\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Лемма}
\newtheorem{prop}[theorem]{Предложение}
\newtheorem{corr}[theorem]{Следствие}
\newtheorem{exercize}[theorem]{Упражнение}
\newtheorem{sch}[theorem]{Факт}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opredelenie}[theorem]{Определение}
\newtheorem{zamechanie}[theorem]{Замечание}

%%%%% Разное

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][Доказательство.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

%%%%% Буквы

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}

\newcommand{\A}{{\mathcal A}}

\newcommand{\m}{\mathfrak m}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}
\newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}}

\newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}

\newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}}

\def\ds{\displaystyle}

\newcommand{\6}{\partial}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{Спецпоток ``Тривиум'', семестр 2 -- конспект лекций по анализу}
{Спецпоток ``Тривиум'', семестр 2 -- конспект лекций по анализу}

\begin{document}

\section{Лекция 9.}

На прошлой лекции мы разобрались с тем, как дифференцировать
дифференциальные формы; поговорим теперь немного о том, как их
интегрировать. Наша цель -- не построить полноценную теорию
интегрирование (это вне рамок данного курса), а описать, что в
принципе существует, зачем оно нужно, какой геометрической интуиции
оно отвечает, и какие возникают тонкие места, если пытаться эту
геометрическую интуицию формализовать.

Геометрически, интеграл формализует понятие объема (а также площади
и длины).

Пусть даны $n$ линейно-независимых векторов $v_1,\dots,v_n$ в
$n$-мерном векторном прострастве $V$. На их можно натянуть
параллелепипед. Интутивное понятие объема этого параллелипипеда
хорошо описывается, если сопоставить ему вектор $v_1 \wedge \dots
\wedge v_n \in \Lambda^nV$ в одномерном векторном прострастве
$\Lambda^nV$. Так, если параллелепипед разбит на несколько меньших,
то соответствующие вектора $v_1 \wedge \dots \wedge v_n$
складываются, и т.д. При этом никакого {\em числа} параллелипипеду
сопоставить нельзя. Чтобы иметь возможность говорить про объем как
про число, надо выбрать изоморфизм $\Lambda^nV \to \R$ -- иными
словами, ненулевой элемент $\omega \in \Lambda^nV^*$ двойственного
векторного пространства $(\Lambda^nV)^* \cong \Lambda^nV^*$. Такой
элемент $\omega$ называется {\em формой объема} на $V$.

Соответственно, если $M$ -- гладкое многообразие размерности $n$, то
{\em формой объема} на нем называется $n$-форма $\omega \in
\Lambda^nT^*M$, которая ни в одной точке $m \in M$ не обращается в
ноль. Многообразие, которое допускает форму объема, называется {\em
ориентируемым}.

\begin{zamechanie}
Если векторное пространство $V$ снабжено евклидовой метрикой, то
можно дополнительно потребовать, чтобы форма объема $\omega$ на нем
была длины $1$ по отношению к естественной метрике на $\Lambda^nV$,
$\|\omega\|=1$. Таким образом, на евклидовом пространстве форма
объема определена однозначно {\em с точностью до знака}. Мы знаем,
что любое разумное многообразие $M$ допускает риманову метрику; но
из-за этого самого знака отсюда не следует, что любое многообразие
ориентируемое. Это и не верно. Простейшие неориентируемые
мнгообразия возникают уже в размерности $2$ ({\em вещественная
проективная плоскость}, которая получается, если на сфере $S^2$
отождествить каждую точку с диаметрально противоположной, а также
чуть более сложно строящаяся {\em бутылка Клейна}).
\end{zamechanie}

Цель теории интегрирования -- это сопоставить каждому компактному
многообразию $M$ и каждой форме объема $\omega$ на $M$ число,
называемое {\em интегралом} $\int_M\omega$. Чуть шире, в построении
интеграла можно не требовать, чтобы $\omega$ была формой объема --
допускаются любые $n$-формы, даже и обращающиеся в $0$. Тогда можно
рассматривать и некомпактные $M$ -- важно только, чтобы $\omega$
было равно $0$ вне компактного подмножества. При этом операция
интегрирования должна удовлетворять естественным свойствам
(интегрирование должно быть линейно по $\omega$; если разбить $M$ на
два куска, то интеграл должен быть суммой интегралов по двум
кускам). Если же $M$ -- параллелепипед $\langle v_1,\dots,v_n
\rangle$ в векторном пространстве $V$, а $\omega$ -- постоянная
форма объема на $V$, то $\int_M\omega$ должно быть уже известным нам
числом $\omega(v_1,\dots,v_n)$.

В принципе, на этом месте можно закончить определения и строить
операцию интегрирования чисто аксиоматически (надо только добавить
надлежащим образом сформулированное свойство ``непрерывности'' по
$\omega$ -- если мы мало изменяем форму $\omega$, инетграл
$\int_M\omega$ должен мало измениться). Но сделать это аккуратно и
вправильной общности оказывается не так-то легко.

Попробуем разобрать одномерный случай $M = \R$. Лучше даже, пусть
$M$ будет отрезком $I=[0,C]$, а все гладкие функции, формы и т.д. на
$M$ будем предполагать определенными в каком-то чуть большем
интервале $]-\eps,C+\eps[$ (чтобы они были гладкими и в концах
отрезка). Пусть $\alpha \in C^\infty(I,T^*I)$ -- гладкая $1$-форма
на $I$. Как определить $\int_I\alpha$? Основная идея совершенно
понятна. Поскольку форма $\alpha$ гладкая, локально возле любой
точки $m$ она близка к постоянной форме $\alpha_m \in T^*M$ на
$T_mI$; а как вычислять интеграл постоянной формы, мы знаем. Поэтому
надо разбить отрезок $I$ на маленькие отрезки, приблизить $\alpha$
постоянной формой на каждом из них, и просуммировать получившиеся
интегралы.

Если действовать формально, то назовем {\em $\eps$-разбиением}
отрезка $I$ такой набор чисел $0 = a_1 < \dots < a_{N+1} = C$, что
$|a_i-a_{i+1}| < \eps$, $1 \leq i \leq N$. Для каждого
$\eps$-разбиения $\overline{a}$, рассмотрим {\em интегральную сумму}
$$
\sum_{\overline{a}}\alpha = \sum_i |a_i - a_{i+1}| \cdot
\alpha(a_{i+1} - a_i),
$$
где мы понимаем $a_{i+1}-a_i$ как касательный вектор в точке $a_i$,
и назовем интегралом $\int_I\alpha$ предел интегральных сумм при
$\eps \to 0$. Это так называемый {\em интеграл Римана}.

Сразу видно, что с этим определением что-то не так: по какому,
собственно, параметру мы переходим к пределу? При любом $\eps$
существует много $\eps$-разбиений, в каком-то смысле тем больше, что
меньше $\eps$ (потому что при малом $\eps$ должно быть большим число
точек $N$). Чтобы бороться с этим, можно например действовать так.

\begin{lemma}
Для любого $\delta > 0$ существует такое $\eps > 0$, что для любых
двух $\eps$-разбиений $\overline{a}$, $\overline{a}'$ отрезка $I$
имеем
$$
\left| \sum_{\overline{a}}\alpha - \sum_{\overline{a}'} \right| <
\delta.
$$
\end{lemma}

\proof{} Упражение. Указание: легко видеть, что достаточно
рассмотреть случай, когда $\overline{a}'$ есть подразбиение
$\overline{a}$, т.е. любая точка из $\overline{a}$ встречается также
и в точках $\overline{a}'$. Далее можно оценить разность двух
интегральных сумм по отдельности на каждом отрезке $[a_i,a_{i+1}]$,
используя гладкость $\alpha$ и теорему и малом приращении.
\endproof

Из этой Леммы вытекает, что множество всех интегральных сумм для
всех $\eps$-разбиений лежит в некоторм $\delta$-шаре, причем если
$\eps$ стремится к нулю, то $\delta$ становится сколь угодно
мало. Поэтому пересечение всех этих $\delta$-шаров состоит из
одного-единственного числа -- которое и есть $\int_I\alpha$.

Таким образом формальную проблему с этим определением можно
решить. Остаются существенные проблемы, которые таковы. Во-первых,
требование {\em гладкости} $\alpha$ излишне сильное; на практике
часто нужно -- и можно -- интегрировать формы не только не гладкие,
но даже и не непрерывные. Во-вторых, определение дано нами для
отрезка. Его сравнительно легко обобщить на параллелепипед --
разбивая его на меньшие параллелепипеды по каждой из координат. Но
эта процедура разбиения существенно использует систему
координат. Посмотреть, что происходит при замене координат, и
склеить определение для многообразий -- это крайне мутная
комбинаторная процедура. Человек достаточно усидчивый может быть и
может ее проделать; но времени его на это потраченного, очень жалко,
поскольку понятно, что все эти комбинаторные сложности совершенно не
по делу -- это просто артефакт процедуры. А ведь можно еще и на
треугольники разбивать -- и придется проверять, что получается то же
самое... На самом деле, существует более инвариантная и
концептуальная процедура интегрирования, которая -- совсем грубо
говоря -- состоит в том, что надо позволить разбивать не только на
прямоугольники и треугольники, а вообще на что угодно, причем в
бесконечном числе. Как это часто бывает, при таком максимальном
обобщении суть теории проясняется, а доказательства на самом деле
становятся даже проще.

Соответствующая наука называется {\em теория меры}; по ней будет
прочитан отдельный курс.

Пока что, отметим следующий совершенно фундаментальный факт.

\begin{prop}[Формула Ньютона-Лейбница]
Пусть $F$ -- гладкая функция на отрезке $I = [0,C]$. Тогда
$$
\int_IdF = F(C)-F(0).
$$
\end{prop}

Доказать это, используя понятие интеграла Римана, несложно: для
линейных функций утверждение очевидно, для произвольных берем
$\eps$-разбиения, заменяем интеграл на интегральную сумму, и
доказываем, что разность левой и правой части стремится к $0$ когда
$\eps \to 0$. Практически все, изучающие анализ одной переменной,
воспринимают это формулу как нечто очевидное, почти
тавтологичное. Это не совсем правильно. Исторически, формула
Ньютона-Лейбница это важное достижение: две совершенно разные
операции, дифференцирование и интегрирование -- которые к тому же
формализуют совершенно разные геометрические и физические понятия --
оказываются взаимно обратными.

Чтобы увидеть обратное соотвествие, кстати, надо доказать, что
$\int_{[0,C]}\alpha$, {\em рассмотренный как функция от $C \in \R$}
-- гладкая функция $F(C)$. Тогда из формулы Ньютона-Лейбница
немедленно следует, что $dF = \alpha$ (говорят, что функция $F$ --
{\em первообразая} для формы $\alpha$; тем самым, процедура
интегрирования показывает, что у каждой $1$-формы на $\R$ есть
первообразная).

При обобщении на высшие размерности становится ясно, что интеграл и
производная это вещи даже на формальном уровне разные, хотя и
связанные. Обобщение формулы Ньютона-Лейбница называется {\em
формулой Стокса}. Чтобы удобно софрмулировать ее, слегка обобщим
понятие интеграла. Для каждого $k$ обозначим через $I^k$ единичный
$k$-мерный куб; элементарным циклом размерности $k$ на многообразии
$M$ будем называть гладкое отображение $\phi:I^k \to M$; {\em
циклом} размерности $k$ на многообразии $M$ будем называть
формальную линейную комбинацию элементарных циклов. Тогда для любого
цикла $[C] = a_1\phi_i + \dots + a_N\phi_N$ на $M$ можно чисто
формально определить интеграл $\int_{[C]}\alpha$ любой $k$-формы
$\alpha$ на $M$ формулой
$$
\int_{[C]}\alpha = a_i\sum\int_{I^k}\phi_i^*\alpha.
$$
Это по сути не более чем обозначение, но оно упрощает формулы. А
именно, {\em границей} $\6\phi$ элементарного цикла $\phi:I^k \to M$
будем называть цикл
$$
\6\phi = \sum_{1 \leq i \leq k}\phi^i_1 - \phi^i_1,
$$
гд $\phi^i_0$, $\phi^i_1$ -- ограничение отображения $\phi$ на грань
куба $I^k$, состоящую из точек где $i$-я координата равна
соответственно $0$, $1$. По линейности, понятие границы продолжается
на неэлементарные циклы.

\begin{prop}[Формула Стокса]
Для любого $k$-цикла $[C]$ на $M$ и любой $(k-1)$-формы $\alpha$ на
$M$, имеем
$$
\int_{[C]}d\alpha = \int_{\6[C]}\alpha.
$$
\end{prop}

Мы этого доказывать не будем, потому что -- как обьяснено выше --
понятное доказательство трудно дать, не используя понятное и удобное
определение интеграла; отметим только, что формула Ньютона-Лейбница
получается из этой формулы при $k=1$ (граница отрезка это формальная
разность двух точек, интеграл функции по точке это просто ее
нзачение в этой точке -- поэтому правая чать формулы Стокса
превращается в $F(1)-F(0)$).

Вообще говоря, можно было бы и вовсе интеграл в рамках настоящего
курса не упоминать. Мы сделали это, потому что с помощью
интегрирования -- причем достаточно интерирования по одной
переменной -- мы сможем разъяснить геометрический смысл векторных
полей.

Вспомним, что когда мы рассматривали гладкие функции на векторном
пространстве $V$, один из способов определить производную -- вернее,
частную производную вдоль вектора $v \in V$ -- был основан на том,
чтобы рассмотреть параллельные переносы $T_{tv}$ на вектора,
пропорциональные $v$. Оказывается, что эту процедуры тоже крайней
осмысленно обощить. А именно, пусть дано гладкое многообразие $M$.

\begin{opredelenie}
{\em Однопараметрической группой диффеоморфизмов} многообразия $M$,
или {\em потоком} на $M$ называется такое гладкое отображение
$\Phi:M \times \R \to M$, что для любого $t \in \R$ индуцированное
отображение $\Phi_t: M - M \times \{t\} \to M$ есть диффеоморфизм,
причем для любых двух $t$, $t$ имеем $\Phi_t \circ \Phi_{t'} =
\Phi_{t+t'}$.
\end{opredelenie}

Иными словами, аддитивная группа поля $\R$ действует на $M$, причем
каждый элемент $t \in \R$ действует диффеоморфизмом $\Phi_t$, и этот
диффеоморфизм $\Phi_t$ гладко зависит от $t$. Так, параллельные
переносы $T_{tv}$ очевидно образуют однопараметрическую группу.

\begin{zamechanie}
Поток по-английски будет flow. К сожалению, по-русски потоком
называется еще и совершенно другая вещь, которая по английски будет
current. К счастью, в ближайшие полгода она нам точно не
понадобится.
\end{zamechanie}

\begin{lemma}
Пусть $\alpha$ -- какой-то гладкий ковариантный тензор на $M$
(функция, дифференциальная форма, риманова метрика и т.д.). Тогда
для любого потока $\Phi_t$ существует предел
$$
\lim_{t \to 0}\frac{1}{t}(\Phi_t^*\alpha - \alpha).
$$
\end{lemma}

\proof{} Упражение. \endproof

Этот предел называется {\em производной Ли} тензора $\alpha$ вдоль
потока $\Phi_t$. Кажется, что возникает новое понятие
дифференцирования, но это не вполне так: по крайней мере для функций
понятие то же самое. Действительно, заметим, что в каждой точке $m
\times \{0\} \in M \times \R$ у нас есть канонический касательный
вектор -- единичный касательный вектор вдоль $\R$. Обозначим его
через $e_t$.

\begin{opredelenie}
{\em Касательным векторным полем} потока $\Phi:M \times \R \to M$
называется векторное поле $\xi = \xi(\Phi)$, зданное как
$$
\xi_m = D\Phi_m(e_t).
$$
\end{opredelenie}

\begin{lemma}
Пусть $\Phi_t$ -- поток на $M$ с касательным векторным полем
$\xi$. Тогда производная Ли вдоль $\Phi_t$ любой функции $f \in
C^\infty(M,\R)$ равна частной производной $D_{\xi}f$.
\end{lemma}

\proof{} Упражение. \endproof

Но что-то новое мы все же получили: прояснили геометрический смысл
чстной производной, и определили частные производные не только
функций, но и других ковариантных тензоров -- форм, метрик и
т.д. Все это для векторные полей, которые касательно к какой-то
группе диффеоморфизмов. Насколько общее это явление? Оказывается,
что максимально общее: любое векторное поле многообразии происходит
из однопараметрической группы (возможно, правда, что $\Phi_t$
определено только для маленьких $t$, а если $M$ некомпактно, то и
только в окрестности каждой его точки). Кроме того, такая группа
определена однозначно (Иногда говорят, что ``векторное поле есть
инфинитеземальный диффеоморфизм'', и что ``локально векторное поле
интегрируется до потока''). Это вытекает из следующего
фундаментального факта.

\begin{prop}[Существование\! и\! единственность решений дифф.\ уравнений]
\mbox{}\\
Пусть $U \subset V$ -- область в векторном пространстве, $I \subset
\R$ -- интервал вещественной прямой, а $\xi$ -- векторное поле на $U
\times I$, которое вертикально вдоль слоев проек\-ции $U \times I
\to I$. Рассмо\-т\-р\-им поле $\xi + e_t$ на $U \times I$. Тогда
в любой точке $x \in U \times I$ существует такая система координат
$\Phi:U' \times I' \to U \times I$, $U' \subset V$, $I' \subset I$,
совместимая с проекциями на $\R$, что $\Phi$ переводит $\xi +
e_t$ в постоянное векторное поле $\6/\6t$.
\end{prop}

В следующей, последней Лекции мы докажем это Предложение. Начнем с
того, что объясним, какое оно имеет отношение к однопараметрическим
группам (а заодно и к дифференциальным уравнениям, и их
решениям). Закончим тем, что выведем из этого утверждения полезные
геометрические следствия.

\end{document}

