\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Лемма}
\newtheorem{prop}[theorem]{Предложение}
\newtheorem{corr}[theorem]{Следствие}
\newtheorem{exercize}[theorem]{Упражнение}
\newtheorem{sch}[theorem]{Факт}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opredelenie}[theorem]{Определение}
\newtheorem{zamechanie}[theorem]{Замечание}

%%%%% Разное

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][Доказательство.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

\setlength{\unitlength}{1pt}
\newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% The dot which looks good as index for homology groups
%
\newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% Same for cohomology
%

%%%%% Буквы

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}

\newcommand{\A}{{\mathcal A}}

\newcommand{\m}{\mathfrak m}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}
\newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}}

\newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}

\newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}}

\def\ds{\displaystyle}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{Спецпоток ``Тривиум'', семестр 2 -- конспект лекций по анализу}
{Спецпоток ``Тривиум'', семестр 2 -- конспект лекций по анализу}

\begin{document}

\section{Лекция 8.}

Мы показали, как построить кокасательное расслоение $T^*M$ к
гладкому многообразию $M$, исходя, по сути, только из кольца функций
$C^\infty(M,\R)$. Для полноты изложения, покажем еще, как можно,
стартуя с $C^\infty(M,\R)$, восстановить само $M$ как множество (в
предположении, что многообразие $M$ компактно).

Заметим, что каждая точка $x \in M$ определяет отображение колец
$\phi_x:C^\infty(M,\R)$ -- ``значение в точке $x$'' (функция $f \in
C^\infty(M,\R)$ переходит в число $f(x) \in \R$).

\begin{lemma}\label{spec}
Пусть $M$ -- компактное многообразие. Тогда любой гомоморфизм колец
$\phi:C^\infty(M,\R) \to \R$ имеет вид $\phi=\phi_x$ для какой-то
точки $x \in M$.
\end{lemma}

\proof{} Будем доказывать от противного: пусть дан гомоморфизм колец
$\phi:C^\infty(M,\R) \to \R$, который не равен $\phi_x$ ни для
какого $x \in M$. Обозначим ядро $\phi$ через $\m \subset
C^\infty(M,\R)$. Пусть $x \in M$ -- любая точка. Если все $f \in \m$
обращаются в ноль в $x \in M$, т.е. отображение $\phi_x$ зануляется
на $\m$, то $\phi_x$ пропускается через $\phi$, а потому $\phi_x =
\phi$. Поэтому по предположению, сушцествует такая $f_x \in \m$, что
$f(x) \neq 0$. Для определeнности, пусть $f(x) > 0$. Тогда $f > 0$ и
на какой-то окрестности $U_x \subset M$ точки $x$.

Выберем гладкую функцию $\psi_x \in C^\infty(M,\R)$, которая всюду
неотрицательна, равна нулю вне $U_x$, и равна $1$ в некоторой
меньшей окрестности $U'_X \subset U_x$ точки $x$. Положим
$g_x=f_x\psi_x$. Тогда $\phi(g_x) = \phi(\psi_x)\phi(f_x)
=\phi(\psi_x) \cdot 0 =0$, т.е. $g_x \in \m$; с другой стороны, по
построению $g_x \geq 0$ всюду и $g_x(x)>0$ на $U'_x$.

Т.к. $U'_x$ покрывают $M$, а $M$ компактно, то можно выбрать
конечное подпокрытие $U_i$ с соотстветствующими функциями
$g_i$. Рассмотрим функцию
\begin{equation}\label{sum}
g = g_1 + \dots + g_k,
\end{equation}
-- сумму всех $g_i$. Тогда с одной стороны, $g \in \m$, а с другой
стороны, $g > 0$ в каждой точке $M$. Поэтому $g^{-1}$ -- гладкая
функция на $M$, и имеем противоречие: $1 = \phi(1) =
\phi(g)\phi(g^{-1}) = 0$.
\endproof

Практическая ценность этой Леммы невелика: хотя мы и построили $M$
как множество, восстановить топологию на нем, по-видимому, не
удается. Однако технический прием, использованный при
доказательстве, в науке про гладкие многообразия очень
распространен. Его можно чуть уточнить.

\begin{opredelenie}
Пусть $U_i$ -- открытое покрытие многообразия $M$. {\em Разбиением
единицы, подчиненным покрытию $M$}, называется такой набор гладких
функций $\phi_i \in C^\infty(M,\R)$, что $\phi_i=0$ вне $U_i$, и $1
= \phi_1 + \dots + \phi_k$.
\end{opredelenie}

Доказательство Леммы~\ref{spec} показывает также, что для любого
открытого покрытия компактного мнгообразия существует подчиненное
ему разбиение единицы: поскольку все $\psi_i$ неотрицательны, и в
любой точке хотя бы одно из них положительно, можно взять
$$
\phi_i = \frac{\psi_i}{\psi_1 + \dots + \psi_k}.
$$

\begin{zamechanie}\label{para}
Если внимательно разобрать доказательство Леммы~\ref{spec}, то
видно, что конечность покрытия на самом деле не важна: важно, что
{\em каждая точка $x \in M$} принадлежала лишь конечному числу
элементов покрытия. Тогда сумма \eqref{sum} хорошо определена. Такое
покрытие называется {\em локально конечным}; топологическое
пространство, в котором из каждого открытого покрытия можно выбрать
локально конечное подпокрытие, называется {\em
паракомпактным}. Любая область $U \subset \R^n$ на самом деле
паракомпактна, но это -- трудная теорема; мы ее не доказываем и
пользоваться ей не будем, а при необходимости будем ограничиваться
компактными многообразиями.
\end{zamechanie}

Изучим теперь отображения многообразий. А именно, пусть теперь даны
два многообразия $M_1$, $M_2$, и гладкое отображение $\rho:M_1 \to
M_2$. Как ведут себя по отношению к этому отображению касательное и
кокасательное расслоение?

Касательное расслоение ведет себя самым простым образом.  Для любой
точки $m \in M_1$ производная отображения $\rho$ -- когда речь идет
о многообразиях, производную чаще называют ``дифференциал'' -- это
каноническое отображение $D\rho_m:T_mM_1 \to T_{\rho(m)}M_2$ (чтобы
построить его, можно выбрать локальные карты и проверить, что от
выбора ничего не зависит). Все отображения $D\rho_m$ можно склеить в
одно отображение $D\rho:TM_1 \to TM_2$; опять же, проверка в
локальных картах показывает, что это отображение гладкое -- точнее,
класса гладкости $C^{k-1}$, если $M_1$, $M_2$ и $\rho$ были класса
$C^k$.

С кокасательным расслоений такого проделать не удается. Причина
этого в том, что на кокасательных пространствах $T^*_mM_1$,
$T^*_{\rho(m)}M_2$ у нас есть только отображение $D\rho_m^*$, сопряженное
к $D\rho_m$, а оно действует не в ту сторону: не из $T^*_mM_1$ в
$T^*_{\rho(m)}M_2$, а из $T^*_{\rho(m)}M_2$ в $T^*_mM_1$. Поэтому точку
тотального пространства $T^*M_1$ некуда отобразить! Когда мы
получали $T^*M$ склейкой по локальным картам, мы уже видели это
явление -- но в той ситуации отображение $\rho$ было диффеоморфизмом;
поэтому $D\rho_m^*$ было обратимым линейным отображением, и можно было
взять обратное к нему. В общем случае так сделать нельзя, а можно
сделать только следующее: (1) рассмотреть обратный образ
$\rho^*T^*M_2$, он по определению снабжен отображением $\rho^*T^*M_2 \to
T^*M_2$, и (2) склеить все $D\rho_m^*$ в одно отображение
$D\rho^*:\rho^*T^*M_2 \to T^*M_2$. При этом, однако, на {\em сечениях}
кокасательных расслоений -- которые, кстати, называются
дифференциальными формами -- получается хорошо определенное
отображение: для любой дифференциальной формы $\alpha \in
C^\infty(M_1,T^*M_1)$, определяем
\begin{equation}\label{plbk}
\rho^*\alpha(m) = D\rho_m^*(\alpha(\rho(m))).
\end{equation}
Все вместе дает дифференциальную форму $\rho^*\alpha \in
C^\infty(M_1,T^*M_1)$. Эта форма называется {\em прообразом} формы
$\alpha$ при отображении $\rho:M_1 \to M_2$.

\begin{exercize}
Пусть дано гладкое отображение $\rho:M_1 \to M_2$ гладких мнгообразий,
и функция $f \in C^\infty(M_2,T^*M_2)$. Докажите, что $\rho^*Df =
D\rho^*f$.
\end{exercize}

Надо сказать, что отображение $D\rho_m^*$ становится совсем
очевидным, если интерпретировать формы через $1$-струи: у нас есть
отображение $\rho^*:C^\infty(M_2,T^*M_2) \to C^\infty(M_1,T^*M_1)$,
и чтобы получить отображение $\rho^*:J^1_{\rho(m)}M_2 \to J^1_mM_1$,
надо только проверить, что прообразы функций, обращающихся в ноль до
$1$-го порядка в точке $\rho(m) \in M_2$, обращаются в ноль до
$1$-порядка в точке $m \in M_1$. Понятно также, что то же самое
верно и для $k$-го порядка, $k \geq 1$; поэтому получаем
канонические отображения $J^k_{\rho(m)}M_2 \to J^k_mM_1$ и
$\rho^*:C^\infty(M_2,J^kM_2) \to C^\infty(M_1,J^kM_1)$. Неформально
говорят, что формы и $k$-струи -- и функции -- {\em контравариантны}
по отношению к морфизмам многообразий (а касательное расслоение {\em
ковариантно}).

Наконец, что происходит с векторными полями -- т.е. с сечениями
$C^\infty(M,TM)$ касательного расслоения $TM$? То же, что и с
тотальным пространством кокасательного расслоения: никакого
естественного отображения построить нельзя.

Есть одна ситуация, впрочем, в которой что-то сказать можно.

\begin{opredelenie}
Замкнутое подмножество $M' \subset M$ гладкого многообразия $M$
называется {\em подмногообразием} коразмерности $k$ если у каждой
точки $m \in M'$ есть такая окрестности $U_m \subset M$ и локальные
координаты в ней, что $U_m \cap M' \subset U_m$ в этих локальных
координатах есть координатная гиперплоскость коразмерности $k$
(т.е. задается уравнениями $x_1=\dots=x_k=0$).
\end{opredelenie}

Любое подмногообразие коразмерности $k$ -- само по себе
многообразие, размерность его равна $\dim M' = \dim M - k$; карты на
$M'$ получаются из карт на $M$ пересечением с $M'$.

\begin{lemma}
Пусть $M' \subset M$ -- подмногообразие коразмерности $k$. Тогда
$TM' \subset TM$ -- подмногообразие коразмерности $2k$.
\end{lemma}

\proof{} Легко видеть, что если $M' \subset M$ локально задается
уравнениями $x_1=\dots=x_k=0$, то $TM' \subset TM$ задается
уравениями $x_1=\dots=x_k=Dx_1=\dots=Dx_k=0$ -- где мы понимаем
производные $Dx_i$ как функции на $TM$, линейные вдоль слоев.
\endproof

В такой ситуации, легко понять, когда из векторное поля $\xi$ на $M$
можно получить векторное поле $\xi'$ на $M'$ -- это происходит
тогда, когда для каждой точки $m \in M'$ вектор $\xi(m) \subset
T_xM$ лежит в подпространстве $T_xM' \subset T_xM$. Говорят, что
векторное поле $\xi$ {\em касательно} к подмногообразию $M' \subset
M$. Таким образом можно геометрически представлять себе векторные
поля, например, на подмногообразиях $\R^n$ -- таких как
сфера. Векторное поле на таком $M \subset \R^n$ -- это гладкая
векторнозначная функция $\xi:M \to \R^n$, причем в каждой точке $m
\in M$ вектор $\xi(m)$ касается подмногообразия $M$.

Вернемся в общую ситуацию. Заметим, что, наряду с дифференциальными
формами и струями функций, контравариатно ведут себя также сечения
произвольных тензорных степеней кокасательного расслоения: если дано
$\chi \in C^\infty(M_2,T^{\otimes k*}M_2)$ -- такие объекты
называются {\em контравариантными тензорами валентности $k$} -- и
отображение $\rho:M_1 \to M_2$, правило \eqref{plbk} позволяет
построить $\rho^*\chi \in C^\infty(M_1,T^{\otimes k*}M_1)$. То же
верно, если ограничиться тензорами с разными условиями симметрии. На
практике, особенно важны во-первых, симметрические тензоры
валентности $2$, и во-вторых, антисимметрические -- еще говорят
``кососимметрические'' -- тензоры любой валентности $k \leq \dim M$.

\begin{opredelenie}
Пусть $M$ -- гладкое многообразие. {\em Римановой метрикой} на $M$
называется такой симметрический тензор $g \in C^\infty(M,S^2T^*M)$,
что для каждой точки $x \in M$, $g_x$ -- положительно определенная
симметрическая билинейная форма на $T_xM$.
\end{opredelenie}

Иными словами, риманова метрика -- это семейство евклидовых метрик
на касательных пространствах $T_xM$, гладко зависящих от точки $x
\in M$.

\begin{opredelenie}
{\em Дифференциальной формой степени $k$} на многообразии $M$ -- или
просто {\em $k$-формой} на $M$ -- называется сечение $\alpha \in
\Lambda^kT^*M$ $k$-й внешней степени кокасательного расслоения
$T^*M$.
\end{opredelenie}

Иными словами, $k$-форма это семейство $k$-линейных
кососимметрических форм на касательных пространствах $T_xM$, гладко
зависящий от точки $x \in M$. Форма степени $1$ это то, что выше мы
называли просто дифференциальной формой, без степени -- сечение
кокасательного расслоения.

\begin{exercize}
Чему равно $C^\infty(M,\Lambda^kT^*M)$, если $k > \dim M$?
\end{exercize}

Римановы метрики важны вот по какой причине. Когда мы строили анализ
на областях в векторном пространстве, мы говорили, что надо выбрать
евклидову метрику, но что от выбора ничего не зависит -- ни
топология, ни понятие гладкости. На уровне определений, то же самое
верно и для произвольных многообразий. Но при более тонком
исследовании часто полезно-таки зафиксировать метрику (даже если
потом от нее ничего не будет зависеть). К счастью, это всегда можно
сделать.

\begin{lemma}
Пусть $M$ -- компактное многообразие. Тогда на $M$ сушцествует
риманова метрика $g$.
\end{lemma}

\proof{} Метрика всегда существует в окрестности каждой точки $x$ --
достаточно взять постоянную метрику в локальной карте. Выберем набор
окрестностей $U_x$, метрику $g_x$ и срезающих функций $\psi_x \in
C^\infty(M,\R)$, которые равны нулю вне $U_x$, всюду неотрицательны,
иравны $1$ в меньших окрестностях $U'_x \subset M$. Выберем конечное
подпокрытие $U'_i$ из покрытия $U'_x$, и рассмотрим
$$
g = \psi_1g_1 + \dots + \psi_kg_k \in C^\infty(M,S^2T^*M).
$$
Тогда $g$ -- гладкий симметрический тензор валентности $2$, и для
каждой точки $m \in M$ и касательного вектора $v \in T_mM$ имеем
$g(v,v) \geq \psi_i(x)g_i(v,v) > 0$, где $m \in U_i'$. Поэтому $g'$
положительно определена, а потому и невырождена.
\endproof

\begin{zamechanie}
Условие компактности на самом деле можно ослабить,
см. замечание~\ref{para}.
\end{zamechanie}

Среди прочего, риманова метрика на многообразии позволяет ввести на
нем понятие расстояния, т.е. метрику в смысле метрических
пространств (в частности, любое компактное мнгообразие
метризуемо). К сожалению, пока мы не можем этого сделать, т.к. для
этого нужна теория интегрирования.

Дифференциальные формы тоже важны прежде всего из-за их связи с
теорией интегрирования: дифференциальная форма степени $k$ это то,
что можно проинтегрировать по компактному подмногообразию
размерности $k$ и получить число. Про это мы на этой лекции говорить
не будем, однако; прежде чем заняться интегрированием, объясним,
какие с формами можно делать алгебраические операции: как их
перемножать, и как их дифференцировать.

Перемножают формы так же, как и элемeнты внешенй алгебры векторного
пространства (см. листок Алгебра 5). Это произведение называется
внешним и обозначается значком $\wedge$. Единственное, что надо
помнить -- это что внешенее произведение коммутативно {\em с учетом
знаков}: если даны формы $\alpha$, $\beta$ степеней $k$ и $l$, то
$$
\alpha \wedge \beta = (-1)^kl\beta \wedge \alpha.
$$
Дифференцировать же формы можно благодаря следующему
фундаментальному факту.

\begin{theorem}[Комплекс де Рама.]
Пусть дано гладкое многообразие $M$. Тогда существует единственная
операция $d:C^\infty(M,\Lambda^\hdot T^*M) \to
C^\infty(M,\Lambda^{\hdot+1}T^*M)$, для которой
\begin{align*}
d(\alpha \wedge \beta) &= d\alpha \wedge \beta + (-1)^{\deg
\alpha}\alpha \wedge d\beta,\\
d^2 &=0\\
d(f) &= Df \qquad \text{ для любой функции } f \in C^\infty(M,\R).
\end{align*}
Если же дано гладкое отображение $\rho:M_1 \to M_2$, то для любой
$k$-формы $\alpha$ на $M_2$ имеем $\rho^*d\alpha = d\rho^*\alpha$.
\end{theorem}

Заметим, что первое условие -- это обобщение правила
Лейбница. Операция $d$ называется {\em дифференциал де Рама}.

\proof{} Заметим сначала, что в силу единственности утверждение
достаточно доказывать локально. Действительно, пусть мы уже доказали
теорему для всех открытых подмножеств $U \subset \R^n$. Тогда у
любой точки $x \in M$ есть окрестность $U \subset M$, в которой
дифференциал де Рама мы построили, и для любой $k$-формы $\alpha$ на
$M$ мы можем и должны положить
$$
(d\alpha)|_U = d\left(\alpha|_U\right).
$$
В силу единственности, эти формы согласованы на пересечениях $U \cap
U'$ и задают одну общую форму $d\alpha$ на всем $M$.

Итак, заменим $M$ на открытую область $U \subset M$, и выберем
систему координат $x_i$ в $U$. Тогда любая $k$-форма $\alpha \in
C^\infty(M,\Lambda^kT^*M)$ однозначно запишется в виде
$$
\alpha = \sum_I f_I(m)dx_{i_1} \wedge \dots \wedge dx_{i_k},
$$
где суммирование ведется по упорядоченным наборам индексов
$I=\langle i_1,\dots,i_k\rangle$, $i_1 < \dots < i_k$. Тогда
поскольку $d^2=0$, мы по правилу Лейбница должны положить
$$
\alpha = \sum_I df_I(m) \wedge dx_{i_1} \wedge \dots \wedge dx_{i_k},
$$
причем $df_I(m)=Df_I(m)$ тоже известно. Легко проверить, что так
определенная операция $d$ удовлетворяет правилу Лейбница. Осталось
доказать, что $d^2=0$. Но заметим, что
$$
d^2(\alpha \wedge \beta)=d(d\alpha \wedge \beta +
(-1)^{\deg(\alpha)}\alpha \wedge d\beta) = d^2(\alpha) \wedge \beta
+ \alpha \wedge d^2\beta,
$$
а остальные два члена в правой части сокращаются -- т.е. $d^2$ тоже
удовлетворяют правилу Лейбница. Поэтому равенство $d^2=0$ достаточно
доказать для функций и для форм вида $dx_i$ -- все остальные
получаются из них произведениями. Для форм вида $dx_i$ по
определению $d(dx_i)=0$, а для функции $f$ равенство $d^2f=0$
эквивалентно тому, что частные производные $f$ коммутируют --
$D_vD_{v'}f = D_{v'}D_vf$.
\endproof

\end{document}

