\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr}

\input{listki.tex}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Для зачета по каждому листку достаточно сдать все задачи со
звездочками, либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя
звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же
листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем.

\listok{3}{АЛГЕБРА 3: векторные пространства и линейные отображения}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subs{Векторные пространства}

Напомним, что абелева (другой термин ``коммутативная'') группа --
это группа, где соблюдается соотношение коммутативности
\[
f \cdot g = g\cdot f
\]
Операцию группового умножения в абелевых группах часто обозначают
знаком $+$ и называют сложением; единичный элемент в таком случае
обозначают $0$ и называют нулем.

\begin{opredelenie}
{\bf Линейное}, или {\bf векторное}, пространство $V$ над полем $k$
-- это абелева группа, наделенная операцией $k\times V \mapsto V$
(``умножение вектора на элементы поля''), которая согласована со
сложением в следующем смысле:
\begin{enumerate}
\item Для любых $\lambda\in k$, $u, v\in V$, имеем $\lambda(u+v) =
\lambda u+ \lambda v$. Для любых $\lambda_1, \lambda_2\in k$, $u\in
V$, имеем $(\lambda_1+\lambda_2) u = \lambda_1 u +\lambda_2 u$
(дистрибутивность умножения относительно сложения).
\item Для любых $\lambda_1, \lambda_2\in k$, $u\in V$, имеем
$\lambda_1(\lambda_2 u) = (\lambda_1 \lambda_2) u$ (ассоциативность
умножения).
\item Для любого $v\in V$, имеем
$1v=v$, где $1\in k$ - единица.
\end{enumerate}
Элементы векторного пространства называются векторами, групповая
операция -- сложением векторов.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} Дано поле $k$. Докажите, что $k$ является
векторным пространством над собой.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Докажите, что группа $k^*$ обратимых элементов
в $k$ по умножению действует на любом линейном
пространстве над $k$. 
\end{zadacha}

\begin{zamechanie} Эта группа называется мультипликативной группой
поля $k$.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha} Докажите, что группа параллельных переносов
плоскости имеет структуру векторного пространства над $\R$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Дано векторное пространство $V$ над $k$. Докажите,
что $0_k (v) =0_V$, для любого $v\in V$. Здесь
$0_k$ есть ноль в поле $k$, а $0_V$ - единичный элемент
в $V$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Дано поле $К$, и в нем подполе $k$. Докажите, что
$К$ является векторным пространством над $k$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Дано поле $k$. 
\begin{enumerate}
\item Обозначим через $k^n$ множество $n$-ок $(a_1, a_2, \dots , a_n)$
элементов из $k$. Определите на $k^n$ естественное сложение и
действие $k^*$ и докажите, что это будет линейное пространство.
\item Дано множество $S$. Обозначим через $k[S]$ множество таких
наборов элементов 
\[
\langle a_{s_1},a_{s_2},\dots \rangle
\] 
из $k$, по одному для каждого элемента $s_i \in S$, что все $a_s$
кроме конечного числа равны нулю. Введите на $k[S]$ структуру
линейного пространства над $k$
\end{enumerate}
\end{zadacha}

Векторное пространство $k[S]$ называется векторным пространством,
{\bf порожденным} множеством $S$. Множество $S$ естественным образом
вкладывается в $k[S]$ -- каждому элементу $s \in S$ сопоставляется
такой набор $[s] \in k[S]$, что все $a_{s'}$ равны нулю, кроме
$a_s$, которое равно $1$.

\begin{opredelenie} Пусть $A$, $B$ -- два множества, на которых
задано действие группы $G$. Говорится, что отображение $\kappa:\; A
\to B$ {\bf совместимо с действием $G$} если $\kappa(g(a)) =
g(\kappa(a))$.
\end{opredelenie}

Напомним, что гомоморфизм абелевых групп есть отображение, которое
сохраняет групповую операцию
\begin{equation}\label{_homomo_Equation_}
f:\; G_1 \to G_2, \ \  f(g+ g') = f(g) + f(g')
\end{equation}

\begin{opredelenie}
Гомоморфизм векторных пространств над $k$ есть отображение, которое
сохраняет сложение векторов (см. \eqref{_homomo_Equation_}) и
совместимо с действием $k^*$.
\end{opredelenie}

Иначе говоря, гомоморфизм векторных пространств есть отображение
$f:\; V_1 \to V_2$, которое удовлетворяет условиям $f(v_1 + v_2) =
f(v_1) + f(v_2)$, $f(\lambda v) = \lambda f(v)$. Мономорфизм,
эпиморфизм, изоморфизм и автоморфизм векторных пространств
определяются так же, как для групп (колец, полей, и вообще всех
алгебраических структур). В случае векторных пространств, вместо
``гомоморфизм'' часто говорят ``линейный оператор'' или ``линейное
отображение''.

Напомним, что тождественное отображение из векторного пространства
$V$ в себя обозначается $\Id_V$. Очевидно, $\Id_V$ -- автоморфизм.

\begin{zadacha} Докажите, что линейное отображение $\phi:\; V_1 \to
V_2$ биективно тогда и толко тогда, когда оно {\bf обратимо},
т.е. существует такое линейное отображение $\psi:\; V_2 \to V_1$,
что
\begin{equation}
\psi \circ \phi = \Id_{V_1}, 
\phi \circ \psi = \Id_{V_2}.
\end{equation} 
Достаточно ли выполнения только одного из этих условий?
\end{zadacha}

\begin{zadacha}\label{iso.equiv} 
Если векторные пространства $V$, $V'$ изоморфны, то пишут $V\cong
V'$. Докажите, что
\begin{enumerate}
\item Если $V \cong V'$, а $V' \cong V''$, то $V \cong V''$.
\item Если $V \cong V'$, то $V' \cong V$.
\item Всегда $V \cong V$.
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Докажите, что множество гомоморфизмов
из $V_1$ в $V_2$ образует линейное пространство (его часто
обозначают $\Hom(V_1, V_2)$).
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Докажите, что множество автоморфизмов $V$ 
образуют группу (эту группу часто обозначают $GL(V)$). Коммутативна
ли эта группа?
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} Подгруппа $V' \subset V$ векторного
пространства $V$ называется {\bf векторное подпространством} или
{\bf линейным подпространством $V$}, если она сохраняется действием
$k^*$ (иначе говоря, для любых $\lambda\in k$, $v, v'\in V'$ имеем
$\lambda(v) \in V'$, $v+ v'\in V'$).
\end{opredelenie}

Линейное подпространство само очевидно является векторным
пространством над тем же полем.

\begin{zadacha} Дано множество $S$. Докажите, что множество
всех отображений $\Map(S,k)$ из $S$ в $k$ -- линейное пространство.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]\label{univ.gene}
Пусть дано векторное пространство $W$ и множество $S$. Докажите, что
любое отображение $S \to W$ единственным образом продолжается до
линейного отображения $k[S] \to W$. Будет ли это верно, если в
определении $k[S]$ разрешить наборы элементов поля, из которых
бесконечное число не равно нулю?
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Пусть $k[t]$ -- множество полиномов 
$a_n t^n + a_{n-1} t^{n-1} + ... + a_0$ с коэффициентами в поле
$k$. Докажите, что это линейное пространство.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Рассмотрим множество $\Map(k,k)$ всех отображений из
поля $k$ в $k$. Для каждого полинома $P=a_n t^n + a_{n-1} t^{n-1} +
... + a_0$ и каждого $\lambda \in k$ положим $\Psi_P(\lambda) =
P(\lambda)$. Получаем отображение $\Psi:\; k[t]\to \Map(k,k)$, $P
\mapsto \Phi_P$. Докажите, что это гомоморфизм.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] Пусть $k$ -- конечное поле. Докажите, что
$\Psi:\; k[t]\to \Map(k,k)$ -- не мономорфизм.  Докажите, что это
эпиморфизм.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] Пусть $k$ -- бесконечное поле. Докажите,
что $\Psi:\; k[t]\to \Map(k,k)$ -- мономорфизм.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] Докажите, что это не эпиморфизм.
\end{zadacha}

Пусть дано множество $A$ и бинарное отношение $\sim$ на элементах
$A$ (т.е. для некоторых пар $a,b \in A$ объявлено, что $a \sim
b$). Говорят, что $\sim$ это {\bf отношение эквивалентности}, если
выполнены следующие условия:
\begin{enumerate}
\item Для любого элемента $a \in A$ верно $a \sim a$.
\item Если $a \sim b$ и $b \sim c$, то $a \sim c$ (транзитивность).
\item Если $a \sim b$, то $b \sim a$ (симметричность).
\end{enumerate}
Если задано отношение эквивалентности $\sim$, то {\bf класс
эквивалентности} элемента $a \in A$ -- это множество всех таких
элементов $a' \in A$, что $a' \sim a$. Легко проверить, что если $a
\sim a'$, то класс эквивалентности $a$ такой же, как у $a'$; поэтому
можно говорить просто про класс эквивалентности, не указывая в нем
конкретный элемент $a$. Пример отношения эквивалентости -- отношение
$a = b \mod n$ на множестве целых чисел. Задачу~\ref{iso.equiv} на
этом языке можно переформулировать так: ``$V \cong V'$ есть
отношение эквивалентности''.

\begin{zamechanie}
Отношение эквивалентности встречается также при рассмотрении
последовательностей Коши в листке Геометрия 1, хотя там этого
термина мы явным образом не вводили.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}
Пусть $V$ -- векторное пространство, $V'\subset V$ --
подпространство. Рассмотрим такое отношение эквивалентности на $V$:
$a \sim b$ тогда и только тогда, когда $a+v = b$ для какого-то $v\in
V'$. Докажите, что множество классов эквивалентности образует
линейное пространство.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} 
Это пространство называется {\bf факторпространством} и обозначается
$V/V'$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} Рассмотрим естественное отображение $V \to V/V'$,
которое элемент переводит в его класс эквивалентности. Докажите, что
это гомоморфизм и эпиморфизм.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Пусть $\phi:\; V_1 \to V_2$ -- линейное отображение,
а $V_0\subset V_1$ -- подмножество всех элементов, которые переходят
в ноль. 
\begin{enumerate}
\item Докажите, что $V_0$ -- линейное подпространство в
$V_1$. 
\item Докажите, что образ $\phi$ -- иными словами, подмножество всех
элементов $v \in V_2$ вида $\phi(v')$, $v' \in V_1$ -- линейное
подпространство в $V_2$.
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
В этих предположениях, $V_0$ называется {\bf ядром $\phi$}.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} Пусть $\phi:\; V_1 \to V_2$ --- линейный оператор.
Докажите, что образ $\phi$ изоморфен факторпространству $V_1/V_0$,
где $V_0$ --- ядро $\phi$.
\end{zadacha}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{Линейная оболочка, базис, размерность}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{zadacha}
Пусть $V$ -- векторное пространство над полем $k$, $x_1, \dots, x_n$
-- вектора в $V$. {\bf Линейной комбинацией} векторов $x_1, \dots,
x_n$ называется любой вектор вида $v = \lambda_1 x_1+ \lambda_2 x_2
+ \dots + \lambda_m x_n$, где $\lambda_1$ -- произвольные элементы
из $k$. Докажите, что линейные комбинации векторов $x_1, \dots, x_n$
образуют линейное подпространство в $V$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} Это подпространство называется
{\bf линейной оболочкой} $x_1, \dots, x_n$ и обозначается $\langle
x_1, x_2, \dots, x_n\rangle$. Также говорят, что $\langle x_1, x_2,
\dots, x_n\rangle$ -- подпространство, {\bf порожденное} векторами
$x_1\dots,x_n$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}\label{epi} Постройте эпимоморфизм из $k^n$ в 
$\langle x_1, x_2, \dots, x_n\rangle$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Отобразите $n$-ку 
$(0, 0, 0, \dots, 1, \dots, 0)\in k^n$ (единица на $l$-м месте) в
$x_l$.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie} Вектора $x_1, \dots, x_n$,
называются {\bf линейно независимыми}, если для любой линейной
комбинации $v = \lambda_1 x_1+ \lambda_2 x_2 + \dots + \lambda_m
x_n$, где хотя бы одно $\lambda_i\neq 0$, мы имеем $v\neq 0$
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} Пусть $x_1, \dots, x_n$ -- вектора векторного
пространства $V$, а $\phi$ -- эпиморфизм, построенный в
задаче~\ref{epi}. Докажите, что $\phi$ инъективно тогда и только
тогда, когда вектора $x_1, \dots, x_n$ линейно независимы.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} 
Пусть $x_1, \dots, x_n$ -- такие линейно независимые вектора в
векторном пространстве $V$, что $V = \langle x_1, x_2, \dots,
x_n\rangle$. Тогда набор $x_1, \dots, x_n$ называется {\bf базисом
$V$}.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} Постройте базис в $k^n$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Докажите, что векторное пространство с базисом
$x_1, \dots, x_n$ изоморфно $k^n$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Пусть $v$ -- ненулевой вектор в $V \cong k^n$,
$\langle v\rangle$ -- порожденное им подпространство, а $V/\langle
v\rangle$ -- факторпространство.  Докажите, что $V/\langle v\rangle$
изоморфно $k^{n-1}$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Рассмотрите подпространство $V_l\subset V \cong k^n$,
порожденное $n$-ками вида 
\[
\langle \lambda_1, \lambda_2, \dots,
\lambda_{l-1}, 0, \lambda_{l+1}, \dots, \lambda_n\rangle
\]
(на $l$-м месте стоит 0). Это пространство очевидно изоморфно
$k^{n-1}$. Докажите, что для какого-то $l= 1, 2, \dots, n$
естественная проекция $V_l \to V/\langle v\rangle$ -- изоморфизм.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha} Пусть $x_1, \dots, x_l$ -- линейно независимые вектора
в $V \cong k^n$. Докажите, что $V /\langle x_1, x_2, \dots,
x_l\rangle$ изоморфно $k^{n-l}$
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Воспользуйтесь индукцией.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha} Пусть $V_1\subset V_2$ -- подпространство
в $V_2 \cong k^n$. Предположим, что $V_1 \cong k^m$. Докажите, что
$m\leq n$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Пусть $x_1, \dots, x_l$ -- базис в $V \cong k^n$.
Докажите, что $l=n$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!] 
Пусть векторные пространства $k^l$ и $k^m$ изоморфны. Докажите, что
$l=m$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} Векторное пространство $V$ над $k$ называется
{\bf конечномерным}, если оно изоморфно $k^n$. Число $n$ в таком
случае называется {\bf размерностью} $V$. Это записывается так:
$\dim V=n$. Как видно из предыдущей задачи, $n$ определено
однозначно.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} Пусть $x_1, x_2, \dots, x_l$ -- такие линейно независимые
вектора в линейном пространстве $V$, что $V':= V /\langle x_1, x_2,
\dots, x_l\rangle$ -- ненулевое пространство. Пусть $x_{l+1}\in V$
-- такой вектор, что его образ при естественной проекции в $V'$
ненулевой. Докажите, что $x_1, x_2, \dots, x_l, x_{l+1}$ линейно
независимы.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!] Пусть $V$ -- линейное пространство, которое 
не конечномерно. Тогда существует бесконечная последовательность
линейно независимых векторов $x_1, x_2, \ldots, x_l, \ldots \in V$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Воспользуйтесь
предыдущей задачей.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!] Пусть $V\subset V'$ -- подпространство 
конечномерного пространства. Докажите, что $V$
конечномерно. Выведите из этого, что $\dim V \leq \dim V'$
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha} Пусть $V =V'/V''$ -- факторпространство 
конечномерного пространства. Докажите, что $V'$
конечномерно. Докажите, что $\dim V \leq \dim V'$. Выведите из
этого, что $\dim V' = \dim V + \dim V''$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Действуйте от противного:
выберите в $V$ бесконечную последовательность линейно независимых
векторов, и поднимите эти вектора в $V'$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}\label{mono=>iso} 
Пусть $f:\; V \to V'$ -- гомоморфизм векторных пространств
одинаковой размерности $n$. Предположим, что $f$ вложение, либо
наложение. Докажите, что $f$ -- изоморфизм.
\end{zadacha}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{Линейные формы, билинейные формы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie}
Пусть $V$ -- линейное пространство над $k$. {\bf Линейной формой},
или {\bf линейным функционалом} на $V$ называется гомоморфизм
линейных пространств из $V$ в $k$. Пространство линейных форм на $V$
обозначается $V^*$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} 
Дано конечномерное линейное пространство $V$. Докажите, что $\dim
V\!=\dim V^*$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Пусть $k$ -- поле, $S$ -- любое множество. Верно ли, что $(k[S])^*
\cong \Map(S,k)$?
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!] 
Рассмотрим естественное отображение $V\overset{ev}{\to} V^{**}$, $v
\mapsto (\lambda \mapsto \lambda(v))$, вектор $v\in V$ переводит в
форму $\lambda \mapsto \lambda(v)$ на $V^*$. Пусть $V$
конечномерно. Докажите, что $V\overset{ev}{\to} V^{**}$ --
изоморфизм.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
Докажите, что это вложение, и воспользуйтесь
задачей~\ref{mono=>iso}.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[**] Дано бесконечномерное линейное пространство $V$.
Докажите, что $V\overset{ev}{\to} V^{**}$ -- не изоморфизм.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Пусть $U$, $V$, $W$ -- линейные пространства над полем
$k$. Отображение $U\times V \overset{\mu}{\to} W$, $u, v \mapsto
\mu(u, v)$ называется {\bf билинейным}, если для каждого $u$
отображения $\mu(u, \cdot):\; V \to W$ и $\mu(\cdot, u):\; U \to W$
линейные.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} Докажите, что сумма билинейных отображений
билинейна. Докажите, что это задает структуру векторного
пространства на множестве билинейных отображений $U\times V \to
W$.
\end{zadacha}

Пространство билинейных отображений обозначается $\Hom(U\otimes V,
W)$. Причина этого в следующем:

\begin{zadacha}[*]
Даны векторные пространства $U$ и $V$. Рассмотрим множество $U
\times V$ и порожденное им пространство $k[U \times V]$. Элемент
$k[U \times V]$, соответствующий паре $\langle u,v \rangle \in U
\times $, будем обозначать через $u \otimes v$. Рассмотрим
подпространство в нем, порожденное векторами вида $au \otimes v -
a(u \otimes v)$, $u \otimes av - a(u \otimes v)$, $(u_1+u_2) \otimes
v - u_1 \otimes v - u_2 \otimes v$, $u \otimes (v_1 + v_2) - u
\otimes v_1 - u \otimes v_2$, и обозначим факторпространство через
$U \otimes V$. Докажите, что для любого $W$ пространство $\Hom(U
\otimes V,W)$ изоморфно множеству билинейных отображений из $U
\times V$ в $W$.
\end{zadacha}

Пространство $U \otimes V$ называется {\bf тензорным произведением}
пространств $U$ и $V$.

\begin{zadacha}[*] Размерность $U$, $V$, $W$ равна $a,b,c$.
Определите размерность $\Hom(U\otimes V, W)$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} Пусть $V$ - векторное пространство над $k$.
Билинейная форма на $V$ есть билинейное отображение $V\times V
\overset{\mu}{\to} k$. Билинейная симметрическая форма есть форма,
удовлетворяющая соотношению $\mu(x,y) = \mu(y,x)$. Билинейная
кососимметрическая форма есть форма, удовлетворяющая соотношению
$\mu(x,y) = -\mu(y,x)$. Обозначим пространство билинейных
симметрических форм за $S^2 V^*$, билинейных кососимметрических форм
за $\Lambda^2 V^*$, а всех билинейных форм за $(V\otimes V)^*$.
\end{opredelenie}

\begin{opredelenie} Мы говорим, что характеристика поля
$k$ не равна 2, если число $2=1+1$ обратимо в $k$.
\end{opredelenie}

\begin{zamechanie} 
В поле из двух элементов это очевидно неверно.
\end{zamechanie}

\medskip

\noindent
Вплоть до конца этого раздела, мы предполагаем, что характеристика
базового поля $k$ не равна 2.

\medskip

\begin{opredelenie}
Если $U$, $V$ -- векторные пространства, то произведение $U\times V$
множеств $U$ и $V$ тоже наделено естественной структурой векторного
пространства. Это произведение, рассмотренное как векторное
пространство, называется {\bf прямая сумма $U$ и $V$} и обозначается
$U \oplus V$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
В векторном пространстве $W$ заданы такие подпространства $U, V$,
что пересечение их состоит из одного элемента $0 \in V$, а линейная
оболочка равна равна всему $W$. Докажите, что $W$ изоморфно
$U \oplus V$. 
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
В таком случае, также пишут, что $W=U \oplus V$.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha} Рассмотрим отображение симметризации
из всех билинейных форм в симметрические $\Sym(\mu)(x,y) =
\frac{1}{2}(\mu(x,y) +\mu(y,x))$ и отображение альтернирования
$\Alt(\mu)(x,y) = \frac{1}{2}(\mu(x,y) -\mu(y,x))$.  Докажите, что
эти отображения задают линейные операторы
\[ 
(V\otimes V)^*\overset{\Sym}{\to} S^2 V^*, \ \ (V\otimes
V)^*\overset{\Alt}{\to} \Lambda^2 V^*
\]
Докажите, что сумма 
\[
\Sym \oplus \Alt:\; (V\otimes V)^*\to S^2 V^*\oplus \Lambda^2 V^*
\]
задает изоморфизм.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] 
Пусть $\dim V = n$. Определите размерность $S^2 V^*$ и $\Lambda^2
V^*$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Пусть $\mu$ -- билинейная симметрическая
форма. Докажите соотношение $\mu(u+v, u+v) = \mu(v,v) + \mu(u,u) + 2
\mu(u, v)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!] 
Пусть $\mu$ -- ненулевая билинейная симметрическая форма на
$V$. Докажите, что $\mu(x,x)\neq 0$ для какого-то $x \in V$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie}
Пусть $V$ -- линейное пространство с заданной на нем билинейной
симметричной или кососимметричной формой $\mu:\; V \times V \to k$.
Для каждого $v\in V$, $\mu$ определяет линейную форму $\mu(v,
\cdot):\; V \to k$.  Мы говорим, что $v$ лежит в {\bf радикале}
$\mu$, если эта форма равна нулю.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[*] 
В этих предположениях, докажите, что радикал -- линейное
подпространство в $V$.
\end{zadacha}

Радикал обозначается $\rad \mu$.

\begin{zadacha}[*] 
Докажите, что $\mu(v+r, v'+r')= \mu(v, v')$ для $r, r'\in \rad \mu$.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie} Из этого следует, что $\mu$ естественно
определена на факторпространстве $V/\!\rad \mu$.
\end{zamechanie}

\begin{opredelenie} Билинейная симметричная (или кососимметричная)
форма $\mu$ называется {\bf невырожденной}, если ее радикал равен
нулю. Невырожденная билинейная кососимметричная форма называется
{\bf симплектической}. 
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} Пусть $\mu$ -- невырожденная симметричная (или
кососимметричная) билинейная форма на конечномерном векторном
пространстве $V$. Определим отображение $V \to V^*$, $v \mapsto
\mu(v, \cdot)$, переводящее $v$ в форму $t\mapsto \mu(v, t)$.
Докажите, что это изоморфизм.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Докажите, что это мономорфизм
пространств одинаковой размерности.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha} Пусть $\mu$ -- невырожденная симметричная (или
кососимметричная) билинейная форма на конечномерном пространстве
$V$, и $\lambda:\; V \to k$ -- линейный функционал. Докажите, что
существует такой вектор $v\in V$, что $\lambda(t) = \mu(v, t)$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie} Пусть $V$ -- пространство с билинейной 
симметричной (или кососимметричной) формой $\mu$, $V_1\subset V$ его
линейное подпространство. Определим {\bf ортогональное дополнение}
$V_1^\bot$ как множество всех векторов $v\in V$ таких, что $\mu(v,
v_1)=0$ для всех $v_1\in V_1$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!] 
В этих предположениях, пусть $\mu$ невырождена на $V$ и на
$V_1$. Предположим, что $V_1$ конечномерно. Тогда $V = V_1 \oplus
V_1^\bot$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} То, что $V_1$ и $V_1^\bot$ не пересекаются,
можно увидеть непосредственно. Осталось доказать, что каждый вектор
$v\in V$ представляется в виде суммы векторов из $V_1$ и
$V_1^\bot$. Рассмотрим $\mu(v, \cdot)$ как функционал на
$V_1$. Воспользовавшись предыдущей задачей, мы найдем $v_1\in V_1$
такой, что форма $\mu(v-v_1, \cdot)$ равна нулю на $V_1$. Но это
значит, что $v-v_1 \in V_1^\bot$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!] Выведите из этого такое утверждение.
Пусть $\mu$ -- билинейная симметрическая невырожденная форма на
векторном пространстве $V$. Тогда в $V$ есть такой базис $x_1,
\dots, x_n$, что $\mu(x_i, x_j)=0$ для всех $i\neq j$, и $\mu(x_i,
x_i)\neq 0$ для всех $i$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Найдите вектор $x$ такой,
что $\mu(x,x)\neq 0$. Примените разложение $V = \langle x \rangle
\oplus \langle x \rangle^\bot$, полученное в предыдущей
задаче. Воспользуйтесь индукцией.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*] Пусть $\mu$ -- билинейная симметрическая форма на $V$
Тогда в $V$ есть такой базис $x_1, \dots, x_n$, что $\mu(x_i,
x_j)=0$ для всех $i\neq j$. Такой базис называется {\bf
ортогональным}.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] Пусть $\mu$ -- симплектическая
форма на пространстве $V$. Докажите, что $V$
четномерно. Найдите в $V$ такой базис $x_1, ..., x_{2n}$, что
\[
\mu(x_{2r-1}, x_{2r}) = - \mu(x_{2r}, x_{2r-1}) =1
\] 
при $r = 1, 2, ..., n$, и $\mu(x_i, x_j)=0$ для всех остальных пар
$(i,j)$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
Действуйте так же, как действовали в симметрическом случае.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie} Пусть $V$ -- векторное пространство над $\R$,
а $\mu$ -- билинейная симметрическая форма на нем. Форма $\mu$
называется {\bf положительно определенной}, если $\mu(x,x) >0$ для
любого ненулевого вектора $x$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} Пусть $\mu$ -- положительно определенная
билинейная форма на $V$. Тогда в $V$ есть такой базис $x_1, \dots,
x_n$, что $\mu(x_i, x_j)=0$ для всех $i\neq j$, и $\mu(x_i, x_i)=1$
для всех $i$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} Такой базис называется {\bf ортонормальным}.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[*] 
Пусть $x,y$ -- произвольные векторы в пространстве $V$, а $\mu$ --
положительно определенная билинейная форма. Докажите неравенство
\[
\frac{\mu(x,x) + \mu(y,y)}{2} \geq \mu(x,y).
\]
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] 
В тех же предположениях, докажите {\bf неравенство Коши}:
\[
\sqrt{\mu(x,x)\mu(y,y)} \geq \mu(x,y).
\]
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] 
Докажите {\bf неравенство треугольника}
\[ 
\sqrt{\mu(x,x)} + \sqrt{\mu(y,y)} \geq \sqrt{\mu(x+y,x+y)}.
\] 
\end{zadacha}

\end{document}
