\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{theorem}{�������}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{�����}
\newtheorem{prop}[theorem]{�����������}
\newtheorem{corr}[theorem]{���������}
\newtheorem{exercize}[theorem]{����������}
\newtheorem{sch}[theorem]{����}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opredelenie}[theorem]{�����������}
\newtheorem{zamechanie}[theorem]{���������}

%%%%% ������

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][��������������.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

%%%%% �����

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}

\newcommand{\A}{{\mathcal A}}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}
\newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{��������� ``�������'', ������� 2 -- �������� ������ �� �������}
{��������� ``�������'', ������� 2 -- �������� ������ �� �������}

\begin{document}

\section{������ 5.}

�� ������� ������ �� ���������� ������������ ����������� $n$ �
������� ������� �� ���, � ����� ��������� ��������� �������
������������ (��������, ���������������� � $\R^n$ -- ����� � �.�.)
����� ������ ���� ������������ $M$ � ������� $\R$-������� �������
$f$ �� ���. ��� ������� ����� ����������� $Df$?

�������� ���������������� �������, ��� ����� ���� ����������
��������� ����������� ��� ������� �� ������� � $\R^n$, ���������
������ �������������� ��������� ������ ������� �������. ��� �� ���
��������, ���, ��� �� �������, ����� �������; �� �� �������� ���� �
��������� ������. ���� ��� ����� ��������� ������� ������������� �
������ ��� ������������ ��� ��� �������������� ������������,
�������� �������������� �������. ����� ��������, ����������� �����
������ ���������� � �����; � ����� ������� ���������� ����� $Df$,
���� ����������� � ���, ��� ���������� ��� �������� �� ����� ����� �
������. ����� �������, ���� �������, ��� �������� $Df$ ���
���������������.

����, ����� ���� ������� $U_1,U_2 \subset \R^n$ � �������������
$\Phi:U_1 \to U_2$ ������ $C^k$. ������� ������� $f \in C^k(U_2,\R)$
� ����������� $Df \in C^k(U_2,\R^{n*})$. ����������� $D(f \circ
\Phi)$ ���������� $f \circ \Phi \in C^k(U_1,\R)$ (��� ���������� ���
������������ $\Phi^*f$) ����������� �� ������� �����������������
������� �������:
\begin{equation}\label{jac}
D(\Phi^*f)(x) = D\Phi_x(\Phi^*Df(x)).
\end{equation}
�� �����, ��� ��� ����������� {\em ������ ������ ��� ��� ������� $U
\to \R^{n*}$} -- ���� ��� ������ ��������, � ������ ����� ������
���� �� ������ $\Phi^*Df(x)$, ��� ��������������� ���������
����������� $D\Phi_x$. ����� �������, ���� ���� ������� $f \in
C^k(M,\R)$, �� �� �����������, ����������� � ��������� ������,
������ ������� ���������� ������� $Df \in C^{k-1}(M,\R^{n*})$.

��� ������ � ���� ��������, ������ ��� ���. ��� ������� ���������
������������ $U \subset V$, ��������� ����� $T(U)$ ������������ $U
\times V$ -- ����� �������, ��������� ��� $\langle u, v \rangle$
����� $u \in U$ � ������� $v \in V$. ����� $T(U)$ -- ������� �
��������� ����������� $V \oplus V$, ���������� {\em �����������
�����������} � $U$. ���� ���� ��� ������� $U_1,U_2 \subset V$ �
������������� $\Phi:U_1 \to U_2$ ������ $C^k$, �� ���������
����������� $D\Phi:T(U_1) \to T(U_2)$ ���
\begin{equation}\label{Tphi}
D\Phi(\langle u,v \rangle) = \langle \Phi(u), D\Phi_u(v)\rangle.
\end{equation}
����� ������ (����������!), ��� $D\Phi$ -- ���� �������������,
������ $C^{k-1}$. �� �����������, $D\Phi$ ���������� � ����������
$\pi_i:T(U_i) \to U_i$ -- ����� $\pi_2 \circ D\Phi = \Phi \circ
\pi_1$. (�������, ��� � ���������� �� ������ ����������� $V$
����������� $D\Phi$ {\em �� ����������} -- ����������� $D\Phi_u$
������� �� ����� $u$!) ����� ����, ������� ����������������� �������
������� ���������� ����������, ��� ������������� $U \mapsto T(U),
\Phi \mapsto D\Phi$ {\em �������������} -- ���� ���� �������
$U_1,U_2,U_3 \subset V$ � �������������� $\Phi_{12}:U_1 \to U_2$,
$\Phi_{23}:U_2 \to U_3$, �� $D(\Phi_{23} \circ \Phi_{12}) =
D\Phi_{23} \circ D\Phi_{12}$. ������� ��� ������ ������������ $M$
����������� $n$ � ������ $C^k$, ��������� ������ ������� $\langle
U_\alpha,h_\alpha \rangle$, ����� ������� ���
$T(h_\alpha(U_\alpha))$ � ���� ��������� $T(M)$, �������
$$
T(M) = \bigcup T(h_\alpha(U_\alpha)) / \sim,
$$
��� ��������� ��������������� $\sim$ ������ ���: $y_1 \in
T(h_1(U_1))$ ������������ $y_2 \in T(h_2(U_2))$, ���� $\pi_i(y_i)
\in h_i(U_1 \cap U_2$ � $D(h_2 \circ h_1^{-1})(y_1) =
y_2$. ��������� $D\Phi$ �������������, ��� ������������� ���������
���������������. ����� ����, �������� $h_\alpha^{-1} \circ
\pi_\alpha:T(h_\alpha(U_\alpha)) \to h_\alpha(U_\alpha) \to
U_\alpha$ ����������� � ����� ����������� $\pi:T(M) \to M$, � ���
����� ����� $U \subset M$ �������� $\pi^{-1}(U)$ �����������
��������������� � $T(h_U(U))$. ��� �������������� ����� ����� �
�������� ���� �� $T(M)$; ��� ����������� � ������ �� $T(M)$
��������� ������������� ����������� $2n$ � ������ ��������� $k-1$.

\begin{opredelenie}
������������ $T(M)$ ���������� {\em ����������� �����������}
������������ $M$.
\end{opredelenie}

�������, ��� �� ����������, �� ����� ���� $\pi^{-1}(m) \subset TM$
�������� $TM \to M$ ���� ���������� ������������ ���������
���������� ������������. ��� ��������� ������������ ������������
$T_mM$ � ���������� ����������� ������������� � $M$ � ����� $m \in M$.

������ ����������� $Df$ ����� ������� ����� ���������
�������. ��������, �� ������� $U \subset V$, $Df$ ��� ������� $U \to
V^*$ -- �.�. ������ ����� $u \in U$ �������������� ��������
����������� $V \to \R$. ����� �������� ����� ������ � �������������
$Df$ ��� ������� �� ���������� � $\R$, �� ������������ �� $T(U)$:
$Df(\langle u,v \rangle) = Df_u(v) \in \R$. ����� ������, ��� ���
������� ������� (������ ��������� $k-1$ ���� $f$ ������ ���������
$k$). � � ���� �������������, ������� \eqref{jac} �������������� ���
$D(\Phi^*f) = D\Phi^*(f)$. ������� ���� ���� $f \in C^k(M,\R)$, ��
�������� ����������� ����������� $Df$ ����� ���������� ������� ��
������� $Df \in C^{k-1}(TM,\R)$. ��� ���� ���������� ������� �����
������� �� �����.

������ ������ ������� ����� ����������� �����. ������ ����, �����
��� ������ ������� $U \subset V$ ������������� ������� $T(U) = U
\times V \subset V \oplus V$, ����� ����������� ������� $T^*(U) = U
\times V^* \subset V \oplus V^*$. ������������� $\Phi:U_1 \to U_2$
��������� � �� $T^*(U)$ -- ��� ����� ���� ��������, ���, ���������
$\Phi$ �������������, ����������� $D\Phi_u:V \to V$ �������� ���
������� $u \in U$, � � ������� \eqref{Tphi} ������ $D\Phi_u:V \to V$
��������� �������� � ������������ �������� $(D\Phi_u^*)^{-1}:V^* \to
V^*$. ��� �������� ���� ������������� -- ����� �������, ���������� �
����������� -- � ������ ��� ������ ������������ $M$ ������ $C^k$
����� ������� $T^*(h_\alpha(U_\alpha))$ ��� ������ ���� $U_\alpha$ �
���� ������������ $T^*M$ ������ $C^{k-1}$.

\begin{opredelenie}
������������ $T^*M$ ���������� {\em ������������� �����������}
������������ $M$.
\end{opredelenie}

��� � ��� $TM$, ���� �������� $T^*M \to M$ ��� ����� ������ $m \in
M$ ����� ��������� ���������� ������������, �������, ��� �����
������, ����������� ������������ ������������ $T_mM$.

�����, �������� ������ ����������� $Df:U \to V^*$ ����� �����������
�� ������, �.�. ��������������� ������� $(\id \times Df):U \to U
\times V^* = T^*(U)$ ������������ �������� $T^*(U) \to U$. � � ����
\eqref{jac}, ��� ��� ������� �������� ������ � ���� ������� $Df:M
\to T^*M$ ������������ �������� $T^*M \to M$.

����, ����������� ��� ��� ������� �� ����������� ����������,
�������� �� �����, ��� ������� �������������� ����������.

\end{document}

