\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{russcorr}
\usepackage{theorem,amsmath,amssymb}

\input{listki.tex}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Для зачета по каждому листку надо сдать все задачи со звездочками,
либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не
сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не
сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи,
обозначенные (!), следует сдавать всем.

\listok{4}{Алгебра 4: алгебраические числа}

\subs{Алгебраические числа}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie} Пусть $k \subset K$ -- поле, содержащееся в поле $K$
(в такой ситуации говорится, что $k$ {\bf подполе} в $K$, а $K$ {\bf
расширение} $k$). Элемент $x\in K$ называется {\bf алгебраическим
над $k$}, если $x$ -- корень ненулевого многочлена с коэффициентами
в $k$.
\end{opredelenie}

Довольно часто, когда говорят про алгебраические числа,
подразумевают комплексные числа, алгебраические над $\Q$, т.е. корни
многочленов с рациональными коэффициентами.

\begin{zadacha} Пусть $k$ -- подполе в $K$, а $x$ -- элемент в $K$.
Рассмотрим $K$ как линейное пространство над $k$. Пусть $K_x\subset
K$ -- линейное подпространство $K$, порожденное степенями $x$.
Докажите, что $K_x$ конечномерно тогда и только тогда, когда $x$
алгебраично.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
Если $k\subset K$ подполе $K$, a $V$, $W$ - 
линейные пространства над $K$, мы можем рассмотреть
$V$, $W$ как линейные пространства $V_k$, $W_k$ над $k$.
В такой ситуации, линейное отображение $V_k\arrow W_k$
называется {\bf $k$-линейным отображением пространства
$V$ в $W$.} Линейные отображения векторных пространств
над полем $k$ часто называют {\bf $k$-линейными}, чтобы
обозначить зависимость от $k$.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha} Пусть $k\subset K$ - подполе $K$.
Приведите пример отображения $K$-векторных пространств
$V\arrow W$, которое $k$-линейно, но не $K$-линейно.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Пусть $k$ -- подполе в $K$, $x$ -- алгебраический
элемент в $K$, а $K_x\subset K$ -- линейное подпространство,
порожденное степенями $x$. Для ненулевого вектора $v\in K_x$,
рассмотрим операцию $m_v$ домножения на $v$ в $K$. Докажите, что
$m_v$ -- $k$-линейное отображение, которое сохраняет подпространство
$K_x\subset K$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} В условиях предыдущей задачи, докажите, что
ограничение гомоморфизма $m_v$ на $K_x\subset K$ обратимо.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!] 
Выведите из этого, что $K_x$ -- подполе в $K$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} {\bf Конечное расширение}
поля $k$ -- это поле $K\supset k$, которое конечномерно как
векторное пространство над $k$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} Пусть $K_1 \supset K_2\supset К_3$
поля, такие, что $K_1$ конечномерно над $K_2$, которое конечномерно
над $K_3$. Докажите, что $K_1$ -- конечное расширение $K_3$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!] 
Выведите из этого следующее: сумма, произведение, частное
алгебраических над $k$ элементов снова алгебраично над $k$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Докажите, что любое конечное поле -- конечное расширение поля
остатков по модулю $p$ для какого-то простого числа $p$. Выведите из
этого, что конечное поле имеет $p^n$ элементов (для каких-то чисел
$p$, $n$, $p$ простое).
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] 
Докажите, что существует неалгебраическое комплексное число.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[**] 
Докажите, что вещественное число число $0,0100100001000000001...$
(число нулей после $i$-й единицы равно $2^i$) неалгебраично.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] 
Пусть комплексное число $x$ алгебраично. Докажите, что его
комплексно-со\-пря\-жен\-ное $\bar x$ тоже алгебраично.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Воспользуйтесь тем, что комплексное сопряжение
есть автоморфизм $\C$, сохраняющий $\Q$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*] 
Пусть комплексное число $x=a+b\1$ алгебраично.  Докажите, что
вещественные числа $a$ и $b$ алгебраичны.
\end{zadacha}


\begin{zadacha}[*] 
Докажите, что $\alpha:=\sin(\frac{n\pi}{m})$ алгебраично (над
  $\Q$) для всех 
целых $n,m$. Найдите многочлен с рациональными
коэффициентами, корнем которого является $\alpha$.
\end{zadacha}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{Алгебраическое замыкание}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{zadacha} Пусть $P(t), Q(t)\in k[t]$ --
полиномы положительной степени над полем $k$, не имеющие общих
делителей. Докажите, что $1$ можно выразить как линейную комбинацию
$P$ и $Q$ над $k[t]$:
$$
1 = Q(t) A(t) + P(t) B(t).
$$
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Воспользуйтесь алгоритмом Евклида для полиномов
(делением в столбик с остатком и индукцией).
\end{ukazanie}

\begin{zadacha} Пусть $P(t)$ -- неприводимый полином (не раскладывается
в произведение многочленов положительной степени с коэффициентами из
$k$), а произведение $Q(t) Q_1(t)$ делится на $P(t)$, где $Q(t)$,
$Q_1(t)$ -- ненулевые полиномы. Докажите, что $Q(t)$ или $Q_1(t)$
делится на $P(t)$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Пусть $Q(t)$ не делится на $P(t)$.
Воспользуйтесь предыдущей задачей, чтобы выразить $1$ как линейную
комбинацию $Q(t)$ и $P(t)$:
$$
1 = Q(t) A(t) + P(t) B(t).
$$
Тогда $1\cdot Q_1(t) = Q(t)Q_1(t) A(t) + P(t) B(t)Q_1(t)$ очевидно
делится на $P(t)$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha} Пусть $P(t)$ -- многочлен над $k$.
Рассмотрим кольцо $k[t]$ полиномов от $t$ и факторпространство
$k[t]/Pk[t]$ всех полиномов по полиномам, которые делятся на
$P$. Докажите, что $k[t]/Pk[t]$ есть кольцо (относительно
естественных операций умножения и сложения).
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Докажите, что умножение на полином
$Q(t)$ действует на $k[t]/Pk[t]$ как эндоморфизм (эндоморфизм это
гомоморфизм из пространства в себя).
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Пусть умножение на полином $Q(t)$ действует на
$k[t]/Pk[t]$ нулем. Докажите, что $Q$ делится на $P$ в кольце
$k[t]$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}  Пусть $P(t)$ неприводим. Предположим, что $Q(t)$ --
полином, который не делится на $P(t)$. Докажите, что оператор
умножения $m_Q$ на $Q(t)$ на пространстве $k[t]/Pk[t]$ --
мономорфизм.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Пусть $v$ лежит в ядре $m_Q$, а $Q_1(t)$ -- полином,
представляющий $v$. Тогда $Q Q_1$ делится на $P$ в силу утверждения
предыдущей задачи. Воспользуйтесь алгоритмом Евклида для полиномов,
чтобы получить, что $Q$ делится на $P$ либо $Q_1$ делится на $P$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*] Пусть $A:\; V \arrow V$ - линейный оператор.
Докажите, что есть такой полином $P(t)=t^n + a_n t^{n-1}+...$, что $P(A)=0$.
Всегда ли можно найти неприводимый полином $P(t)$ такой, что $P(A)=0$?
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!] Пусть $P(t)$ неприводим. Докажите, что
$k[t]/Pk[t]$ -- поле.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Воспользуйтесь предыдущей задачей, чтобы доказать,
что если $Q$ не делится на $P$, то умножение на $Q(t)$ задает на
$k[t]/Pk[t]$ обратимый линейный оператор.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie} Пусть $P(t)$ -- неприводимый полином. 
Говорится, что поле $k[t]/Pk[t]$ есть {\bf расширение, полученное
добавлением корня $P(t)$}.
\end{opredelenie}

\begin{opredelenie} Алгебраическое расширение поля $k$ --
это такое поле $K\supset k$, что все элементы $K$ алгебраичны над
$k$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} Докажите, что любое конечное расширение алгебраично.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] Докажите, что не любое алгебраическое расширение
конечно.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} Пусть $k$ -- поле. Поле $k$ называется {\bf алгебраически
замкнутым}, если любой полином положительной степени $P\in k[t]$
имеет корень в $k$.
\end{opredelenie}

\begin{opredelenie} {\bf Алгебраическое замыкание поля $k$} -- это
алгебраическое расширение $\bar k \supset k$, которое алгебраически
замкнуто.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[*]\label{rt} 
Пусть $К$ -- расширение поля $k$, а $z\in K$ -- корень ненулевого
многочлена $P(t)$, коэффициенты которого алгебраичны над
$k$. Докажите, что $z$ алгебраичен над $k$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] Пусть $К$ -- такое алгебраическое расширение поля $k$,
что любой многочлен $P(t)\in k[t]$ имеет корень в $K$. Докажите, что
любой многочлен $P(t)\in k[t]$ разлагается в произведение линейных
многочленов из $K[t]$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] В условиях предыдущей задачи докажите, что
$K$ алгебраически замкнуто.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Пусть $P\in K[t]$ -- неприводимый многочлен 
с коэффициентами из $K$. Добавим его корень $\alpha$ к $K$.
Воспользовавшись задачей~\ref{rt}, получаем, что $\alpha$
алгебраичен над $k$. Значит, $\alpha$ -- корень многочлена из
$k[t]$.  Но любой такой многочлен разлагается в произведение $\prod
(t-\alpha_i)$, $\alpha_i\in K$, как следует из предыдущей
задачи. Выведите из этого, что $\alpha \in K$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
Докажите, что у каждого поля $k$ есть алгебраическое замыкание.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
Возьмем любое алгебраическое расширение поля $k$. Если оно
алгебраически замкнуто, мы все доказали. Иначе существует $P(t)\in
k[t]$, который не имеет корней в $K$. Добавим к $K$ его корень,
получим поле $K_1$. Заменим $K$ на $K_1$.  Повторяя эту процедуру
столько раз, сколько необходимо, перейдем к объединению всех
алгебраических расширений $k$. Мы получим поле, которое содержит
корень любого многочлена из $k[t]$. Воспользовавшись предыдущей
задачей, убедитесь, что это поле алгебраически замкнуто.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[**] В наброске доказательства, приведенном
выше, неявно использовалась лемма Цорна. Придумайте, для счетного
поля $k$, доказательство, не использующее лемму Цорна, и независимое
от аксиомы выбора.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[**] Можно ли доказать существование
алгебраического замыкания для произвольного поля, не используя
аксиому выбора?
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[**] Докажите, что алгебраическое
замыкание поля единственно с точностью до изоморфизма.
\end{zadacha}

\end{document}
