\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Лемма}
\newtheorem{prop}[theorem]{Предложение}
\newtheorem{corr}[theorem]{Следствие}
\newtheorem{exercize}[theorem]{Упражнение}
\newtheorem{sch}[theorem]{Факт}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opredelenie}[theorem]{Определение}
\newtheorem{zamechanie}[theorem]{Замечание}

%%%%% Разное

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][Доказательство.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

%%%%% Буквы

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{Спецпоток ``Тривиум'', семестр 2 -- конспект лекций по анализу}
{Спецпоток ``Тривиум'', семестр 2 -- конспект лекций по анализу}

\begin{document}

\section{Лекция 3.}

В прошлой лекции мы доказали теоремы об обратной и неявной
функции. Теперь мы продемонстрируем некоторые применения этих
теорем. А именно, мы докажем три утверждения, которые и сами по себе
важны, и показывают, как работать с неявными фунцкиями.

Первое утверждение это на самом деле обобщение теоремы о неявной
функции -- до той степени, до которой ее вообще можно обобщить, не
используя принципиально иные методы.

Напомним, что ранг $\rk P$ линейного отображения $P:V \to W$ -- это
размерность образа $N = \Im P \subset W$.

\begin{prop}[Теорема о постоянном ранге.]
Пусть дана функция $f \in C^k(U,W)$, и пусть ранг производной
$Df_x:V \to W$ -- постоянный в окрестности какой-то точки $x$. Тогда
существуют такие локальные системы координат $\Phi:U \to V$,
$\Psi:U' \to W$ в окрестностях $U'$, $U''$ точек $x$, $f(x)$, что
$\Psi \circ f \circ \Phi^{-1}$ есть линейное отображение $Df_x:V \to
W$.
\end{prop}

\begin{zamechanie}
Локальной системой координат в окрестности $U \subset V$ точки $x
\in U$ называют отображение $\Phi:U \to V$, которое переводит $x$ в
$0 \in V$, и при этом есть диффеоморфизм $U$ на его образ $\Phi(U)
\subset V$. Еще можно, выбрав базис, отождествить $V = \R^n$. В
таком случае диффеоморфизм $\Phi$ задается $n$ функциями
$y_1,\dots,y_n:U \to \R$, $\Phi(v) = \langle y_1(v),\dots,y_n(v)
\rangle \in \R^n$, причем $y_1(x) = \dots = y_n(x)=0$. Говорят, что
$y_1,\dots,y_n$ задают систему координат в окрестности $x$.
\end{zamechanie}

\proof{} Обозначим через $N$ образ отображения $Df_x:V \to W$, и
выберем проекцию $P:W \to N$ на $N \subset W$. Тогда производная
композиции $P \circ f:V \to N$ сюъективна в точке $x$. По теореме о
неявной функции можно, заменив $U$ на меньшую окрестность $U'$,
добиться того, что $V = V' \oplus N$, $x = 0$, и $P \circ f$ в
окрестности $0$ есть проекция на $N$. В частности, производная $D(P
\circ f)$ сюръективна в каждой точке $x' \in U'$, и ранг ее равен
размерности $N = \Im f$, т.е. рангу $Df_x$. С другой стороны, ранг
$Df_{x'}$ по условию тоже равен рангу $Df_x$. Мы имеем $\Ker Df_{x'}
\subset \Ker D(P \circ f)_{x'}$; поскольку это пространства
одинаковой размерности, они совпадают. Итак, любой вектор $v \in V'$
лежит в ядре $Df_{x'}$, т.е. $D_vf = 0$. Поэтому $f(x'+v)=f(x')$ для
любых $v \in V'$, $x' \in U'$ -- иными словами, $f = f_N \circ P_N$,
где $f_N:N \cap U' \to W$ -- какое-то отображение, а $P_N:V \to N$
-- проекция.

Легко видеть, что отображение $f_N$ на самом деле класса $C^k$ --
например, потому, что оно совпадает с ограничением $f$ на $N \cap U'
\subset U'$.

Осталось выбрать такую систему координат $\Psi$ в окрестности $f(x)
\in W$, что $f(U') = f_N(U' \cap N) \subset W$ будет лежать в
координатной гиперплоскости $N \subset W$. Разложим $W = N \oplus
W'$; тогда, поскольку $P \circ f_N$ есть проекция на $N$, имеем
$f_N=\Id \oplus f_N'$ для какого-то отображения $f_N':N \to W'$
(геометрически, $f(U') = f_N(U' \cap N) \subset W$ есть график
отображения $f_N'$). Легко видеть, что достаточно положить $\Psi(n
\oplus w') = n \oplus (w'-f'_N(n))$ для любого $n \oplus w' \in N
\oplus w' = W'$.
\endproof

Второе утверждение совсем простое и довольно техническое, но на
удивление полезное.

\begin{lemma}\label{delit}
Пусть $f \in C^k(U,\R)$, $t \in C^l(U,\R)$ -- две функции, причем $k
\leq l+1$; пусть $Dt_x \neq 0$ в любой точке $x \in U$, а функция
$f$ обращается в $0$ во всех точках, в которых обращается в $0$
функция $t$. Тогда существует такая функция $g \in C^{k-1}(U,\R)$,
что $f = tg$.
\end{lemma}

\proof{} Вне подмножества $t^{-1}(0) \subset U$ утверждение
очевидно: $t$ там обратимо, и можно взять $g=\frac{1}{t}f$. Надо
доказать, что эта функция продолжается до функции класса $C^{k-1}$
на всем $U$. Это достаточно проверять по отдельности в окрестности
каждой точки $x \in U$, $t(x)=0$. Возьмем такую окрестность $U'$. По
теореме о неявной функции, примененной к $t:U \to \R$, можно
предполагать, что $x = 0 \in V$, дано ортогональное разложение $V =
\R \oplus W$, а функция $t$ в окрестности $0$ это просто проекция на
первое слагаемое.

Разложим $f$ в ряд Тэйлора в окрестности $0$. Если $f$ --
полиномиальная функция, то утверждение очевидно: можно, например,
выбрать координаты $t,x_1,\dots,x_n \in V^*$, тогда любой моном от
координат либо содержит $t$, либо нет, и потому любой полином
записывается как $P = P_1t+P_2$, а поскольку мы знаем, что $P=0$ при
$t=0$, полином $P_2$ тождественно равен нулю. Вычитая из $f$
полиномиальный кусок формулы Тэйлора, можем дополнительно
предполагать, что $f=D^1f = \dots =D^kf=0$ в точке $0$. Положим
$g(0)=0$; тогда чтобы $g$ было дифференцируемо $k-1$ раз в точке $0$
нужно доказать, что $\|g(v')\| = o(\|v'\|^{k-1})$ при $v' \to 0$.
Действительно, по формуле Тэйлора для любых векторов $v,v' \in V$
таких что отрезок $[v,v'] \subset V$ целиком лежит в $U'$ имеем
$$
\begin{aligned}
\|f(v')\| &\leq \|f(v)\| + \|Df_v\|\cdot\|v'-v\| + \dots +
\frac{1}{(k-1)!}\|D^{k-1}f_v\|\cdot\|v'-v\|^{k-1} \\
&\quad + \frac{1}{k!}\sup_{0
\leq \lambda \leq 1}\|D^kf_{(1-\lambda)v+\lambda v'}\|\cdot\|v-v'\|^k.
\end{aligned}
$$
Мы будем брать $v' = t \oplus w$, $t \in \R$, $w \in W$, и $v = 0
\oplus w$. Поскольку $V = \R \oplus W$ -- ортогональное разложение,
$\|v\| = \|w\|\leq \|v'\|$ и $\|t\| \leq \|v'\|$. Поскольку $D^pf$
-- функция класса $C^{k-p}$, $\|D^pf_v\|$ есть $o(\|v\|^{k-p})$ при
$v \to 0$, а поэтому
$$
\|f(v')\| \leq \|f(v)\| + |t|o(\|v'\|)^{k-1}
$$
при $v' \to 0$. Но по условию $f(v)=0$, и тем самым, как и
требуется, $\|\frac{f(v')}{t}\| = o(\|v'\|^{k-1})$.
\endproof

Наконец, последнее утверждение это важный общий факт.

\begin{prop}[Лемма Морса.]\label{mrs}
Пусть $f \in C^\infty(U,\R)$, причем в какой-то точке $x \in U$
имеем $f=Df=0$. Пусть к тому же $Q=D^2f_x \in S^2(V,\R)$ --
невырожденная квадратичная форма на $V$. Тогда существует такая
система координат $y_1,\dots,y_n \in C^\infty(U,\R)$ в окрестности
$U'$ точки $x$ -- т.е. такие $n$ функций, что $\langle y_1,\dots,y_n
\rangle:U' \to \R^n$ есть диффеоморфизм -- что
\begin{equation}\label{morse}
f = \pm y_1^2 \pm y_2^2 \pm \dots \pm y_n^2
\end{equation}
при ограничении на $U'$.
\end{prop}

Это утверждение важно вот почему. Во-первых, теория Морса долгое
время был единственный вклад американцев в мировую математику, но
это ладно. Во-вторых же, хорошо известно (а также следует из Леммы
Морса), что если у функции $f$ одной переменной производная
обращается в точке $x$ в ноль, а вторая производная ненулевая, то
$f$ имеет в окрестности $x$ экстремум -- или максимум, или минимум,
в зависимости от знака $D^2f_x$. В случае $n$ переменных это уже
неверно. Однако Лемма Морса показывает, что все не так плохо:
возможно только $n+1$ разных вариантов, в зависимости от количества
плюсов и минусов в \eqref{morse}, и топологию каждого из них можно
подробно изучить, пользуясь явной формулой \eqref{morse}.

\begin{zamechanie}
Забегая сильно вперед, скажем также, что условие невырожденности
второй производной это условие ``общего положения'': любую функцию
можно сколь угодно малым изменением -- говорят ``малым шевелением''
-- привести к такому виду. Поэтому это условие не мешает изучать
топологию. Заметим, что полностью устранить нули первой производной
нельзя -- если у функции есть максимум, то малым шевелением функции
можно разве что немного сдвинуть его, но не уничтожить.
\end{zamechanie}

Доказательство Предложения~\ref{mrs} имитирует доказательство
соответствующего ``линейного'' утверждения: любая невырожденная
квадратичная форма $Q$ на $V$ имеет вид \eqref{morse} в каком-то
базисе $y_1,\dots,y_n \in V^*$. Напомним, вкратце, как это
доказывается (см. также листок Алгебра 3): пользуемся индукцией по
$n = \dim V$; берем вектор $v \in V$, для которого $Q(v) \neq 0$, и
ортогональное разложение $V = v\R \oplus W$ по отношению к $Q$; по
индукции, $Q$ имеет вид \eqref{morse} в ограничении на $W$; далее
берем ортогональную проекцию $P:V \to W$, и полагаем $Q'(v) =
Q(P(v))$. Осталось теперь доказать, что $Q - Q' = y_1^2$ для
какого-то $y_1 \in V^*$, что сразу следует из ортогональности
разложения $V = v\R \oplus W$.

\proof[Доказательство Предложения~\ref{mrs}.]
Выберем вектор $v \in V$, для которого $D^2_vf(x) \neq 0$.
Обозначим $t=D_vf$.

Пусть сначала $\dim V = 1$. Тогда по Лемме~\ref{delit} --
примененной два раза -- имеем $f = t^2 g$ для какой-то функции $g
\in C^\infty(U,\R)$. Кроме того, $g(0) = \frac{1}{2}D_v^2f(0)$ по
предположению не равно нулю -- пусть например $g(0)>0$. Уменьшая
$U$, можно предполагать что и вообще $g > 0$. Но тогда $\sqrt{g}$ --
хорошо определенная гладкая функция. Поэтому $y= t\sqrt{g}$ -- тоже
гладкая функция, что и требовалось.

В общем случае действуем индукцией по $n$. По теореме о неявной
функции, можно полагать $x=0$ и $V = v\R \oplus W$, причем $t$ --
проекция на первое слагаемое. Обозначим через $P$ проекцию на второе
слагаемое, и положим $f'(x) = f(P(x))$. Тогда $f-f'$ -- гладкая
функция, причем $f-f'= D(f-f') = 0$ на $W \subset V$. Поэтому
$f=t^2g$, и $g(0) = \frac{1}{2}D^2_vf(0) \neq 0$. Пусть оно для
определенности положительно; тогда оно положительно и в окрестности
$0$, а потому $y=\sqrt{g}t$ -- гладкая функция в окрестности $0$.
\endproof

\begin{zamechanie}
При более аккуратном, и более муторном доказательстве --
см. например учебник Зорича -- можно доказать, что на самом деле
достаточно $f \in C^3(U,\R)$ (а координаты $y_i$ тогда получаются
класса $C^2$).
\end{zamechanie}

\end{document}

