\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr}

\input{listki.tex}

\newcommand{\dett}{\operatorname{det}}
\newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
 
\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Для зачета по каждому листку достаточно сдать все задачи со
звездочками, либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя
звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же
листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{6}{АЛГЕБРА 6: Алгебра Грассмана и определитель}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{Алгебра Грассмана}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie} 
Алгебра $A$ называется {\bf градуированной}, если $A$ представлена в
виде $A = \oplus A^i$, где $i$ пробегает $\Z$,
и произведение действует так: $A^i \cdot A^j
\subset A^{i+j}$.  Вместо $\oplus_i A^i$ часто пишут $A^\hdot$,
подразумевая все индексы сразу. Некоторые из подпространств
$A^i$ могут быть равны нулю. Единица алгебры (если она есть)
всегда лежит в $A^0$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
Укажите естественную градуировку на $T(V)$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Подпространство $W\subset A^\hdot$ градуированной алгебры называется
{\bf градуированным}, или {\bf однородным},
если $W$ есть прямая сумма компонент вида
$W^i\subset A^i$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $W\subset T(V)$ -- градуированное подпространство, Докажите,
что алгебра, заданная пространством соотношений $W$ --
градуированная. 
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Пусть $V$ векторное пространство, $\langle x_i\rangle $ -- его
базис.  Рассмотрим подпространство $W\subset V\otimes V$,
порожденное векторами вида $x\otimes y - y\otimes x$.  Докажите, что
алгебра полиномов $k[x_1, \dots, x_n]$ порождена образующими $V$ и
соотношениями $W$. Опишите естественную градуировку, унаследованную
с $T(V)$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Полученная алгебра называется {\bf симметрическая алгебра
пространства $V$}, и обозначается через $\Sym^\hdot(V)$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $\xi, \zeta\in T^i V=V^{\otimes_i}$ два элемента 
тензорной алгебры $T(V)$, заданные элементами из $i$-го
тензорного произведения $V$ с собой. .

\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Пусть $V$ -- векторное пространство, а $W\subset V\otimes V$ --
градуированное подпространство, порожденное векторами вида $x\otimes
y + y\otimes x$ и векторами вида $x\otimes x$.  Градуированная
алгебра, заданная пространством образующих $V$ и пространством
соотношений $W$, называется {\bf алгеброй Грассмана}, и обозначается
как $\Lambda^\hdot(V)$.  Пространство $\Lambda^i(V)$ называется {\bf
$i$-й внешней степенью} пространства $V$, а умножение в алгебре
Грассмана -- {\bf внешним умножением}. Внешнее умножение обыкновенно
записывают как $\wedge$.
\end{opredelenie}

\begin{zamechanie}
Про элементы грассмановой алгебры можно думать как про
``антикоммутативные полиномы'' на $V$.
\end{zamechanie}

\begin{zamechanie}
Грассманова алгебра - частный случай 
алгебры Клиффорда, определенной в листке Алгебра 5. 
\end{zamechanie}

\begin{zadacha} 
Докажите, что $\Lambda^1 V$ изоморфно $V$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Пусть $V$ конечномерно.
Докажите, что $\Lambda^2(V)^*$ изоморфно пространству билинейных
кососимметричных форм на $V$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Рассмотрим подалгебру $\Lambda^{2\hdot}(V)\subset \Lambda^\hdot(V)$,
состоящую из линейных комбинаций векторов четной
градуировки. Докажите, что эта подалгебра коммутативна.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} 
Вектор $\Lambda^\hdot(V)$ называется {\bf четным}, если он лежит в
четной компоненте градуировки, и {\bf нечетным}, если он лежит в
нечетной компоненте. Для четного либо нечетного $x$, определяется
число $\tilde x$, которое называется {\bf четностью} $x$. Оно равно
нулю для $x$ с четной градуировкой, и 1 для $x$ с нечетной
градуировкой.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
Докажите, что $xy = (-1)^{\tilde x \tilde y}yx$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Найдите все элементы $\eta \in \Lambda^{2}(V)$ такие, что $\eta^2
=0$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $x_1, x_2, \dots$ -- базис в $V\cong \Lambda^1 V$. Обозначим
через $x_{i_1}\wedge x_{i_2} \wedge x_{i_3} \wedge \cdots$
произведение этих векторов в $\Lambda^\hdot(V)$. Докажите, что
вектора вида $x_{i_1}\wedge x_{i_2} \wedge x_{i_3} \wedge \cdots$,
причем $i_1 < i_2 < i_3 < \dots$, задают базис в $\Lambda^\hdot(V)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $V$ -- $d$-мерное векторное пространство. Найдите $\dim
\Lambda^i(V)$. Докажите, что $\Lambda^d V$ одномерно.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Пространство $\Lambda^d V$ называется {\bf пространством
детерминантных векторов в $V$}.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $V$ -- $d$-мерное векторное пространство, $x_1, x_2, \dots,
x_d$ -- его базис, а $\dett:= x_{1}\wedge x_{2} \wedge x_{3} \dots
\wedge x_d$ -- детерминантный вектор в $\Lambda^d V$. Для данной
подстановки $I = (i_1, i_2, \dots, i_d)$ рассмотрим вектор
$I(\dett):= x_{i_1}\wedge x_{i_2} \wedge x_{i_3} \dots \wedge
x_{i_d}$. Докажите, что $I(\dett)=\pm\dett$.  Докажите, что это
соответствие задает гомоморфизм из группы $S_n$ подстановок в $\{\pm
1\}$. Докажите, что этот гомоморфизм отображает произведение
нечетного числа транспозиций в $-1$, а произведение четного числа
транспозиций -- в 1.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Построенный выше гомоморфизм $S_n\overset{\sigma}{\arrow} \Z/2\Z$
называется {\bf знаком} подстановки. По историческим причинам, тут
принято использовать аддитивную запись. Говорят, что подстановка
{\bf четная}, если ее знак равен 0, и {\bf нечетная}, если ее знак
равен 1.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} 
Пусть подстановка разложена в произведение циклов:
\[ 
I = (i_{1,1}, i_{2,1} \dots i_{k_1, 1})(i_{1,2}, i_{2,2} \dots
i_{k_2, 2}) \dots
\]
длин $k_1$, $k_2$ и так далее. Докажите, что $I$ четная только и
только тогда, когда среди всех $k_i$ число четных четно.
\end{zadacha}

\bigskip

Отныне и до конца этого раздела, мы предполагаем, что базовое поле
$k$ имеет характеристику 0.

\begin{opredelenie} 
Пусть $\eta\in V^{\otimes i}$ -- вектор в $i$-й тензорной степени
пространства $V$. Рассмотрим естественное действие $S_i$ на
$V^{\otimes i}$. Определим $\Alt(\eta)$ как
\[
\Alt(\eta) := \frac 1 {i!}\sum_{I\in S_i} (-1)^{\sigma(I)} I(\eta).
\]
Эта операция называется {\bf альтернированием}. Говорят, что вектор
$\eta\in V^{\otimes i}$ {\bf тотально кососимметричен}, если $\eta =
\Alt(\eta)$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} 
Пусть $\eta = \frac 1 {i!}\sum_{I\in S_i} I(\eta)$. Докажите, что
$I(\eta) = \eta$ для любой подстановки $I\in S_i$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть дан тотально кососимметричный вектор $\eta\in
V^{\otimes i}$. Докажите, что $I(\eta) = (-1)^{\sigma(I)} \eta$ для
любой подстановки $I\in S_i$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Докажите, что $\Alt(\Alt(\eta))=\Alt(\eta)$ для любой $\eta$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Рассмотрим тензор $x_{i_1} x_{i_2} \cdots x_{i_k}\in V^{\otimes_i}$.
Докажите, что
\[ 
\Alt(x_{i_1} x_{i_2} \dots x_{i_k})= 
-\Alt(x_{i_1} x_{i_2}\dots x_{i_l} x_{i_l-1} \dots x_{i_k})
\]
(во втором выражении $x_{i_l}$ переставлен местами с $x_{i_l-1}$).
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Докажите, что отображение $x_{i_1} x_{i_2} \dots x_{i_k}\arrow
\Alt(x_{i_1} x_{i_2} \dots x_{i_k})$ зануляется на всех тензорах
вида $a w b$, где $w$ лежит в пространстве соотношений
$\Lambda^\hdot(V)$. Выведите из этого, что определено естественное
отображение $\Lambda^i(V)\arrow R^i$ из $\Lambda^i(V)$ в
пространство тотально кососимметричных тензоров.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Докажите, что построенное выше естественное отображение
$\Lambda^i(V)\arrow R^i$ взаимно однозначно.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Мы отождествили $\Lambda^i(V)$ и пространство тотально
кососимметричных тензоров. Это задает мультипликативную структуру на
кососимметричных тензорах. Докажите, что она устроена следующим
образом -- берется два тотально кососимметричных тензора $\alpha,
\beta\in T(V)$, перемножаются в $T(V)$, затем к ним применяется
$\Alt$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Пусть даны алгебры $A$ и $B$ над полем $k$.  Определим
мультипликативную структуру на $A\otimes B$ следующим образом:
$a\otimes b \cdot a'\otimes b'= aa' \otimes bb'$.  
Докажите, что такое умножение задает
на $A\otimes B$ структуру алгебры.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Тензорное произведение алгебр $A$ и $B$ -- это пространство
$A\otimes B$ с мультипликативной структурой, определенной выше. Если
алгебры наделены градуировкой, градуировка задается на тензорном
произведении по формуле $(A\otimes B)^n = \oplus_{i+j=n} A^i\otimes B^j$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $V_1$, $V_2$ -- векторные пространства.  Докажите, что
$\Sym^\hdot(V)$ изоморфна (как алгебра) 
$\Sym^\hdot(V_1)\otimes\Sym^\hdot(V_1)$. Докажите, что
$\Lambda^\hdot(V_1\oplus V_2)$ и $\Lambda^\hdot(V_1)\otimes
\Lambda^\hdot(V_2)$ изоморфны, как векторные пространства.
Будет ли этот изоморфизм изоморфизмом алгебр?
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Докажите, что $\dim \Lambda^\hdot(V)= 2^{\dim V}$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
Рассмотрим отображение
\[ 
V\otimes \Lambda^i(V)\overset{\wedge}{\arrow} \Lambda^{i+1}(V),
\]
заданное формулой $x\otimes \eta \mapsto x \wedge\eta$. Зафиксировав
$\eta$, получаем линейный оператор $L_\eta:\; V\arrow
\Lambda^{i+1}(V)$. Докажите, что для $\eta\neq 0$ имеет место
неравенство $\dim \ker L_\eta \leq i$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть в предыдущей задаче имело место равенство $\dim \ker L_\eta =
i$.  Докажите, что в этом случае $\eta$ представляется в виде $\eta
= x_1\wedge x_2\wedge \dots \wedge x_i$ для каких-то векторов $x_1,
\dots, x_i \in V$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $P\in \Sym^i(V^*)$ -- симметрическая $i$-форма на
$V$. Предположим, что $P(v, v, v, \dots) =0$ для всех $v\in V$.
Может ли $P$ быть ненулевой?
\end{zadacha}

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{Определитель}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{zadacha}
Пусть дано одномерное векторное пространство $V$ над $k$. Докажите,
что $\End V$ естественно изоморфно $k$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть заданы линейное пространство $V$ и линейный оператор $A\in
\End(V)$. Докажите, что действие $A$ на $V\cong \Lambda^1 V$
продолжается единственным образом до сохраняющего градуировку
гомоморфизма из $\Lambda^\hdot V$ в себя.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Пусть заданы $d$-мерное векторное пространство $V$ над $k$ и линейный
оператор $A\in \End(V)$. Рассмотрим индуцированный
$A$ эндоморфизм пространства детерминантных векторов
\[
\dett A\in \End(\Lambda^d(V))
\]
Поскольку $\Lambda^d(V)$ одномерно, пространство $\End
(\Lambda^d(V))$ канонически отождествлено с $k$. Это позволяет
рассматривать $\dett A$ как число, т.е. элемент $k$.  Это число
называется {\bf определителем}, или {\bf детерминантом} линейного
оператора $A$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $x_1, \dots, x_d$ -- набор из $d$ векторов в векторном
пространстве $V$. Докажите, что их произведение $x_1 \wedge x_2
\wedge \dots$ в $\Lambda^\hdot(V)$ равно нулю тогда и только тогда,
когда эти векторы линейно зависимы.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Пусть оператор $A\in \End(V)$ имеет ненулевое ядро (такой оператор
называется {\bf вырожденным}). Докажите, что $\dett A=0$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Пусть оператор $A\in \End(V)$ обратим (такой оператор называется
{\bf невырожденным}). Докажите, что $\dett A\neq 0$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!] 
Докажите, что $\dett$ задает гомоморфизм из группы $GL(V)$ обратимых
матриц в $k^*$, мультипликативную группу всех ненулевых элементов
$k$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть даны два векторных пространства $V$ и $V'$, а $A, A'$ -- их
эндоморфизмы. Тогда $A\oplus A'$ задает эндоморфизм $V\oplus
V'$. Докажите, что $\dett( A\oplus A') = \dett A  \dett A'$.
\end{zadacha}

\указание
Воспользуйтесь изоморфизмом 
$\Lambda^*(V\oplus V')\cong \Lambda^*(V)\otimes
\Lambda^*(V')$
\еу

\begin{zadacha}
Пусть дано конечномерное 
векторное пространство $V$, снабженное положительно
определенной билинейной симметричной формой $g$. Напомним, что
эндоморфизм $A\in \End V$ называется {\bf ортогональным}, если он
сохраняет $g$, т.е. для любых $x, y\in V$ имеем $g(Ax, Ay) =
g(x,y)$. Докажите, что ортогональный оператор всегда обратим. Пусть
задан ортогональный оператор в $\R^2$. Какие значения может
принимать $\dett A$?
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $V$ векторное пространство, снабженное
\begin{enumerate}
\item невырожденной билинейной симметричной формой $g$

\item невырожденной билинейной кососимметричной формой $g$
 
\item\doublesttr{} невырожденной билинейной формой (то есть
изоморфизмом $g:\; V\arrow V^*$).
\end{enumerate}
Пусть $A\in \End(V)$ -- линейный оператор, сохраняющий $g$.  В
каждом из этих случаев докажите, что $A$ обратим, и найдите все
значения, которые может принимать $\dett A$.
\end{zadacha}

\end{document}
