%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{������� 5: ������� ��� �����}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{������� ��� �����}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

��������, ��� �����������
$(V_1\times V_2) \stackrel \mu \arrow V_2$ ��������� �����������
���������� {\�� ����������}, ���� ��� ������ $v_1\in V_1$, $v_2 \in V_2$,
�����������  
\[ 
\mu(v_1, \cdot):\; V_2 \arrow V_3, \ \mu(\cdot, v_2):\; V_2 \arrow V_3
\]
��������. ��� �������, ��� ���������� �����������
���� ``�����������, �������� �� ������� ���������''. 
��� ���������� �������� ������������ ������ 
���������� ������������ (��. ������ ������� 3):
� ��������������� �������, �� �����
\[ 
\mu:\; V_1\otimes V_2 \arrow V_3.
\]

\�����������
����� $A$ - ��������� ������������ ��� ����� $k$, �
$\mu:\; A \otimes A \arrow A$ ���������� ��������
(``���������'').
$(A, \mu)$ ���������� {\�� �������� ��� $k$},
���� $\mu$ ������������: 
\[ \mu(a_1, \mu(a_2, a_3)) = \mu(\mu(a_1, a_2), a_3)).
\]
������������ � ������� ����������� ������������
��� $a\cdot b$. ���� � ������� ����� ������� $1$ �����,
��� $\mu(1,a) =a$ ��� ���� $a\in A$, ���� ������� ����������
{\�� ���������}, � ������� ���������� {\�� ������� 
� ��������}. {\�� �����������} $r:\; A \arrow A'$ ������ 
��� �������� �����������, ������� ��������� ������������,
� {\�� ����������} ������ ��� ��������� �����������.
{\�� ����������} ������� ���� ���������������, ���������
������������ ���������.
\��

\zadacha 
����� ���� ������� � ��������, �����, ��� ��� ����� $a,b$,  
$\mu(a,b) = \mu(b,a)$. ��������, ��� ��� ������.
\��

\������ 
��������� ������ ������� ��� �������
\��

\������
��������, ��� ������� �����������
\��

\������ (*)
��������� ������ ��������������� 
������� ��� �������
\��

\������ 
����� $V$ - ��������� ������������, � $\End(V)$ - ������������
�������� ������������� �� $V$ � $V$, � ���������
����������. ��������, ��� $\End(V)$ ��� �������.
\��

\�����������
� ����� �������� 
������� $\End(V)$ ���������� {\�� ��������� �������},
� ������������ $\Mat(V)$. 
\��

\������
������������ �� ������� $\Mat(V)$?
\��

\zadacha  ����� ��� ���������� ��������� ������
$\Mat(V) \cong \Mat(V')$. 

�. �����������, ��� $V$, $V'$ ������������
��������, ��� $V$, $V'$ ���������. ������� ���������
���� ������������ $a:\; V \arrow V'$, ������� ����������
� �������� ������������ $\Mat(V) \cong \Mat(V')$. 

�. (*) ��������, ��� $V\cong V'$ 
��� ����� (��������, ����������������)
$V$, $V'$. ����������� ����� �����. \footnote{������� �
���� ��������� �����������. ����� � $V$ ������ ������� 
����������� $S$, ��������������� ��������� ���������.

1. ��� ������ $V_\alpha\in S$, � $S$ ���� ������������ 
$V_{\alpha'}$, ������� �������� $V_\alpha$ � ��� �� �����. 

2. ����� ��� ����� $S'\subset S$ �� ���������
����������� $V$, ������� � $S$,
�����, ��� ����� $V_\alpha, V_{\alpha'}\in S'$ ����� ���� � ������:
���� $V_\alpha\subset V_{\alpha'}$, ����
$V_{\alpha'}\subset V_{\alpha}$. ����� �����������
���� $V_{\alpha_i}\in S'$ ���� ����� � $S$

����� $V$ ���������� � $S$.
����� ����� ������� �� ������� ������.}

�. (**) ����� �� � (�) �������� ��� ������� ������?
\ez

\zadacha (!) ���� ������� $A$. ��������, ��� $A$
����� ����������� ��� ���������� � $\Mat V$ ���
���������� ���������� ������������ $V$
(��������, �����������������).
\��

\�������� �������� $V=A$.
\��

\����������� 
������� $A$  � �������� ��� ����� ���������� {\�� �����}, ����
$A\backslash 0$ - ������ �� ���������. ����� ������,
������� $A$ ���������� �����, ���� ��� ��������� ��������
$A$ ��������.
\��

\������ ����� $\Bbb H$ - ������������� ���������
������������ ��� $\R$, � ������� $1, I, J, K$.
������� ������������ �� ���������� ��������� �������:

1. $1\cdot a=a$ ��� ������ $a\in \Bbb H$

2. $I^2=J^2=K^2=-1$

3. $I \cdot J = - J\cdot I =K$.

��������, ��� ����� ������� ���������� � ����������� � ���������
�� �����������.
\��

\�����������
������� ${\Bbb H}$ ���������� {\�� ������� ������������}.
\��

\������ (!) ���������� ����������� ``������������ ����������''
$z\arrow \bar z$, �������� �� ${\Bbb H}$ �� �������
\[ a + b I + c J + d K \arrow a - b I - c J - d K.\]
��������, ��� $\overline{z_1 z_2} = \bar z_2 \bar z_1$.
\��

\������ ��������, ��� $z \bar z= a^2 + b^2 + c^2 + d^2$,
���� $z=a + b I + c J + d K$.
\��

\������ (!) ��������, ��� $\Bbb H$ - ����.
\��

\��������
�������������� ��� �� ����������, ������� �������������
��� �������������� ����������� ����������� �����.
\��

\������ 
����� � ����������� ������������ 
 $I^2=J^2=K^2=-1$ �������� ��  $I^2=-1$, $J^2=K^2=1$.
��������, ��� ��������� �������, � ��� ����� �����������
� ��������� �� ����������� (��� ������� ����������
{\�� �������� ����-������������}). ����� �� ���
�����?

\������ (*) ��������, ��� ������� ����-������������
��������� $\Mat(\R^2)$.

\������ ��������, ��� ������������� ������� $A$
�������� ����� ����� � ������ �����, ����� � ��� ���
��������� ����. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{�������, �������� ����������� � �������������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

����� ������ ��������� ������������ $V$ ��� $k$.
������������ ����� $\phi$ �� $V$ - ��� �����������
$V\times V \times V \times ...\arrow k$,
�������� �� ������� ���������. �� ����������
��� � ����
\[ \phi:\; V\otimes V \otimes V \otimes ...\arrow k.
\]
���� $\phi, \psi$ - ������������ $i$-����� � $j$-�����,
����������� 
\[ \phi\otimes \psi 
   \underbrace{V\times V \times V \times ...}_{i+j} \arrow k
\],
�������� � ����
\[ \phi\otimes \psi(v_1, v_2, ... v_{i+j}) =
   \phi( v_1, ... v_i) \phi( v_{i+1}, ... v_{i+j})
\]
��������, ���� �����������. ����� ������� ��������
������������ �� ������������ ������������ ����.

\������ ��������, ��� ������������ ����� �������� �������.
\��

\������ ��������, ��� ������� ������������ ����
��������� $V^*$.
\��

\�����������
����� $V$, $W$ - ��������� ������������ ��� $k$.
���������� ������������ $U= \langle V\times W\rangle$, 
�������� ����������� ������ ��������
$v, w\in V, W$. ������� $U$, ���������������
���� $v, w$, �� ����� ���������� �� $v\otimes w$.
������������� $U$ �� ���������������, ������������ 
���������� �������������:
\[ (\lambda v)\otimes w = v\otimes (\lambda w ) = \lambda (v \otimes v), \ \ 
\ \  \lambda\in k
\]
\[ (v+v')\otimes w = v\otimes w + v'\otimes w, \ \ 
   v\otimes (w+w') = v\otimes w + v\otimes w.
\]
���������� ������������������ ����������
{\�� ��������� ������������ $V$ � $W$}, � ������������
 $V\otimes W$.
\��

\������ (!)
��������, ��� $(V\otimes W)^*$ ��������� ������������
���������� ���� �� $(V, W)$.
\��

\������
������� ����������� $V\otimes W$,
���� $\dim V=n$, $\dim W=m$.

\������
��������, ��� ������������ �������� ����������� 
$\Hom(V,W)$ ����������� ��������� $V\otimes W^*$.


\������ (!)
��������, ��� $U\otimes (V\otimes W)$ ����������
��������� $(U\otimes V)\otimes W$.
\��

\���������
��� ����������� ��������� �������� ������ ��� ������:
�� ����� $U\otimes V\otimes W$, ������������ �����
����������� ������ (��� ��� ������������).
\���

\���������
��������� ������������ $V$ � ����� $i$ ��� ������������ 
�� $V^{\otimes_i}$. ����������� ���� ���������� ���������������
��������� �������� $\bigoplus_i V^{\otimes_i}$ �������������
���������� 
\[ V^{\otimes_i}\times V^{\otimes_j}\arrow V^{\otimes_{j+j}}
\]
\���

\�����������
{\�� ���������} (��� {\�� ���������}) �������, ����������� $V$, ��� 
������� $\bigoplus_i  V^{\otimes_i}$
� ����������������� ���������, �������� ����.
��� ������� ������������ $T(V)$.
\��

\������ (!)
����� $V$ ������������� ��������� ������������.
��������, ��� $T(V)$ ��������� ������� ������������
���� �� $V^*$.
\��

\������ (*) ����� ������ �������� ����������� �� $V$ � ���������
������� $A$. ��������, ��� ��� ���������� ������������
�� ������������ ������ $T(V)\arrow A$.

\������ (!)\label{_tensor_monomials_Zadacha_}
����� $\langle x_i\rangle $ - ����� � $V$. ��������, ���
����� � $T(V)$ �������� ����� �������� ����
$x_{i_1} x_{i_2} x_{i_3} ...$.
\��


\������ (!)
����� ������ ������������ $V$ ��� $k$.
(``������������ ����������''). ����� ����� 
������ ��������������� $W\subset T(V)$
(``������������ �����������''). 
���������� ������������������ 
$T(V)$ �� ��������������� $T(V) W T(V)$ , ������������
��������� ���� $v w v'$, ��� $w\in W$.
��������, ��� �� ���� ������������������
������ ������������ �������������� ���������.
\��

\�����������
� �������� ���������� ������,
����� $x_i$ - ����� � $V$, � $w_i$ - ����� � $W$.
������ ����������� $w_i=0$ ����� ��������
� ����  ���������������� ��������
���� 
\[ 
\sum_I \alpha_{i_1, ... i_n} x_{i_1} \cdot x_{i_2}
\cdot ... =0
\]
���  $I$ ��������� �����-�� ����� ��������������,
� $\alpha_{i_1, ... i_n} $ - ������������ ������������.
������� $T(V)/T(V) W T(V)$ ����������
{\�� ��������, �������� ����������� $v_i$ �
������������� $w_i$}.

\������ ��������, ��� ����� ������� $A$ 
����� ������ ����������� � �������������
\��

\�������� �������� $A=V$.
\��

\������ (*) ��������, ��� ����� ������������� 
������� $A$ ����� ������ ����������� � �������������,
������ ����� �������, ��� ������������ $V$, $W$ 
���������� � ����������� ����� ������������
\��

\�����������
 ������� ���������� {\�� ������� �����������,}
���� �� ����� ������ ����������� � �������������, ��� ����,
� ������������� ������������� ���������� $V$. ������� ����������
{\�� ������� ������������}, ���� �� ����� ������ � �����
����, � ������������� ������������� ����������� $W$.
\�� 

\������  ��������� ������ �������, ������� 
�� ������� �����������.
\��

\������ (*) ������ �� ������� ����������� ������� �������
�����������?
\��

\������ 
��������, ��� ������� $\Mat(\R^2)$ ������� �����������.
\��

\������ ������� ������� ���������  ������ $k[t, t^{-1}]$ 
����������� � �������������.
\��

\����������� ����� $V$ - ��������� ������������
� ���������� ������������ ������ $g:\; V \otimes V \arrow \R$.
���������� ������� $Cl(V)$, ����������� $V$, � �������� �������������
���� 
\[ v_1\cdot  v_2 + v_2\cdot  v_1 = g(v_1, v_2)\cdot 1,
\] 
��� $v_1, v_2$ ��������� $V$. ��� ������� 
���������� {\�� �������� ���������.}
\��

\������
����������� ����������� ����� � ���� ������� ��������� ��� $\R$.
\��

\������
������� ��� ������� ��������� ��� $\dim V=1,2$.

\������ (!)
����������� ����������� � ����-����������� � ���� ������� ���������
��� $\R$.

\������ (*) ������� ����������� ������� ��������� $Cl(V)$ ���
�������������� $V$.

\������ (**) ����������� ������� ������ � ���� ������� ���������
��� $\R$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{������� 6: ������� ��������� � ������������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{������� ���������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\����������� 
������� $A$ ���������� {\�� ��������������},
���� $A$ ������������ � ���� $A = \oplus A^i$,
� ������������ ��������� ���: 
$A^i \cdot A^j \subset A^{i+j}$.
������ $\oplus_i A^i$ ����� �����
$A^*$, ������������ ��� ������� �����.
\��

\������ ������� ������������ ����������� �� $T(V)$.
\��

\�����������
��������������� $W\subset A^*$ �������������� �������
���������� {\�� ��������������}, ���� $W$ ����
������ ����� ��������� ���� $W^i\subset A^i$.
\��

\������ (!)
����� 
$W\subset T(V)$ - �������������� ���������������,
��������, ��� �������, �������� ������������� �����������
$W$ - ��������������.
\��

\������ 
����� $V$ ��������� ������������,
 $\langle x_i\rangle $ - ��� �����. 
���������� ��������������� $W\subset V\otimes V$,
����������� ��������� ���� $x\otimes y - y\otimes x$.
��������, ��� ������� ��������� $k[x_1, ... x_n]$
��������� ����������� $V$ � ������������� $W$.
������� ������������ �����������,
�������������� � $T(V)$.
\��

\�����������
���������� ������� ���������� {\�� ��������������
������� ������������ $V$}, � ������������ 
��� $\Sym^*(V)$.
\��

\������
����� �� ������� $Sym^*(V)$ � $T(V)$?
\��

\�����������
����� $V$ ��������� ������������,
� $W\subset V\otimes V$ �������������� 
���������������, ����������� 
��������� ���� $x\otimes y + y\otimes x$
� ��������� ���� $x\otimes x$.
�������������� �������, �������� 
������������� ���������� $V$ � ������������� 
����������� $W$, ���������� {\�� �������� ���������},
������������ ��� $\Lambda^*(V)$.
������������ $\Lambda^i(V)$ ����������
{\�� $i$-� ������� ������� $V$},
� ��������� � ������� ��������� -
������� ���������. ������� ���������
����������� ���������� ��� $\wedge$.
\��

\���������
��� �������� ������������ ������� ����� ������
��� ��� ``����������������� ��������'' �� $V$.
\���

\������ 
��������, ��� $\Lambda^2(V)^*$ ����������� ���������
������������ ���������� ���������������� ���� �� $V$.
\��

\������ ���������� ���������� $\Lambda^{2*}(V)\subset \Lambda^*(V)$,
��������� �� �������� � ������ ������������. ��������, ���
��� ���������� ������������. 
\��

\����������� 
������ $\Lambda^*(V)$ ���������� {\�� ������}, ����
�� ����� � ������ ���������� �����������, � {\�� ��������},
���� �� ����� � �������� ����������. 
��� ������� ���� ��������� $x$, ������������ �����
$\tilde x$, ������� ���������� {\�� ���������}
$x$. ��� ����� ���� ��� $x$ � ������ ������������,
� 1 ��� $x$ � �������� ������������.
\��

\������ (!) ��������, ���
$xy = (-1)^{\tilde x \tilde y}yx$.
\��

\������ (*) ������� ��� �������� $\eta \in \Lambda^{2}(V)$
�����, ��� $\eta^2 =0$.
\��

\������ 
��������, ��� $\Lambda^1 V$ ����������� ��������� $V$.
\��

\������ (!) ����� $x_1, x_2, ...$ - ����� � $V\cong \Lambda^1 V$.
��������� ��  $x_{i_1}\wedge x_{i_2} \wedge x_{i_3} \wedge ...$
������������ ���� �������� � $\Lambda^*(V)$. ��������, ���
������� ���� 
$x_{i_1}\wedge x_{i_2} \wedge x_{i_3} \wedge ...$
$i_1 < i_2 < i_3 < ...$ ������ ����� � $\Lambda^*(V)$.
\��

\������ (!) ����� $V$ $d$-�����. ������� $\dim \Lambda^i(V)$.
��������, ��� $\Lambda^d V$ ���������.
\��

\�����������
������������ $\Lambda^d V$ ���������� {\�� ������������
�������������� �������� � $V$}.
\��

\zadacha (!) ����� $V$ $d$-�����, $x_1, x_2, ..., x_d$
��� �����, � 
$\det:= x_{1}\wedge x_{2} \wedge x_{3} ... \wedge x_d$
��������������� �������������� ������ � $\Lambda^d V$. ��� ������ 
����������� $I = (i_1, i_2, ..., i_d)$, ����������
������
$I(\det):= x_{i_1}\wedge x_{i_2} \wedge x_{i_3} ... \wedge x_{i_d}$
��������, ��� $I(\det)=\pm\det$.
��������, ��� ��� ������������ ������ �����������
�� ������ $S_n$ ����������� � $\{\pm 1\}$.
��������, ��� ���� ����������� ����������
������������ ��������� ����� ������������
� $-1$, ������������ ������� �����
������������ � 1.
\��

\�����������
����������� ���� ����������� $S_n\stackrel \sigma \arrow \Z/2\Z$
���������� {\�� ���������} �����������. �� ������������
��������, ��� ������� ������������ ���������� ������.
����������� ���������� {\�� ������}, ���� �� ��������� 
����� 0, {\�� ��������}, ���� �� ��������� ����� 1. 
\�� 

\������ ����� ����������� ���������
� ������������ ������: 
\[ I = (i_{1,1}, i_{2,1}... i_{k_1, 1})(i_{1,2}, i_{2,2}... i_{k_2, 2})...
\]
���� $k_1$, $k_2$ � ��� �����. ��������, ��� ���������
$I$ ����� ���� ���� � ������ ���� ����� ���� $k_i$ ����� ������ �����.
\��

\hfill

������ � �� ����� ����� �������, �� ������������, ���
 ������� ���� $k$ ����� �������������� 0.

\����������� 
����� $\eta\in V^{\otimes_i}$ ������ � $i$-� ��������� �������
$V$ � �����. ���������� ������������ �������� $S_i$ �� 
$V^{\otimes_i}$. ��������� $\Alt(\eta)$ ���
\[\Alt(\eta) := \frac 1 {i!}\sum_{I\in S_i} (-1)^{\sigma(I)} I(\eta).\]
��� �������� ���������� {\�� ���������������}.
������ $\eta\in V^{\otimes_i}$ ����������
{\�� �������� ����������������}, ���� 
$\eta = \Alt(\eta)$.
\��

\������ 
����� $\eta = \frac 1 {i!}\sum_{I\in S_i}  I(\eta)$.
��������, ��� $I(\eta) =  \eta$ ��� �����
����������� $I\in S_i$. 
\��

\������ (!) ����� ��� �������� ����������������
������ $\eta\in V^{\otimes_i}$. ��������, ���
$I(\eta) = (-1)^{\sigma(I)} \eta$ ��� �����
����������� $I\in S_i$. 
\��

\������ (!)
��������, ��� 
$\Alt(\Alt(\eta))=\Alt(\eta)$ ��� ����� $\eta$.
\��


\������ 
���������� ������ $x_{i_1} x_{i_2} ... x_{i_k}\in V^{\otimes_i}$.
��������, ��� 
\[ 
\Alt(x_{i_1} x_{i_2} ... x_{i_k})= -\Alt(x_{i_1} x_{i_2}... x_{i_l} x_{i_l-1} ... x_{i_k})
\]
(�� ������ ��������� $x_{i_l}$ ����������� ������� � $x_{i_l-1}$)
\��

\������ 
��������, ��� �����������
$x_{i_1} x_{i_2} ... x_{i_k}\arrow \Alt(x_{i_1} x_{i_2} ... x_{i_k})$
���������� �� ���� �������� ���� $a w b$, ���
$w$ ����� � ������������ ����������� 
$\Lambda^*(V)$. �������� �� �����, ���
���������� ������������ ����������� 
$\Lambda^i(V)\arrow R^i$ �� $\Lambda^i(V)$
� ������������ �������� ���������������� ��������.
\��

\������ (!) ��������, ��� ����������� ���� 
������������ ����������� $\Lambda^i(V)\arrow R^i$ -
����������.
\��

\������ (!)
�� ������������ $\Lambda^i(V)$ � ������������
�������� ���������������� ��������.
��� ������ ����������������� ���������
�� ���������������� ��������. ��������, ���
��� �������� ��������� ������� - 
 ������� ��� �������� ���������������� ������� 
$\alpha, \beta\in T(V)$, ������������� � $T(V)$,
����� � ��� ����������� $\Alt$.
\��

\������ ����� ���� ������� $A$ � $B$ ���� ����� $k$.
��������� ����������������� ��������� �� 
$A\otimes B$ ��������� �������:
$a\otimes b \cdot a'\otimes b'= aa' \otimes bb'$.
��������, ��� ��� ��������� ������������.
\��

\�����������
��������� ������������ ������ $A$ � $B$ ���
������������ $A\otimes B$  � ����������������� ����������,
������������ ��� ����. ���� ������� �������� ������������,
����������� �������� �� ��������� ������������ �� �������
$(A\otimes B)^n = \oplus_{i+j=n} A^i\otimes B^j$.
\��

\������ (!)
����� $V_1$, $V_2$ ��������� ������������.
��������, ��� 
$\Lambda^*(V_1\oplus V_2)\cong \Lambda^*(V_1)\otimes \Lambda^*(V_2)$.
\��

\������ 
��������, ��� $\dim \Lambda^*(V)= 2^{\dim V}$.
\��

\��������
�������������� ���������� �������.
\��

\������ (*)
���������� ����������� 
\[ V\otimes \Lambda^i(V)\stackrel \wedge \arrow
   \Lambda^{i+1}(V),
\]
�������� � ���� $x\otimes \eta \arrow \x \wedge\eta$.
���� $\eta$ �������������, ��� ���� �������� ��������
$L_\eta:\; V\arrow \Lambda^{i+1}(V)$.
��������, ��� ��� $\eta\neq 0$ ����� ����� �����������
$\dim \ker L_\eta \leq i$. 
\��

\������ (*) ����� � ���������� ������
����� ����� ��������� $\dim \ker L_\eta = i$.
��������, ��� � ���� ������ $\eta$
�������������� � ���� 
$\eta = x_1\wedge x_2\wedge ... \wedge x_i$
��� �����-�� �������� $x_1, ... x_i \in V$.
\��

\������ (*) ����� $P\in \Sym^i(V^*)$ - 
�������������� $i$-����� �� $V$. �����������, ���
$P(v, v, v, ...) =0$ ��� ���� $v\in V$.
����� �� $P$ ���� ���������?
\��

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{������������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\������
����� ���� ���������� ��������� ������������ $V$ ��� $k$.
��������, ��� $\End V$ ����������� ��������� $k$. 
\��

\������ (!)
����� ������ �������� ������������ $V$ � ��������
�������� $A\in \End(V)$. ��������, ��� 
�������� $A$ �� $V\cong \Lambda^1 V$ ������������
������������ ������� �� ������������ ����������� 
������������ �� $\Lambda^* V$ � ����.
\��



\�����������
����� ������ $d$-������ ��������� ������������ $V$ ��� $k$ � ��������
�������� $A\in \End(V)$. ���������� ��������������
$A$ ����������� ������������ �������������� ��������
\[
\det A\in \End(\Lambda^d(V))
\]
��������� $\Lambda^d(V)$ ���������, 
������������ $\End (\Lambda^d(V))$ 
����������� ������������ � $k$. ��� 
��������� ������������� $\det A$ ��� ����� � $k$.
��� ����� ���������� {\�� ������������}, 
��� {\�� �����������} ��������� ��������� $A$.
\��

\������ (!)
����� $x_1, ..., x_d$ ����� �� $d$ �������� �
��������� ������������ $V$. ��������, ��� �� ������������
$x_1 \wedge x_2 \wedge ...$ � $\Lambda^*(V)$ ����� ����
����� � ������ �����, ����� ��� ������� ������� ��������.
\��

\������ 
����� �������� $A\in \End(V)$ ����� ��������� ����
(����� �������� ���������� {\�� �����������}). ��������,
��� $\det A=0$.
\��

\������ 
����� �������� $A\in \End(V)$ �������
(����� �������� ���������� {\�� �������������}). ��������,
��� $\det A\neq 0$.
\��

\������ (!) 
��������, ��� $\det$ ������ �����������
�� ������ $GL(V)$ ��������� ������ � $k$.
\��

\������ (!)
����� ���� ��� ��������� ������������ $V$ � $V'$,
� $A, A'$ - �� �����������. ����� $\A\oplus A'$
������ ����������� $V\oplus V'$. ��������, ���
$\det \A\oplus A' = \det A \otimes \det A'$.
\��

\������
����� ���� ��������� ������������ $V$ � ������������
������������ ���������� ������������ ������ $g$.
��������, ��� ����������� $A\in \End V$ ���������� 
{\�� �������������} ���� �� ��������� $g$,
�.�. ��� ����� $x, y\in V$, $g(Ax, Ay) = g(x,y)$.
��������, ��� ������������� �������� ������ �������.
����� ����� ������������� �������� � $\R^2$. �����
�������� ����� ��������� $\det A$?
\��

\������ (*) ����� $V$ ��������� ������������, ����������

(�) ������������� ���������� ������������ ������ $g$

(�) ������������� ���������� ���������������� ������ $g$
 
(�) (**) ������������� ���������� ������ (�� ���� ������������
$g:\; V\arrow V^*$).

����� $A\in \End(V)$ �������� ��������, ����������� $g$.
� ������ �� ���� �������, ��������, ��� $A$ �������, �
������� ��� ��������, ������� ����� ��������� $\det A$.
\��

\section{������� 7: ���������� � ���������}

\section{������� 8: ��������� ���������� �����}

+ ������� ����������-����

http://www.mathcs.emory.edu/~skip/dets/dets.ps

\section{������� 9: �������� ����}

\subsection{������� �����������}

