\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr}

\input{listki.tex}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Для зачета по каждому листку достаточно сдать все задачи со
звездочками, либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя
звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же
листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{9}{Алгебра 9: Артиновы кольца и идемпотенты}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{opredelenie}
Пусть дана коммутативная $R$ алгебра с единицей над
полем $k$. Говорят, что $R$ {\bf артиново кольцо над полем $k$},
если $R$ конечномерна как векторное пространство.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
Пусть дан линейный оператор $A\in \End V$.
Рассмотрим подалгебру в $\End V$, порожденную
$k$ и $A$. Докажите, что это артиново кольцо над $k$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Элемент $r\in R$ в алгебре (или кольце) $R$ называется
{\bf нильпотентным}, если $r^k=0$, для
какого-то $k\in \N$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
Пусть $r, r'$ -- нильпотентные элементы в
артиновом кольце над полем. Докажите, что 
любая линейная комбинация $r, r'$ нильпотентна.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Пусть $r, r'$ -- нильпотентные элементы в 
алгебре $\Mat(V)$. Всегда ли $r+r'$ нильпотентен?
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
Нильпотентный элемент в алгебре матриц называется
{\bf нильпотентным оператором}.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha} 
Пусть дан нильпотентный оператор
$A\in \End V$. Докажите, что в $V$ есть такая
цепочка подпространств $V\supset V_1\supset V_2 \supset \dots \supset V_k =0$, 
что $A(V_i) = V_{i+1}$
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть дан нильпотентный оператор
$A\in \End V$. Докажите, что в некотором базисе $A$ выглядит 
так:
$$
\begin{pmatrix}
0&*&* &\hdotsfor{1} &*&*&*\\
0&0&* &\hdotsfor{1} &*&*&*\\
0&0&0 &\hdotsfor{1} &*&*&*\\
\vdots&\vdots&\vdots&
\ddots
&\vdots&\vdots&\vdots\\
0&0&0 &\hdotsfor{1} &0&*&*\\
0&0&0 &\hdotsfor{1} &0&0&*\\
0&0&0 &\hdotsfor{1} &0&0&0
\end{pmatrix}
$$
(т.е. как верхнетреугольная матрица с нулями на диагонали).
Докажите, что любая матрица такого вида нильпотентна.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]\label{tr=0}
Пусть $A \in \End V$ -- нильпотентный оператор. Докажите, что 
$\tr(A)=\det(A)=0$, а $\chpoly_A(t)=t^{\dim V}$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Пусть $R$ -- кольцо. Подмножество ${\mathfrak m} \subset R$
называется {\bf идеалом}, если следующие свойства выполняются.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item ${\mathfrak m}$ замкнуто относительно сложения (т.е.
сумма элементов из ${\mathfrak m}$ принадлежит ${\mathfrak m}$)

\item Для любого $m\in{\mathfrak m}$, $a\in R$, произведение 
$am$ лежит в $R$.
\end{enumerate}
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} Пусть дан гомоморфизм колец $R\arrow R'$.
Докажите, что ядро этого гомоморфизма -- идеал.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}\label{field.noideals}
Пусть дан сюръективный гомоморфизм $f:R_1 \to R_2$ алгебр над полем
$k$, причем $R_1$ -- поле. Докажите, что либо $R_2=0$, либо $f$ -- изоморфизм.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Дан идеал ${\mathfrak m} \subset R$.
Рассмотрим фактор $R/{\mathfrak m}$, то есть
множество смежных классов вида $r + {\mathfrak m}$.
Постройте на $R/{\mathfrak m}$ естественную структуру
кольца.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Кольцо $R/{\mathfrak m}$ называется {\bf факторкольцом} кольца $R$.
Идеал называется {\bf простым}, если 
соотвествующее факторкольцо ненулевое и не имеет делителей
нуля, и {\bf максимальным}, если оно, кроме того, поле.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
Докажите, что любой простой идеал в артиновом кольце
максимален.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Опишите все максимальные идеалы в кольце полиномов $k[t]$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Рассмотрим множество всех нильпотентных элементов
в кольце $R$. Докажите, что это идеал.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Этот идеал называется {\bf нильрадикалом} кольца $R$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
Рассмотрим фактор кольца $R/{\mathfrak n}$ по его нильрадикалу.
Докажите, что в $R/{\mathfrak n}$ нет ненулевых нильпотентов.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Пусть дан идеал в артиновом кольце, не совпадающий
со всем кольцом. Докажите, что он содержится в максимальном.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] Пусть дан идеал в кольце (не обязательно
артиновом), не совпадающий со всем кольцом. Докажите, 
что он содержится в максимальном.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Используйте лемму Цорна.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie}
Артиново кольцо $R$ называется {\bf полупростым},
если в нем нет ненулевых нильпотентов.
\end{opredelenie}

\begin{opredelenie}
Пусть $R_1,\dots,R_n$ -- алгебры над полем.
Возьмем прямую сумму $\oplus R_i$, с естественным
(почленным) умножением и сложением.
Получившаяся алгебра называется
{\bf прямой суммой $R_i$}, обозначается
 $\oplus R_i$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} 
Докажите, что прямая сумма полупростых
артиновых колец полупроста.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Пусть $v$ -- элемент конечномерной алгебры $R$ над $k$.
Рассмотрим подпространство $R$, порожденное
$1, v, v^2, v^3, \dots$ (для всех степеней $v$). 
Пусть оно $n$-мерно. Докажите, что $P(v)=0$ для 
некоторого полинома $P= t^{n+1} + a_n t^n + \dots$
с коэффициентами из $k$. Докажите, что
такой полином единственен.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Этот полином называется {\bf минимальным полиномом} элемента $v$
и обозначается $\minpoly(v)$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
Пусть $v\in R$ -- элемент артинового кольца над $k$,
а $P(t)$ -- его минимальный полином. Рассмотрим подалгебру
$R_v$, порожденную $v$ и $k$. Докажите, что 
$R_v$ изоморфно кольцу $k[t]/P$ остатков
по модулю $P$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Пусть $v\in R$ -- такой элемент алгебры $R$, что $v^2=v$.
Тогда $v$ называется {\bf идемпотентом}.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
Пусть $e\in R$ -- идемпотент в кольце.
Докажите, что $1-e$ тоже идемпотент. Докажите, что
произведение идемпотентов -- идемпотент.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Пусть $e\in R$ -- идемпотент в кольце.
Рассмотрим пространствo $eR\subset R$
(образ умножения на $e$). Докажите, что $eR$ --
подалгебра в $R$, $e$ -- единичный элемент в $eR$, и $R=eR \oplus (1-e)R$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $R = k(t)/P$, где $P$ -- полином, который разлагается
в произведение попарно взаимно простых полиномов,
$P = P_1 P_2 \dots P_n$. Докажите, что в $R$ есть
$m$ идемпотентов $e_1, \dots, e_n \subset R$, причем 
$e_i R \cong k[t]/P_i$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Найдите многочлены $Q(t)$, $Q'(t)$, такие, что
$Q P_1 + Q' P_1 P_3 \dots P_n=1$. Напишем 
$e = Q'  P_1 P_3 \dots P_n$. Докажите, что
$e^2 = e (\mod P)$, и $eP_1(t)=0 (\mod P)$.
Выведите из этого, что $k[z]/P_1(z) \cong e R$,
причем изоморфизм задается соответствием $z \mapsto et$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}
Пусть $R$ -- полупростое артиново кольцо без неединичных идемпотентов.
Докажите, что это поле.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Пусть $R$ -- не поле. Рассмотрите подалгебру $k(x) \subset R$, порожденную
необратимым элементом $x \in R$, и примените к ней утверждение
предыдущей задачи.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie}
Говорят, что два идемпотента $e_1,e_2 \in R$ в коммутативной алгебре $R$ 
{\bf ортогональны}, если $e_1e_2=0$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} Пусть $e_1,e_2,e_3 \in R$ -- идемпотенты в артиновом кольце
$R$ над полем $k$, причем $e_1=e_2+e_3$, а $e_2$ и $e_3$ ортогональны.
Докажите, что $e_2,e_3 \in e_1R$ и $e_1R=e_2R \oplus e_3R$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Пусть $\cchar k \neq 2$. Предположим, что $e_1, e_2, e_3$ --
идемпотенты в артиновом кольце $R$ над $k$, и $e_1 = e_2 + e_3$. 
Докажите, что $e_2$ и $e_3$ ортогональны.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} Пусть $R$ -- артиново кольцо над полем $k$,
Идемпотент $e$ в $R$ называется
{\bf неразложимым}, если нельзя найти такие ненулевые
ортогональные идемпотенты $e_2, e_3$, что $e_1 = e_2 + e_3$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $R$ полупростое артиново кольцо,
а $e$ -- неразложимый идемпотент. Докажите, что
$eR$ -- поле. 
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $R$ -- полупростое артиново кольцо над полем $k$,
Докажите, что $1$ разлагается в сумму неразложимых
ортогональных идемпотентов: $1 = \sum e_i$. Докажите, что это
разложение единственно.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Для существования, возьмите какой-нибудь идемпотент $e \in R$,
разложите $R=eR \oplus (1-e)R$, и воспользуйтесь индукцией.
Для единственности, перемножьте два возможных разложения $1$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $R$ -- полупростое артиново кольцо над полем $k$,
Докажите, что $R$ изоморфно прямой сумме полей.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $R_1 \overset{\psi}{\arrow} R_2$ -- сюръективный гомоморфизм 
артиновых колец, причем $R_1$ полупросто и тем самым разложено
в прямую сумму полей по какому-то множеству индексов $I$, 
$R_1= \oplus_{i\in I} K_i$. Докажите, что $R_2 = \oplus_{i\in I'} K_i$,
где $I'$ -- некоторое подмножество $I$, а $\psi$ -- 
естественная проекция (т.е. $\psi$ действует тождественно на
$K_i$, $i \in I'$, и равно нулю на $K_i$, $i \notin I'$).
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Разложите $1 \in R_1$ в сумму неразложимых идемпотентов $e_i$, $i \in I$,
докажите, что $f:e_iR \to f(e_i)R_2$ сюръективен для всех $i \in I$,
и примените задачу~\ref{field.noideals}.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $R=k[t]/P$, а у полинома $P$ есть кратные
корни над алгебраическим замыканием $\bar k$.
Может ли $R$ быть полупросто? Разберите случаи
$\cchar k =0$, $\cchar k \neq 0$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $R$ -- полупростое артиново кольцо над полем $k$,
а $1 = e_1+ \dots + e_n$ --
разложение 1 в сумму неразложимых ортогональных идемпотентов.
Докажите, что у $R$ есть ровно $n$ простых идеалов.
Опишите эти идеалы в терминах $e_i$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть дано артиново кольцо $R$ над полем $k$ (любой характеристики). 
Докажите, что пересечение всех простых идеалов $R$ -- это нильрадикал $R$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Пусть $R$ -- алгебра над полем $k$,
а $g$ -- билинейная форма на $R$. Форма $g$ называется
{\bf инвариантной}, если $g(x, yz) = g(xy, z)$
для любых $x$, $y$, $z$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} 
Пусть $R$ -- артиново кольцо, снабженное
билинейной инвариантной формой, а ${\mathfrak m}$ -- идеал в $R$.
Докажите, что ${\mathfrak m}^\bot$ -- тоже идеал.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Найдите артиново кольцо, не допускающее
невырожденной инвариантной билинейной формы.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!] \label{_Tr_semisimple_Zadacha_}
Пусть $R$ -- артиново кольцо над полем $k$.
Рассмотрим билинейную форму $a, b \arrow \tr(ab)$,
где $\tr(ab)$ -- след эндоморфизма 
$L_{ab}\in \End R$, $x \stackrel {L_{ab}}\mapsto abx$.
Докажите, что если форма невырождена, то $R$ полупросто.
Докажите, что если $R$ полупросто, а $\cchar k =0$,
то форма невырождена.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
В одну сторону, воспользуйтесь задачей~\ref{tr=0}. В другую сторону,
рассмотрите сначала ситуацию когда $R$ -- поле.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha} Пусть $V$, $V'$ -- векторные пространства
над $k$, снабженные билинейными формами $g$, $g'$.
Определим на $V\otimes V'$ билинейную форму $g \otimes g'$,
исходя из 
\[ g \otimes g'(v\otimes v',w\otimes w')= g(v,w)g'(v', w')
\]
Докажите, что это определение корректно, и единственным образом задает
билинейную форму на $V \otimes V'$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Пусть $R$, $R'$ -- коммутативные алгебры над $k$.
Рассмотрим тензорное произведение $R \otimes R'$.
Введем на $R \otimes R'$ мультипликативную структуру.
исходя из $v\otimes v' \cdot w\otimes w = vw\otimes v'w'$.
Докажите, что это корректно и единственным образом задает структуру 
кольца на $R \otimes R'$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Опишите алгебру $\C \otimes_\R \C$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Опишите алгебру $\Q[\1]\otimes_\Q \Q[\1]$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $P(t)$ и $Q(t)$ -- полиномы над полем k. Обозначим $K_1=k[t]/P(t)$
и $K_2=k[t]/Q(t)$. Докажите, что 
$K_1 \otimes K_2 \cong K_1[t]/Q(t) \cong K_2[t]/P(t)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $R$, $R'$ -- артиновы кольца над $k$, $\cchar k =0$. Обозначим естественные
билинейные формы $a, b \arrow \tr(ab)$ на них через $g$, $g'$.
Рассмотрим тензорное произведение $R \otimes R'$
с естественной структурой артиновой алгебры.
Рассмотрим форму $g\otimes g'$ на $R \otimes R'$.
Докажите, что $g\otimes g'$ равна форме $a, b \arrow \tr(ab)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Докажите, что тензорное произведение полупростых 
артиновых колец над полем $k$ характеристики $0$ полупросто.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь задачей \ref{_Tr_semisimple_Zadacha_}.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
Найдите такие два поля $K_1$, $K_2$, алгебраических
над $\Q$ и не равных $\Q$, что $K_1\otimes_\Q K_2$ -- тоже поле.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $P(t)\in \Q[t]$ -- многочлен, у которого нет рациональных
корней, но есть ровно
$r$ вещественных и ровно $2s$ комплексных, но не вещественных. Докажите,
что 
\[ (\Q[t]/P)\otimes_\Q \R = \bigoplus_s \C \oplus \bigoplus_r \R.
\]
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $P(t)$ -- неприводимый многочлен над $\Q$,
у которого нет вещественных корней, а $v\in \Q[t]/P$ --
любой элемент, не лежащий в $Q \subset \Q[t]/P$.
Докажите, что у минимального полинома элемента $v$ нет вещественных
корней.
\end{zadacha}

\end{document}
