
\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr}

\input{listki.tex}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{7}{������� 7: ������� � ������������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

� ���� ������ ��������������, ��� ��� ��������� ������������ ������
��� ����� $k$.

\begin{zadacha}
����� $v_1, \dots, v_n\in V$, $w_1, \dots, w_m\in W$ -- ������ �
��������� ������������� $V$ � $W$.  ���������� ����������� $e_i^j$
�� $V$ � $W$, ����������� $v_i$ � $w_j$, ��� ��������� $v_i$ � ����.
��������, ��� $e^i_j$ ������ ����� � ������������ �������������
$\Hom(V,W)$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
� �������� ���������� ������, ����� �����
����������� $\gamma\in \Hom(V,W)$. �������
$\gamma= \gamma^i_j e^i_j$, $\gamma^i_j \in k$.
�������
$$
\begin{pmatrix}
\gamma^1_1 & \dots & \gamma^1_n\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\gamma^m_1 & \dots & \gamma^m_n
\end{pmatrix}
$$
���������� {\bf �������� ������������ $\gamma$}.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
���� ������������ $a\in \Hom(U,V)$, $b\in \Hom(V,W)$.
� ��������� $(a^i_j)$, $(b^k_l)$. ��������, ���
���������� $a$ � $b$ �������� �������� 
$c^i_k = \sum_{j} a^i_j b^j_k$.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
�������, ��� ������� ������������ ������ ����� ����� ����� � ��� ������
� ���������� �� ������������� ������.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}
���������� ������������ $A$ ���������� ������ $n\times n$,
� ���������� $A\times A \arrow A$, ������� �������� �� ������� 
$(a^i_j)\circ (b^k_l)\arrow \sum_{j} a^i_j b^j_k$.
��������, ��� ��� ������� � ��������. ��������,
��� ��� ������� ��������� ������� ��������
���������� �� $k^n$ � $k^n$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
��� ������� ���������� {\bf �������� ������}, 
������������ $\Mat(n)$. ������� ���� ������� 
(������������ ������� � $a_i^i=1$)
���������� {\bf ��������� ��������},
������������ $\Id$. 
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
����� ��� �������� �������� $f\in\Hom(V,V)$,
$v_1, \dots, v_n$ -- ����� � $V$, � $(f^i_j)$ -- ������� $f$.
����� ����� ������ ����� $v_1', \dots, v_n'$ � $V$.
��������, ��� ���������� ������������ 
�������� $g$, ����������� $v_i$ � $v_i'$,
� $g$ �������. ������� $g$, $g^{-1}$
��������� $(g^i_j)$, $((g^{-1})^i_j)$
��������, ��� $f$ ������������
� ������ $v_1', \dots, v_n'$  ��������
$h^i_j:= (g^i_j)\circ(f^i_j) \circ((g^{-1})^i_j)$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
� ����� ��������, ���������, ��� 
������� $(h^i_j)$, $(f^i_j)$ {\bf ������������}.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
������� ��� �������, ������������� 
$c\Id$, ��� $c\in k$
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
����� $E(i,j)$ - �������
$$
\begin{pmatrix}
0 &\dots&0&\dots &0\\
\vdots &\ddots & \vdots &\ddots & \vdots\\
0 & \dots &1 &\dots &0\\
\vdots &\ddots & \vdots &\ddots & \vdots\\
0 &\dots&0&\dots &0
\end{pmatrix},
$$
� ������� �� $i,j$-� ����� ����� $1$, � �� ���� ���������
������ -- $0$. ��� ����� $i, j$, $i',j'$, ������� 
$E(i,j)$ � $E(i',j')$ ������������?
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!] 
����� $A$ -- �������, ������������� $E(i,j)$.
��������, ��� ��� ������ $A$ ���������������.
��������, ��� ��� ������� $A$ ���������������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
��������, ��� ���� ��� ������ � �������
$A$ ���������������, �� $A$ ������������ $E(i,j)$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
����� $V$ -- ��������� ������������,
$A \in \End(V)$ -- ��� ����������� (�.�. ����������� 
�� $V$ � ����), � $V^*$ -- ������������ ������������.
���������� �������� $A^*:\; V^*\arrow V^*$,
������������ �������� ���������� $\gamma\in V^*$
� ���������� $A^*(\gamma)(v) = \gamma(A(v))$
�������� $A^*$ ����������
{\bf ����������� ����������} ��� $A$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}\label{lambda.dual}
����� $V$ -- ������������� 
��������� ������������, $V^*$ ������������ ������������.
��������� ������������ ���������� ����� 
$\Lambda^k(V)^*$ � $\Lambda^k(V^*)$.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
``������������'' ������: �� ��������� ���������������
������ (������ ������, ��������). � �������� 
��������, ������������ ���������� $\Lambda^k(V)^*\cong\Lambda^k(V^*)$
�������������� � ����������� ��������� $GL(V)$ �� 
$\Lambda^k(V)^*$, $\Lambda^k(V^*)$. ������������
$V$ � $V^*$ ���������, �� ����� ��������,
��� �� ���������� $GL(V)$-������������� �����������
$V \cong V^*$. ����� ������, ��������� ������������
���������� $V \cong V^*$ {\it ������}. 
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}[!]
����� $V$ -- ��������� ������������,
$A \in \End(V)$ -- ��� �����������, � $A^*$
-- ����������� �������� � $A$. ��������, ���
$\det A^* = \det A$
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
�������������� ���������� �������.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie}
����� ���� ���������� �������
$(A^i_j)$, � $(B^i_j)$ �������� �� $(A^i_j)$
���������� ������������ ���������: $B^i_j =A^j_i$.
����� $(B^i_j)$ ���������� {\bf ����������������� ��������}
��� $(A^i_j)$, � ������������ ����� $(A^i_j)^\bot$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
����� $v_1, \dots, v_n$, -- ����� � $V$,
� $v^1,\dots, v^n$ -- ������������ ����� � $V^*$
($v^i$ ���������� $v_i$ � 1, ��� ��������� $v_j$ � ����).
���������� �������� $A \in \End(V)$ � ��� �������
$(A^i_j)$. ��������, ��� $A^*$ �������� ��������
$(A^i_j)^\bot$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
����� �� ��������� ������������ $V$ ������
������������� ���������� �������������� ����� $g$.
�������� $A\in \End(V)$ ����������
{\bf ������������� ������������ $g$} (��� ������
�������������) ����� � ������ �����,
����� $g(Av, Av) = g(v,v)$, ��� ������
$v\in V$. 
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
��������, ��� ������������� �������� ������ �������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
����� $A\in \End(V)$ -- �������� ��������
�� ��������� ������������, ���������� 
������������� ���������� �������������� ������ $g$.
��������� $g$, ����������� $V$ � $V^*$.
����� ������������ �������� $A^*$ �����
������������� ��� ����������� $V$.
��������, ��� �������� �������� $A$
����������� ����� � ������ �����,
����� $A^{-1} = A^*$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]\label{det.orth}
��������, ��� ������������ �������������� ���������
����� $\pm 1$.
\end{zadacha}


\begin{opredelenie}
������������� ���������� ������������������ �����
(��. ������ ������� 3) ���������� {\bf ���������������}.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[*]
����� $V$ -- ��������� ������������ � ��������
�� ��� ��������������� ������ $\omega$.
�������� $A\in \End(V)$ ���������� 
{\bf ���������������}, ���� �� ���������
$\omega$, �.�., ���� 
$\omega(Av, Av) = \omega(v,v)$. 
��������, ��� ��������������� ��������
������ ����� ������������ 1.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
����� $V$ ��������� ���������
������������ ��� $\R$, � $A$ -- �������
$$
\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}.
$$
���������� ������� 
$$
A'= \begin{pmatrix}
d & b\\
-c & a
\end{pmatrix}.
$$
��������, ��� $A A'= \Delta \Id$,
��� $\Delta\in k$ -- �����, ������
$\Delta=ad-bc$. ��������, ��� $A$
�������� ����� � ������ �����, ����� $\Delta\neq 0$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
� �������� ���������� ������,
��������, ��� $\Delta$ ����� ������������ $A$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
����� $V$ -- ��������� ���������
������������ ��� $\R$ � ������������ ������������ 
���������� �������������� ������, 
$A$ -- ������������� ��������, � ����� ��� ������� ������������
� ������������������� ������ ���
$$
\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}.
$$
��  ������ \ref{det.orth} �������, ��� $\det A = \pm 1$.
\begin{enumerate}
\item ����� $\det A=1$.
��������, ��� $b=-c$, $a =d$, � $a^2+b^2=1$.

\item ����� $\det A=-1$.  
��������, ��� $b=c$, $a =-d$, � $a^2+b^2=1$.
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] ��������� ���������� ������, ������� 
������ �������� ���������, ����������� ������
���������, � �������� ������ 2 �� 2. 
��������, ��� ��� ����������� ������
(��. ������ ������� 1).
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
����� ���� ������� $(A^i_j)$.
�� �������, ��� ������� $(B^i_j)$ 
�������� �� $(A^i_j)$ {\bf ��������������� ������ �� �������},
���� $(B^i_j) = (A^i_j)\circ E$, ���
$E$ ��� ������� ������ ����:
\begin{equation}\label{gauss.1}
\begin{pmatrix}
1 &\hdotsfor{8}\\
\hdotsfor{1} &1 &\hdotsfor{7}\\
\hdotsfor{9}\\
\hdotsfor{3} &0 &\dots &1 &\hdotsfor{3}\\
\vdots &\vdots &\vdots 
&\vdots &\ddots &\vdots 
&\vdots &\vdots &\vdots \\
\hdotsfor{3} &1 &\dots &0 &\hdotsfor{3}\\
\hdotsfor{9}\\
\hdotsfor{7} &1 &\hdotsfor{1}\\
\hdotsfor{8} &1
\end{pmatrix},
\end{equation}
���� ������:
\begin{equation}\label{gauss.2}
\begin{pmatrix}
1 &\hdotsfor{8}\\
\hdotsfor{1} &1 &\hdotsfor{7}\\
\hdotsfor{9}\\
\hdotsfor{3} &1 &\dots &\lambda &\hdotsfor{3}\\
\vdots &\vdots &\vdots 
&\vdots &\ddots &\vdots 
&\vdots &\vdots &\vdots \\
\hdotsfor{3} &0 &\dots &1 &\hdotsfor{3}\\
\hdotsfor{9}\\
\hdotsfor{7} &1 &\hdotsfor{1}\\
\hdotsfor{8} &1
\end{pmatrix}
\end{equation}
(������� ������������ ����). 
���� $(B^i_j) = E \circ (A^i_j)$, ��� $E$ ����� ��, ��� ����, ��
�������, ��� $(B^i_j)$ 
�������� �� $(A^i_j)$ {\bf ��������������� ������ �� ��������}.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} ��������, ��� �������������� ������ �� �������
����������� ���������� ���������� �� ��������:
$(B^i_j)$ ���������� �� $(A^i_j)$ ������������� �����, ����
����������� � $i$-� ������ $j$-� ������, �������� ���������� �� $\lambda$.
������ ���������� ����������� �������������� ������ �� ��������?
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
��������, ��� ������� ���� \eqref{gauss.1}
����� ������������ -1, � ������� ����
\eqref{gauss.2} ����� ������������ 1.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
��������, ��� �������������� ������ ���� \eqref{gauss.2}
�� ������ ������������ �������, � ��������������
���� \eqref{gauss.1} �������� ��� �� -1.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
������� $(A^i_j)$ ���������� {\bf �����������������},
���� $A^i_j=0$ ��� $i<j$:
$$
\begin{pmatrix}
*&*&* &\hdotsfor{1} &*&*&*\\
0&*&* &\hdotsfor{1} &*&*&*\\
0&0&* &\hdotsfor{1} &*&*&*\\
\vdots&\vdots&\vdots&
\ddots
&\vdots&\vdots&\vdots\\
0&0&0 &\hdotsfor{1} &*&*&*\\
0&0&0 &\hdotsfor{1} &0&*&*\\
0&0&0 &\hdotsfor{1} &0&0&*
\end{pmatrix}.
$$
������� ����������
{\bf ������������}, ���� $A^i_j=0$ ��� $i \neq j$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
����� $(A^i_j)$ -- ����������������� ������� $n \times n$.
��������, ��� $\det (A^i_j)$ �����
������������ ���� ������������
�������������:
\[ \det (A^i_j) = \prod_i A^i_i.
\]
\end{zadacha}

\begin{zadacha}\label{gss}
\begin{enumerate}
\item ��������, ��� ���������������� ������ �� �������
����� ������� ����� �������� � ������������������ ����.
\item ��������, ��� ���������������� ������ �� ������� � �� ��������
����� ������� ����� �������� � ������������� ����.
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
��������� �������������� ������ �� ������
������������ (� ��������� �� $\pm 1$), ������������
���������� ������� ����� ���������, ������� �� � ������������������
���� � ���������� ������������ ������������.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}[*]
����� $A$ -- ������ � ���������� ������� (��. ������ ������� 2),
� ����� � ������ �������� $a \in A$ ���������� ����������
�� ������� �����������. ������ ������ \ref{gss} ��� ������ � 
���������� �� $A$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
������� ����������� ������� $(a^i_j)$ ������� $1 \times 2$,
����� �� �������� ������� ������� $1 \times n$ (� ��� ����� $n \times 1$). 
�������� � ���� ��, ��� ����� ���������� ������������ ���������� ���������
������� ������� ����� ����� ���$(a^1_1,\dots,a^1_n)$.
��� ������� ������������� ������� $m \times n$,
����������� ������� ������ � ������� ���, ����� $a^1_1$ ����� ���������. 
� ������ (�) �����, �������� 
�������������� �� �������, ����� �� ��������, ����� ����� �� �������, 
� ��� �����, ��������� ����, ��� $a^1_1 \neq 0$,
� � �� �� ����� ��� ��������� �������� ������� ������� � ������ ������
����� ����.
\end{ukazanie}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{����������� ������� � ������ ������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{zadacha}[!]
����� $v_1, \dots, v_n$ -- ����� ���������� ������������
$V$, � $v_{i_1} \wedge v_{i_2} \wedge \dots \wedge v_{i_k}$,
$i_1< i_2< \dots < i_k$ -- ��������������� ����� � $\Lambda^k(V)$.
���������� ������� $A\in \End V$, � ����� 
$A(i_1, i_2, \dots, i_k;i_1', i_2', \dots i_k')$ --
������������ ������� ������������, ��������������� $A$
�� $\Lambda^k(V)$, � ������������� ������. 
��������, ��� $A(i_1, i_2, \dots, i_k;i_1', i_2', \dots, i_k')$
��� ������������ �������, ���������� �� $A$ ������������
���� �����, ����� $i_1$-�, $i_2$-�, $\ldots, i_k$-�,
� ���� ��������, ����� $i_1'$-��, $i_2'$-��, $\ldots, i_k'$-��.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
����� ������������ ���������� {\bf �������} ������� $A$.
\end{zamechanie}

\begin{ukazanie}
���� ���������� $A$ � ����������, �������
��������� $v_{i_l}$ � $v_{i'_l}$,
������� ������ � ������ $i_l=i'_l$.
��������, ��� ������������
$A(i_1, i_2, \dots, i_k;i_1', i_2', \dots, i_k')$
�� ������� �� �����, ����� $i_1$-�, $i_2$-�, $\ldots, i_k$-�,
� ��������, ����� $i_1'$-��, $i_2'$-��, $\ldots, i_k'$-��,
� �������� $A^i_j=0$, ���� $i$ � $j$
�� ����������� $\{ i_1, i_2, \dots, i_k\}$.
��� ������ ������ � ������, ����� 
$V= V_1 \oplus V_2$, � $A$ ����� ���
$B\oplus 0_{V_2}$, ��� $B\in \End(V_1)$, �
$0_{V_2}$ ��������� ����� �� $V_2$.
� ���� �������� ����� ��������� �������
$\Lambda^*(V) = \Lambda^*(V_1)\otimes \Lambda^*(V_2)$,
� �������� �������.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie}
����� $A\in \End(V)$ -- �������� ��������.
���������� �����������, ������� ������������
$A$ �� $\Lambda^*(V)$. ���������� ���oe �����oe 
����� $N$, ��� �������� ���� ����������� �� ����� ���� ��
$\Lambda^N(V)$. ��� �����
$N$ ���������� {\bf ������ ��������� ��������� $A$}
(������������ $\rk A$). ���� $A$ ����������
�������� $(A^i_j)$, �� $\rk A$ ���������� 
������ ���� �������.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
����� $A$ ��������� ����� �� $\Lambda^k(V)$.
��������, ��� $A$ ��������� ����� �� $\Lambda^l(V)$,
��� ������ $l>k$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
��������, ��� ���� ������� -- ��� 
������ �� ������ �������� ���������� ������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
��������, ��� ���� ��������� $A$ ����� ������ �������� ����� $N$,
��� �������� �������� ����� ������� $v_1, \dots, v_N$,
��� $A(v_1), \dots, A(v_N)$ ������� ����������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
��������, ��� ���� ��������� $A$
����� ����������� ��� ������. 
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
����� ������ ������� ����� 1. ��������, ��� 
��� �� ������ ���������������. ��������, ��� 
��� �� ������� ���������������. 
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
��������, ��� $\rk A = \rk A^*$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
�������������� ������� \ref{lambda.dual}.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie}
���������� �����
$\mu:\; V_1 \otimes V_2 \arrow k$ ����������
{\bf ������������� �����������}, ���� ��� �������
���������� $v_1\in V_1$ �������� ����� ������ $v_1'\in V_2$, ���
$\mu(v_1, v_1')\neq 0$, � ��� ������� ����������
$v_2\in V_2$ �������� ����� ������ $v_2'\in V_1$, ���
$\mu(v_2, v_2')\neq 0$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} 
����� $V_1$, $V_2$ ������������.
��������, ��� ������������� ����������
$\mu:\; V_1 \otimes V_2 \arrow k$ ������ ����������
����� $V_1$ � $V_2^*$, � ����� ���������� ����� ����� ��������������
�������� ����� �������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
����� $V$ -- $n$-������ ��������� ������������.
��������� ������������ ���������� 
\[
\Lambda^k(V)^*\cong\Lambda^{n-k}(V)\otimes \det V^*
\]
(����� $\det V$ ������������ ���������� ������������
$\Lambda^{n}(V)$).
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
�������������� ���������� �������.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}
����� $V$ -- $n$-������ ��������� ������������
� ������� $v_1, v_2, \dots, v_n$, � ���� $A\in \End V$.
���������� ����� $w_1, w_2, \dots, w_n$ 
� $\Lambda^{n-1}(V)$, ���
$w_k= v_1\wedge v_2 \wedge \dots v_{k-1}\wedge v_{k+1}
\wedge \dots$
(������������� ��� $v_i$, ����� ������). 
������� $A$ �������� $(A^i_j)$, � �����
$\check A^i_j$ -- �����, ���������� ��
$A$ ������������ $i$-� ������ � $j$-�� �������.
��������, ��� $A$ ��������� �� $\Lambda^{n-1}(V)$
�������� $(\check A^i_j)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
� �������� ���������� ������,
���������� ������������� ���������� ����������
\[ 
V \otimes \Lambda^{n-1}(V) \arrow \det V,
\]
�������� �������� $v\otimes w \arrow v\wedge w$.
������� ���������� $k \cong \det V$
����� �������, ��� $v_1\wedge v_2 \wedge \dots \wedge v_n$
��������� � $1$. ��� ������ �������������
���������� ����� $V$ � $\Lambda^{n-1}(V)$. ��������, ���
����� � $\Lambda^{n-1}(V)$, ������������ � $v_1, v_2, \dots, v_n$, �����
$w_1, -w_2, w_3, -w_4, \dots $.
��������, ��� � ���� ������ $A$
��������� �� $\Lambda^{n-1}(V)$
�������� $((-1)^{i+j}\check A^i_j)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
����� $\mu:\; V \otimes V'\arrow k$ --
������������� ���������� ����������, � 
$A\in \End V$ � $B\in \End V'$ -- �����
������������, ��� $\mu(A v, B v') = \mu(v,  v')$
��� ����� $v, v'\in V, V'$.
������� ������������ ������ �
$V$, $V'$, � ����� $(\alpha^i_j)$ �
$(\beta^i_j)$ -- �� �������. ��������, ���
$(\alpha^i_j)\circ (\beta^i_j)^\bot =\Id$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
����� $A\in \End V$, ��� $V$ -- $n$-������ ��������� ������������
� ������� $v_1, v_2, \dots, v_n$, � $(A^i_j)$ -- ������� ���������
$A$. ��������, ��� $A$ ������� ����� � ������ 
�����, ����� $\det A\neq 0$. 
��������, ��� 
\[
A^{-1} = \frac 1{\det A} ((-1)^{i+j}\check A^i_j)^\bot.
\]
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
��������, ��� ��� ������������� ����������
\[ 
V \otimes \Lambda^{n-1}(V) \stackrel \mu \arrow \det V,
\]
�� ����� $\mu(A(v), A(w)) = \det A \mu(v, w)$,
��� $A(w)$ ���������� ������������ ��������
$A$ �� $\Lambda^{n-1}(V)$. ����� ��������������
���������� ������� ��� $(A^i_j)=(\alpha^i_j)$,
$\frac 1{\det A} ((-1)^i\check A^i_j) = (\beta^i_j)^\bot$.
\end{ukazanie}

\begin{zamechanie}
�� �������� ������ ��������� ������� ����������
�������� ������� ����� ������. ��������������
����� ���� ������� ����� ��������� ��� -- ������
������� ���� (�� �����������) ��������� ������������
�������� ���� ������� �� $\Lambda^{n-1}(V)$, � 
������������ ���������� ����� $V$ � $\Lambda^{n-1}(V)$
��� �������� $A$ ���������� �� $\det A$, ���
��������� ��������� $A^{-1}$ ����� 
$\det A$ � $\check A$.
\end{zamechanie}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{���������� ������������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{zadacha}[!]
����� $(A^i_j)$ -- ������� ��������� ��������� $A$.
��������, ��� $\det A$ �����
\[
\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{\sf sgn}(\sigma) A^1_{\sigma_1} 
A^2_{\sigma_2} \dots A^n_{\sigma_n}
\]
��� $(\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_n)\in S_n$ --
������������, ������������ ���������� �� ������
���� ������������, � $\operatorname{\sf sgn}$ -- ���� ������������ $\sigma$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
�������������� ����� ������ ������� 
$v_1\wedge v_2 \wedge \dots \wedge v_n$,
������� ������� � ������ ������� 6 ����� 
������������ �� ������ $S_n$.
\end{ukazanie}

\begin{zamechanie} 
����������� ����������� 
���������� ����������� ����
�������.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}
����� $(A^i_j)$ ������� ��������� ��������� $A$.
��������, ��� $\det A$ ����� ���� �������� ���
\[
A^1_1 \check A^1_1 - A^1_2\check A^1_2 + A^1_3\check A^1_3 \dots
\]
��� $\check A^i_j$ -- ������, ���������� ������������
$i$-� ������ � $j$-�� �������.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
��� ��������� ���������� {\bf ����������� ������������ �� ��������}.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}[*]
(������������ �����������)
���������� �������
$$
\begin{pmatrix}
1 &1 &1 &\dots &1\\
t_1 &t_2 &t_3 &\dots &t_n\\
t_1^2 &t_2^2 &t_3^2 &\dots &t_n^2\\
\hdotsfor{5}\\
t_1^{n-1} &t_2^{n-1} &t_3^{n-1} &\dots &t_n^{n-1}
\end{pmatrix},
$$
$n>1$. ��������, ��� �� ������������ �����
$\prod_{i<j} (t_i-t_j)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]\label{_P_prod_Q_i_kornej_Zadacha_}
���������� �������
$$
\begin{pmatrix}
t &x_1 &x_2 &x_3 &\dots &x_n\\
t^2 &x_1^2 &x_2^2 &x_3^2 &\dots &x_n^2\\
t^4 &x_1^4 &x_2^4 &x_3^4 &\dots &x_n^4\\
\hdotsfor{6}\\
t^{2^{n}} &x_1^{2^{n}} &x_2^{2^{n}} &x_3^{2^{n}} &\dots &x_n^{2^{n}}
\end{pmatrix},
$$
� ��������� �� ����������� ����� $P_n(t, x_1, ... x_n)$. ����� �������� 
���� ����� $\Z/2\Z$. ��������, ��� $P_n(t, x_1, \dots, x_n)$
���������� � ����, ���� ����� � �������� $t=\sum \alpha_i x_i$
������������ �������� ���������� $x_i$. �������� �� ������� ����, ���
\[ 
 P_n(t, x_1, \dots, x_n) = Q(x_1, \dots, x_n)\prod (t-\sum
 \alpha_i x_i),
\]
��� $\alpha_i\in \Z/2\Z$, a 
$Q \in \Z/2\Z[x_1, \dots, x_n]$ ���� ����� �������.
\end{zadacha}


\begin{ukazanie}
��������� $P_n$ � ������� �� $t-\sum \alpha_i x_i$. ����
��������� �� ����, �� � ��� ����������� � $P(t)$ ��������
$t=\sum \alpha_i x_i$ ���� ����� �� ����.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
��������, ��� � �������� ���������� ������ $Q = P_{n-1}(x_n)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
�������� �� ���������� ������, ���
$Q(x_1, \dots, x_n)\neq 0$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
(������� �������)
���������� ������� 
$$
F_n(t)=\prod (t-\sum
 \alpha_i x_i)\in \Z/2\Z[x_1, \dots, x_n].
$$ 
��������, ��� 
\[ 
F_n(t) = t^{2^n} + \sum^{n-1}_{i=0} c_{n,i} t^{2^i},
\]
��� $c_{n,i}\in \Z/2\Z[x_1, \dots, x_n]$ -- ��������
�� $x_1, \dots, x_n$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
�������������� ���������� ������� � ������� \ref{_P_prod_Q_i_kornej_Zadacha_}.
\end{ukazanie}

\begin{zamechanie}
�������� $c_{n,i}\in \Z/2\Z[x_1, \dots, x_n]$
���������� {\bf ������������ �������}.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}[*]
���������� ������������ $Q_r$ (������, �� ������� �������,
$c_{n,i}$) �������� $F_n(t)$ ��� �������� ��������������
������� $S^*(V)$, ��� $V$ - ��������� ������������
��� ����� $\Z/2\Z$ 
� ������� $x_1, \dots, x_n$. ���������� ��������
������ $GL(V)$ ��������� �������� ����������
�� $V$, � ��������� ��� ������������ �������
(�� �������������������) �� �������������� �������.
��������, ��� $Q_r$ �����������
������������ $GL(V)$:
\[
Q_r(x_1, x_2, \dots, x_n) = Q_r(h(x_1), h(x_2), \dots, h(x_n))
\]
��� $h\in GL(V)$ -- ����� ��������� �����������.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
���������� � ������
��������� $S^*(V)$ ��������� $GL(V)$-������������
���������. ������ (1911) �������, ��� ��� ������
���� ������ ��������� �� ���������� $c_{n,i}$.
����������� ��. � ������
\begin{quote}
A PRIMER ON THE DICKSON INVARIANTS, 
Contemporary Mathematics 19 (1983), 421-434.
{\tt http://www.math.purdue.edu/$\sim{}$wilker/papers/dickson.pdf}
\end{quote}
\end{zamechanie}

\end{document}
