\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{theorem}{�������}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{�����}
\newtheorem{prop}[theorem]{�����������}
\newtheorem{corr}[theorem]{���������}
\newtheorem{exercize}[theorem]{����������}
\newtheorem{sch}[theorem]{����}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opredelenie}[theorem]{�����������}
\newtheorem{zamechanie}[theorem]{���������}

%%%%% ������

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][��������������.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

%%%%% �����

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}

\newcommand{\A}{{\mathcal A}}

\newcommand{\m}{\mathfrak m}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}
\newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}}

\newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}

\newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}

\def\ds{\displaystyle}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{��������� ``�������'', ������� 2 -- �������� ������ �� �������}
{��������� ``�������'', ������� 2 -- �������� ������ �� �������}

\begin{document}

\section{������ 7.}

�� ������� ������ �� ���������� ����������� ������� ����������
���������� �� ������������, � ��������� ��� ������� ������������ $M$
��� ���������� ������� ��������� ����������: ����������� ����������
$TM$ � ������������� ���������� $T^*M$. ��� ���� �� ������ ���
������������ � �������� ����, � ������� $TM$, �������� ��� ��
������, ���������� ������ ������. ��� ����������� �������, ��
��������� ���������. ������ �� �������, ���, �������������
������������ �� ����������, ���������� ����������� � �������������
���������� ����� �����������.

������ � �������������� ����������. ����, ��� ���� ������������ $M$,
�������� �� ���������� -- �.�. ����������� ��������������
������������ $M$, ���������� ������ ����� $C^\infty(U,\R) \subset
C^0(U,\R)$. ������� ������ ����� ��������� �������, �� ����� ������
�����.

\begin{lemma}\label{soft}
����� ���� �������� ������������ $U \subset M$, ����� $x \in U$ �
������� ������� $f \in C^k(U,\R)$. ����� ���������� ����� �������
������� $g \in C^k(M,\R)$, ��� $f=g$ � ��������� ����������� $U'
\subset U$ ����� $x$.
\end{lemma}

\proof{} �������� ��� ������������� ��������� $U$, �����
������������, ��� (1) $U$ ��� ����� ��� $M$, � (2) $h(U) \subset
\R^n$ ��� �������� ��� $B_\eps(0)$ � ������� � $0 \in \R^n$, � $h(x)
= 0$. ��������� ������� $\psi:B_\eps(0) \to \R$ ��������� �������:
$$
\psi(v) = \begin{cases}
0, &\qquad \text{ ���� } \ds\frac{2}{3}\eps \leq \|v\| \leq \eps,\\[3mm]
1, &\qquad \text{ ���� } 0 \leq \|v\| \leq \ds\frac{1}{3}\eps,\\[3mm]
\psi_0\left(3\ds\frac{\|v\|}{\eps}-1\right), &\qquad \text{ ���� }
\ds\frac{1}{3}\eps \leq \|v\| \leq \ds\frac{2}{3}\eps,
\end{cases}
$$
��� $\psi_0 \in C^\infty(I,\R)$ -- ����� ������� ������� �� �������,
��� $\psi_0(0) = 1$, $\psi_0(1)=0$, � ��� ����������� $D^k\psi_0(x)$
���������� � ���� ��� $x=0,1$. ��������, ����� ����� 
$$
\psi_0(x)=1-\arctan(\tan(x)\exp(\tan^2(x))).
$$
����� $\psi \in C^\infty(h(U),\R)$, ������ $\psi=1$ � ����
$B_{\frac{1}{3}\eps}(0)$, � $\psi=0$ ��� ����
$B_{\frac{2}{3}\eps}(0)$. ������� $U'=h^{-1}(B_{\frac{1}{3}}(0))$,
������� $g=\psi f$ �� $U$, � ��������� $g$ ����� �� ��� $M$.
\endproof

���������� ������ ������ $C^\infty(M,\R)$ ������� ������� �� $M$, �
��� ������ ����� $x \in M$ � ������ ����� $k \geq 1$, ���������
����� $\m^{(k)}_x \subset C^\infty(M,\R)$ ��������������� �����
�������, ��� $f(x')=o(\|x'-x\|^{k-1})$ ��� $x' \to x$ (�������
``���������� � ���� �� $k$-�� �������''). �������, ��� ��� �������
�������� � ��������� �����, �� �� ������ ����� ��������� ������� ��
�������.

\begin{opredelenie}
{\em ������������� $k$-�����} ������� �� $M$ � ����� $x$ ����������
������������������ $C^\infty(M,\R)/\m_x^{(k+1)}$. ������������
$k$-����� � $x$ ������������ $J^k_x(M)$.
\end{opredelenie}

�������, ��� ������������ $0$-����� $J^0_x(M)$ �����������
�������������� � $\R$ -- �������� ���� ������� $f_1,f_2 \in
C^\infty(M)$ �� ����������� ����� � $\m^{(1)}_x$ ����� � ������
�����, ����� $f_1(x)=f_2(x)$.

\begin{prop}\label{jet.prop}
���� ������������� ����������� $J^1_x(M) \to J^0_x(M)$ �����������
��������� �������������� ������������ $T^*_xM$. ���� �������������
����������� $J^{k+1}_x(M) \to J^k_x(M)$ ����������� ���������
�������������� ������� $S^kT^*_xM$.
\end{prop}

\proof{} � ���� �����~\ref{soft}, ������������ ����� �� ���������,
���� $M$ �������� �� ����� �������� ������������ $U \subset
M$. ������� ����� ������������, ��� $U$ -- ������� � ���������
������������ $V$, � $x = 0 \in U \subset V$. ������ ��������, ��� ��
�����������, ����� $k$-����� ����� ������������ ������� �����������
�������� ����������� �������������� ������� ������� �� ������ $k$, �
������
\begin{equation}\label{jet}
J^k_0(V) = \bigoplus_{0 \leq l \leq k} S^lV^*.
\end{equation}
�������� ���������, ��� �������������� ������������,
�.�. ����������� ����������������. ���������� ���������, ���
�������� $T^*_0V \to J^1_0V$ ������������ -- ��� ���������
���������� �� ���� �� �������������������. ��� ������� ����� ��
�����������: ��� ����� �������� ������� $f$ �� $V$ � ������
�������������� $\Phi:U \to U' \subset V$, $\Phi(0)=0$, ������� $(f
\circ \Phi)$ � ���� ����� $D\Phi_0^*(f)$ � ��������� �� ������
������� ������� �������.
\endproof

�������, ��� ���������� � ������ ����� \eqref{jet} {\em ��
����������� ����������������}, ����� ������ ������: ������ �����
������������ ����������� $J^0_x(M) \to J^k_x(M)$. �������������,
$J^0_x(M)=\R$ ������������ ���� � $C^\infty(M,\R)$ -- � ������,
��������������� � ���������������� ���������� �������. ������������
$T^*_xV$ ����� ����������� ������������ � ���������������� {\em
��������} ������� � $C^\infty(U,\R)$, �� ��� �������������� ���
������� �� ������ ������� ��������� -- ������������� �� ������
���������� �������� ������� � ��������.

�����������~\ref{jet.prop} ��������� ���������� �����������, ���
������� ���������� ��������� ��������� ����������� $J^k_x(M)$,
����������������� ������� $x \in M$. � ���������, ���������
$J^1_x(M) = T^*_xM \oplus \R$, ��������������� �������������
���������� $T^*M$.

\begin{exercize}
��������� �����, ��������� �� $J^k(M)$ ��������� ����������
���������� �� $M$. ��� ���������� ���������� ����������� $k$-�����.
\end{exercize}

���������� $k$-����� ��������� ����������� � ���, ��� ������� �����
������� ����������� ������� �� ������������. � ������, ����� ����
������� $f \in C^\infty(M)$. ��� ������ ����� $x \in M$, ���������
$D^{\leq k}f_x \in J^k_x(M)$ ��� ����� $f$ ��� ������������
����������� $C^\infty(M) \to J^k_x(M)$. �������� $M$ �������, �����
���������, ��� ��� $D^{\leq k}f_x$ ������ ������ ������� �������
$D^{\leq k}f \in C^\infty(M,J^k(M))$ ���������� �����
$J^k(M)$. ��������� $J^1(M) \cong T^*M \oplus \R_M$, �����������
����� $D^{\leq 1}f = Df \oplus f$. �� ��������� ��� $k > 1$
���������� \eqref{jet} �� ����������� ����������������, ��������
������ ���������� $D^kf$, $k \geq 2$ ������� {\em
������}. ���������� ������ ``����������� ������� �� $k$'' $D^{\leq
k}f$.

������������ ���������� �� ����� ������� -- ��� ���� ��� �����-��
������� $f$ ����������� $D^{k-1}$ ``������� �� $k-1$ ������������''
���������� � ���� � ����� $x \in M$. �����, ��������� ����
����������� $J^k_x(M) \to J^{k-1}_x(M)$ ������������� � $S^kT^*_xM$
{\em �����������}, ������ ���������� ����������� $k$-�� �������
$D^kf_x = D^{\leq k}f_x \in S^kT^*_xM$. ��� ��� ����������,
������������ � ������: ``���� ������ $k-1$ ����������� � �����
���������� � ����, �� $k$-� ����������� � ���� ����� ������
����������''. �� ��������, ������ ������ ����� �������� ���������
��� $k=2$. ���� $Df_x=0$ � �����-�� ����� $x \in M$ -- �������, ���
����� $x$ {\em �����������} ��� ������� $f$ -- �� ������ �����������
$D^2f_x$ -- ������ ������������ �������������� ���������� ����� ��
����������� ������������ $T_xM$. ��� ����� ���������� {\em
���������} ������� $f$ � ����������� ����� $x$.

������� ������ ���������. � ������������� ����� ���������� �����,
����������� ������������ ����� ��������������: ��� ������ ��
�����������, ����� ������� �� $M$ ������� ��������, � ����� �������
���������� � ���� �� ������� ������� � ������ ����� $x \in M$, �
������������� ���������� $T^*M$, � �������� �����������������
$D:C^\infty(M,\R) \to C^\infty(M,T^*(M))$ ��������� ����
�����. �����������, ��� ��� ����� ������ ����� ���������� ��� ��
���. � ������, �������� ������ ����������� ������ ������������ ���,
��� ������������� ������� �������� $D(fg)=fD(g)+gD(f)$.

\begin{prop}\label{diff.uni}
����� $E$ -- ��������� ���������� �� ������������ $M$, � �����
������ �������� ����������� $D':C^\infty(M,\R) \to C^\infty(M,E)$,
��������������� ������� �������� $D'(fg)=fD'(g)+gD'(f)$. �����
���������� ������������ ����������� ���������� $\phi:T^*M \to E$,
��� �������� $D'(f)=\phi(D(f))$.
\end{prop}

�������, ��� ��� ����������� ����� ������������ � �������� ���
������ ����������� �������������� ����������: ���� �� ���� ���
����������, ��������������� ����� �������������� ��������, �� ������
�� ����������� ��� ���� �� ����������� ���������.

\begin{zamechanie}
� �������, ����� ����������� $D:A \to M$ �� �������������� ������
$A$ � ������ $M$ ��� ������� $A$, ��������������� ������� ��������
$D(ab)=aD(b)+bD(a)$, �������� {\em ������������������} �� ����������
� ������ $M$. ����� �����������~\ref{diff.uni} ����� �������
�������������� ���: �������� ������ ����������� $D:C^\infty(M,\R)
\to C^\infty(M,T^*M)$ ���� ������������� ����������������� ������
$C^\infty(M,\R)$.
\end{zamechanie}

����� �������� �����������~\ref{diff.uni}, ��� ����������� ���������
����.

\begin{lemma}[����� �������]
����� $f \in C^k(U,\R)$ -- ����� ������� ������� �� ����������� $U
\subset V$ ���� � ��������� ����������� $V$, ��� $f(0)=0$. ����� ���
������ ������ ��������� $x_1,\dots,x_n \in V^*$ ���������� �����
������� $g_i \in C^{k-1}(U',\R)$ �� �������� ������� ����������� $U'
\subset V$, ���
\begin{equation}\label{spl}
f = g_1x_1 + \dots + g_nx_n,
\end{equation}
������ $g_i(0)=D_{v_i}(f)(0)$, ��� $v_1,\dots,v_n \in V$ --
������������ �����.
\end{lemma}

\proof{} ���������� \eqref{spl} ������ ��������� �� $n$. ���������
$f$ �� �������������� $V' \subset V$ �������� ���������� $x_1=0$,
�������� �� �� ��������, ����� ������� $f'=f - f \circ P$, ��� $P:V
\to V'$ -- ������������ ��������. ����� $f \circ P$ ���� ���������
�� ��������, � $f' = 0$ �� $V'$. �� ����� �� ������ 3, �����
$f'=x_1g_1$, ������ $g_1 \in C^{k-1}(U',\R)$. �������, $g_i(0)$
����� ���������, �������� �� ������� �������� $D_{v_i}(f)$.
\endproof

\begin{corr}
��� ������ ������������ $M$ � ����� $x \in M$, ��������������
$\m^{(2)}_x \subset C^\infty(M,\R)$ ��������� ��������� ������������
������� �� $\m^{(1)}_x$ (����� $\m^{(2)}_x=\m^2_x$, ��� $\m_x =
\m^{(1)}_x$).
\end{corr}

\proof{} ���� $M$ -- ������� � $\R^n$, ��� ���������� ������� ��
����� �������; � ����� ������ ���� ��������� �����~\ref{soft}.
\endproof

\proof[�������������� �����������~\ref{diff.uni}.]
������� ������� ����� $x \in M$ � �������� �����������
$\phi_x:T^*_xM \to E_m$. ��� ����� �������, ��� �� ��������� ��
����� ������� ����������� $D':C^\infty(M) \to C^\infty(M,E) \to E_x$
���������� � ���� �� $\m^{(2)}_x \subset C^\infty(M)$ --
�������������, ���������� ��������, ��� $D'(f_1f_2)_x=0$ ��� �����
$f_1,f_2 \in \m^{(1)}_x$, � ��� ������� �� �������
��������. ����������� $D'$ �� $\m^{(1)}_x \subset C^\infty(M,\R)$,
�������� ������������ �����������
$$
\phi_x:\m^{(1)}_x/\m^{(2)}_x \to E_x, \qquad \phi_x(f) = D'(f)_x.
$$
�� ���������� ����� $D'(f)_x = \phi(Df_x)$ ��� ����� ����� $x \in
M$, �� ���� $D'f = \phi(Df)$. �������� ��������, ��� $\phi$ --
������� �����������. �������������, � ����������� ������ ����� $x
\in M$ ����� ������� �����, � � ��� ������� ���������
$x_i$. ��������� $x_i$ �� ��� $M$ �� �����~\ref{soft}, ��������
����� ������� $x_i \in C^\infty(M,\R)$, ��� $Dx_i:\R^n_M \to T^*M$
������ ������� ������������� �������������� ���������� � �����������
$U \subset M$ ����� $x$. �� ��������� $\phi(Dx_i)=D'(x_i)$ -- ��
������� ������� ������� $E$, �� � ���� ������������� $\phi:\R^n_U
\cong T^*U \to E$ �������� ������� ������� ������� -- �
�������������, ������������ ����� ������� �����������.
\endproof

�������� ������ ������� ������ ����� ����������� �����. ����� $E =
\R_M$ -- ����������� ���������� ����� $1$. ����� �����������
$\phi:T^*M \to E$ ��� �� �� �����, ��� ������� �������������
���������� � $T^*M$ -- �.�. ������������ ���������� $TM$.

\begin{opredelenie}
������� $\xi \in C^\infty(M,TM)$ ������������ ���������� $TM$
���������� {\em ��������� �����} �� ������������ $M$.
\end{opredelenie}

������ ��������� ���� $\xi$ ���������� �����������
$D_\xi:C^\infty(M,\R) \to C^\infty(M,\R)$ �� ������� $D_\xi(f) =
\langle \xi,Df \rangle$ (����� $\langle -,- \rangle$ ����������
������������ ���������� ������������ ���������
�����������). ����������� $D_\xi$ ���������� {\em ����������� ��}
����� ���������� ���� $\xi$. �������, ��� ��� ��������� �������
�����������: ���� $M=U \subset V$ -- ������� � ���������
�����������, �� $TU = U \times V$, � ������ ������ $v \in V$ ������
{\em ����������} ��������� ���� $\xi_v \in C^\infty(U,TU)$; �����
$D_{\xi_v} = D_v$. �����������~\ref{diff.uni} ����������, ���
����������� �� -- ��� ����� ������� ��������� ������� �������
�����������, ������� ������ ����� ����: ����� �������� �����������
$D':C^\infty(M,\R) \to C^\infty(M,\R)$, ��������������� �������
��������, ����� ��� $D'=D_\xi$ ��� ������-�� ���������� ���� $\xi
\in C^\infty(M,TM)$.

\end{document}

