\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr}

\input{listki.tex}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

��� ������ �� ������� ������ ���������� ����� ��� ������ ��
�����������, ���� ��� ������ ��� ���������. ������ � �����
����������� ����� �� �������. ������� $k$ ����� � ����� �����������
����������� �� ������� $2k$ ����� �� ����������� �� ���� ��
��������. ������, ������������ (!), ������� ������� ����.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{5}{������� 5: ������� ��� �����}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{������� ��� �����}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

����������� ���� $k$. 

��������, ��� ����������� $(V_1\times V_2) \overset{\mu}{\arrow}
V_2$ ��������� ����������� ���������� {\bf ����������}, ���� ���
����� $v_1\in V_1$, $v_2 \in V_2$, �����������
\[ 
\mu(v_1, \cdot ):\; V_2 \arrow V_3, \ \mu(\cdot, v_2):\; V_1 \arrow V_3
\]
(���� �������� �����������, ������ ��������� ������������
$V_2$, $V_1$ ��������������)
��������. ��� �������, ��� ���������� �����������
���� ``�����������, �������� �� ������� ���������''. 
��� ���������� �������� ������������ ������ 
���������� ������������ (��. ������ ������� 3):
� ��������������� �������, �� �����
\[ 
\mu:\; V_1\otimes V_2 \arrow V_3.
\]

\begin{opredelenie}
����� $A$ - ��������� ������������ ��� ����� $k$, � $\mu:\; A
\otimes A \arrow A$ ���������� �������� (``���������'').  $(A, \mu)$
���������� {\bf �������� ��� $k$}, ���� $\mu$ ������������:
\[
\mu(a_1, \mu(a_2, a_3)) = \mu(\mu(a_1, a_2), a_3)).
\]
������������ � ������� ����������� ������������ ��� $a\cdot b$. ����
� ������� ����� ������� $1$ �����, ��� $\mu(1,a) = \mu(a,1) =a$ ���
���� $a\in A$, ���� ������� ���������� {\bf ���������}, � �������
���������� {\bf ������� � ��������}. {\bf �����������} $r:\; A
\arrow A'$ ������ -- ��� �������� �����������, ������� ���������
������������, � {\bf ����������} ������ -- ��� ���������
�����������.  {\bf ����������} ������� ���� �������� 
���������������, ��������� ������������ ���������.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} 
����� ���� ����� ������� � ��������, ��� ��� ����� $a,b$ �����
$\mu(a,b) = \mu(b,a)$. ��������, ��� ��� (�������������) ������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
��������� ������ ������� ��� �������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
��������, ��� ������� �����������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
��������� ������ ��������������� ������� ��� �������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
����� $V$ -- ��������� ������������, � $\End(V)$ -- ������������
�������� ������������� �� $V$ � $V$, � ���������
����������. ��������, ��� $\End(V)$ -- ��� �������.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
� ����� �������� ������� $\End(V)$ ���������� {\bf ���������
��������}, � ������������ $\Mat(V)$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
������������ �� ������� $\Mat(V)$?
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����� $V$ - $k$-������ ��������� ������������.
������� ����������� ������������ $\Mat(V)$.
\end{zadacha}

\�����������
������ ���������� $\rho:\; V \arrow V'$ 
��������� �����������
������ ���������� $\Mat(V) \arrow \Mat(V')$ ��������� ������,
$A \arrow \phi \circ A \circ \phi^{-1}$.
�� �������, ��� ���� ���������� ������
{\�� ����������� $\rho$.}
���������� ������������ ����������� $\Mat(V)$,
�������������� ������������� $V$.
\��

\������\doublesttr 
������ �� ���������� $\Mat(V) \arrow \Mat(V')$
����������� ������������ ��������� �����������?
\��


\begin{zadacha}  
\begin{enumerate}
\item 
����� ��� ���������� ��������� ������
$\Mat(V) \cong \Mat(V')$. 
�����������, ��� $V$, $V'$ ������������.
��������, ��� $V$, $V'$ ���������. 

\item ������� ��� ������������ ������������
$V$, ������������ ������������� ����������� 
�� ������� ������.

\item\sttr 
����� $\Mat(V) \cong \Mat(V')$. 
��������, ��� $V\cong V'$ 
��� ����� (��������, ����������������)
$V$, $V'$. ����������� ����� �����. \footnote{������� �
���� ��������� �����������. ����� � $V$ ������ ������� 
����������� $S$, ��������������� ��������� ���������.
\begin{enumerate}
\item ��� ������ $V_\alpha\in S$, �� ������� ����� $V$,
� $S$ ���� ������������ $V_{\alpha'}$, ������� 
�������� $V_\alpha$ � ��� �� �����. 

\item ����� ��� ����� $S'\subset S$ �� ���������
����������� $V$, ������� � $S$,
�����, ��� ����� $V_\alpha, V_{\alpha'}\in S'$ ����� ���� � ������:
���� $V_\alpha\subset V_{\alpha'}$, ����
$V_{\alpha'}\subset V_{\alpha}$. ����� �����������
���� $V_{\alpha_i}\in S'$ ���� ����� � $S$
\end{enumerate}
����� $V$ ���������� � $S$.
����� ����� ������� �� ������� ������.
}

\item\doublesttr ����� �� � (�) �������� ��� ������� ������?
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
���� ������� $A$ � ��������. ��������, ��� $A$ ����� ����������� ��� ����������
� $\Mat V$ ��� ���������� ���������� ������������ $V$ (��������,
�����������������).
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
�������� $V=A$.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie} 
������� $A$ � �������� ��� ����� ���������� {\bf �����}, ����
$A\backslash 0$ -- ������ �� ���������. ����� ������, ������� $A$
���������� �����, ���� ��� ��������� �������� $A$ ��������.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}\label{quat}
����� $\mathbb H$ - ������������� ��������� ������������ ��� $\R$, �
������� $1, I, J, K$. ��������, ��� �� $\mathbb H$ ���������� �
����������� ����� ��������� �������, ���
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}.}
\item $1\cdot a=a$ ��� ������ $a\in \mathbb H$,

\item $I^2=J^2=K^2=-1$,

\item $I \cdot J = - J\cdot I =K$.
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
������� ${\mathbb H}$ ���������� {\bf �������� ������������}.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!] 
���������� ����������� ``������������ ����������'' $z\arrow \bar z$,
�������� �� ${\mathbb H}$ �� �������
\[ 
a + b I + c J + d K \arrow a - b I - c J - d K.
\]
��������, ��� $\overline{z_1 z_2} = \bar z_2 \bar z_1$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
��������, ��� $z \bar z= a^2 + b^2 + c^2 + d^2$, ���� $z=a + b I + c
J + d K$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!] 
��������, ��� $\mathbb H$ -- ����.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
�������������� ��� �� ����������, ������� �������������
��� �������������� ����������� ����������� �����.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha} 
����� � ������� ������~\ref{quat} ��������� $I^2=J^2=K^2=-1$
�������� �� $I^2=-1$, $J^2=K^2=1$, � ������ ��������� ��������
� ���� $I \cdot J \cdot K=1$
 ��������, ��� ����� ���������
��������� ������� �� $\R^4$ (��� ������� ���������� {\bf ��������
����-������������}). ����� �� ��� �����?
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
��������, ��� ������� ����-������������ ��������� $\Mat(\R^2)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
��������, ��� ������������� ������� $A$ � ��������
�������� ����� ����� � ������ �����, ����� � ��� ��� ��������� ����.
\end{zadacha}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{�������, �������� ����������� � �������������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

����� ������ ��������� ������������ $V$ ��� $k$.  ������������ �����
$\phi$ �� $V$ -- ��� ����������� $V\times V \times V \times \dots
\arrow k$, �������� �� ������� ���������. �� ���������� ��� � ����
\[ 
\phi:\; V\otimes V \otimes V \otimes \dots \arrow k.
\]
���� $\phi$, $\psi$ -- ������������ $i$-����� � $j$-�����,
����������� 
\[ 
\phi\otimes \psi :\; \underbrace{V\times V \times V \times \dots}_{i+j}
   \arrow k,
\]
�������� � ����
\[ 
(\phi\otimes \psi)(v_1, v_2, \dots, v_{i+j}) = \phi( v_1, \dots, v_i) \phi(
   v_{i+1}, \dots, v_{i+j})
\]
��������, ���� �����������. ����� ������� ��������
������������ �� ������������ ������������ ����.

\begin{zadacha}
��������, ��� ������ 
����� $\oplus_i {\cal M}^i V$ ����������� ${\cal M}^i V$
$i$-�������� ���� �������� �������, ������������ ������������,
������������� ����.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����� $V$ ������������. ��������, ��� ����� ������� �������
������������ ���� ���������� � ���� �������� ���������� ������������
��������� �� $V^*$ (� ����� �������� �������, ��� ������� {\bf
��������� $V^*$}).
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
����� $V$, $W$ -- ��������� ������������ ��� $k$.  ����������
������������ $U= \langle V\times W\rangle$, �������� �����������
������ �������� $v, w\in V, W$. ������� $U$, ��������������� ����
$v, w$, �� ����� ���������� �� $v\otimes w$.  ������������� $U$ ��
���������������, ������������ ���������� ����������:
\begin{align*}
(\lambda v)\otimes w &- \lambda (v
  \otimes w), \qquad v\otimes (\lambda w ) - \lambda (v
  \otimes w), 
\qquad\qquad \lambda\in k\\
(v+v')\otimes w &- v\otimes w - v'\otimes w, \qquad
   v\otimes (w+w') - v\otimes w - v\otimes w'.
\end{align*}
���������� ������������������ ���������� {\bf ���������
������������� $V$ � $W$}, � ������������ $V\otimes W$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
��������, ��� $(V\otimes W)^*$ ����������� ��������� ������������
���������� ���� �� $(V, W)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
������� ����������� $V\otimes W$, ���� $\dim V=n$, $\dim W=m$.
��������, ��� $V\otimes W^*$ ����������� ���������
������������ ������������� �� $W$ � $V$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
��������, ��� $U\otimes (V\otimes W)$ ����������� ���������
$(U\otimes V)\otimes W$.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
��� ����������� ��������� �������� ������ ��� ������: �� �����
$U\otimes V\otimes W$, ������������ ����� ����������� ������ (���
��� ������������).
\end{zamechanie}

\begin{zamechanie}
��������� ������������ $V$ � ����� $i$ ��� ������������ �����
$V^{\otimes i}$. ����������� ���� ���������� ���������������
��������� �������� $\bigoplus_i V^{\otimes i}$ �������������
����������
\[
V^{\otimes i}\times V^{\otimes j}\arrow V^{\otimes {j+j}}
\]
\end{zamechanie}

\begin{opredelenie}
{\bf ���������} (��� {\bf ���������}) �������, ����������� $V$ --
��� ������� $\bigoplus_i V^{\otimes i}$ � ��������� ���������,
�������� ����. ��� ������� ������������ $T(V)$. ������� ����������
$T(V)$ ����������� ��������������� � �������� ����� $k$. 
� ���������, $T(V)$ - ������� � ��������.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
����� $V$ -- ������������� ��������� ������������.  ��������, ���
$T(V)$ ��������� ������� ������������ ���� �� $V^*$. 
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
����� ������ �������� ����������� �� $V$ � ��������� �������
$A$. ��������, ��� ��� ���������� ������������ �� ������������
������ $T(V)\arrow A$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]\label{_tensor_monomials_Zadacha_}
����� $\langle x_i\rangle $ -- ����� � $V$. ��������, ��� ����� �
$T(V)$ �������� ����� �������� ���� $x_{i_1} x_{i_2} x_{i_3}\cdots$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
����� ������ ������������ $V$ ��� $k$ (``������������
����������''). ����� ����� ������ ��������������� $W\subset T(V)$
(``������������ �����������''). ���������� ������������������
$T(V)$ �� ��������������� $T(V) W T(V)$ , ������������ ���������
���� $v w v'$, ��� $w\in W$. ����� ��� ���������. ��������, ��� �� ����
������������������ ���������� ������������ ��������� �������
� ��������.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
� �������� ���������� ������, ����� $x_i$ -- ����� � $V$, � $w_i$ -
����� � $W$. ������ ����������� $w_i=0$ ����� �������� � ����
���������������� �������� ����
\[ 
\sum_I \alpha_{i_1, \dots, i_n} x_{i_1}x_{i_2}\dots =0
\]
��� $I$ ��������� �����-�� ����� ��������������, � $\alpha_{i_1,
\dots, i_n}$ -- ������������ �� ���� $k$.  ������� $T(V)/T(V) W
T(V)$ ���������� {\bf ��������, �������� ����������� $v_i$ �
������������� $w_i$}.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
��������, ��� ����� ������� � �������� $A$ ����� ������ ����������� �
�������������. ��������, ��� ���� $A$ ������������, �� ��� �����
������� ���, ��� ������������ ���������� $V$ � ������������
����������� $W$ ���� ������������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
�������� $A=V$.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie}
������� ���������� {\bf ������� �����������,} ���� �� ����� ������
����������� � �������������, ��� ����, ������ ������������
���������� $V$ ������������. ������� ���������� {\bf �������
������������}, ���� �� ����� ������ � ����� ����, ������
������������ ����������� $W$ ���� ������������.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
��������� ������ �������, ������� �� ������� �����������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
������ �� ������� ����������� ������� ������� �����������?
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
��������, ��� ������� $\Mat(\R^2)$ ������� �����������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
������� ������� ��������� ������ $k[t, t^{-1}]$ ����������� �
�������������.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
����� $V$ -- ��������� ������������ � ���������� ������������ ������
$g:\; V \otimes V \arrow \R$.  ���������� ������� $Cl(V)$,
����������� $V$, � �������� ������������� ����
\[ 
v_1\cdot v_2 + v_2\cdot v_1 = g(v_1, v_2)\cdot 1,
\] 
��� $v_1, v_2$ ��������� $V$. ��� ������� 
���������� {\bf �������� ���������} ��� ��������
����� $k$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
����������� ����������� ����� � ���� ������� ��������� ��� $\R$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
������� ��� ������� ��������� ��� $\R$ ��� $\dim V=1,2$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
����������� ����������� � ����-����������� � ���� ������� ���������
��� $\R$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
����� ����������� $V$ ����� $n$.
���� ����� ����������� $Cl(V)$ ��� ���������� ������������?
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[**] ����������� ������� ������ $\Mat(\R^{2^n})$
� ���� ������� ���������.
\end{zadacha}

\end{document}
