\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr}

\input{listki.tex}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Для зачета по каждому листку достаточно сдать все задачи со
звездочками, либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя
звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же
листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{8}{Алгебра 8: Линейная алгебра: характеристический полином}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{Характеристический полином}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie}
Пусть $A\in \End V$ -- линейный оператор
на векторном пространстве $V$. 
Пусть задан такой вектор $v\in V$, что $A(v)= \lambda v$.
Тогда $v$ называется {\bf собственным вектором},
а $\lambda$ -- {\bf собственным значением} оператора
$A$. 
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
Пусть $V$ -- двумерное векторное пространство над $\R$,
снабженное невырожденной билинейной симметрической
формой $g$, а $A\in \End V$ -- ортогональный автоморфизм, 
который не равен $\pm Id$. Докажите, что если 
$g$ положительно или отрицательно определена
(такие нормы называются {\bf знакоопределенными}),
то $A$ не имеет собственных векторов. Докажите,
что если $g$ не знакоопределена, то у $A$ есть два 
линейно независимых собственных вектора. 
Какие собственные значения могут быть у 
$A$ в таком случае?
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Рассмотрим множество дробей вида $\frac{P(t)}{Q(t)}$, где
$P$, $Q$ -- многочлены над $k$, и $Q\neq 0$. 
Рассмотрим отношение эквивалентности, порожденное
$\frac{P(t)}{Q(t)}\sim\frac{P'(t)}{Q'(t)}$, если
\[ 
P(t) = Z(t) P'(t), \qquad\qquad Q(t) = Z(t) Q'(t)
\]
Определим сложение и умножение на классах эквивалентности
обычным способом:
\[ 
 \frac{P(t)}{Q(t)}+\frac{P'(t)}{Q'(t)}= 
\frac{P(t)Q'(t) + P'(t) Q(t)}{Q(t)Q'(t)}, \qquad\qquad
\frac{P(t)}{Q(t)}\frac{P'(t)}{Q'(t)} = \frac{P(t) P'(t))}{Q(t)Q'(t)}
\]
Докажите, что получится поле.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Это поле называется {\bf полем рациональных функций от одного 
переменного}, или просто {\bf полем рациональных функций},
и обозначается $k(t)$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
Докажите, что это поле не алгебраично над $k$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Пусть дано $n$-мерное векторное пространство $V$ над
$k$, а $K\supset k$ -- другое поле. Рассмотрим
тензорное произведение $K\otimes_k V$, снабженное
естественным действием мультипликативной группы $K^*$.
Докажите, что это будет линейное пространство.
Докажите, что это линейное пространство конечномерно
над $K$, если $V$ конечномерно над $k$. Найдите
размерность $K\otimes_k V$ над $K$, если
известна размерность $V$ над $k$.
\end{zadacha}

Пусть даны векторное пространство
$V$ над $k$ и линейный оператор $A\in \End V$ в нем.
Тензорно домножая $V$ над $k(t)$ над $k$, мы получим
векторное пространство $V\otimes_k k(t)$. 
Действие $A$ естественно продолжается
до линейного оператора на $V\otimes k(t)$.
Злоупотребляя обозначениями, мы будем обозначать
соответствующий линейный оператор
$A\in \End_{k(t)} (V\otimes_k k(t))$
через $A$.

\begin{zadacha}[!]
Пусть $A\in \End V$ -- линейный оператор
на $n$-мерном 
векторном пространстве $V$ над $k$, а $\det(t\cdot Id -A)\in k(t)$ --
определитель оператора $t\cdot Id -A$, действующего
на $V\otimes_k k(t)$. Докажите, что это полином над $k$
степени $n$, со старшим коэффициентом 1.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Этот полином называется {\bf характеристическим
полиномом оператора $A$} и обозначается $\chpoly_A(t)$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $\lambda$ -- корень характеристического
полинома $A$. Докажите, что он является собственным
значением $A$. Докажите, что все собственные значения
$A$ являются корнями $\chpoly_A(t)$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Оператор $\lambda Id - A$ имеет ядро
тогда и только тогда, когда $\lambda$ - корень
$\chpoly_A(t)$.
\end{ukazanie}


\begin{zadacha}
Пусть $v_1,\dots,v_n$ -- собственные
векторы с попарно различными собственными значениями.
Докажите, что они линейно независимы.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Пусть $A\in \End V$ -- линейный оператор на $n$-мерном 
векторном пространстве. Предположим,
что у характеристического полинома $n$ корней, причем все
разные. Докажите, что $A$ {\bf диагонализуем}, иначе говоря,
представляется диагональной матрицей в некотором базисе.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $V$ -- конечномерное векторное пространство над $\C$.
Рассмотрим множество всех линейных операторов над $V$ как
векторное пространство с естественной топологией
на нем. Докажите, что диагонализуемые операторы 
плотны в $\End V$. Докажите, что недиагонализуемые
операторы нигде не плотны. 
\end{zadacha}


\begin{zadacha}[!]\label{_ch_poly_inva_Zadacha_}
Докажите, что $\chpoly_A(t) = \chpoly_{B A B^{-1}}(t)$
для любого обратимого линейного оператора $B$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Пусть $A\in \End V$ -- линейный оператор на $n$-мерном
векторном пространстве, а
$\chpoly_A(t) = t^n+ a_{n-1} t^{n-1} + a_{n-2} t^{n-2} + \dots$ --
его характеристический полином. Коэффициент $a_{n-1}$
называется {\bf следом} $A$ и обозначается $\tr A$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $A$ задан матрицей $A^{i}_j$. Докажите, что 
$\tr A= \sum A^i_i$ (сумме всех чисел на диагонали матрицы).
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Докажите, что $\tr AB = \tr BA$, для любых
линейных операторов $A$, $B$.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
Если $B$ обратим, 
это следует из \ref{_ch_poly_inva_Zadacha_}.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}
Пусть $V$ - конечномерное линейное пространство. Рассмотрим гомоморфизм
$V\otimes V^* \arrow \Hom(V,V)$, переводящий $v\otimes \lambda\in V\otimes V^*$
в $v'\arrow \lambda(v')\otimes v\in \Hom(V,V)$.
Докажите, что это изоморфизм.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $A\in \End V$ -- линейный оператор на конечномерном
векторном пространстве, а $A\otimes A^*$ -- индуцированный
$A$ оператор на $V \otimes V^*$. Рассмотрим тензор
$\Id\in V \otimes V^*$, соответствующий тождественному
оператору при изоморфизме $\Hom(V,V)\cong V\otimes V^*$, 
и естественное спаривание $V \otimes V^*\stackrel \mu \arrow k$. 
Докажите, что $\tr A = \mu(A\otimes A^*(\Id))$.
\end{zadacha}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{Верхнетреугольные матрицы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{zadacha}
Пусть $V' \subset V$ -- $k$-мерное 
подпространство в векторном пространстве,
а $A\in \End V$ -- оператор, сохраняющий $V'$ (то есть переводящий
$V'$ в себя). Выберем базис $e_1, \dots, e_n$ в $V$
таким образом, что $e_1, \dots, e_k\in V'$.
Докажите, что $A$ в этом базисе имеет вид 
\[
\begin{pmatrix}
*&*&* &\hdotsfor{1} &*&*&*\\
\vdots&\vdots&\vdots&
\ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\
*&*&* &\hdotsfor{1} &*&*&*\\
0&0&0 &\hdotsfor{1} &*&*&*\\
\vdots&\vdots&\vdots&
\ddots &\vdots&\vdots&\vdots\\
0&0&0 &\hdotsfor{1} &*&*&*
\end{pmatrix}.
\]
(нижний левый прямоугольник $k\times (n-k)$ заполнен
нулями, остальные коэффициенты произвольные).
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Пусть дано $n$-мерное векторное пространство $V$.
Последовательность подпространств
$0=V_0 \subset V_1 \subset V_2 \subset \dots \subset V_n = V$
называется {\bf флагом} (или {\bf полным флагом}),
если $\dim V_i = i$. Базис $e_1, \dots, e_n$ называется
{\bf согласованным с флагом}, если $e_i \in V_i$.
Мы говорим, что линейный оператор $A\in \End V$
{\bf сохраняет флаг $\{ V_i\}$}, если $A(V_i) \subset V_i$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $0=V_0 \subset V_1 \subset V_2 \subset \dots \subset V_n = V$ --
флаг в $V$, $e_1, \dots, e_n$ -- согласованный с ним базис,
а $A\in \End V$ -- линейный оператор. Докажите, что
$A$ сохраняет некоторый флаг $\{ V_i\}$ тогда и только
тогда, когда $A$ представляется верхнетреугольной
матрицей в базисе $e_1, \dots, e_n$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $V$ -- векторное пространство над
алгебраически замкнутым полем. Докажите, что
$A\in \End V$ сохраняет флаг 
$0=V_0 \subset V_1 \subset V_2 \subset \dots \subset V_n = V$
(а следовательно, представляется верхнетреугольной
матрицей в каком-то базисе).
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Возьмите в качестве $V_1$ любой собственный вектор,
а затем примените индукцию. 
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
Пусть задан обратимый
линейный оператор $A\in \End V$ на $n$-мерном пространстве, 
у которого есть $n$ попарно различных собственных значений.
Рассмотрим подалгебру $R_A$ в $\End V$, порожденную $A$.
Докажите, что $\dim R_A=n$. 
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь определителем Вандермонда.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
Пусть задано два коммутирующих линейных
оператора. Докажите, что они представляются верхнетреугольными
матрицами в одном и том же базисе $e_1, \dots, e_n$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть задано $l$ штук попарно коммутирующих линейных операторов.
Докажите, что они представляются верхнетреугольными
матрицами в одном и том же базисе $e_1, \dots, e_n$.
\end{zadacha}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{Симметрические и кососимметрические матрицы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie}
Матрица называется {\bf симметричной},
если она равна своей транспонированной: $A = A^\bot$.
Матрица называется {\bf кососимметричной}, или
{\bf антисимметричной}, если $A = - A^\bot$.
\end{opredelenie}

\begin{opredelenie}
Пусть $V$ -- векторное пространство, снабженное невырожденной 
билинейной симметрической формой $g$, а $A\in \End V$ --
линейный оператор. Оператор $A$ называется {\bf симметрическим},
если для любых $x, y\in V$ имеем
$g(Ax, y) = g(x, Ay)$, и {\bf кососимметрическим},
если имеем $g(Ax, y) = -g(x, Ay)$.
\end{opredelenie}

\begin{opredelenie}
Пусть $V$ -- векторное пространство, снабженное невырожденной 
билинейной симметрической формой $g$. 
Напомним, что базис $e_1, \dots, e_n\in V$ называется
{\bf ортонормированным}, если разные $e_i$ попарно ортогональны,
а $g(e_i,e_i)=1$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
Пусть $V$ -- векторное пространство, снабженное
билинейной симметрической невырожденной формой $g$, а $e_1, \dots, e_n$ --
ортонормированный базис. Рассмотрим линейный оператор
$A\in \End V$. Докажите, что $A$ симметрический тогда
и только тогда, когда его матрица симметричная, 
и кососимметрический тогда
и только тогда, когда его матрица анти-симметричная.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}\label{_izo_biline_Zadacha_}
Пусть $V$ -- конечномерное 
векторное пространство, снабженное
билинейной невырожденной формой $g$. Докажите, 
что любая билинейная форма получается как 
$g(Ax, y)$ для какого-то линейного оператора $A$,
и такой оператор единственный.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
В условиях предыдущей задачи, положим, что 
$g$ симметрическая. Очевидно, форма $g(Ax, y)$
симметрическая тогда и только тогда, когда
$A$ симметрический, и кососимметрическая, 
тогда и только тогда, когда
$A$ кососимметрический.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}
Пусть $V$ -- конечномерное 
векторное пространство. Пространство билинейных 
форм естественно изоморфно $V^*\otimes V^*$,
а пространство $\End V$ естественно изоморфно
$V\otimes V^*$. Форма $g$ устанавливает
изоморфизм между $V$ и $V^*$. Это дает
изоморфизм между $V^*\otimes V^*$  и $V\otimes V^*$,
т.е. между билинейными формами и линейными 
операторами. Докажите, что этот изоморфизм совпадает
с построенным в задаче \ref{_izo_biline_Zadacha_}.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]\label{_sokhra_podpro_Zadacha_}
Пусть $V$ - конечномерное
векторное пространство, снабженное невырожденной
билинейной симметрической формой $g$,
а $A$ -- симметрический оператор.
Предположим, что $A$ сохраняет
подпространство $V'\subset V$.
Докажите, что $A$ сохраняет
ортогональное дополнение к $V'$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Пусть $V$ -- векторное пространство над $\R$, а
$V\otimes \C$ его тензорное произведение с $\C$.
Поскольку $\C \cong \R \oplus \1\R$,
имеет место изоморфизм $V\otimes \C\cong V\oplus \1 V$.
Это значит, что любого вектора $v\in V\otimes \C$ можно
рассмотреть {\bf вещественную} и {\bf мнимую} часть
$\Re v$, $\Im v$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}\label{_okompleksi_Zadacha_}
Пусть $V$ -- векторное пространство над $\R$,
снабженное билинейной симметрической формой $g$.
Рассмотрим комплексное векторное пространство 
$V\otimes \C$, и продолжим
$g$ на $V\otimes \C$ по линейности до
билинейной комплекснозначной формы. 
Для любого вектора $v\in V\otimes \C$
обозначим через $\bar v$ вектор $\Re(v) - \1 \Im(v)$
(такой вектор называется {\bf комплексно сопряженным
к $v$}). Докажите, что $g(v, \bar v) = 
g(\Re(v), \Re(v))+g(\Im(v), \Im(v))$.
\end{zadacha}


\begin{zadacha}[!]\label{_veshche_korni_Zadacha_}
Пусть $V$ -- конечномерное 
векторное пространство над $\R$ размерности $n$,
снабженное положительно определенной  билинейной 
симметрической формой $g$ (такое пространство называется
{\bf евклидовым}), пусть
$A$ -- симметрический оператор, а $P(t)$ --
его характеристический полином. Докажите, что
у $P(t)$ ровно $n$ вещественных корней.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Рассмотрим действие $A$ на $V\otimes \C$,
и пусть $v$ -- собственный вектор, соответствующий
невещественному собственному значению. Докажите,
что $g(v, \bar v)=0$. Воспользуйтесь задачей \ref{_okompleksi_Zadacha_}.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $V$ -- евклидово пространство,
а $A\in V$ -- симметрическый оператор.
Докажите, что у $V$ есть ортогональный
базис из собственных векторов $A$.
Другими словами, $A$ диагонализуем в некотором
ортонормированном базисе.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь задачами \ref{_veshche_korni_Zadacha_}
и \ref{_sokhra_podpro_Zadacha_}.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $V$ -- конечномерное 
векторное пространство над $\R$,
снабженное невырожденной, но
не обязательно положительно определенной
билинейной симметрической формой.
Любой ли симметрический оператор
диагонализуем?
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $V$ -- евклидово пространство, a
$A\in V$ -- кососимметрическый оператор.
Обозначим через $\omega$ кососимметричную
форму $g(A\cdot, \cdot)$. Пусть
$v$ -- собственный вектор оператора $A^2$
(с ненулевым собственным значением). 
Докажите, что $\omega$ невырождена на
линейной оболочке 
$\langle v, A(v)\rangle$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
В условиях предыдущей
задачи, докажите, что в некотором ортонормированном базисе 
$e_1, \dots, e_{2m}, e_{2m+1}, \dots, e_n$
$\omega$ записывается в виде 
\[ \sum_{i=0}^{m-1} \alpha_i e^{i+1}\wedge e^{i+2}.\]
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $A$ -- кососимметрический оператор,
заданный в евклидовом пространстве, а $\det A$ -- его
определитель. Рассмотрим $\det A$ как полином
от матричных коэффициентов $A$ (в некотором базисе). 
Докажите, что в нечетномерном пространстве $V$, 
этот определитель равен тождественно нулю. 
Докажите, что $\det A$ -- полный квадрат другого
полинома от матричных коэффициентов. Этот полином
называется {\bf пфаффиан $A$}.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Пусть $2m= \dim V$.
Запишем билинейную форму $\omega$
как выше. Докажите, что $\omega^{m}$ (взятая
как элемент грассмановой алгебры $\Lambda^*(V^*)$)
пропорциональна $e^1\wedge e^2\wedge \dots \wedge e^{2m}$
с полиномиальным коэффициентом $Q$, причем $Q^2 = \det A$.
\end{ukazanie}

\end{document}
