}
\end{opredelenie}

\begin{zamechanie} 
Это определение почти дословно повторяет
определение векторного пространства над полем.
Многие понятия, которые определялись для векторных пространств
(например, гомоморфизм, мономорфизм, эпиморфизм,
ядро, образ, факторпространство) 
определяются без каких-либо изменений и 
для модулей над кольцом.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha} 
Пусть $R$ -- алгебра над полем $k$. Для любого
модуля $M$ над $R$ рассмотрим $M$ как линейное
пространство над $k\subset R$. Рассмотрим
операцию умножения на элементы из $r$ как эндоморфизмы
$M$. Докажите, что это задает гомоморфизм
$R\arrow \End_k(M)$. Докажите, что
все представления получаются таким образом.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Докажите, что любая абелева группа имеет единственную структуру
модуля над $\Z$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Рассмотрим группы $R^n$ как модуль над $R$, с действием, заданным
формулой $r\cdot(x_1,\dots, x_n) = (rx_1,\dots, rx_n)$. Этот модуль
называется {\bf свободным}. Фактор $R^n$ по
подмодулю называется {\bf конечно порожденным}.
Если $M$ можно представить как фактор
свободного модуля по конечно порожденному подмодулю, то
$M$ называется {\bf конечно представимым}.
\end{opredelenie}

\begin{opredelenie}
Пусть $\phi:M \to M'$ -- гомоморфизм модулей над алгеброй $R$.
{\bf Коядром} $\phi$ (обозначается $\coker \phi$)
называется фактор $M'$ по образу $\phi$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} 
Пусть $M$ -- модуль над $R$. Докажите, что
$M$ конечно порожден тогда и только тогда, когда
в нем есть набор таких элементов $m_1,\dots,m_N$ элементов,
что любой элемент $M$ представим в виде их линейной
комбинации, $m = r_1m_1 + \dots + r_Nm_N$,
$r_1,\dots,r_N \in R$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Пусть $M$ -- модуль над $R$. Докажите, что $M$ конечно представим
тогда и только тогда, когда он изоморфен коядру какого-то гомоморфизма
$\phi:R^N \to R^M$ свободных $R$-модулей.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]\label{_kone_poro_Zadacha_}
Пусть $k$ поле, а $M$ -- модуль над $k[t]$, который
имеет конечную размерность над $k$. Докажите, что
$M$ конечно порожден и конечно представим над $k[t]$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Рассмотрите $M$ как векторное пространство над $k$, выберите
базис $m_1,\dots,m_M \in M$, и возьмите эти элементы
в качестве образующих. Затем докажите, что ядро отображения
$\phi: M \otimes_k k[t] \to M$ порождено элементами
элементами вида $m_i \otimes t - tm_i \otimes 1$. 
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $M$ -- конечная абелева группа. Докажите, что $M$ конечно
порождена и конечно представима как модуль над $\Z$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Возьмите в качестве множества образующих $m_1,\dots,m_N \in M$
все элементы $M$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}
Пусть $R$ -- некоторое кольцо, а 
$V$ -- модуль над $R$, представленный 
как коядро гомоморфизма 
$(R)^n\stackrel\phi\arrow (R)^m$.
Запишем $\phi$ матрицей $A^i_j$ с 
коэффициентами в $R$. Пусть $B^i_j$ --
матрица, полученная из $R$
гауссовыми преобразованиями
по строкам и по столбцам (см. листок Алгебра 7).
Докажите, что $V$ изоморфно коядру 
гомоморфизма, соответствующего $B^i_j$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Пусть $R$ -- кольцо, а $a\in R$ -- некоторый элемент.
Рассмотрим $aR$ как модуль над $R$.
{\bf Циклическим модулем} над $R$ называется
фактормодуль $R/aR$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
Пусть $M$ -- некоторый $Z$-модуль.
Докажите, что $M$ циклический тогда и только тогда,
когда соответствующая абелева группа циклическая.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Пусть $M$ -- $k[t]$-модуль.
Докажите, что $M$ циклический тогда и только тогда,
когда для некоторого $v\in M$, 
$v, tv, t^2v, t^3v , \dots$
порождают $M$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $R$ -- такое кольцо, что 
любую матрицу размера $n \times m$ с коэффициентами в 
$R$ можно привести к диагональному виду 
гауссовыми преобразованиями
по строкам и по столбцам.
Докажите, что всякий конечно
порожденный и конечно представимый
модуль над $R$ изоморфен прямой
сумме циклических.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Если $(R)^n\stackrel\phi\arrow (R)^n$ задан диагональной
матрицей, с $a_i^i$ на диагонали, то коядро этого
гомоморфизма имеет вид $\oplus_i R/a_i^i R$
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $R$ -- евклидово кольцо (см. листок Алгебра 2).
Докажите, что любую матрицу размера $n \times m$ с 
коэффициентами из $R$ можно привести к 
диагональному виду гауссовыми преобразованиями
по строкам и по столбцам. Выведите из
этого, что любой конечно порожденный и
конечно представимый модуль над $R$ --
прямая сумма циклических.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Эта задача была в листке Алгебра 7.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $G$ -- конечная абелева группа.
Докажите, что $G$ -- прямая
сумма циклических групп.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $V$ -- модуль над $k[t]$, конечномерный
над $k$. Докажите, что $V$ -- прямая сумма 
циклических модулей.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Кольцо $k[t]$ евклидово, а
$V$ конечно порожден и конечно 
представим, как следует из задачи 
\ref{_kone_poro_Zadacha_}.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $A\in \End(V)$ -- линейный оператор.
Докажите, что $V$ разлагается в прямую
сумму $A$-инвариантных подпространств,
на каждом из которых $A$ действует циклически.
Выведите из этого, что если поле $k$ алгебраически замкнуто,
то $A$ приводится к жордановой нормальной форме.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Рассмотрим действие $k[t]$ на $V$, заданное формулой
$P(t)(v) = P(A)v$. Докажите, что $V$ будет
$k[t]$-модулем. Разложите $V$ в прямую 
сумму циклических подмодулей: $V=\oplus V_i$. 
Докажите, что все $V_i$ $A$-инвариантны,
и $A$ действует на них циклически.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
Найдите коммутативное кольцо и модуль над ним, который 
не разлагается в прямую сумму циклических.
\end{zadacha}

\end{document}
