
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{������� 7: ������� � ������������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

��� ��������� ������������ �� ���������� ����� ������
�������������� ��������� ���� ����� $k$.

\������
����� � ��������� ������������� $V$, $W$ ������ ������
$v_1, ..., v_n\in V$, $w_1, ... w_m\in W$. 
���������� ����������� $e_i^j$, �����������
$v_i$ � $w_j$, ��� ��������� $v_i$ � ����.
��������, ��� $e^i_j$ ������ ����� � 
������������ ������������� $\Hom(V,W)$.
\��

\�����������
� �������� ���������� ������, ����� �����
����������� $\gamma\in \Hom(V,W)$. �������
$\gamma= \gamma^i_j e^i_j$, $\gamma^i_j \in k$.
�������

(### �������!) 

���������� {\�� �������� ������������ $\gamma$}.
\��

\������
���� ������������ $a\in \Hom(U,V)$, $b\in \Hom(V,W)$,
� ��������� $(a^i_j)$, $(b^k_l)$. ��������, ���
���������� $a$ � $b$ �������� �������� 
$c^m_n = \sum_{j} a^i_j b^j_k$.
\��

\������
���������� ������������ $A$ ���������� ������ $n\times n$,
� ���������� $A\times A \arrow A$, ������� �������� �� ������� 
$(a^i_j)\circ (b^k_l)\arrow \sum_{j} a^i_j b^j_k$.
��������, ��� ��� ������� � ��������. ��������,
��� ��� ������� ��������� ������� ��������
���������� �� $k^n$ � $k^n$.
\��

\�����������
��� ������� ���������� {\�� �������� ������}, 
������������ $\Mat(n)$. ������� ���� ������� 
(������������ ������� � $a_i^i=1$)
���������� {\�� ��������� ��������},
������������ $\Id$. 
\��

\������
����� ��� �������� �������� $f\in\Hom(V,V)$,
$v_1, ... v_n$ ����� � $V$, � $(f^i_j)$ - ������� $f$.
����� ����� ������ ����� $v_1', ... v_n'$ � $V$.
��������, ��� ���������� ������������ 
�������� $g$, ����������� $v_i$ � $v_i'$,
� $g$ �������. ������� $g$, $g^{-1}$
��������� $(g^i_j)$, $((g^{-1})^i_j)$
��������, ��� $f$ ������������
� ������ $v_1', ... v_n'$  ��������
$h^i_j:= (g^i_j)\circ(f^i_j) \circ((g^{-1})^i_j)$.
\��

\�����������
� ����� ��������, ���������, ��� 
������� $(h^i_j)$, $(f^i_j)$ {\bf ������������}
\��

\������
������� ��� �������, ������������� 
$c\Id$, ��� $c\in k$
\��

\������ (!) 
����� $E(i,j)$ - ������� 

(### �������!) 

� ������� �� $i,j$-� ����� ����� 1, � �� ���� ���������
������ 0. ��� ����� $i, j$, $i',j'$, ������� 
$E(i,j)$ � $E(i',j')$ ������������?
\��

\������ (!) 
����� $A$ - �������, ������������� $E(i,j)$.
��������, ��� ��� ������ $A$ ���������������.
��������, ��� ��� ������� $A$ ���������������.
\��

\������ (*)
��������, ��� ���� ��� ������ � �������
$A$ ���������������, �� $A$ ������������ $E(i,j)$.
\��

\�����������
����� $V$ ��������� ������������,
$A \in \End(V)$ ����������� (����������� 
�� $V$ � ����), � $V^*$ ������������ ������������.
���������� �������� $A^*:\; V^*\arrow V^*$,
������������ �������� ���������� $\gamma\in \V^*$
� ���������� $A(\gamma)(v) = \gamma(A(v))$
�������� $A^*$ ����������
{\bf ����������� ����������} ��� $A$.
\��

\������ 
����� $V$ - ������������� 
��������� ������������, $V^*$ ������������ ������������.
��������, ��� $\Lambda^k(V)$ ����������� �
$\Lambda^k(V^*)$.
\��

\������ (!)
����� $V$ ��������� ������������,
$A \in \End(V)$ �����������, � $A^*$
��� ����������� ��������. ��������, ���
$\det A^* = \det A$

\�������� �������������� ���������� �������
\��

\�����������
����� ���� ���������� �������
$(A^i_j)$, � $(B^i_j)$ �������� �� $(A^i_j)$
���������� ������������ ���������: $B^i_j =A^j_i$

(### ������� - ����������!) 

$(B^i_j)$ ���������� {\�� ����������������� ��������}
��� $(A^i_j)$ (������������ $(A^i_j)^\bot$).
\��

\������ (!)
����� $V$ ����� ����� $v_1, ... v_n$,
� $v^1, ... v^n$ - ������������ ����� � $V^*$
($v^i$ ���������� $v_i$ � 1, ��� ��������� $v_j$ � ����).
���������� �������� $A \in \End(V)$, � ��� �������
$(A^i_j)$. ��������, ��� $A^*$ ����� �������
$(A^i_j)^\bot$.
\��

\�����������
����� �� ��������� ������������ $V$ ������
������������� ���������� �������������� ����� $g$.
�������� $A\in \End(V)$ ����������
{\�� �������������} ����� � ������ �����,
����� $g(Av, Av) = g(v,v)$, ��� ������
$v\in V$.
\��

\������ (!)
��������, ��� ������������� �������� ������ �������.
\��

\������ (!)
����� $A\in \End(V)$ - �������� ��������
�� ��������� ������������, ���������� 
������������� ���������� �������������� ������ $g$.
��������� $g$, ����������� $V$ � $V^*$.
����� ������������ �������� $A^*$ �����
������������� ��� ����������� $V$.
��������, ��� �������� �������� $A$
����������� ����� � ������ �����,
����� $A^{-1} = A^*$.
\��

\������ (!)
��������, ��� ������������ �������������� ���������
��� $\pm 1$.
\��

\������ (*)
����� $V$ - ��������� ������������ � ��������
�� ��� ��������������� ������ $\omega$.
�������� $A\in \End(V)$ ���������� 
{\�� ���������������}, ���� �� ���������
$\omega$, �.�., ���� 
$\omega(Av, Av) = \omega(v,v)$. 
��������, ��� ��������������� ��������
������ ����� ������������ 1.
\��


\������ (!)
����� $V$ ��������� ���������
������������ ��� $\R$, � $A$ - �������,
(### �������! a b
c d).
������� �������
(### �������! A':= (a -c
-b d)
��������, ��� $A A'= \Delta \Id$,
��� $\Delta\in k$ ��� �����, ������� ����������
��� $\Delta=ad-bc$. ��������, ��� $A$
�������� ����� � ������ �����, ����� $\Delta\neq 0$.
\��

\������ (!)
� �������� ���������� ������,
��������, ��� $\Delta$ ��� ������������ $A$.
\��

\������ 
����� $V$ ��������� ���������
������������ ��� $\R$ �� ����������� ���������� ��������������
������, $A$ - ������������� ��������, � $A$ - ��� �������,
���������� � ������������� ������:
(### �������! a b
c d).
�� ����������� ���� ������ �������, ��� $\det A = \pm 1$.

�. ����� $\det A=1$.
��������, ��� $b=-c$, $a =d$, � $a^2+b^2=1$.

�. ����� $\det A=-1$.  
��������, ��� $b=c$, $a =-d$, � $a^2+b^2=1$.
\��

\������ (*) ��������� ���������� ������, ������� 
������ �������� ���������, ����������� ������
���������, � �������� ������ 2 �� 2. 
��������, ��� ��� ����������� ������
(��. ������ 1).
\��

\�����������
����� $(A^i_j)$ ��� �������.
�� �������, ��� ������� $(B^i_j)$ 
�������� �� $(A^i_j)$ {\�� ��������������� ������},
���� $(B^i_j) = (A^i_j)\circ E$, ���
$E$ ��� ������� ������ ����:

(### �������! �������������� ������)

���� ������:

(### �������! ������������ ���� $\lambda$ �� ����� $(i,j)$
)

\������ ��������, ��� �������������� ������
����������� ���������� ���������� �� ��������:
$(B^i_j)$ ���������� �� $(A^i_j)$ ������������� �����, ����
����������� � $i$-� ������ $j$-� ������ �������� �� $\lambda$.
\��

\������
��������, ��� ������� ���� \eqref???
����� ������������ -1, � ������� ����
\eqref??? ����� ������������ 1.
\��

\������ (!)
��������, ��� �������������� ������ ���� \eqref???
�� ������ ������������ �������, � ��������������
���� \eqref??? �������� ��� �� -1.
\��

\�����������
������� $(A^i_j)$ ���������� {\�� �����������������,}
���� $A^i_j=0$ ��� $i<j$

(### �������! )

\��

\������ (!)
����� $(A^i_j)$ - ����������������� �������.
��������, ��� $\det (A^i_j)$ �����
������������ ���� ������������
�������������:
\[ \det (A^i_j) = \prod_i A^i_i.
\]
\��

\������ 
��������, ��� ������������� ����������������
����� ������� ����� �������� � ������������������ ����.
\��

\���������
��������� ������������ �������������� �� ������
������������ (� ��������� �� $\pm 1$), ������������
������� ����� ���������, ������� �� � ������������������
���� � ���������� ������������ ������������.
\���


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{����������� ������� � ������ ������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\������ (!)
����� $v_1, ... v_n$ - ����� ���������� ������������
$V$, � $v_{i_1} \wedge v_{i_2} \wedge ... \wedge v_{i_k}$,
$i_1< i_2< ... < i_k$  ��������������� ����� � $\Lambda^k(V)$.
���������� ������� $A\in \End V$, � ����� 
$A(i_1, i_2, ... i_k;i_1', i_2', ... i_k')$
��������� ������������ ������������, ��������������� $A$
�� $\Lambda^k(V)$, � ������������� ������. 
��������, ��� $A(i_1, i_2, ... i_k;i_1', i_2', ... i_k')$
��� ������������ �������, ���������� �� $A$ ������������
���� �����, ����� $i_1$-�, $i_2$-�, ... $i_k$-�,
� ���� ��������, $i_1'$-��, $i_2'$-��, ... $i_k'$-��
\��

\��������
���� ���������� $A$ � ����������, �������
��������� $v_{i_l}$ � $v_{i'_l}$,
������� ������ � ������ $i_l=i'_l$.
��������, ��� ������������
$A(i_1, i_2, ... i_k;i_1', i_2', ... i_k')$
�� ������� �� �����, ����� $i_1$-�, $i_2$-�, ... $i_k$-�,
� ��������, ����� $i_1'$-��, $i_2'$-��, ... $i_k'$-��,
� �������� $A^i_j=0$, ���� $i$ � $j$
�� ����������� $\{ i_1, i_2, ... i_k\}$.
��� ������ ������ � ������, ����� 
$V= V_1 \oplus V_2$, � $A$ ����� ���
$B\oplus 0_{V_2}$, ��� $B\in \End(V_1)$, �
$0_{V_2}$ ��������� ����� �� $V_2$.
� ���� �������� ����� ��������� �������
$\Lambda^*(V) = \Lambda^*(V_1)\otimes \Lambda^*(V_2)$,
� �������� �������.
\��

\�����������
����� $A\in \End(V)$ - �������� ��������.
���������� �����������, ������� ������������
$A$ �� $\Lambda^*(V)$. ���������� ����� ������� 
$N$, ��� �������� ��� �������� �� ����� ���� ��
$\Lambda^N(V)$. ����� 
$N$ ���������� {\�� ������ ��������� ��������� $A$}
(������������ $\rk A$). ���� $A$ ����������
�������� $(A^i_j)$, $\rk A$ ���������� 
������ ���� �������.
\��

\������ (!)
����� $A$ ��������� ����� �� $\Lambda^k(V)$.
��������, ��� $A$ ��������� ����� �� $\Lambda^l(V)$,
��� ������ $l>k$.
\��

\������ ��������, ��� ���� ������� - ��� 
������ �� ������ �������� ���������� ������.
\��

\������ 
��������, ��� ���� ��������� $A$ ����� ������ �������� $N$,
��� �������� �������� ������� $v_1, ... v_N$,
�����, ��� $A(v_1), ... A(v_N)$ ������� ����������.
\��

\������ (!)  
��������, ��� ���� ��������� $A$
����� ����������� ��� ������.
\��

\������ 
����� ������ ������� ����� 1. ��������, ��� 
��� �� ������ ���������������.
\��

\������
����� $V$ ������������� ��������� ������������.
��������, ��� $\Lambda^k(V)^* = \Lambda^k(V^*)$.
\��

\������ 
��������, ��� $\rk A = \rk A^*$
\��

\��������
�������������� ���������� �������
\��

\�����������
���������� �����
$\mu:\; V_1 \otimes V_2 \arrow k$ ����������
{\�� ������������� �����������}, ���� ��� �������
$v_1\in V_1$ �������� $v_1'\in V_2$, �����, ���
$\mu(v_1, v_1')\neq 0$, � ��� �������
$v_2\in V_2$ �������� $v_2'\in V_1$, �����, ���
$\mu(v_2, v_2')\neq 0$
\��

\������
��������, ��� ������������� ����������
$\mu:\; V_1 \otimes V_2 \arrow k$ ������ ����������
����� $V_1$ � $V_2^*$, � ����� ���������� ��������
����� �������.
\��

\������ (!)
����� $V$ - $n$-������ ��������� ������������.
��������� ������������ ���������� 
\[ \Lambda^k(V)^*\cong\Lambda^{n-k}(V)\otimes \det V\]
(����� $\det V$ ������������ ���������� ������������
$\Lambda^{n}(V)$).
\��

\��������
�������������� ���������� �������
\��

\������
����� $A\in \End V$, ��� $V$ - $n$-������ ��������� ������������
� ������� $v_1, $v_2$, ... $v_n$.
���������� ����� $w_1$, $w_2$, ... $w_n$ 
� $\Lambda^{n-1}(V)$, ���
$w_k= v_1\wedge v_2 \wedge ... v_{k-1}\wedge v_{k+1}
\wedge ...$
(������������� ��� $v_i$, ����� ������). 
������� $A$ �������� $(A^i_j)$, � �����
$\check A^i_j$ - �����, ���������� ��
$A$ ������������ $i$-� ������ � $j$-�� �������.
��������, ��� $A$ ��������� �� $\Lambda^{n-1}(V)$
�������� $(\check A^i_j)$.
\��

\������ 
� �������� ���������� ������,
���������� ������������� ���������� ����������
\[ 
V \otimes \Lambda^{n-1}(V) \arrow \det V,
\]
�������� �������� $v\otimes w \arrow v\wedge w$.
������� ���������� $k \cong \det V$
����� �������, ��� $v_1\wedge v_2 \wedge ... v_n$
��������� � 1. ��� ������ �������������
���������� ����� $V$ � $\Lambda^{n-1}(V)$. ��������, ���
������������ � $v_1, $v_2$, ... $v_n$
����� � $\Lambda^{n-1}(V)$ ��������
 $w_1$, $-w_2$, $w_3$, $-w_4$, ...
��������, ��� � ���� ������ $A$
��������� �� $\Lambda^{n-1}(V)$
�������� $((-1)^i\check A^i_j)$. 
\��

\������ 
����� $\mu:\; V \arrow V'\arrow k$
������������� ���������� ����������, � 
$A\in \End V$, $B\in \End V'$ �����
������������, ��� $\mu(A v, B v') = \mu(v,  v')$
��� ����� $v, v'\in V, V'$.
������� ������������ ������ �
$V$, $V'$, � ����� $(\alpha^i_j)$,
$(\beta^i_j)$ �� �������. ��������, ���
$(\alpha^i_j)\circ (\beta^i_j)^\bot =1$.
\��

\������ (!)
����� $A\in \End V$, ��� $V$ - $n$-������ ��������� ������������
� ������� $v_1, $v_2$, ... $v_n$, � $(A^i_j)$ �������
$A$. ��������, ��� $A$ �������� ����� � ������ 
�����, ����� $\det A\neq 0$. 
��������, ��� 
\[
A^{-1} = \frac 1{\det A} ((-1)^i\check A^i_j)^\���.
\]
\��

\��������
��������, ��� ��� ������������� ����������
\[ 
V \otimes \Lambda^{n-1}(V) \stackrel \mu \arrow \det V,
\]
�� ����� $\mu(A(v), A(w)) = \det A \mu(v, w)$,
��� $A(w)$ ���������� ������������ ��������
$A$ �� $\Lambda^{n-1}(V)$. ����� ��������������
���������� ������� ��� $(A^i_j)=(\alpha^i_j)$,
$\frac 1{\det A} ((-1)^i\check A^i_j) = (\beta^i_j)^\bot$.
\��

\���������
�� �������� ������ ��������� ������� ����������
�������� ������� ����� ������. ��������������
����� ���� ������� ���� ����� ������� - ������
������� ���� (�� �����������) ��������� ������������
�������� ���� ������� �� $\Lambda^{n-1}(V)$, � 
������������ ���������� ����� $V$ � $\Lambda^{n-1}(V)$
��� �������� $A$ ���������� �� $\det A$, ���
��������� ��������� $A^{-1}$ ����� 
$\det A$ � $\check A$.
\��

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{���������� ������������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\������ (!)
����� $(A^i_j)$ ������� ��������� ��������� $A$.
��������, ��� $\det A$ ����� ���� �������� ���
\[
\sum_{\sigma\in S_n}\sign(\sigma) A^1_{\sigma_1} 
A^2_{\sigma_2} ... A^n_{\sigma_n}
\]
��� $(\sigma_1, \sigma_2, ... \sigma_n)\in S_n$
������������, � ������������ ���������� �� ������
���� ������������.
\��

\��������
�������������� ����� ������ ������� 
$v_1\wedge v_2 \wedge ...\wedge v_n$,
������� ������� � ������ 6 ����� 
������������ �� ������ $S_n$.
\��

\��������� 
����������� ����������� 
���������� ����� ���������� ����
�������
\��

\������
����� $(A^i_j)$ ������� ��������� ��������� $A$.
��������, ��� $\det A$ ����� ���� �������� ���
\[
A^1_1 \check A^1_1 - A^1_2\check A^1_2 + A^1_3\check A^1_3 ...
\]
��� $\check A^i_j$ - ������, ���������� ������������
$i$-� ������ � $j$-�� �������.
\��


\���������
��� ��������� ���������� {\�� ����������� ������������ �� ��������}.
\���

\������ (*)
(������������ �����������)
���������� �������
(### �������!
1 1 1  ... 1
t_1 t_2 t_3 ... t_n
t_1^2 t_2^2 t_3^2 ... t_n^2
...
t_1^{n-1} t_2^{n-1} t_3^{n-1} ... t_n^{n-1}
)
$n>1$. ��������, ��� �� ������������ �����
$\prod_{i<j} (t_i-t_j)$.
\��

\������ (*)
���������� �������
(### �������! t x_1 x_2 x_3 ... x_n
t^2 x_1^2 x_2^2 x_3^2 ... x_n^2
t^4 x_1^4 x_2^4 x_3^4 ... x_n^4
...
t^{2^{n}} x_1^{2^{n}} x_2^{2^{n}} x_3^{2^{n}} ... x_n^{2^{n}}
)
� ��������� �� $P_n(t, x_1, ... x_n)$
�� �����������. ����� �������� ���� �����
$\Z/2\Z$. ��������, ��� $P_n(t, x_1, ... x_n)$
����������, ���� ���������� $t=\sum \alpha_i x_i$,
��� $\sum \alpha_i x_i$ - ������������ ��������
���������� $x_i$. �������� �� ������� ����, ���
\[ 
 P_n(t, x_1, ... x_n) = Q(x_1, ... x_n)\prod (t-\sum
 \alpha_i x_i)
\]
��� $Q$ ���� ����� ������� ��� $\Z/2\Z[x_1, ... x_n]$.
\��

\������ (*)
��������, ��� $Q = P_{n-1}(x_n)$.
\��


\������ (*)
�������� �� ���������� ������, ���
$Q(x_1, ... x_n)\neq 0$.
\��

\������ (*)
(������� �������)
���������� ������� $F_n(t)=\prod (t-\sum
 \alpha_i x_i)\in \Z/2\Z[x_1, ... x_n]$. 
��������, ��� 
\[ F_n(t) = t^{2^n} + \sum^{n-1}_{i=0} c_{n,i} t^{2^i},
\]
��� $c_{n,i}\in \Z/2\Z[x_1, ... x_n]$ ��������
�� $x_1, ... x_n$
\��

\�������� �������������� ���������� �������.
\��

\���������
�������� $c_{n,i}\in \Z/2\Z[x_1, ... x_n]$
���������� {\�� ���������� �������}.
\���


\������ (*)
���������� ������������ $Q_r$ (������, �� ������� �������,
$c_{n,i}$) �������� $F_n(t)$ ��� �������� ��������������
������� $S^*(V)$, ��� $V$ - ��������� ������������
� ������� $x_1, ... x_n$. ���������� ��������
������ $GL(V)$ ��������� �������� ����������
�� $V$, � ��������� ��� ������������ �������
(�� �������������������) �� �������������� �������.
��������, ��� $Q_r$ �����������
������������ $GL(V)$:
\[
Q_r(x_1, x_2, ... x_n) = Q_r(h(x_1), h(x_2), ... h(x_n))
\]
��� $h\in GL(V)$ - ����� ��������� �����������.
\��

\���������
���������� � ������
��������� $S^*(V)$ ��������� $GL(V)$-������������
���������. ������ (1911) �������, ��� ��� ������
���� ������ ��������� �� ���������� $c_{n,i}$.
����������� ��. 

A PRIMER ON THE DICKSON INVARIANTS, 
Contemporary Mathematics 19 (1983), 421-434.
http://www.math.purdue.edu/~wilker/papers/dickson.pdf

\���








\section{������� 8: ��������� ���������� �����}

+ ������� ����������-����

http://www.mathcs.emory.edu/~skip/dets/dets.ps

\section{������� 9: �������� ����}

\subsection{������� �����������}

