\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Лемма}
\newtheorem{prop}[theorem]{Предложение}
\newtheorem{corr}[theorem]{Следствие}
\newtheorem{exercize}[theorem]{Упражнение}
\newtheorem{sch}[theorem]{Факт}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opredelenie}[theorem]{Определение}
\newtheorem{zamechanie}[theorem]{Замечание}

%%%%% Разное

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][Доказательство.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

%%%%% Буквы

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}

\newcommand{\A}{{\mathcal A}}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{Спецпоток ``Тривиум'', семестр 2 -- конспект лекций по анализу}
{Спецпоток ``Тривиум'', семестр 2 -- конспект лекций по анализу}

\begin{document}

\section{Лекция 4.}

Пусть $U_1,U_2 \subset V$ -- два открытых подмножества векторного
пространства $V$, и пусть дан диффеоморфизм $\Phi:U_1 \to
U_2$. Тогда пространства гладких функций на $U_1$ и на $U_2$
канонически отождествлены: для любого векторного пространства $W$,
$f \mapsto f \circ \Phi$ дает изоморфизм между простраствами
$C^k(U_1,W)$ и $C^k(U_2,W)$. Точка зрения, которой мы
последовательно придерживаться в этом курсе, состоит в том, что и
вообще, области $U_1$ и $U_2$ следует считать отождествленнными: по
сути, это одна и та же область, просто заданы два разных вложения ее
в векторное пространство $V$. Как мы видели, это полезно, поскольку
с помощью теоремы о неявной функции и ее следствий можно иногда
довольно сильно упростить задачу -- например, если производная
функции имеет постоянный ранг, можно просто считать функцию
линейной. Но главное достоинство нашей точки зрения другое: она
позволяет строить анализ для функций на топологических
пространствах, которые вообще не вложены в векторное пространство;
такое вложение задано только локально, в окрестности каждой точки.

Такое обобщение вполне естественно: анализ это наука локальная, и
все определения все равно даются в окрестностях. И такое обобщение
часто нужно на практике.

Вот самый простой пример того, что хочется уметь делать. Рассмотрим
единичную сферу $S^n \subset \R^{n+1}$. Ее можно спроектировать на
разные координатные гиперплоскости. В окрестности каждой точки, хотя
бы одна из этих проекций будет взаимно-однозначна; но для каждой
проекции есть ``плохие'' точки -- а именно, точки на экваторе -- в
которых эта конкретная проекция плохая, т.е. не взаимно-однозначная
ни в какой сколько угодно малой окрестности. Что такое функция
класса $C^k$ на сфере, совершенно понятно: надо потребовать, чтобы в
хорошей окрестности каждой точки $x$ и при хорошей проекции
получалась функция класса $C^k$ на соотвествующем открытом
подмножестве координатной гиперплоскости. Но одной проекцией
ограничиться нельзя -- надо рассматривать их все, да еще проверить,
чтобы понятие гладкости в окрестности точки не зависело от выбора
хорошей проекции (их может быть несколько; а если точке на лежит ни
на каком экваторе, то все проекции для нее равно хороши).

Чтобы систематически построить анализ на сфере и подобных объектах,
надо развить некоторый формализм. Для начала надо четко определить
эти объекты. Естественно ожидать, что они должны быть как минимум
тпологическими пространствами; но ясно так же, что нужна какая-то
дополнительная структура. Называются правильные объекты {\em
многообразиями}. К ним есть два подхода -- более современный, и
более классический. Мы будем пользоваться классическим, но сначала
скажем пару слов о современном.

Этот подход довольно радикальный (а развил соответствующую идеологию
прежде всего А. Гротендик). Грубо говоря, он состоит в следующем: мы
знаем по крайней мере одну вещь, которая одинакова для диффеоморфных
областей -- а именно, кольцо функций $C^k(U,\R)$. Вот его и надо
взять за основу, а все остальные структуры выводить из него.

Говоря же математическим языком, делается вот что.

\begin{opredelenie}
Пусть дано топологическое пространство $M$. Говорят, что $M$ {\em
окольцованное пространство}, если для каждого открытого подмножества
$U \subset M$ выделено подкольцо $\A(U) \subset C^0(U,\R)$ в кольце
непрерывных функций $U \to \R$, причем выполнены следующие условия
согласования:
\begin{itemize}
\item Если $U' \subset U$ -- два открытых подмножества, а функция
$f$ на $U$ лежит в $\A(U)$, то ограничение $f$ на $U'$ лежит в
$\A(U')$.
\item Если какое-то множество $U$ покрыто открытыми подмножествами
$U_\alpha \subset U$, а функция $f \in C^0(U,\R)$, будучи ограничена
на любое $U_\alpha \subset U$, попадает в $\A(U_\alpha) \subset
C^0(U_\alpha,\R)$, то $f \in \A(U) \subset C^0(U,\R)$.
\end{itemize}
Отображением окольцованных пространств $M_1$, $M_2$ называется такое
непрерывное отображение $f:M_1 \to M_2$, что прообраз $g \circ f$
любой функции $g \in \A(U) \subset C^0(U,\R)$ лежит в
$\A(f^{-1}(U))$. Два окольцоанных пространства $M_1$, $M_2$
называются изоморфными, если дано обратимое отображение $f:M_1 \to
M_2$, причем обратное отображение $f^{-1}:M_2 \to M_1$ -- тоже
морфизм окольцованных пространств.
\end{opredelenie}

На самом деле, определение Гротендика еще более общее -- не
требуется, чтобы кольца $\A(U)$ были вложены в $C^0(U,\R)$; но для
науки про гладкие многообразия такая большая общность не
нужна. Набор $\A(U)$ -- его называют структурным пучком -- это часть
структуры окольцованного пространства, поэтому для определенности
иногда пишут $\langle X,\A \rangle$.

Очевидный пример окольцованного пространства это подмножество $U
\subset V$ векторного пространства с пучком $C^k$ (т.е. $\A(U) =
C^k(U,\R)$). Условия согласования выполнены: если функция класса
$C^k$ в окрестности каждой точки, она и всюду класса $C^k$. Вообще,
открытое подмножество окольцованного пространства очевидно тоже есть
окольцованное пространство.

\begin{opredelenie}\label{m.groth}
Многообразием $M$ размерности $n$ класса гладкости $C^k$ называется
такое окольцованное хаусдорфово топологическое пространство $\langle
M,C^k \rangle$, что у любой точки $x \in M$ есть окрестность $U
\subset M$, изоморфная области $U \subset \R^n$ с пучком $C^k$.
\end{opredelenie}

Заметим, что дополнительные данные на топологическом пространстве
$M$ -- это выбор подколец $C^k(U) \subset C^0(U)$; окрестности $U$ и
изоморфизмы их с областью в $\R^n$ держать в памяти не надо -- важно
лишь, что они существуют.

Довольно удивительным образом, этого определения оказывается для
многого достаточно -- можно определить производные функций и т.д. Но
мы все же будем ближе к традиции, и основные определения будем
давать в классическом изложении (иногда отмечая, как их переизложить
по Гротендику). Классическое же изложение таково. Фиксируем
размерность $n$ и класс гладкости $C^k$.

\begin{opredelenie}
{\em Картой} $\langle U, h_U \rangle$ на топологическом пространстве
$M$ называется открытое подмножество $U \subset M$ и непрерывное
отображение $h_U:U \to \R^n$, которое есть гомеоморфизм на свой
образ. Говорят, что две карты $\langle U_1, h_{U,1} \rangle$,
$\langle U_2, h_{U,2} \rangle$ {\em согласованы}, если отображение
$h_{U,2} \circ h_{U,1}^{-1}:h_{U,1}(U_1 \cap U_2) \to h_{U,1}(U_1
\cap U_2)$ есть диффеоморфизм класса $C^k$ (это диффеоморфизм
называется {\em функцией перехода} от одной кары к другой). {\em
Атласом} на топологическом пространстве $M$ называется набор попарно
согласованных карт $\langle U_\alpha,h_\alpha \rangle$, покрывающий
все $M$ (т.е. $M = \bigcup U_\alpha$). Два атласа называются {\em
эквивалентными}, если их объединение тоже атлас (т.е. любая карта
первого аталас согласована с любой картой второго атласа).
\end{opredelenie}

\begin{opredelenie}\label{m.class}
Пусть дано хаусдорфово топологическое простраство $M$. Структура
{\em многообразия размерности $n$ класса гладкости $C^k$} на $M$
задается классом эквивалентности атласов.
\end{opredelenie}

В этом определении, в отличие от гротендиковского, мы забываем про
пучок колец на $M$, и вместо этого помним про набор локальных
гомеоморфизмов $h_U:U \to \R^n$. При этом мы накладываем условие
согласования на эти гомеоморфизмы.

\begin{prop}
Определение~\ref{m.groth} эквивалентно определению~\ref{m.class}.
\end{prop}

Прежде чем доказывать это, немного уточним
определение~\ref{m.class}.  Говорят, что карта согласована с
атласом, если она согласована с каждой картой этого атласа. Легко
проверить, что если две карты согласованы с каким-то аталасом, то
они согласованы и между собой (потому что соотвествующая функция
перехода будет диффеоморфизмом в окрестности каждой точки). Поэтому
к любому атласу можно добавить вообще все карты, с ним
согласованные, и получить эквивалентный атлас, к которому ничего уже
добавить нельзя: любая карта, с ним согласованная, ему
принадлежит. Такой атлас называется {\em полным}. В каждом классе
эквивалентности, очевидно, ровно один полный атлас; удобно в
определении~\ref{m.class} убрать ``класс эквивелентности'' и
потребовать, чтобы атлас был полным.

\proof{} Мы покажем, как перейти от определения~\ref{m.groth} к
определению~\ref{m.class}, а от определения~\ref{m.class} -- к
определению~\ref{m.groth}; проверку того, что конструкции
действительно взаимно обратны, оставим в качестве упражения.

Пусть дано многообразие $M$ в смысле
определения~\ref{m.class}. Скажем, что функция $f \in C^0(U,\R)$ на
открытом подмножестве $U \subset M$ класса $C^k$, если для любой
карты $\langle U_\alpha,h_\alpha \rangle$ функция $h_\alpha^{-1}
\circ f:h_\alpha(U_\alpha) \to \R$ класса $C^k$. Тогда $\langle M,
C^k \rangle$ -- многообразие в смысле определения~\ref{m.groth}
(условия \thetag{$\bullet$} очевидно выполнены, а любое
$h_\alpha:U_\alpha \to \R^n$ -- изоморфизм окольцованных
пространств).

Наоборот, пусть дано многообразие $M$ в смысле
определения~\ref{m.groth}. Составим атлас из таких карт $\langle
U,h_U \rangle$, что $h_U$ -- изоморфизм окольцованных
пространств. Надо проверить, что все карты согласованы. По
определению, любая функция перехода $h$ переводит функции класса
$C^k$ в функции класса $C^k$; надо вывести из этого, что $h$ --
диффеоморфизм класса $C^k$. Но это почти тавтология. Выберем базис
$x_1,\dots,x_n$ линейных функций на $\R^n$; тогда $h \circ x_i$ --
функция класса $C^k$; тогда $\langle h \circ x_1,h \circ x_2,\dots,h
\circ x_n \rangle:U \to \R^n$ тоже класса $C^k$, а это и есть наше
отображение $h$.
\endproof

\begin{zamechanie}
Легко видеть, что в определении~\ref{m.class} на самом деле не нужно
требовать, чтобы на $M$ была задана структура топологического
пространства: в определении карты слова ``открытое'' и
``гомеоморфизм'' можно временно забыть, условие согласования
топологию на $M$ не использует, а как только задан атлас $U_\alpha$,
топология восстанавливается однозначно (подмножество $U \subset M$
открыто тогда и только тогда, когда $h_\alpha(U \cap U_\alpha)
\subset \R^n$ открыто для любого $\alpha$). В
определении~\ref{m.groth} топология наоборот важна. В качестве
компенсации, не обязательно требовать, чтобы $\A(U)$ состояло из
{\em непрерывных} функций: формально в определении окольцованного
пространства это не требуется, а реально, гладкие функции будут
непрерывными, поскольку они непрерывны на областях в $\R^n$, а
условие непрерывности локально.
\end{zamechanie}

Как всегда в математике, определяя какие-то объекты, надо сразу
определить подходящий класс отображений между ними. Для многообразий
определение прямолинейно: если даны два многообразия $M_1$, $M_2$,
то гладкое отображение между ними -- это непрерывное отображение
$f:M_1 \to M_2$, гладкое в локальных картах (т.е. для любых карт
$\langle U_1,h_1 \rangle$ на $M_1$, $\langle U_2,h_2 \rangle$ на
$M_2$, отображение $h_2 \circ f \circ h_1^{-1}:h_1(f^{-1}(U_2) \cap
U_1) \to h_2(U_2)$ должно быть гладким). Эквивалентным образом, в
гротендиковском определении надо потребовать, чтобы для любой
функции $g \in C^k(U,\R)$ на $U \subset M_2$, ее прообраз $f^*g = g
\circ f \in C^0(f^{-1}(U),\R)$ должен быть на самом деле гладкой
функцией класса $C^k$.

Покажем теперь, как ввести структуру многообразия на сфере и
подобных объектах (это еще одно применение теоремы о неявной
функции).

\begin{prop}
Пусть $f$ -- функция на векторном пространстве $V$ класса $C^k$, $k
\geq 1$, пусть $M \subset V$ -- множество нулей функции $f$, и пусть
в каждой точке $m \in M$ производная $Df_m$ не равна нулю. Тогда на
$M$ есть естественная структура многообразия класса $C^k$
размерности $\dim V - 1$.
\end{prop}

\proof{} Карты построим следующим образом. По теореме о неявной
функции, у каждой точки $m \in M$ есть окрестность $U \subset V$,
снабженная таким диффеоморфизмом $h_U:U \to V$, что $h^{-1}_U \circ
M$ -- линейная функция. Тогда $h_U$ переводит пересечение $U \cap M$
в открытое подмножество гиперплоскости в $V$, и $\langle U \cap M,
h_U \rangle$ -- карта на $M$. Надо доказать, что две такие карты
согласованы. Действительно, функция перехода $h_1 \circ h^{-1}_2$ --
это диффеоморфизм окрестности $0$ в $V = V' \oplus \R$ на другую
окрестность, причем он согласован с проекцией на $\R$. Поэтому
индуцированное отображение на пересечениях карт с $V'$ -- тоже
диффеоморфизм.
\endproof

Заметим, что в этой конструкции вместо функций $f \in C^k(V,\R)$
можно брать функции $f \in C^k(V,W)$, производная которых
сюръективна в каждой точке $m \in M = f^{-1}(0)$. В частности, если
есть $l$ функций $f_1,\dots,f_l$, причем в каждой точке пересечения
$f_1^{-1}(0) \cap \dots \cap f_l^{-1}(0)$ матрица производных
$\langle Df_1, \dots, Df_l \rangle V \to \R^l$ -- сюръективное
отображение (говорят, что $f_1^{-1}(0),\dots,f_l^{-1}$ {\em
пересекаются трансверсально}), то пересечение $f_1^{-1}(0) \cap \dots
\cap f_l^{-1}(0)$ -- многообразие размерности $n - l$.

\end{document}

