\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{theorem}{�������}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{�����}
\newtheorem{prop}[theorem]{�����������}
\newtheorem{corr}[theorem]{���������}
\newtheorem{exercize}[theorem]{����������}
\newtheorem{sch}[theorem]{����}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opredelenie}[theorem]{�����������}
\newtheorem{zamechanie}[theorem]{���������}

%%%%% ������

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][��������������.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

%%%%% �����

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}

\newcommand{\A}{{\mathcal A}}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}
\newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}}

\newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}

\newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{��������� ``�������'', ������� 2 -- �������� ������ �� �������}
{��������� ``�������'', ������� 2 -- �������� ������ �� �������}

\begin{document}

\section{������ 6.}

����� $M$ -- ������������, � $f$ -- ������� ������� �� ���.  ��
������� ������ �� ��������, ��� ������� ����� ����������� $Df$:
����������� ��� ��� ������� �� ����������� ���������� $TM$, ��������
�� �����, ��� ������� �������������� ���������� $T^*M$. ��� ���� ���
���� ������������ ���������� ������, � ��� ���� ��������������
���������� ���� ������ -- ��� �������� ������� ������������ $T^*M
\cong M \times \R^{n*}$ � ������ ��� ������� $T^*M \to M$ ��� ���
������� ������� $M \to \R^{n*}$. ������������� ���������� ��� �����
��������� ����������� $T^*_mM$, ��������� �� ����� $m \in M$;
����������� $Df_m$ ������� $f$ � ����� $m \in M$ ����� �
������������ $T_m^*M$, � ����������� $Df_m$, $Df_{m'}$ � ������
������ $m,m' \in M$ ����� � {\em ������} ��������� �������������.

�����������, ������, ��� ���� ������� ������� �����������������
������� ``������ ��������� �����������, ������������������� ������
������������'', �� � ��������� ���� ����������� $Df$ ����� ��������
����� ��� ��, ��� � �������� ���������������� ���������.

�������� ��� ���. ����� ���� ��������� $M$. {\em ������� ��� $M$}
����� �������� ����� ����� $G_m$, ����������������� ���������� $m
\in M$. ������ ������� �������� ����� ������: �����������
����������� $G=\bigcup_m G_m$, ���������� {\em ���������
�������������} ������ ������ ��� $M$; ��� ���� �������� ������������
�������� $\pi:G \to M$, ����������� ����� ������� $g \in G_m \subset
G$ � ��������������� ������� $m \in M$, � ��������� ��������� $G_m$
����������������� �� ���� $\langle G,\pi \rangle$ ��� ���� ��������
$\pi$: $G_m=\pi^{-1}(m) \subset G$.  ��� ���� �� �����������, ���
������� �������� $m \in M$ ����� ``��������� �������'' $e_m \in G$,
$\pi(e_m)=m$, � ��� ����� ���� ��������� $g_1,g_2 \in G$, ���
������� $\pi(g_1)=\pi(g_2)=m$, ������ ������������ $g_1g_2 \in
\pi^{-1}(m) \subset G$, ������ ����������� ������� ������. ���
��������� �����������, ������ ������ ��� ����������� ``�����������
������������'' $G \times_M G$, � ������, ��������� ��� $\langle
g_1,g_2 \rangle$ ��������� $G$, ��� ������� $\pi(g_1) = \pi(g_2) \in
M$. ����� ��������� ������ ��� $M$ �� ��������� $G$ ��������
���������� $e:M \to G$ (��������� �������) � $G \times_M G \to G$
(������������); � ���� ��������� ���������� ������.

�������, ��� ���� ���� ������ $G$ ��� $M$ � ������ ��������� $M'$,
���������� ������������ $\rho:M' \to M$, �� ��������� $M' \times_M
G$ � ������������ ��������� $\pi':M' \times_M G' \to M'$ ��� ������
��� $M'$ -- ������ ��� ������ ���� �������� $\pi'$ ��� ���� ��������
$\pi$. ��� ������ ����������� $\rho^*G$ � ���������� {\em ��������
�������} ������ $G$ ��� ����������� $\rho$ (��-��������� ��� ���
���������� pullback). � ���������, ���� $M' \subset M$, ��
$\pi^{-1}(M') \subset G$ -- ������ ��� $M'$ (��� ��� ������������
$E\mid_{M'}$, ��� ������ ������ $E_{M'}$). � ������ �������, ����
$M$ �����, �� ������ $G$ ��� $M$, � ����������� $\rho:M' \to M$ ���
������ $M'$ ���������� ����� ����; ����� ��� ������ $M'$ �����
$\rho^*G = M' \times G$. ����� ������ ��� $M'$ ����������
�����������.

����� ��� �� ������������ ������� ������ ��� $M$, $\R$-���������
������������ ��� $M$, � �� �������� ������.

\begin{opredelenie}\label{bundle}
����� ��� ����� ��������� ����������� $E_m$ ����������� $r$,
����������������� ������� $m \in M$ ������������ $M$. ��������� {\em
���������� ����������} �� $\{E_m\}$ -- ��� ����� ��������� ��������
����������� �� ��������� ����������� $E = \bigcup_m E_m$, ���
������������ �������� $\pi:E \to E_m$ -- ������� �����������, � �
����� ����� $m \in M$ ���� ����� ����������� $U \subset M$, ���
���������� ���������� $\Phi_U:\pi^{-1}(U) \cong U \times \R^r$
(������ ���������� $\Phi_U$ ������� � ��������� $\R$-����������
������������ ��� $U$, � ��������� �������� ������������). 
\end{opredelenie}

����������� ��������� ���������� ������������ ��������� �������: ���
������� ����������� $E_1 \to E_2$, ������� ������� ���������
���������� ������������ ��� $M$ (�.�. ���������� � ����������
$\pi_1:E_1 \to M$, $\pi_2:E_2 \to M$, � ���������� ��������
����������� $\pi_1^{-1}(m) \to \pi^{-1}(m)$ ��� ������ ����� $m \in
M$). ��������� ����������� �� $E_1$ � $E_2$ ������������ �����
$\Hom(E_1,E_2)$. ����������� �������� ����� ���������� � �������� ��
����� (���������); ������� $\Hom(E_1,E_2)$ ��� ���������
������������ ��� $\R$ (�������� ������� -- ��� �������,
����������������).

������ ������� ``���� ���������� $E$ �� $M$'', ������������, ���
���� � ��������� ������������ $E$, � ������� �������� $E \to M$, �
��������� ���������� ������������ �� ������ ���� $E_m \subset
E$. ����� $r$ ���������� ������ ���������� $E$. ����������� $\Phi_U$
�� �����������~\ref{bundle} ���������� {\em ����������
���������������} ���������� $E$. ���� ���� ��� ���������
������������� $\langle U_1,\Phi_1 \rangle$, $\langle U_2,\Phi_2
\rangle$, �� �� ����� ��������, ���������� ����������� $\Phi_2 \circ
\Phi_1^{-1}:(U_1 \cap U_2) \times \R^r \to (U_1 \cap U_2) \times
\R^r$. �� �������, ��� ����������� ����������� � ���������� �� $U_1
\cap U_2$, � � ������ ���� ���������� �������� ����������� $\R^n \to
\R^n$. ����� �������, ��� ����� $u \in U_1 \cap U_2$ � $v \in \R^n$
�����
$$
\Phi_2 \circ \Phi_1^{-1}(u \times v) = u \times \phi_{12}(u)(v),
$$
��� $\phi_{12} \in C^l(U_1 \cap U_2,\Hom(\R^n,\R^n))$ -- ���������
������� ������� �� $U_1 \cap U_2$ �� ���������� � ������������
�������� ����������� $\Hom(\R^n,\R^n)$. ��� ������� ����������
{\em ������� ��������}.

����� ������ ���� ������������ $M$ � ��������� ������������ $E$ ���
$M$, ��� �����-���� ��������� ������������. � ����� ������ ��������
�������� $U_\alpha$ ������������ $M$ � ��������� �������������
$\Phi_\alpha:E_{U_\alpha} \to U_\alpha \times \R^n$. ����� �����
��������� ��� ������ �� ��������� ���������� ���������� �� $E$?
����� ���������: ����� � ������ �����, ����� ��������������� �������
�������� $\phi_{\alpha\beta}:U_\alpha \cap U_\beta \to
\Hom(\R^n,\R^n)$ �������. �������������, ��������� ��������
$U_\alpha$, ����� �������, ��� ��� $U_\alpha$ -- ����� ������������
$M$; ����� ������������� $\Phi_\alpha$ ������ ����� �� $E$, � ���
����� ����������� ����� � ������ �����, ����� $\phi_{\alpha\beta}
\in C^l(U_\alpha \cap U_\beta,\Hom(\R^n,\Hom^n))$. ��� �������
���������� �������� �������. ��������, �������� ���������.

\begin{lemma}
����� $E$ -- ��������� ���������� �� ������������ $M$, � ����� ����
������������ $M'$ � ������� ����������� $\rho:M' \to M$. �����
�������� ����� $\rho^*E$ ����� ��������� ���������� ���������� ��
$M'$.
\end{lemma}

\proof{} ������� ����� $\langle U_\alpha, \Phi_\alpha \rangle$
��������� ������������� $E$ �� $M$; ����� ��� $U'_\alpha =
\rho^{-1}(U_\alpha)$ ���� ������������ ��������� ������������� ���
$\rho^*E$, � ��������������� ������� �������� �����
$\phi'_{\alpha\beta} = \phi_{\alpha\beta} \circ \rho$. ��������� �
$\phi_{\alpha\beta}$, � $\rho$ �������, $\phi'_{\alpha\beta}$ ����
�������.
\endproof

����� ����, ����� ���������� ��� ���������� ������ ��������, �������
���������� ��� ��������� �����������.

\begin{lemma}
����� $E$, $E'$ -- ��������� ���������� ������ $r$, $r'$ ��
������������ $M$. ����� �� ����������
\begin{align*}
E \oplus E' &= \{\langle m, e \rangle, m \in M, e \in E_m \oplus E'_m\},\\
E \otimes E' &= \{\langle m, e \rangle, m \in M, e \in E_m \otimes E'_m\},\\
\hhom(E,E') &= \{\langle m, e \rangle, m \in M, e \in \Hom(E_m,E'_m)\}
\end{align*}
���� ������������ ��������� ��������� ���������� �� $M$, ������
$r+r'$, $rr'$ � $rr'$.
\end{lemma}

\proof{} ��������� ���������� ������������ ��� $M$ �� ����
���������� ��������, � ��������� ������������� ���������� ��
��������� ������������� ��� $E$ � $E'$ (��������� ��������, �����
�������, ��� � $E$, � $E'$ ������������� �� ���������� $U_\alpha$ �
������ ������ ��������� �������� ������������ $M$). ���� ������
���������, ��� ������� �������� �������. �������������, ��� �������
������: $\phi_{12} \oplus \phi'_{12}$, $\phi_{12} \otimes
\phi'_{12}$ � $\phi_{12}^* \otimes \phi'_{12}$ (� ��������� ������
�� ������������ �������������� $\Hom(V,W) \cong V^* \otimes W$, �
$\phi^*_{12}(u) \in \Hom(\R^n,\R^n)$ ��������� �����������
��������).
\endproof

����������� $\hhom(E,E')$ ������������ ��� ����, ����� �������� {\em
����������} $\hhom(E,E')$ �� {\em ���������� ������������}, � ����
�� �����������������, ���� �������� ����������� �� $E$ � $E'$. ���
���� ������, ���� � ���������. ���� $E'=\R_M$ -- �����������
���������� ����� $1$, �� $\hhom(E,E')$ ������������ $E^*$ �
���������� {\em ������������ �����������} � $E$. ������ �����
�������� -- ����������� � ������������� ���������� (������? --
����������).

\begin{zamechanie}
�������, ��� ����� $E \oplus E'$ ��� ��������� ���� ������
����������� ������������ $E \times_M E'$. �� ��� ���������
������������ $E \otimes E'$ ������� ����� ������� ������ -- �����
������������ ������� ������������ ��������� ���������� ���������� ��
$E$ � $E'$.
\end{zamechanie}

\medskip

����, �� ���� ������������ ������������ ������� ``���������
��������� �����������, ������ ��������� �� ����� ������������'';
����� ������, ��������� ���������� ��� �������� ���������
�����������. ��������� ��������������� �������, � ����� ������ --
��� ������� ����������.

\begin{opredelenie}
����� ���� ���������� $E$ ������ ��������� $C^l$ �� ������������
$M$, � �������� ������������ $U \subset M$. �������� ���������� $E$
�� $U$ ���������� ������� $U \to \pi{-1}(U)$ ������������ ��������
$\pi^{-1}(U) \to U$. ��������� ������� $E$ �� $U$ ������ ���������
$C^p$, $p \leq l$, ������������ ����� $C^p(U,E)$.
\end{opredelenie}

���� ���������� $E$ ����������, $E \cong \R^n_M = M \times \R^r$, ��
����� ������� $s \in C^p(M,E)$ ���� ������ ������� $M \to \R^r$ ����
�� ������ ��������� $C^p$, �.�. $C^p(M,\R^n_M)$ ��� �� �� �����, ���
$C^p(M,\R^n)$. � ����� ������ ����� ������������� ���, �� ����������
�������� �����������. � ������, ������� ����� ���������� --
��������� -- � �������� �� �����, ���� ���������. ����� ����, �����
����� ���� �������� ��������� �� �����, �.�. ������� $s \in
C^p(U,E)$ ����� �������� �� ������� $f \in C^p(U,\R)$. ��
�������������� �����, ������� ��� $C^p(U,E)$ ���� ������ ��� �������
$C^p(U,\R)$.

\begin{lemma}
����� $E$, $E'$ -- ��������� ���������� �� ������������ $M$ ������
��������� $C^l$. ����� ��������� ������������ $\Hom(E,E')$
����������� ��������������� � ��������� �������������
$C^l(M,\hhom(E,E'))$.
\end{lemma}

\proof{} ���������. \endproof

� ���������, ��������� ������� $\R$-������� ������� �� ���������
������������ ���������� $E$ -- ����� �������, ��������� �����������
�� $E$ � ����������� ���������� $\R_M$ -- ����������� �������������
� ���������� ������� ������������� ���������� $E^*$. ������� ����
��� �������� ����������� $Df$ -- ��� ������� �� $TM$, � ��� �������
$T^*M$ -- ���������� ������������.

\medskip

�� ��������, ����� ������ ����������� �����������~\ref{bundle}: ��
�������� ��� ������ ��������� �� $E$, �� ������� ������ �������
������� ��������, � ����������� ������� �� ���. ���� ������ ����� ��
��� ������ -- ����� ������ ��� ��������� ������������ �� $E$, ����
�����������, ����� ������� �������� ���� ��������. ������ ������:
����� �� ���������, ����� �� $E$ ���� ������ ��������� ����������
��������� -- �� ����� ������� �������� {\em a priori} �����
��������� �������� � ��������� {\em ����} ������� ����������� ��
$\R^r$ � $\R^r$, � ���� �����������, ����� ��� ����� �������
�������� $\phi_{12}$ � ����� ����� $u$ �����������
$\phi_{12}(u):\R^r \to \R^r$ ���� �������. �������, ����� ����
������ ��� ���� ��������� $E$. ��� ����� �������, ��� �������
�������� ������������� ��� ���������� {\em ������� �������}: ���
����� ������������� $U_1,U_2,U_3 \subset M$
$$
\phi_{23} \circ \phi_{12} = \phi_{13}.
$$
���� ������ ������ ������������ $M$, �������� �������� $U_\alpha$ �
����� ������� ������� $\phi_{\alpha\beta}:U_\alpha \cap U_\beta \to
\Aut(\R^r)$, ��������������� ������� ������� -- ����� $\Aut(\R^r)
\subset \Hom(\R^r,\R^r)$ ��� ��������� {\em ���������} ��������
����������� -- �� �� ��� ����� ������� ������������ $E$, �������
$$
E = \bigcup U_\alpha \times \R^r / \sim,
$$
��� $\langle u,v\rangle \sim \langle u,v'\rangle$ ���� $u \in
U_\alpha \cap U_\beta$ � $\phi_{\alpha\beta}(v)=v'$. ������� �������
�����������, ��� ��� ������������� ��������� ���������������, � ���
������������ ����������� $U_\alpha \times \R^r \to E$ ������ �� $E$
��������� ���������� ����������.

\begin{opredelenie}
�� ����, ������ ��� �� ������� ����������� � �������������
����������. � ���������� �� ����� � ����� ������������ �����������,
��������� ����������� ������������ �� ����������.
\end{opredelenie}

� ����� ���������� �� ���� ������������� ����� ����� ��������������
��������� �������� ����������; ������� ����� ������� ������� ��
������ � ������� � ��������, ��� ���������� ���� � �� �� �������.

\medskip

�������� ������ ������ -- ��-��������, ����� ������� �� ��������� --
������������� �������������� ����������. � �������� $M$ �������
���������� $S^1$. ���� ����� $1$. ������� $S^1$ ����� ���������
$U_1$, $U_2$, ������ ����������� $U_1 \cap U_2$ -- ���������
����������� ���� �������� $I$, $I'$. ������� ������� ��������
$\phi_{12}$ ���: �� $I$ ��� ��������� �� $1$ (������������� �� ����
�����������), � �� $I'$ -- ��������� �� $-1$. �������������,
��������� ������������ $E$ ���������������� ���������� -- �����
������� (����������� ������). � �� ���������� �������� �����������
��������� ���������� $E \cong S^1 \times \R$. � ����� ����, �����
���������� ��������� �� � ��������� �������������� ���������
$h_1:I_1 \to \Aut(\R)$, $h_2 \to \Aut(\R)$, ������ $\phi_{12} = h_1
\circ h_2^{-1}$ (�������, ��� ������ $\phi_{12}$ ���� {\em
���������}). �� � $h_1$, � $h_2$ -- ��� �� ����������� ������� ��
���������� � {\em ���������} ������������ ������, � ������ ��� �����
���������� ����.

����������� ���������� � ����� $S^2$ ���� ������������, ��
������������� ��� ������� �� ��� �����, � �������� ����� �� ���� ��
����� (��� ����� ����� ��������� �������������� �������).

\begin{zamechanie}
�� ��� ���, ��� �������� ������ ��������� 11, ��� ��������
��������������: (1) ������� $S^2$ ����� �������, �������
������������ �� ��������� ����������� ��������, (2) �������, ���
���� ���������� ������� �������� $\phi_{12}$ �� �������, ��
��������� ����������� $S^1 \to \R^2$, ������� {\em �� ���������
������������} (�� ����� ����, � ������������ ����������� ���
����������� ������ ���������� $S^1$ �� ��������� ���������� � $\C
\subset \Hom(\R^2,\R^2)$, (3) ��������, ��� ���������� ������������
-- ����� $\phi_{12} = h_2 \circ h_1^{-1}$, ������ � $h_1$, � $h_2$
��������� ����.
\end{zamechanie}

\medskip

�������� ��� ������ ����� ������ ����������. ��� ������ ��������� $U
\subset M$, ����� ����������� $e:E_1 \to E_2$ �� ���������� $E_1$ �
���������� $E_2$ ���������� �������� ����������� ����������� �������
$e:C^l(U,E_1) \to C^l(U,E_2)$. ��� ����������� ���������� �
������������� �� ������������. ������ �� ����� ����� ��������
����������� $C^k(U,E_1) \to C^k(U,E_1)$, ���� � ����������� �
�������������, ���������� �� ����������� ����������! ������
����������� -- ��� �������� ������ �����������, ������� �� �������
$f \in C^k(U,\R)$ ������ �� ����������� $Df \in C^{k-1}(U,T^*M)$:
�������� ����������� ���������� $\R \to T^*M$, ������������� ���
��������, ���. ������� ����� �������. ����� ����� ��������
����������� $e:C^k(U,E_1) \to C^k(U,E_2)$, ����������� �
������������� -- ����� ����� ���������� {\em ������������ ������
�������}, ��� ������ {\em ��������� ����������} -- ��������
���������� �� ����������� ����������, �� ����������� ��������� ��
���������� $C^k(U,\R)$-������ �� ����� ������: ����� $e(fs) = fe(s)$
��� ����� $s \in C^k(U,E_1)$ � $f \in C^k(U,\R)$. � �� �� �����,
����������� ����������������� $f \mapsto Df$ �� ���������� ������ ��
���������� (������ ��� $D(fg)$ ����� $fDg+gDf$, � �� $fDg$).

\end{document}

