\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem,russcorr}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{zadacha}{������}

%%%%% ������

\newcommand{\proof}[1][��������������.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\ralph{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\ralph{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

\setlength{\unitlength}{1pt}
\newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% The dot which looks good as index for homology groups
%
\newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% Same for cohomology
%

\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}

%%%%% �����

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}

\newcommand{\A}{{\mathcal A}}

\newcommand{\m}{\mathfrak m}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}
\newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}}

\newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}

\newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}}

\def\ds{\displaystyle}

\newcommand{\6}{\partial}
\def\grad{\operatorname{\sf grad}}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{��������� ``�������'', ������� 2 -- ������� �� �������}
{��������� ``�������'', ������� 2 -- ������� �� �������}

\begin{document}

\section*{������, 2� �������, ���� �� ����������������� ����������.}

������� ������������ -- ������ ����� ������� � ����� 23 ����� � �
������� 24 �����. ������ ������� �����. ��� ���� ����� ���� ������
�������������� ������������� �������. ��� ����� �������� ����������
����� 2 ������ (��� ������ ``3''); ����� �������� ``4'', ���� ������
3 ������, ����� �������� ``5'' -- ��������������, ������ ������.

\bigskip

\begin{zadacha}
����� $f(x_1,x_2)$ -- ������������������ ������� ���� ����������
(����� �������, ����������� $\R^2 \to \R$.
\begin{enumerate}
\item ����� $f$ ����������, ������ ��������� $C^1$ ��� $0 \in \R^2$,
� ����� � $\6/\6 x_1 f$, � $\6/\6 x_2 f$ ������ ���������� � $0 \in
\R^2$. ����� ��, ��� $f$ ������ ��������� $C^1$ ����� �� $\R^2$?
����� �� ���, ���� ��� ������������, ��� $D_vf$ ������ ���������� �
$0$ ��� ������ ������� $v \in \R^2$?
\item ����� $f$ ������ $C^1$ �����, � ������ $C^2$ ��� ����, � �����
$\6/\6 x_1\6/\6 x_2 f$ � $\6/\6 x_2\6/\6 x_1 f$ ������ ���������� �
����. ����� ��, ��� $f$ ������ $C^2$ �����? ����� ��, ��� 
$$
\frac{\6}{\6x_1}\frac{\6}{\6 x_2} f = \frac{\6}{\6 x_2}\frac{\6}{\6 x_1} f?
$$ 
����������� �������������, ��� $\6/\6 x_1\6/\6 x_2 f$ � $\6/\6
x_2\6/\6 x_2 f$ ���������� � ���� -- ����� �� �����, ��� $f$ ������
$C^2$? � ���� ��� ������������, ��� 
$$
\frac{\6}{\6 x_1}\frac{\6}{\6 x_2} f = \frac{\6}{\6
x_2}\frac{\6}{\6 x_1} f?
$$
\end{enumerate}
����� $\6/\6 x_1$, $\6/\6 x_2$ -- ������� ����������� ����� ��������
�������� $\langle 1,0 \rangle, \langle 0,1 \rangle \in \R^2$
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����� $E$ -- ��������� ���������� �� ������� ���������� ������������
$M$. {\em ����������} �� $E$ ���������� ����� ��������
$\nabla:C^\infty(M,E) \to C^\infty(M,E \otimes T^*M)$, ���
$$
\nabla(ae)=a\nabla(e)+e \otimes da
$$
��� ����� $a \in C^\infty(M,\R)$, $e \in C^\infty(M,E)$. ��������,
��� �� ����� ���������� ���������� ���������. ��������: ��������
�������, ��� ���� $\nabla_1$, $\nabla_2$ -- ���������, � $\lambda
\in \R$ -- ����� �����, �� $\lambda\nabla_1 + (1-\lambda)\nabla_2$
-- ���� ���������; ����� �������������� ���������� �������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
\begin{enumerate}
\item ����� $M$ -- ������� ������������, � $E_1$, $E_2$ -- ���������
���������� �� ���. ����� ��, ��� ����� �����������
$\phi:C^\infty(M,E_1) \to C^\infty(M,E_2)$, ������� ���������� ��
���������� $C^\infty(M,\R)$-������, ���������� �� �����������
���������� $E_1 \to E_2$?
\item ����� $M$ -- ������� �����������, � $E$ -- ���������� �� ���,
���������� ���������� $\nabla$. ��������, ��� $\nabla$ ������������
������� ������������ �� ����������� 
$$
\nabla:C^\infty(M,\Lambda^\hdot T^*M \otimes E) \to 
C^\infty(M,\Lambda^{\hdot+1} T^*M \otimes E),
$$ 
��� ��������
$$
\nabla(e \otimes \alpha) = \nabla(e) \wedge \alpha +
(-1)^{\deg\alpha}e \otimes d\alpha.
$$
����� ����, ��������, ��� $\nabla^2:C^\infty(M,E) \to
C^\infty(M,\Lambda^2T^*M \otimes E)$ ���������� �� �����������
���������� $R:E \to \Lambda^2T^*M \otimes E$ (��� �����������
���������� ��������� ��������� $\nabla$).
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����� $M$ -- ������� ���������� ������������� ���������������, � $M'
\subset M$ -- ��������������� ������������� $1$, �������� ��� ����
������� ������� $f \in C^\infty(M,\R)$, ������ $df \neq 0$.
��������, ��� $M'$ ������������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����� $M$ -- ������� ���������� ������������� ������������
����������� $2$, �� ������� ���������� ��������� ���� $\xi$, �����
�� ������������ � ����. ��������, ��� ����������� ���������� $TM$
����������. ����� �� ���, ���� $M$ ����������� $3$ (��������:
����������� ������������ $S^2 \times S^1$ ����� �� ����������)?
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
��������, ��� ����������� ���������� $TS^2$ � ��������� ����� $S^2$
������������. ����������� ������������ ��� �������������� ���������
����:
\begin{itemize}
\item ����� $f_1,\dots,f_n:S^1 \to S^1$ -- ����������� �����������
�� ��������� ���������� $S^1 \subset \C$ � ����, ������ ������ ��
��� ������������ �� ������������ ����������� $D \to S^1$ ��
���������� ����� $D \subset \C$, $D = \{z \in \C| |z| \leq
1\}$. ����� ������������ $f_1f_2 \dots f_n:S^1 \to S^1$ �� �����
����������� $S^1 \to S^1, z \mapsto z^2$.
\end{itemize}
��������: ������� ������� �� ����� �������� �������; ����� ��������
�� ����� ������� -- �������� � ����� ���������� -- � ���������
������� ��������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
��� ������ �������������� ���������� ������������ $V$ � ������� $v
\in V$, �������� ``����������� $v$'' -- ��� ����������� $\alpha
\mapsto \alpha \cntrct v$ ������� ������� $\Lambda^\hdot V^*$,
�������� ���:
$$
(e_1 \wedge \dots \wedge e_k) \cntrct v = \sum_{1 \leq i \leq k}
(-1)^{i-1}\langle v, e_i \rangle e_1 \wedge \dots e_{i-1} \wedge
e_{i+1} \wedge \dots e_k,
$$
��� $e_1,\dots,e_k \in V^*$ -- ����� ���������, � $\langle v, e_i
\rangle \in \R$ -- ��������� ���������� ��������� $e_i \in V^*$ �
������� $v \in V$.
\begin{enumerate}
\item ��������, ��� �������� $\alpha \mapsto \alpha \cntrct v$,
$\Lambda^{\hdot+1}V^* \to \Lambda V^*$ ������������� �������
��������: $(\alpha \wedge \beta) \cntrct v$ ���� ����� $(\alpha
\cntrct v) \wedge \beta$ � $\alpha \wedge (\beta \cntrct v)$ �
������-�� �������. � ������?
\item �������� {\em ������� ��������� �������}: ��� ������
���������� ���� $\xi$ � ����� $k$-����� $\alpha$ �� �������
������������ $M$ �����
$$
D_\xi(\alpha) = d(\alpha \cntrct \xi) + (d\alpha \cntrct \xi),
$$
��� $D_\xi$ -- ����������� �� ����� $\xi$. ��������: ��������
�������, ��� ��� ����� ������������� ������� �������� �, ����� ����,
����������� � �������������� �� ����; ����� ��������� ��������� ���
$k=0$.
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����� $M$ -- ������� ���������� ������������ ����������� $k$, � $f
\in C^\infty(M,\R)$ -- ������� ������� �� ���. ��������, ���
����������� ����� ������� $f$ -- ��� ����� ����� $m \in M$, ���
$df_m=0$; ����������� ����� $m$ �����������, ���� ������� � ��� --
������������� ������������ ����� �� $T_mM$.
\begin{enumerate}
\item ��������, ��� � $f$ �� ������� ���� ��� ����������� �����.
\item ����� � $f$ ����� ��� ����������� �����, ������ ���
�����������. ��������, ��� $M$ ������������ ����� $S^k$. ��������:
����� $m$ -- ���� �� ���� ������������� ����������� �����. ��������
�������, ��������� ����� �����, ��� ��� ������ $c \in \R$, ��������
� $f(m)$, ��������������� $f^{-1}(c) \subset M$ ���� �����, ����
������������ ����� $S^{k-1}$.
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\end{document}

