\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Лемма}
\newtheorem{prop}[theorem]{Предложение}
\newtheorem{corr}[theorem]{Следствие}
\newtheorem{exercize}[theorem]{Упражнение}
\newtheorem{sch}[theorem]{Факт}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opredelenie}[theorem]{Определение}
\newtheorem{zamechanie}[theorem]{Замечание}

%%%%% Разное

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][Доказательство.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

%%%%% Буквы

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{Спецпоток ``Тривиум'', семестр 2 -- конспект лекций по анализу}
{Спецпоток ``Тривиум'', семестр 2 -- конспект лекций по анализу}

\begin{document}

\section{Лекция 2.}

Докажем теперь несколько результатов о том, как из аналитических
свойств отображений выводить его геометрические свойства. Главный
технический результат здесь такой.

\begin{lemma}\label{open}
Пусть $f:U \to W$ -- непрерывно дифференцируемое отображение из
открытого подмножества $U \subset V$ векторного пространства $V$ в
векторное пространство $W$, и пусть его производная $Df_x:V \to W$ в
точке $x \in U$ -- биективное линейное отображение. Тогда для
какого-то $\delta>0$ образ $f(U) \subset W$ содержит $\delta$-шар
$B_\delta(f(x))$ с центром в $f(x)$ -- т.е. для любого $w \in W$ с
$\|w\| < \delta$ существует такое $x' \in U$, что
$f(x')=f(x)+w$. Более того, отображение $f$ биективно отображает
некоторую окрестность $U' \subset U$ точки $x$ на шар
$B_\delta(f(x))$, а обратное отображение $f^{-1}:B_\delta(x) \to U'$
дифференцируемо в $f(x)$, и $D(f^{-1})_{f(x)}=(Df_x)^{-1}$.
\end{lemma}

\proof{} Пусть $P:V \to W$ -- биективное линейное
отображение. Изменяя при необходимости метрику на $W$, можно
добиться того, что $\|P(v)\|=\|v\|$. Заметим, что для любое
$P'\in\Hom(V,W)$, близкое к $P$, тоже биективно -- действительно,
его определитель близок к $1$, и потому не равен $0$. Более того,
для любой константы $C > 0$ можно найти такое $\delta$, что при
$\|P'-P\| < \delta$ имеем $\|v\| < (1+C)\|P(v)\|$.

Будем теперь решать уравнение $f(x')=f(x)+w$ методом
последовательных приближений. Зафиксируем такую положительную
константу, что $1+C < 2$ и $C(1+C) < \frac{1}{3}$ (например $C =
\frac{1}{6}$). Поскольку $Df$ -- непрерывная функция, можно найти
такое $\delta$, что в любой точке $x' \in U$, $\|x'-x\| < 3\delta$
имеем $\|v\| < (1+C)\|Df_{x'}(v)\|$. Кроме того, поскольку $f \in
C^1(U,W)$, можно добиться того, что для любых $x',v \in V$,
$\|x'-x\|,\|v\| < 3\delta$, имеем $x,x'+v' \in U$ и
\begin{equation}\label{esst}
\|f(x'+v)-f(x') - Df_{x'}(v)\| < C\|v\|.
\end{equation}
Пусть теперь $w \in W$ -- такой вектор, что $\|w\| < \delta$. Тогда
$v = (Df_x)^{-1}(w)$ удовлетворяет $\|v\| < (1+C)\|w\|$. Положив
$x_1 = x + v$, имеем
$$
\|f(x_1)-f(x)-w\| < C\|v\| < C(1+C)\|w\| < \frac{1}{3}\|w\|.
$$
Заменим теперь $\delta$ на $\frac{1}{3}\delta$, $x$ на $x_1$, $w$ на
$f(x)+w-f(x_1)$. Тогда легко проверить, что все наши предположения
по-прежнему выполнены: поскольку $\|v\|<2\|w\|$,
$\frac{1}{3}\delta$-шар с центром в $x_1$ целиком лежит в
$\delta$-шаре с центром в $x$. Однако же норма $\|w\|$ уменьшилась
по меньшей мере в три раза.

По индукции, получаем последовательность точек $x_n$, для которых
$\|f(x_n)-f(x)-w\| < \frac{1}{3^n}\|w\|$, причем
$\|x_{n+1}-x_n\| < \frac{2}{3^n}\delta$. Тогда $x_n$ --
последовательность Коши, она сходится к $x' \in U$, и
$f(x')=f(x)+w$.

Итак, мы доказали, что $f$ сюръективно отображает некоторую
окрестность точки $x \in U$ на $\delta$-шар $B_\delta(f(x))$. Для
доказательства второго утверждения достаточно доказать, что $f$
инъективно в некоторой окрестности $x$ -- тогда можно заменить $U$
на эту окрестность, повторить процедуру, и взять $U' =
f^{-1}(B_\delta(f(x))) \cap U$. Достаточно взять $\delta$-шар с
центром в $x$. Действительно, если $f(x')=f(x'+v)$ для каких-то
$x',x'+v \in B_\delta(x)$, то в силу \eqref{esst} имеем
$$
\|Df_{x'}(v)\| < C\|v\|,
$$
что вместе с $\|v\| < (1+C)\|Df_{x'}(v)\|$ влечет $\|v\| <
C(1+C)\|v\|$ и противоречит предположению $C(1+C) < \frac{1}{3} <
1$.

Наконец, заметим, что в нашем рассуждении вместо $\frac{1}{3}$ можно
использовать $\frac{C'}{3}$ для любого положительного числа $C' <
1$. При этом, суммируя геометрическую прогрессию, мы дополнительно
получим, что первое приближение $x_1$ достаточно хорошее -- а
именно,
$$
\|x_1-x'\| < \frac{2C'}{3}\sum_{k \geq 0}\frac{2}{3^k} = 2C'.
$$
Но по построению $x' = f^{-1}(f(x+w))$, а
$x_1=f^{-1}(f(x))+(Df_x)^{-1}(w)$. Поскольку $C'$ -- произвольное
достаточно малое число, мы по определению получаем, что $f^{-1}$
дифференцируемо в точке $f(x)$, причем
$D(f^{-1})_{f(x)}=(Df_x)^{-1}$.
\endproof

Первое важное следствие Леммы~\ref{open} -- так называемая ``теорема
об обратной функции''. А именно, введем следующее определение.

\begin{opredelenie}
Пусть $U_1,U_2 \subset V$ -- два открытых подмножества векторного
пространства $V$. Отображение $f:U_1 \to U_2$ называется {\em
диффеоморфизмом класса $C^k$}, если оно взаимно-однозначно, причем и
$f:U_1 \to U_2 \subset V$, и $f^{-1}:U_2 \to U_1 \to V$ --
отображения класса $C^k$.
\end{opredelenie}

\begin{prop}[Теорема об обратной функции.]\label{inv}
Пусть $f \in C^k(U,V)$, $U \subset V$, $k \geq 1$, причем $Df_x:V
\to V$ обратимо в какой-то точке $x \in U$. Тогда $f$ --
диффеоморфизм класса $C^k$ какой-то окрестности $U' \subset U$ точки
$x$ и ее образа $f(U') \subset V$.
\end{prop}

\proof{} По Лемме~\ref{open}, у $x \in U$ есть такая окрестность $U'
\subset U$, что $f$ взаимно-однозначно отображает $U'$ на какой-то
$\delta$-шар $f(U')=B_\delta(f(x))$. Более того, по той же Лемме
отображение $f:U' \to f(U')$ переводит открытые множества в
открытые. Поэтому обратное отображение $f^{-1}:f(U') \to U'$
непрерывно. Наконец, по той же Лемме обратное отображение $f^{-1}$
дифференцируемо в каждой точке $y \in f(U')$, причем
$D(f^{-1})_{f(x)}=(Df_x)^{-1}$. Поскольку $f^{-1}$ непрерывно,
а $(Df_x)^{-1}$ непрерывно как функция от $x$, производная
$D(f^{-1}) = (Df)^{-1} \circ f^{-1}$ также непрерывна, т.е. $f$
класса $C^1$. Наконец, если $f$ класса $C^l$ для какого-то $l < k$,
то, поскольку $(Df)^{-1}$ класса $C^k$, производная $D(f^{-1}) =
(Df)^{-1} \circ f^{-1}$ класса $C^l$, т.е. $f^{-1}$ -- на самом деле
класса $l+1$. По индукции, $f$ класса $C^k$.
\endproof

\begin{zamechanie}
Конечно, такое короткое доказательство этого Предложения есть обман
-- мы просто вынесли все технические детали в Лемму~\ref{open}.
\end{zamechanie}

Второе важное следствие Леммы~\ref{open} -- так называемая ``теорема
о неявной функции''.

\begin{prop}[Теорема о неявной функции.]\label{imp}
Пусть $f \in C^k(U,W)$, $U \subset V$ -- некоторое отображение, и
пусть $Df_x:V \to W$ сюръективно в точке $x \in U$. Тогда можно
разложить $V$ в прямую сумму $V = W' \oplus W$, выбрать окрестность
$U' \subset V$ точки $0 \in V$, и такой диффеоморфизм $\Phi:U' \to
\Phi(U') \subset U$ класса $C^k$, что $\Phi(0)=x$, а $\Phi \circ
f:U' \to W$ есть сумма постоянного отображения и проекции на
слагаемое $W \subset V$.
\end{prop}

Иными словами, если производная отображения сюръективна в точке, то
в окрестности этой точки отображение можно представить как проекцию
на прямое слагаемое.

Прежде чем доказывать это Предложение, заметим следующее. Вообще
говоря, это обобщение Предложения~\ref{inv} -- которое получается,
если дполнительно потребовать, чтобы $Df$ было биективно, т.е. $\dim
V = \dim W$. В принципе, если внимательно посмотреть на
доказательство Леммы~\ref{open}, то можно заметить, что для первого
утверждения сюръективности $Df$ достаточно; более того, при
некотором старании можно вывести Предложение~\ref{imp} прямо из
таким образом усиленной Леммы~\ref{open}. В некоторых книгах,
например в очень хорошем учебнике Зорича, так и сделано. Нам,
однако, удобнее сначала доказать теорему об обратной функции, а
теорему о неявной функции вывести из нее с помощью следующего трюка.

\proof{} Возьмем в качестве $W'$ ядро производной $Df_x:V \to W$, и
выберем какую-нибудь проекцию $P:V \to W'$ так, чтобы $P \oplus
Df_x:V \to W' \oplus W$ было биективно. Применяя
Предложение~\ref{inv} к отображению $P \oplus f:U \to W \oplus W'$,
получаем требуемое.
\endproof

\begin{corr}[Теорема об открытом отображнении.]
Пусть $f \in C^1(U,W)$, причем $Df_x:V \to W$ сюръективно для любой
точки $x \in U$. Тогда $f(U) \subset W$ открыто.
\end{corr}

\proof{} Упражнение. Указание: это следует из того, что проекция на
сомножитель переводит открытые множества в открытые; докажите этот
факт, или посмотрите листок Геометрия 6. \endproof

\end{document}
