\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Лемма}
\newtheorem{prop}[theorem]{Предложение}
\newtheorem{corr}[theorem]{Следствие}
\newtheorem{exercize}[theorem]{Упражнение}
\newtheorem{sch}[theorem]{Факт}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opredelenie}[theorem]{Определение}
\newtheorem{zamechanie}[theorem]{Замечание}

%%%%% Разное

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][Доказательство.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

%%%%% Буквы

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{Спецпоток ``Тривиум'', семестр 2 -- конспект лекций по анализу}
{Спецпоток ``Тривиум'', семестр 2 -- конспект лекций по анализу}

\begin{document}

\section{Лекция 1.}

Пусть $V$, $W$ -- конечномерные векторные пространства над полем
$\R$ вещественных чисел. Грубо говоря, анализ многих переменных
изучает отображения $f:V \to W$ -- или, иными словами, $W$-значные
функции на $V$. Такие отображения могут появляться из других облатей
математики, из физики и т.д. Однако произвольное отображение может
быть устроено невероятно сложно; поэтому первая задача -- выделить
класс отображений, которые ведут себя ``достаточно хорошо''. При
этом класс этот должен быть достаточно большим, чтобы включать в
себя все ``естественные'' примеры.

Анализ отличается от других дисциплин тем, что функции в нем
изучаются локально -- требуется, чтобы функция $f$ ``вблизи'' каждой
точки $x \in V$ близка к ``хорошей''. Требуется понять, что такое
``вблизи'' и что такое ``хорошая функция''.

Исторически, ``анализ'' это сокращение от ``анализ бесконечно
малых'' -- что происходит с функцией при малом изменении
параметра. Сейчас про бесконечно малые предпочитают не говорить, но
какой-то способ отличать ``малые'' изменения параметра
нужен. Поэтому предполагают, что на $V$ и на $W$ заданы евклидовы
метрики, так что оба становятся метрическими пространствами. Теперь
можно, например, выбрать вещественное число $\eps > 0$, и сказать,
что близкие точки $V$ -- это точки, расстояние между которыми меньше
$\eps$.

Какие же функции на $V$ признать ``хорошими''? Самые хорошие функции
это конечно постоянные. Функция, близкая к постоянной возле каждой
точки $x \in V$ -- это непрерывная функция (напомним определение:
$f:V \to W$ непрерывна в точке $x \in V$, если $f(x)=\lim_{v \to
0}f(x+v)$, что в свою очередь значит ``для каждого $\eps > 0$
существует такое $\delta > 0$, что из $\|v\| < \delta$ следует
$\|f(x+v)-f(x)\| < \eps$''). Однако непрерывные функции тоже могут
быть устроены слишком сложно -- например, существует непрерывное
сюръективное отображение из отрезка в квадрат (кривая
Пеано). Требуется более тонкое условие: функция должа быть близка к
хорошей в более сильном смысле. Чтобы такое условие было применимо
на практике, надо расширить класс хороших функций -- кроме констант,
``хорошими'' объявлают линейные отображения $P:V \to W$.

\begin{opredelenie}\label{df.defn}
Говорят, что функция $f:V \to W$ {\em дифференцируема в точке} $x
\in V$, если для некоторого линейного отображения $P:V \to W$ верно
следующее: для любой константы $C > 0$ есть такое $\delta > 0$, что
\begin{equation}\label{df.1}
\|f(x+v)-f(x)-P(v)\| < C\|v\|
\end{equation}
при $\|v\| < \delta$.
\end{opredelenie}

\begin{zamechanie}
В этом определении на самом деле не требуется, чтобы $f$ была
определена на всем $V$; на практике, часто рассматривают функции,
определенные только на каком-то открытом множестве $U \subset V$.
\end{zamechanie}

\begin{zamechanie}
Определение требует введения евклидовых метрик на $V$ и $W$, но {\em
не зависит от этого выбора}: действительно, если даны две метрики
$\|-\|_1$, $\|-\|_2$, то существуют такие константы $C_2 > C_1 > 0$,
что $C_1\|v\|_2 < \|v_2\|_1 < C_2\|v\|_2$ (почему? -- упражнение).
\end{zamechanie}

\begin{zamechanie}
Пусть есть две величины $A(h)$, $B(h)$, зависящие от параметра $h$,
и вещественнозначная положительная функция $G(h) < 0$. Говорят --
точнее, пишут -- что
$$
A(h) = B(h) + o(G(h))
$$
при $h \to h_0$, если для любого $C > 0$ существует такое $\delta >
0$, что $\|A(h)-B(h)\| < CG(h)$ при $\|h - h_0\| < \delta$. При
аккуратном использовании, эти обозначения позволяют сильно упросить
формулы. Условие \eqref{df.1} в них запишется так:
$$
f(x+v) = f(x) + P(v) + o(\|v\|)
$$
при $v \to 0$.
\end{zamechanie}

\begin{lemma}
Пусть дано линейное отображение $P:V \to W$. Если $P(v)=o(\|v\|)$ при
$v \to 0$, то $P(v)$ тождественно равно $0$.
\end{lemma}

\proof{} Для любого $\lambda > 0$ имеем
$$
P(v) = \frac{P(\lambda(v))}{\lambda}.
$$
Т.к. $P(v)=o(\|v\|)$ при $v \to 0$, то правая часть есть $o(1)$ при
$\lambda \to 0$. Т.к. левая часть от $\lambda$ не зависит, обе
тождественно равны $0$.
\endproof

В силу этой Леммы, линейное отображение $P$ в
Определении~\ref{df.defn} определено однозначно; оно называется {\em
производной отображения $f$ в точке $x \in V$}, и обозначается
$$
D(f)_x \in \Hom(V,W).
$$
Например, пусть $f:V \to W$ -- линейное отображение; тогда оно
дифференцируемо в каждой точке $x \in V$, и $D(f)_x=f$ (\eqref{df.1}
выполнено с нулевым остаточным членом).  В общем случае, для
вычисления производной можно применять следующий очевидный
факт. Возьмем вектор $v \in V$ и функцию $f:U \to V$,
дифференцируемую в точке $x \in U$; тогда
\begin{equation}\label{vych}
Df_x(v) = \lim_{\lambda \to 0} \frac{1}{\lambda}(T_{\lambda
v}(f)(x)-f(x))
\end{equation}
(здесь $T_v$ -- параллельный перенос на вектор $v$, a $T_v(f)$ --
функция, полученная из $f$ параллельным переносом -- иными словами,
$T_v(f)(x) = f(T_v(x))=f(x+v)$). Вместо $Df_x(v)$ мы иногда будем
писать $D_v(f)(x)$; тогда \eqref{vych} выражает операцию $D_v$ на
пространстве функций как предел операций $T_{\lambda v}$. Правая
часть \eqref{vych} -- если она существует -- называется {\em частной
производной} функции $f$ в точке $x$ в направлении вектора $v$ (при
этом $f$ может и не быть дифференцируема в точке $x$).

Пусть задана функция $f:U \to W$ на области $U \subset V$, которая
дифференцируема в каждой точке $x \in U$. Назовем {\em производной}
$f$ функцию $Df:U \to \Hom(V,W)$, $x \mapsto D(f)_x$. Если
производная $Df$ непрерывна, говорят, что функция $f$ (один раз)
непрерывно дифференцируема. По индукции, говорят что $f$ $k$ раз
непрерывно дифференцируема, если она дифференцируема, а $Df$
непрерывно дифференцируема $(k-1)$ раз. Пространство $W$-значных $k$
раз непрерывно дифференцируемых функций на $U$ обозначается через
$C^k(U,W)$. Множество непрерывных функций $f:U \to W$ обозначается
через $C^0(U,W)$. Множество функций, которые непрерывно
дифференцируемы на $U$ любое число раз, обозначается $C^\infty(U,W)$.

\begin{lemma}\label{leib}
\begin{enumerate}
\item Если даны $f,g \in C^k(U,W)$, то $f+g \in C^k(U,W)$, и
$D(f+g)=Df+Dg$.
\item Если даны $f \in C^k(U,W)$, $g \in C^k(U,\R)$, то $fg \in
C^k(U,W)$, и
\begin{equation}\label{leib.eq}
D(fg) = D(f)g+fD(g).
\end{equation} 
\item Если даны $f \in C^k(U,W)$ и $g \in C^k(U',W')$, где
область $U' \subset W$ содержит $f(U) \subset W$, то $g \circ f \in
C^k(U,W')$, и
$$
D(g \circ f)_x = Dg_{f(x)} \circ Df_x.
$$
\end{enumerate}
\end{lemma}

\proof{} Упражнение. \endproof

Для любой функции $f \in C^k(U,W)$, $k$-кратная производная $D^kf$
определяется по индукции: полагаем $D^kf=D(D^{k-1}f)$. Пусть сначала
$V$ одномерно, $V = \R$. Тогда $\Hom(V,W)=W$, и первая производная
$Df$ -- а следовательно, и кратные производные $D^kf$ -- суть
функции из $U$ в $W$. Следующий важный технический факт позволяет
точнее оценить поправочный член $o(\|v\|)$ в \eqref{df.1}

\begin{lemma}[Теорема о малом приращении.]
Пусть дана функция $f \in C^1(U,W)$, $U \subset \R$, и $f(x)=0$ в
некоторой точке $x \in U$. Тогда
$$
\|f(x+v)\| \leq \sup_{0 \leq \lambda \leq 1}\|Df(x+ \lambda v)\|\|v\|.
$$
\end{lemma}

\proof{} Положим $w = f(x+v)-f(x)$, и пусть $O:W \to w\cdot\R$ --
ортогональная проекция на одномерное пространство, натянутое на
$w$. По Лемме~\ref{leib}~\thetag{ii}, функция $f_1 = O \circ f:U \to
\R$ непрерывно дифференцируема, причем поскольку $\|DO_x(w')\| =
\|O(w')\| \leq \|w'\|$ для любого $\|w'\|$, достаточно доказать
утверждение для функции $f_1$. Рассмотрим функцию
$g(\lambda)=f_1(x+\lambda v)-\lambda f_1(x+v)$ из отрезка $[0,1]$ в
$\R$; тогда $g(0)=g(1)=0$, и достаточно доказать, что для какого-то
$\lambda \in [0,1]$ имеем $Dg_\lambda=0$. Т.к. отрезок компактен, то
$g$ достигает на нем и максимума, и минимумa. Если и то, и другое
происходит в концах отрезка, то $g(\lambda)$ тождественно равна
$0$. Иначе она достигает -- скажем, максимума -- во внутренней точке
$\lambda \in ]0,1[$. Подходя к ней справа и слева, и вычисляя
$Dg_\lambda$ по \eqref{vych}, получаем $Dg_\lambda=0$.
\endproof

\begin{corr}\label{est.corr}
Пусть дана функция $f \in C^k(U,W)$, $U \subset \R$, и
$f(x)=Df_x= \dots = D^{k-1}f_x = 0$ в некоторой точке $x \in U$. Тогда
$$
\|f(x+v)\| \leq \sup_{0 \leq \lambda \leq 1}D^kf(x+ \lambda v)\|v\|^k.
$$
\end{corr}

\proof{} Индукция по $k$:
$$
\|f(x+v)\| \leq \|v\|\sup_{0 \leq \lambda \leq 1}Df(x+ \lambda v)
\leq \|v\|\sup_{0 \leq \lambda,\lambda' \leq 1}D^{k-1}f(x+
\lambda\lambda' v)\lambda^{k-1}\|v\|,
$$
что не больше требуемого. \endproof

Вернемся теперь к случаю, когда $V$ общее. Напомним, что для каждого
целого $k \geq 1$ определено пространство $\Hom(V^{\otimes k},W)$
{\em $W$-значных полилинейных форм степени $k$ на $V$}. Используя
канонические изоморфизмы $\Hom(V,\Hom(V^{\otimes (k-1)},W)) \cong
\Hom(V^{\otimes k},W)$, кратные производные любой функции $f \in
C^k(U,W)$ можно интерпретировать как функции $D^kf:U \to
\Hom(V^{\otimes k},W)$. 

\begin{opredelenie}
Функция $P:V \to W$, заданная формулой
$$
P(v) = A(v \otimes v \otimes \dots \otimes v)
$$
для какой-то полилинейной формы $A \in \Hom(V^{\otimes k},W)$,
называется {\em полиномиальной степени $k$}.
\end{opredelenie}

Неформально, полиномиальная функция -- это линейная комбинация
$k$-кратных произведений вида $x_1(v)x_2(v) \dots x_k(v)w$, где $w
\in W$ -- какой-то вектор, а $x_1,x_2,\dots,x_k \in V^*$ -- линейные
формы на $V$. Заметим, что для $k=2$, $W=\R$ такие функции изучались
в листке Алгебра 3 -- это соответствие между симметрическими
билинейными формами и квадратичными функциями на $V$. Вообще, для
любого $k$ полиномиальные формы образуют конечномерное векторное
пространство $S^k(V,W)$, факторпространство $\Hom(V^{\otimes
k},W)$. Обозначим через $\Sym$ каноническое отображение
$\Hom(V^{\otimes k},W) \to S^k(V,W)$.

\begin{lemma}\label{df.poly}
Пусть $P \in S^k(V,W)$ -- полиномиальная функция. Тогда $P \in
C^\infty(V,W)$, $D^pP = 0$ для всех $p \neq k$, полинейная форма
$D^kP_0 \in \Hom(V^{\otimes k},W)$ симметрична по всем аргументам, и
$\Sym D^kP_0=k!P$.
\end{lemma}

\proof{} Чтобы доказать, что $D^kP$ симметрична, надо доказать, что
частные производные $D_{v_1}, D_{v_2}, \dots, D_{v_k}$ по любому
набору векторов $v_1,v_2,\dots,v_k$ коммутируют между собой. По
индукции, достаточно доказать, что коммутируют $D_1=D_{v_1}$ и
$D_2=D_{v_2}$.

\proof[Алгебраическое доказательство.]  Заметим, что операция
$D=D_1D_2-D_2D_1$ тоже удовлетворяет \eqref{leib.eq} (которое,
кстати, называется {\em правило Лейбница}).  По линейности,
достаточно доказать что $DP=0$ для $P=x_1 \dots x_kw$,
$x_1,\dots,x_k \in V^*$, $w \in W$. По правилу Лейбница, для этого
достаточно доказать, что $Dx_i=0$, что очевидно.
\endproof

\proof[Геометрическое доказательство.]
По \eqref{vych}, имеем
$$
D_1D_2P = \lim_{\lambda_1 \to 0}\lim_{\lambda_2 \to
  0}\frac{1}{\lambda_1\lambda_2}
(T_{\lambda_1v_1}(T_{\lambda_1v_1}(f)) - T_{\lambda_1v_1}(f) -
T_{\lambda_2v_2} + f).
$$
Но параллельные переносы $T_{\lambda_1v_1}$ и $T_{\lambda_2v_2}$
коммутируют; поэтому формула для $D_2D_1P$ отличается лишь порядком
пределов. Легко проверить, что поскольку $P$ -- полиномиальная
функция, существует предел
$$
\lim_{\lambda_1 \to 0,\lambda_2 \to
  0}\frac{1}{\lambda_1\lambda_2}
(T_{\lambda_1v_1}(T_{\lambda_1v_1}(f)) - T_{\lambda_1v_1}(f) -
T_{\lambda_2v_2} + f)
$$
одновременно по $\lambda_1$ и $\lambda_2$. Поэтому в каком порядке
вычислять предел, все равно.
\endproof

Осталось получить константу $k!$. Для этого достаточно вычислить
$D^kP(v,v,\dots,v)$ для любого вектора $v$, т.е. вычислить $D_v^kP$
и сравнить его с $P(v)$. Это легко следует из \eqref{leib.eq}.
\endproof

\begin{zamechanie}
На самом деле, отображение $\Sym$ отождествляет $S^k(V,W)$ с
пространством симметрических полинейных форм $V^{\otimes k} \to W$.
\end{zamechanie}

\begin{zamechanie}
Едиснтвенное место в геометрическом доказательстве формулы
$D_1D_2=D_2D_1$, где мы использовали полиномиальность $P$ -- это в
том утверждении, что существует одновременный предел. К сожалению,
хотя утверждение верно для любой функции $f \in C^2(U,W)$, просто
доказать существование одновременного предела в общем случае не
удается. Поэтому само утверждение мы ниже выведем из
Леммы~\ref{df.poly}.
\end{zamechanie}

Евклидовы метрики на $V$ и $W$ задают евклидовы метрику и на
пространстве полилинейных форм $\Hom(V^{\otimes k},W)$, и на
пространстве симметрических форм $S^k(V,W)$; при этом для любого $P
\in S^k(V,W)$ и любого $v \in V$ имеем
\begin{equation}\label{prod}
\|P(v)\| \leq \|P\|\|v\|,
\end{equation}
где $P:V \to W$ -- соответствующая полиномиальная функция.

Пусть $f \in C^k(U,W)$, и пусть $P^k(f)_x$ -- полиномиальная
функция, соответствующая полилинейной форме $D^kf_x$. Тогда по
Лемме~\ref{leib}~\thetag{ii}, $P^k(f)_x$ имеет следующий
геометрический смысле: если ограничить функцию $f$ на какую-нибудь
прямую $x + \lambda v$, проходящую через фиксированную точку $x \in
U$, то $k$-я производная ограниченной функции, вычисленная в точке
$x$, равна $P^k(f)_x(v)$.

\begin{prop}[Ряд Тэйлора]\label{taylor}
Пусть дана $f \in C^k(U,W)$ и точкa $x \in U$; тогда
$$
f(x+v) = f(x) + P^1f_x(v) + \dots + \frac{1}{k!}P^kf_x(v) + o(\|v\|^k)
$$
при $v \to 0$.
\end{prop}

\proof{} По Лемме~\ref{df.poly}, утверждение верно для
полиномиальных функций $f$ (причем верно с нулевым остаточным
членом). Поэтому можно вычесть из $f$ все полиномы
$\frac{1}{l!}P^lf_x(v)$, и доказывать, что если $f(x)=P^1f_x(v)=
\dots = P^kf_x(v)0$, то $f(x+v)=o(\|v\|^k)$ при $v \to
0$. Ограничивая $f$ на прямую $x + \lambda v$, $\lambda \in \R$, по
следствию~\ref{est.corr} получаем
$$
\|f(x+v)\| \leq \sup_{0 \leq \lambda \leq 1}\|P^kf_{x + \lambda
v}(v)\|\|v\|^{k-1}.
$$
Поэтому если $\|v\| < \delta$, то, учитывая \eqref{prod},
$$
\|f(x+v)\| \leq \|v\|^{k-1}\sup_{v, \|v\| <
\delta}\|P^kf_{x+v}\|\|v\|.
$$
Но так как $P^kf_{x+v}$ -- непрерывная функция от $v$, а $P^kf_x=0$,
то выражение $\sup_{v, \|v\| < \delta}\|P^kf_{x+v}\|$ есть $o(1)$
при $\delta \to 0$.
\endproof

\begin{corr}\label{comm}
Пусть $f \in C^k(U,W)$, $x \in U$. Тогда полилинейная форма $D^kf_x$
на $V$ симметрична по всем аргументам.
\end{corr}

\proof{} В силу Предложения~\ref{taylor}, достаточно доказать
утверждение для полиномиальных функций -- вычисляя производную по
\eqref{vych}, видим, что остаточный член не дает в нее никакого
вклада. Но для полиномиальных функций утверждение уже доказано в
Лемме~\ref{df.poly}.
\endproof

\begin{exercize}
Пусть в пространстве $V$ задан базис $v_1,\dots,v_n$; пусть, кроме
того, данан непрерывная функция $f:U \to W$. Предположим, что все
частные производные $D_{v_i}f_x$ существуют и непрерывны по $x \in
U$. Докажите, что функция $f$ непрерывно дифференцируема. Верно ли,
что $f$ дифференцируема в любой точке $x \in U$, если не
предполагать, что частные производные $D_{v_i}f$ непрерывны?
\end{exercize}

\end{document}

