\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{theorem}{�������}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{�����}
\newtheorem{prop}[theorem]{�����������}
\newtheorem{corr}[theorem]{���������}
\newtheorem{exercize}[theorem]{����������}
\newtheorem{sch}[theorem]{����}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opredelenie}[theorem]{�����������}
\newtheorem{zamechanie}[theorem]{���������}

%%%%% ������

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][��������������.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}
\def\wt{\widetilde}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

%%%%% �����

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}

\newcommand{\A}{{\mathcal A}}

\newcommand{\m}{\mathfrak m}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}
\newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}}

\newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}

\newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}}

\def\ds{\displaystyle}

\newcommand{\6}{\partial}
\def\grad{\operatorname{\sf grad}}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{��������� ``�������'', ������� 2 -- �������� ������ �� �������}
{��������� ``�������'', ������� 2 -- �������� ������ �� �������}

\begin{document}

\section{������ 10.}

�� ��������� ������� ������ ���, ��� �������������� ������� �
``������������� � �������������� ������� ����������������
���������''. ������ ��� ��� ����������? ���������������� ����������
(������, ������������ ���������������� ���������) ����������
�������� ����
\begin{equation}\label{ode}
\frac{\6}{\6 t}y = f(y,t).
\end{equation}
� ����� ������� ������ ����� $t$ -- ���������� �� ������ $\R$, $f$
-- ������� ������� �� ������������ $\R \times \R$, � $y=y(t)$ --
��������� ������� $\R$-������� ������� �� $t$, ����� �������,
����������� �� $\R$ � $\R$. ��������������, ��� $f$ ������, � $y$
���� �����. � ������� ��������, ����� ��������� ������������ $V$, �
������������� ������� $y:\R \to V$. ��� ����� ���� ����� � ��������
$f$? ��������, ��� ��� ����, ����� \eqref{ode} ����� �����, $f$
������ ���� �������� �� $V \times \R$ �� ���������� � $V$. ���
������, ����� ��� �������� ��� $V$ �� �����-�� ����������� $U
\subset V$, � ������ $\R$ -- �� �������� $I \subset \R$; ����� $f$
����� ������������ �� ������������ $U \times I$ � $V$, � ��������
��������� \eqref{ode} ������ ���� ������� $y:\R \to U$.

����� ������ $U$ -- ������ ����������� �������, ��� ���� �������
������������, ��� �������������� �������� $U \subset V$ � ���������
������������. ��� ����� ������� ����� \eqref{ode}?

��� ������� ����� ������ �����, ������� -- $f=f(y,t)$ ������ ����
��������� ����� �� $U \times I$. ���� ������, �������, ��� � ������
����� $\langle u,t \rangle \in U \times I$ ����������� ������������
����������� ��������� � ������ �����: $T_{\langle u,t \rangle} (U
\times I) = T_uU \oplus T_tI$. ������� �� ������� ���������� �����
�������� {\em �������������}, � �� ������� -- {\em ���������������}
(�� ��������� � ������������ �������� $U \times I \to I$). �����
$f=f(y,x)$ -- ������������ ��������� ���� �� $U \times I$ (�.�. �
����� ����� $\langle u,t \rangle$ ������ $f_{\langle u,t \rangle}$
������������). ������ \eqref{ode} ����� ���������� ���:
$$
Dy_t(e_t) = f_{\langle y(t),t \rangle}.
$$
����� $e_t$ -- ��������� ����������� ������ � $I$, � $Dy_t$ --
������������ ����������� $y:I \to U \times I$ (����������� � �����
$t$).

������ ������� ��������� ���. ������ ����������� $y:I \to U$
���������� ��� ������ $Y:I \to U \times I$, $Y(t)=\langle y(t),t
\rangle$. � ������ ������������� ���������� ���� $f$ ����������
����� $\wt{f}=f+e_t$ -- ������� � ������������� �������
$f=f_{\langle u,t \rangle}$ ��������� �������������� ������
$e_t$. ����� \eqref{ode} ����������� ���:
$$
DY_t(e_t) = \wt{f}_{Y(t)}.
$$
����� �������, � ��� ���� ������� (��� ����� ������������) $\wt{U} =
U \times \R$ � ��������� ���� $\wt{f}$ �� ���, ������ ��������������
���������� ����� ���������� ���� � ����� ����� ���� ��������� ������
$e_t$.

\begin{opredelenie}
����� ���� ��������� ���� $\xi$ �� ������������ $M$.  �����������
$Y:I \to M$ �� ��������� $I$ � $M$ ���������� {\em ������������
������} ���������� ���� $\xi$, ���� � ������� ����� $t \in I$ �����
$DY_t(e_t)=\xi_{Y(t)}$.
\end{opredelenie}

����, \eqref{ode}, ���������� ������� ������������, ������, ��� $Y =
\langle y(t),t \rangle$ ���� ������������ ������ ���������� ����
$\wt{f} = f + e_t$ �� $\wt{U} = U \times I$. �������, ��� �� �����
������������� �������, ��� $Y$ ���� ������� �������� $\pi:\wt{U} \to I$
(������ ��� ������������ ���������� $\pi \circ Y:I \to I$ � ������
����� ��������� ��������� ������ $e_t$ � ��� �� ��������� ������
$e_t$, � ������ $\pi \circ Y = \id$ -- ������������� �����������).

� ���� ��������������, {\em �������������} ������� \eqref{ode} --
��� ����������� � ���, ��� ����� ������ ����� $u \times \{0\} \in
\wt{U}$ (������� ���������� {\em ��������� ��������}) ��������
������������ ������ ���������� ���� $\wt{f}$ (�� ������������, ���
$0 \in I$). �������������� -- ��� ��� ����� ������ ������ ����. ��
����� ���� ����� � ������ ��������, ��������� ��� {\em �������
����������� ������� �� ��������� �������}. �����������,
������������, ��� ��� ����� ������������ ������������ ������ ������
������� �� ���������� ������� $u \in U$. ��������� ��, ���������
������������ ������ $Y:I \to U \times I$, ���������� ����� $u \times
\{0\} \in U \times I$, ����� $Y_u$, � ���������� ����� �����������
$$
\Phi:\wt{U} \to \wt{U}, \qquad \Phi(\langle u,t \rangle) = Y_u(t).
$$
����� ������������, ��� ��� ������� �����������. ��� ������ �����
�������������� ���: ���������� ������� ����������� $\Phi:\wt{U} \to
\wt{U}$, ������� ����������� � ��������� $\wt{U} \to I$ �
������������� �������
$$
D\Phi(e_t)=\wt{f}.
$$
��� ��� ��� ��, ��� � ������������ � ����� ������� ������ -- ������
��� ����, ����� $\Phi$ ������������� ������������, ������ �����
�������� $U$ �� �������� ������������ $U' \subset U$, � $I$ -- ��
������� �������� $I' \subset I$.

������� ������ ��� �����������.

\proof[�������������� ������� � �������� ����. ���������.]
��� � ������� �� �������� �������, ������� � ��������
���������������� ��������� ������������ ������� ����������������
����������� -- ������ ���������� ���������� �� ����� �������, �
����� �������. �������� ��� ��������������, ������, �����.

����, ����� ���� ��������� ���� $\wt{f}=f+e_t$ �� ������� $\wt{U} =
U \times I$. ������� �������� $U \subset V$ � ���������
������������. ���� ����� ����������� $\Phi:\wt{U} \to
\wt{U}$, ����������� � ��������� �� $I$ (�.�. $\Phi(\langle
u,t\rangle)= \langle y(u,t),t \rangle$). ����� ������ ��� � ����
$$
\Phi(\langle u,t\rangle) = \langle u + h(u,t),t \rangle,
$$
��� $h:U \times I \to V$ -- ��������� ������� �������. �� ���������
���� ����������� ������� $h:U \times I \to V$ ��������� �������� $G$
��������� �������:
$$
G(h)(u,t) = \int_0^t f(u+h(u,\tau),\tau)d\tau.
$$
\begin{lemma}
������� $\Phi$ ���� ������� \eqref{ode} ����� � ������ �����, �����
��������������� ������� $h$ ���� ����������� ����� ����������� $G$:
$G(h)(u,t) = h(u,t)$ ��� ����� $u \in U$, $t \in I$.
\end{lemma}

\proof{} ������� $y$ �� ��������� \eqref{ode}, ���������� ������
$\Phi$ � ���������� ������� $u \in U$ -- ��� ������
$y_u(t)=u+h(u,t)$. ��������� $G(h)=h$, ����� $y_u(t)=u+G(h)(u,t)$, �
$$
\frac{\6}{\6 t}y_u(t)=\frac{\6}{\6 t}G(h)(u,t) = f(u+h(u,t),t) =
f(y_u(t),t). \qquad\qquad\square.
$$

������� ������, ���, ��������� $f$ �������������� �������, �� �����
�������, �������� ��� ������������� $U$ � $I$, ���
\begin{align}
\|f(t,u)-f(t,u')\| &< L\|u-u'\|,\label{lipsh}\\
f(t,u) &< C\notag
\end{align}
��� $C,L > 0$ -- ��������� ������������� ��������� (� $t \in I$,
$u,u' \in U$ ������������). ����� ����, ��� �������� $U$ � $I$,
����� �������, ��� $L|t|<C_1<1$ ��� ������������� ���������
$C_1$, ������� $1$.

\begin{lemma}
����� $h_1$, $h_2$ ������������� ������� $\|h_i(u,t)\| < C |t|$, �
$\|h_1 - h_2\| < A$ ��� ������-�� $A > 0$. ����� $\|G(h_i)(u,t)\| <
C |t|$, � $G(h_1)-G(h_2) < C_1A$.
\end{lemma}

\proof{} �� �����������, �����
$$
\|G(h_i)(u,t)\| = \left\|\int_0^tf(u+h_i(u,\tau),\tau)d\tau\right\|
< \left\| \int_0^tCd\tau\right\| = C|t|.
$$
����� ����, ��������� $u \in U$ � �������
$f_i(\tau)=f(u+h_i(u,\tau),\tau)$.
$$
\|G(h_1)(u,t)-G(h_2)(u,t)\|=\left\|\int_0^t(f_2(\tau) -
f_1(\tau))d\tau\right\| \leq \int_0^t\|(f_2(\tau) -
f_1(\tau))\|d\tau < L\int_0^tAd\tau = C_1A,
$$
��� �� ��������� � $f_i(\tau)$ ������ \eqref{lipsh}.
\endproof

�� ���� �������������� ����������� ���������. � ������, ��������
����� $U' \subset U$, $I' \subset I$, ��� ��� ����� $u \in U'$, $t
\in I'$ � ������ $v \in V$ � $\|v\|<C|t|$ ����� $u+v \in U$, �
������������� ������������ $A$ ���� ����������� ������� $h:U' \times
I' \to U$, ��� ������� $\|h(t_1)-h(t_2)\|<C|t_1-t_2|$. ����� � ����
�����, �������� $G$ ������ ���������� �� ��������� $A$ (������� ��
$U'$ � $I'$ �����, ����� $u+h(u,t)$ �������� � ������� �����������
$f$). ����� ����, ��������� �� $A$ �������, �������
$$
d(h_1,h_2)=\sup_{U' \times I'}|h_1(u,t)-h_2(u,t)|.
$$
�����, ��� �� �����, $A$ � ���� �������� ���� ������ ��������������
������������. � � ������ �������, $G:A \to A$, � ���� ����� --
���������� �����������. �������������, � ���� ���� ������������
����������� �����.

���� ������ �� ���� ��������: ����� ����������� $A$ ���� ������,
���������� ������������� {\em �����������} ������� $h$. � ��� �����
{\em �������} ����������� $\Phi:U' \times I' \to U \times I$. ���
����� ����� �������� ������� bootstraping: ���� �� �����, ��� $\Phi$
������ ���������, � ��� ������� ����� ��������� ����� �����
��������� $C^k$, �� ����������� $D\Phi$ ������������� ���������
$$
\frac{\6}{\6 t}D_v\Phi(u,t)=Df_{\langle \Phi(u,t),t
\rangle}(f(\Phi(\langle u,t \rangle))),
$$
� ������ ���� ����� ����� ��������� $C^k$, � ������ $\Phi$ �����
����� ��������� $C^{k+1}$. ��������� ���������� ����� ��������� ��
��������� � �������� ����������.
\endproof

\begin{corr}
����� $\xi$ -- ��������� ���� �� ������������ $M$. ����� � �����
����� ���� ����������� $U \subset M$ � ����� ����� $\Phi=\Psi_t:U
\times I \to M$, ������������ �� ��������� ��������� $I$, ��� $\xi$
���������� � $\Psi_t$.
\end{corr}

\proof{} ��� ���������� ������������ ������� � �������� \eqref{ode}
��� �������������� �������������: $f$ �� ������� ��
$t$. �������������, ������� $f(u,t)=\xi_u$, � ����� $\Phi:U \times I
\to M \times I$ -- ������� ���������������� ���������. ����� �����
$$
\Phi(u,t)=\langle \Psi(u,t),t \rangle
$$
��� ������-�� ����������� $\Psi:U \times I \to M$, � ������ ��
����������� $\xi$ ���������� � $\Psi$. ����� ����, �.�. $f$ ��
������� �� $t$, �� ��� ������ $t' \in I$ �����������
$\Psi^{t'}(u,t)=\Psi(u,t+t')$ ���� ���� ������� \eqref{ode}; � ����
�������������� ����� $\Psi_t \circ \Psi_{t'} = \Psi_{t+t'}$.
\endproof

\begin{corr}[������� � �����������.]
����� $\xi$ -- ��������� ���� �� ������������ $M$, � ����� $\xi$ ��
����� $0$ � �����-�� ����� $m \in M$. ����� � ����������� ���� �����
���������� ����� ������� ��������� $x_1,\dots,x_n$, ��� $\xi =
\6/\6x_1$.
\end{corr}

\proof{} ����������. ��������: �������� ����� ��������������� $m'
\subset M$ ������������� $1$, ��� $m \in M'$, � ������ $\xi_m$ ��
����� � ����������� ������������ $T_mM' \subset T_mM$; �����,
�������� ������� �� �������� �������, ��������, ��� ���� $\Phi:U
\times I \to M$ -- �����, ���������� $\xi$, �� ��� ����������
��������� $U$, $I$ ����������� $\Phi:(U \cap M') \times I \to M$ --
�������������.
\endproof

\begin{zamechanie}
������� � �������� ��������� ��� ������� ������ ����� �����������,
���������� � ���� ������������ ���� $\xi = \wt{f} = f + e_t$ ��
$\wt{U}=U \times I$. �� �� ��������, � ���� ����� ����� �������
���������� ������� ������.
\end{zamechanie}

�������, ������� ���� ����� �������������� ����, ��� ��������,
������, ����� ������� � ��������. ����� $M$ -- ����������
������������, � $f:M \to \R$ -- ������� �������. �������, ��� $c \in
\R$ {\em ���������� ��������} ������� $f$, ���� $df \neq 0$ � ������
����� ��������� $M_c=f^{-1}(c) \subset M$ (����� �������, ��������
$c$ �� �������� ����������� ����� ������� $f$). �����, ��� �� �����,
$M_c \subset M$ -- ������� ��������������� (������������� $1$).

\begin{prop}
���� $c$ -- ���������� �������� ������� $f$ �� ������� �����������
$M$, �� ���������� �������� $I \subset \R$, ���������� $c$, �
������������� $f^{-1}(I) \cong M_c \times I$, ����������� �
��������� $f:f^{-1}(I) \to I$.
\end{prop}

\proof{} �������, ��� � ����������� ������ ����� $m \in M_c$,
��������� ������������� ����� �������� ������ �� ������� � �������
�������. ������ �� ��������, ���, �� �������, ��� ����������
�������������� ����� ����������� �� ������������! ������� ����
����������� ����������. ������� �������� ������� �� $M$ (���������
$M$ ���������, ��� ������ ����� �������). �������� �������, �
���������, ������ ���������� $g:T^*M \to TM$ ����� ������������� �
����������� ������������. ���������� ��������� ���� $\grad f =
g(df)$ �� $M$ -- ���, ������, ���������� {\em ����������� ���������
�����} ������� $f$. ����� �� ������� � ��������, � ������ ����� $m
\in M_c$ ���� ����������� $U_m \subset M$ � �������������
$\Phi_m:(U_m \cap M_c) \times I \to U_m$, ������� ��������� $\grad
f$ � ��������� ��������� ���� $e_t$. ����� ����, ����� �������������
{\em ������������}. ������ ����� ������� ������� ��������
������������ $M_c$ �������� ������������� $U_� \cap M_c$, ����� �
�������� $I$ ����������� ���� ���������� $I_m$ � �������� ���, �
���� ��������������, �������������� $\Phi_m$ ����������� ��
������������.
\endproof

\end{document}

