\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr}

\input{listki.tex}

\newcommand{\delit}{\operatorname{\vdots}}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

��� ������ �� ������� ������ ���������� ����� ��� ������ ��
�����������, ���� ��� ������ ��� ���������. ������ � �����
����������� ����� �� �������. ������� $k$ ����� � ����� �����������
����������� �� ������� $2k$ ����� �� ����������� �� ���� ��
��������. ������, ������������ (!), ������� ������� ����.

\listok{2}{������� 2: ��������� � ������� � �������� �������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subs{���������� ����� ��������}

����� $R$ --- ������.

\begin{opredelenie}
{\bf �������� ����} � ������ $R$ ��� ����� ��������� ��������
$x$, $y$, ��� $xy=0$. 
$R$ ���������� {\bf �������� �����������}, ���� � $R$ ���
��������� ����.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} 
��������, ��� ������ $R$ ���������� {\bf ��������}, ����
��������� ��������� $R$ �������. ����� $R$ - ��������
������ ��� ��������� ����. ��������, ��� $R$ - ����.
\end{zadacha}

�� ���������� ����� ������, ��� ������ ��������������
��������� �����������.

\begin{opredelenie}
��������� ������� � $R$ ���������� {\bf ��������} ������ $R$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} 
����� �������� ����� -- ��� ����������� ����� ���� $x + y \1$, ���
$x$, $y$ �����. ��������, ��� ��� �������� ������. ��� ������������
$\Z[\1]$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} ������� ��� ������� � ������ ����� ��������� �����.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} ���� ����������� ����� $z$ �������� � $\Z[\1]$,
�� $z \bar z$ ���� �������� � $\Z[\1]$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha} ����������� ����� ������������� ����� $n$.
���������� ��������� ���� ����������� ����� ���� $x + y \sqrt{-n}$,
��� $x$, $y$ �����. ��������, ��� ��� ������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
����������� ����� ������������� �������� ����� $n$.  ����������
��������� ���� ����������� ����� ���� $\frac{x + y \sqrt{-3}}2$, ���
$x$, $y$ ������������ ������ ���� ������������ ��������.  ��������,
��� ��� ������, � ������� ��� �������.  �� ��������� ��� ������
$\widetilde{\Z[\sqrt{-3}]}$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
����� $R$ ������, $x, y\in R$ �������� $R$.  ���� $x= yz$ � $R$, ��
�������, ��� $x$ {\bf �������} �� $y$ � $R$, � $y$ {\bf �����} $x$.
��������� ��������� ������������ $x\delit y$.
\end{opredelenie}

\begin{opredelenie} 
����� $R$ --- ������, $x, y\in R$ �������� $R$. {\bf ����������
����� ��������} (���) $x, y$ --- ��� ����� ������� $z\in R$, ��� $z$
����� $x$ � $y$, � ��� ������� $z'$, �������� $x$, $z'$ �����
$z$. $x$ � $y$ ���������� {\bf ������� ��������}, ���� $1$ --
���������� ����� �������� $x,y$.
\end{opredelenie}

������ ������, � ������������ ������ ��� ������������ ��������� ���
����� � �� ������������.

\begin{zadacha}
��������, ��� ���� ��� ����������, �� �� ������������ � ��������� ��
�������: ���� $z$ � $z'$ -- ���������� ����� �������� $x$ � $y$ �
������ $R$, �� $z = e z'$, ��� $e$ -- ������� ������ $R$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} ����� $\Q(2)$ - ��������� ���� ������������ �����,
�������������� ������� ���� $\frac p q$ � �������� ������������ $q$.
��������, ��� ��� ��������� �������� ������������ ��������� �
�������� � �������� ��������� � ������ ������������ �����.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} ��������� ������ ������������ �������� � $\Q(2)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} ������� ������� ������ $\Q(2)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!] ��������, ��� � $\Q(2)$ ����������
���������� ����� �������� ����� ���� ���������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} ��������, ��� ����� ������� $\Q(2)$ ����������
� ���� $e 2^n$, ��� $e$ --- �������.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie} ����� $p$ -- ������� ������ $R$. �� ����������
{\bf �������}, ���� ��� ����� $q,r$ � $p=qr$ ���� $q$, ���� $r$ --
������� ������ $R$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} ������� ��� ������� �������� � $\Q(2)$.
\end{zadacha}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{��������� � ������ ����� �����}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{zadacha} ����� $x$, $y$ -- ����� ������������� �����,
� $z= (x - ky)$ --- ������� �� ������� $x$ �� $y$. ��������, ���
���� ���($y,z$) ����������, �� ���($x,y$) ����� ����������, � �����
���($y,z$).
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} 
�������� ������� ����� ��� ����� ������������� ����� $x$, $y$,
$x>y$, � ������ ����� ������������� ����� $z$.
\begin{enumerate}
\item ���� $x$ ������� �� $y$, �������� ����������� ���� ������ �
������ � �������� ���������� $y$.

\item ���� $x$ �� ������� �� $y$, �������� ��������� ���� ������,
����������� � ������ $x_1 = y$, $y_1= x - ky$, ��� $x - ky$ �������
�� ������� $x$ �� $y$.
\end{enumerate}
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} ��������, ��� �������� ������� �����������
���� ������ ����� ��������� ����� ��������
\end{zadacha}

\begin{zadacha} ��������, ��� ��������� ����������
��������� ������� � ����� ������ $x,y$ �������� ���($y,z$)
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
������ ������ 1.26 �� ������ 1 (���� �� �� ��� �� ������).
\end{zadacha}

\begin{zadacha} ��������, ��� ��������� ����������
��������� ������� � ������ $x$, $y$ ���������� ��� ��������
���������� $x$ � $y$ � ������ ��������������: $z = ax + by$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} ����� $x$, $y$ -- ������� ������� 
����� �����, � $p$ -- ������� �����. �����������, ��� $xy$ �������
�� $p^\alpha$ ��� ���������� ������������ $\alpha$. ��������, ���
��� $x$ ������� �� $p^\alpha$, ��� $y$ ������� �� $p^\alpha$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!] �������� �� ����� �������������
���������� �� ������� ���������: ���� ����� ������������� ����� $x$
������������ � ���� ������������ ������� ����� ����� ���������, ��
��� ��� ������� ���������� ���� �������� ������������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} �������� $x$ � ���� ������������
$p_i^{\alpha_i}$, ��� $p_i$ ������ ������� �����, � ��������������
���������� �������, ����� ���������, ��� ���������� $\alpha_i$
��������� ����������.
\end{ukazanie}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{������������� ������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie}
����� $R$ -- ������. ��� ���������� $r\in R$ �� ������� ���������,
$r = p_1 p_2 ... p_k$, $r = q_1 q_2 ... q_k$ ����������
��������������, ���� ����� ��������� ������������ ������������ $p_i$
� ���������� ������� ������������ $p_i$ �� ������� ������ �� �������
���������� $r = q_1 q_2 ... q_k$.  �� �������, ��� $R$ {\bf
�������������}, ��� �� {\bf ������ � ����������� ����������� ��
���������}, ���� ��� ������ $r\in R$ ���������� $r$ � ������������
������� ����� ���������� � ����������� � ��������� �� ���������������.
\end{opredelenie}

\begin{zamechanie} ������ ``�������������'' ������ �������, �� ��, ���,
����� � ��������; ��-���������, ��������, �� �� ����� ����������
���� ����� �������� ��������������� unique factorization ring
(��������� ``������ � ������������ �����������'').
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}[!] ����� � ������ $R$ ���������� ���������� �� 
������� ���������, � ����������
����� �������� $z$ ����� ���� ��������� $x, y$.  ����� � ���� �� $z$
���������� � $R$ ��� �������� ���������� $x, y$: $z = ax + by$ �
�������������� $a,b \in R$. ��������, ��� $R$ -- �������������
������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} �������������� ���������������, �����������
���� ��� ����� �����.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha} ����������� ����� ������������� 
����� $n$. ���������� ������ $\Z[\sqrt{-n}] \subset \C$ �����������
����� ���� $z= x + y \sqrt{-n}$, $x$ � $y$ �����. ��������, ���
$|z|^2$ -- ����� ��� ���� $z\in \Z[\sqrt{-n}]$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} ��������, ��� $z$ -- ������� � $\Z[\sqrt{-n}]$
����� � ������ �����, ����� $|z|^2=1$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} $|z^{-1}|^2 = (|z|^2)^{-1}$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}\label{prime.gauss} 
����� $z$ -- ����� ������� $\Z[\sqrt{-n}]$, ��� $|z|^2$ ������ �
$\Z$. ��������, ��� $z$ ������ � $\Z[\sqrt{-n}]$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} $|z z'|^2 = |z|^2 |z'|^2$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!] ���������� ������ $\Z[\sqrt{-3}]$.
��������, ��� $2$ � $1\pm \sqrt{-3}$ �������. �������� �� �����, ���
$\Z[\sqrt{-3}]$ �� ������������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} �������������� ������������ $2^2 =4$.
\end{ukazanie}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{������� � �������� � �������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie} ����� $R$ ��������� ������.
�� �������, ��� � $R$ {\bf ������ ������� � ��������}, ���� ���
������ ���� $x, y$, $y\neq 0$ � $R$ ������ $z, k\in R$,
��������������� ����������� $z = x - ky$. � ���� ������ $z$
���������� {\bf �������� �� �������} � $k$ {\bf �������}.
\end{opredelenie}

\noindent
{\bf �������.} ������� � �������� ������ � ������ ����� �����. ���
������� � �������� ������ � ������ ��������� $k[t]$ ��� ����� $k$:
$$
\arraycolsep=0.05em
\begin{array}{rrr@{\,}r|r}
x^2&{}+2x&{}-12&&\,x+5\\
\cline{5-5}
x^2&{}+5x&&&\,x-3\\
\cline{1-2}
&{}-3x&{}-12\\
&{}-3x&{}-15\\
\cline{2-3}
&&3
\end{array}
$$

\begin{opredelenie} ����� � ������ $R$ ������ �������
� ��������. {\bf �������� ������� � $R$} ����������� � ���� $x, y$
��������� ��������� �� $R$ � ������������ ����������. ���� $x$
������� �� $y$, �������� ������� ��������������� � ������ � ��������
���������� $y$.  ���� �� $x$ �� ������� �� $y$, �� �������� �������
����������� � ���� $y, z$, ��� $z$ ���� ������� �� ������� $x$ ��
$y$. �������, ���� ������� ����� ������� ����������.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!] ����� � ������ $R$ ������ �������
� ��������. �����������, ��� �������� �������, ����������� � ����
$x, y\in R$, ����������� ����� �����-�� ����� ����� � ����� �
�������� ���������� $z\in R$. ��������, ���
\begin{enumerate}
\item $z = a x + by$ ��� �����-�� $a, b \in R$.

\item $z$ ���� ���������� ����� �������� $x$ � $y$.
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} �������������� � ������ ������������� ������
�������� ����� ��, ��� � ��� ������ ����� �����.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie} ����� $R$ ������. ���������, ��� {\bf � $R$
���������� �������� �������}, ��� �� {\bf $R$ ���������} ���� � $R$
������ ������� � ��������, � ��� ����� $x, y\in R$ �������� �������
������������� ����� �������� ����� �����.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!] ����� � ������ $R$ ���������� ���������� �� 
������� ��������� � �������� �������.
��������, ��� $R$ ������������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} �������������� ���������������� ��������
\end{ukazanie}

\begin{zadacha} ��������, ��� ������ $k[t]$ �����������
��� ����� $k$ ������������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} ��������, ��� ��������� $x \cdot y=0$
����������� (��� $x,y \neq 0$) � $k[t] \mod P$ ����� � ������ �����,
����� ��������� $P$ ����������.
\end{zadacha}

����� ����� $[z]$ ������������ ����� $z= x + y \1$ ������������ ���
$[x+0.5] + [y+0.5]\1$, ��� $[\ ]$ ���������� �������� ������ �����
����� ��� ������������� ����� (���� ���������������� �����������
����� ������������� ��� ����� ��������� $\R^2$, �� $[z]$ --
��������� � $z$ ����� � ������ ������������). ������� � �������� �
������ $\Z[\1]$ ����� ��������� ����� ������������ ���������
�������: ������� �� ������� � �������� $z_1$ �� $z_2$ ����� $[\frac
{z_1}{z_2}]$, � ������� ����� $z_1 - [\frac {z_1}{z_2}]z_2$.

\begin{zadacha}
��������, ��� $\left|z_1 - \left[\frac {z_1}{z_2}\right]z_2\right| <
|z_2|$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
�������� ��� � ������ $\Z[\1]$ ����� ��������� ����� ��������
������� ������ �������������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} �������������� ���������� �������.
��������, ��� �� ������ ���� ��������� ������� �����������
$\min(|z_1|^2, |z_2|^2)$.
\end{ukazanie}

����� $R=\Z[\sqrt{-n}]$ ��� $R=\widetilde{\Z[\sqrt{-3}]}$. ���
������ $z\in \C$ ��������� �� $[z]_R$ ��������� � $z$ �����
����������� ���������, ��������������� ����� �� $R$. ���� �����
����� ���������, ������� ��, � ������� �������� $Re [z]_R$ 
(������������ �����) ������, �
���� � ����� ����� ��������� -- ������� ��, � ������� $Im [z]_R$
(������ �����) ������. ��������� ������� $z_1$ �� $z_2$ 
� �������� ����� �������, ��� ������� �� ������� � 
�������� $z_1$ �� $z_2$ ����� 
$[\frac{z_1}{z_2}]_R$, � ������� ����� $z_1 - [\frac {z_1}{z_2}]_Rz_2$.

\begin{zadacha}[*] ��������, ��� ���
$n=1$ �� ������� ����������� ������� � �������� � $\Z[\1]$
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] 
����� $\left|z - [z]_R\right|<1$ ��� ���� $z\in \C$. ��������, ���
�� ������ ���� ��������� ������� ����������� 
$|z_2|^2$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] 
����� ��� ������ ����� $z\in \C$ �������� $r\in R$ �����, ���
$|r-z|<1$. ��������, ��� $R$ ���������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] 
��������, ��� ��������� ������ ���������: $\Z[\sqrt{-2}]$,
$\widetilde{\Z[\sqrt{-3}]}$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} ��������� ����� 2 �� ������� ����������� �
$\Z[\1]$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} �������������� �������~\ref{prime.gauss}.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*] ��������� ����� 3, 5, 7 �� ������� ����������� �
$\Z[\1]$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] ��������, ��� ������� � $\Z$ ����� ���� $p=4k+3$
������ ������ � $\Z[\1]$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} ��������, ��� $p$ �� ����������� � ���� ����� ���������
\end{ukazanie}

\begin{zadacha} ����� $z= a + b \1$ ����� �������� �����,
������� �� ������� �� $1 + \1$. �����������, ��� $a$ � $b$ �������
������. ��������, ��� $z$ � $\bar z$ ������� ������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} ��������, ��� ���� $a$ � $b$ ������� ������ � $\Z$,
�� 2 ����� ����������� � ���� �������� ���������� $a + b \1$, $a - b
\1$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!] ����� $a, b, c$ -- ����� ������� ������� 
����� �����, ��� $a^2 + b ^2 = c^2$. ��������, ��� $c= |z|^2$,
��� ������-�� $z\in\Z[\1]$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} �������������� ���, ��� $c^2 = (a + b \1)(a - b \1)$,
� $a, b$ ������� ������. ��������� �������������� ���������� �� �������
��������� � $\Z[\1]$, � �������� �� �����, ��� 
������ ������� ����������� $a + b \1$, $a - b \1$
����������� ������. 
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!] ������� ��� ������ 
����� ����� $a, b, c$, �����, ��� $a^2 + b ^2 = c^2$ (``�������''
������� �������� ��� ``�������� �������, ������� ���� ��� �����
������ ��� ����������� � ��� ����� �����'').
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} �������������� ���������� �������.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*] ������� ��� ������ ������� �������
����� ����� $a, b, c$, �����, ��� $a^2 + 2 b ^2 = c^2$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} ��������� ������������� ���������� �� ���������
� $\Z[\sqrt{-2}]$
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[**] ������� ��� ������ ������� �������
����� ����� $a, b, c$, �����, ��� $a^2 + 3 b ^2 = c^2$.
\end{zadacha}

\end{document}
