\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr}

\input{listki.tex}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Для зачета по каждому листку достаточно сдать все задачи со
звездочками, либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя
звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же
листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{1}{ГЕОМЕТРИЯ 1: вещественные числа.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Для этого листочка требуется знакомство с понятием поля,
введенным в листке АЛГЕБРА-1.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{Фундаменальные последовательности.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Обычно вещественные числа приближают рациональными --- например,
раскладывают число $a$ в бесконечную десятичную дробь
$a_0,a_1a_2\dots$, и рассматривают разные конечные отрезки
$a_0,a_1a_2 \dots a_n$ этой дроби как все более точные приближения
$a$. При этом некоторые дроби объявляются эквивалентными, например,
$1,00000\dots$ и $0,9999 \dots$. Оказывается, что строго определять
арифметические операции на вещественных числах и доказывать их
свойства проще, если рассматривать не конкретно десятичные дроби, а
вообще любые последовательности рациональных чисел, приближающие
данное вещественное число. При этом снова надо учитывать, что разные
последовательности могут быть эквивалентны (приближать одно и то же
число). С логической точки зрения, проще всего просто {\bf объявить}
вещественным числом множество приближающих его последовательностей
рациональных чисел. На этом основан подход Коши к строгому
построению множества вещественных чисел.

\begin{opredelenie} Будем говорить, что нечто верно для {\bf почти
всех} элементов множества, если оно верно для всех элементов, кроме
конечного их числа. Пусть $\{a_i\}= a_0, a_1, a_2, \ldots$ --
последовательность рациональных чисел. Говорят, что $\{a_i\}$ --
{\bf фундаментальная последовательность}, или {\bf
последовательность Коши}, если для любого рационального
$\epsilon >0$ существует отрезок $[x, y]$ длины 
$\epsilon$, который содержит почти все
$\{a_i\}$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
Пусть $a$ -- рациональное число. Докажите, что постоянная
последовательность $a,a,\dots$ -- последовательность Коши.
\end{zadacha}

Такую последовательность мы будем обозначать через $\{a\}$.

\begin{zadacha} Пусть $\{a_i\}$ -- последовательность Коши.
Переставим в произвольном порядке элементы $a_i$. Докажите, что
получится последовательность Коши.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Дана последовательность $\{a_i\}$ рациональных чисел,
принадлежащих отрезку $I = [a, b]$, $a, b \in \Q$. Докажите, что из
$\{a_i\}$ можно выбрать подпоследовательность, которая является
последовательностью Коши.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Разделим отрезок $I_0=[a, b]$ пополам.
В одной из половин (обозначим ее $I_1$) содержится бесконечное число
элементов последовательности. Выкинем из $\{a_i\}$ все элементы,
кроме $a_0$, которые не лежат в $I_1$. Разделим $I_1$ пополам, и
т.д. В отрезке $I_k$, полученном на $k$-м шаге, содержатся все
элементы полученной последовательности, начиная с $k$-го, и этот
отрезок имеет длину $\frac{b-a}{2^k}$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!] Дана монотонно возрастающая последовательность 
$a_1\leq a_2 \leq a_3 \leq\dots$. Известно, что все $a_i$ ограничены
сверху некоторой константой $C$: $a_i \leq C$. Докажите, что это
последовательность Коши.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie} Пусть $\{ a_i\}$, $\{b_i\}$ -- последовательности
Коши. Они называются {\bf эквивалентными}, если последовательность
$a_0, b_0, a_1, b_1, a_2, b_2, ... $ -- последовательность Коши.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
Пусть $a$, $b$ -- два рациональных числа. Докажите, что $\{a\}$
эквивалентна $\{b\}$ тогда и только тогда, когда $a=b$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Докажите, что последовательность
Коши эквивалентна любой своей подпоследовательности.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Докажите, что если $\{a_i\}$ эквивалентна $\{b_i\}$, то $\{b_i\}$
эквивалентна $\{a_i\}$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]\label{otdeleny}
Пусть $\{a_i\}$, $\{b_i\}$ -- две неэквивалентные последовательности
Коши. Докажите, что существуют два непресекающихся интервала $I_1$,
$I_2$ такие, что почти все $a_i$ лежат в $I_1$, а почти все $b_i$ --
в $I_2$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Примените определение последовательности Коши к
$\epsilon = \frac{1}{2^n}$ для всех $n$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha} [!] Докажите, что если последовательность $\{a_i\}$
эквивалентна последовательности $\{b_i\}$, а последовательность
$\{b_i\}$ эквивалентна последовательности $\{c_i\}$, то $\{a_i\}$
эквивалентна $\{c_i\}$. (Это свойство выражают словами
``эквивалентность последовательностей Коши транзитивна''.)
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Пусть $\{a_i\}$, $\{b_i\}$ -- две неэквивалентные последовательности
Коши. Говорят, что $\{a_i\} > \{b_i\}$, если $a_i > b_i$ для почти
всех $i$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}\label{order}
Пусть $\{a_i\}$, $\{b_i\}$ -- две неэквивалентные последовательности
Коши. Докажите, что или $\{a_i\} < \{b_i\}$, или $\{b_i\} <
\{a_i\}$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь задачей~\ref{otdeleny}.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}\label{inte}
Пусть $\{a_i\}$, $\{b_i\}$ -- две неэквивалентные последовательности
Коши, и $\{a_i\} < \{b_i\}$. Докажите, что существуют два
рациональных числа $c$, $d$ таких, что $\{a_i\} < \{c\} <
  \{d\} < \{b_i\}$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь предыдущим указанием.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}
Пусть $\{a_i\} < \{b_i\}$, а $\{b_i\}$ эквивалентно
$\{c_i\}$. Докажите, что $\{a_i\} < \{c_i\}$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь предыдущей задачей, и определением последовательности
Коши для любого $\epsilon < |c-d|$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha} Пусть $\{ a_i\}$ -- последовательность
Коши, а $c\in \Q$ -- рациональное число.  Докажите, что следующие
свойства эквивалентны
\begin{enumerate}
\item $\{ a_i\}$ эквивалентна последовательности $\{c\}$.

\item В любом открытом отрезке $]x, y[$, содержащем $c$, содержится
бесконечно много элементов последовательности $\{ a_i\}$.

\item В любом открытом отрезке $]x, y[$, содержащем $c$, содержатся
почти все элементы последовательнсти $\{ a_i\}$.
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} Если любое из вышеуказанных свойств выполнено,
мы говорим, что $\{ a_i\}$ сходится к $c$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}\label{sum} 
Пусть $\{ a_i\}$, $\{b_i\}$ -- последовательности Коши. Докажите,
что $\{ a_i + b_i \}$ и $\{ a_i - b_i \}$ -- последовательности
Коши.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Пусть $\{ a_i\}$, $\{b_i\}$ -- последовательности
Коши, причем $b_i$ сходится к 0. Докажите, что $\{ a_i\}$
эквивалентна $\{ a_i + b_i \}$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Пусть $\{ a_i\}$, $\{b_i\}$ -- последовательности
Коши. Докажите, что $\{ a_i b_i \}$ -- последовательность Коши.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Докажите, что если $\{b_i\}$ сходится к 1, то $\{
a_i b_i \}$ эквивалентна $\{ a_i\}$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}\label{div} 
Пусть $\{ a_i\}$ -- последовательность Коши из ненулевых чисел,
которая не сходится к $0$. Докажите, что $\{ a_i^{-1}\}$ --
последовательность Коши.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Докажите, что существует такой не содержащий $0$
замкнутый отрезок $[x, y]$, что почти все $\{ a_i\}$ содержатся в
$[x, y]$. Пусть почти все $\{ a_i\}$ содержатся в отрезке $I\subset
[x, y]$ длины $\epsilon$. Докажите, что все $\{ a_i^{-1}\}$, кроме
конечного числа, содержатся в отрезке $I^{-1}$ длины $\epsilon
(\min(|x|, |y|)^{-1}$.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie}
{\bf Классом эквивалентности} последовательности Коши $\{a_i\}$
называется множество всех последовательностей Коши, эквивалентных
$\{a_i\}$. Множество классов эквивалентностей последовательностей
Коши называется {\bf множеством действительных чисел} и обозначается
через $\R$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
Докажите, что соответствие $c \mapsto \{c\}$ задает инъективное
отображение из множества $\Q$ всех рациональных чисел в $\R$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!] Докажите, что четыре арифметических операции,
которые мы определили на $\R$ в задачах~\ref{sum}-~\ref{div}, задают
на $\R$ структуру поля.
\end{zadacha}

\subs{Дедекиндовы сечения.}

Главный недостаток определения действительных чисел через
фундаментальные последовательности -- это то, что эквивалентных
фундаментальных последовательностей очень много: определение
получается очень неявным. Трудность эта скорее психологическая. Тем
не менее, есть способ ее преодолеть -- более наглядное определение
вещественных чисел, которое предложил Дедекинд.

\begin{opredelenie}
Пусть $R \subset \Q$ -- подмножество в множестве рациональных чисел,
которое непусто и не равно всему $\Q$. Говорят, что $R$ -- {\bf
сечение Дедекинда}, если из $a \in R$ и $b < a$ следует, что $b \in
R$. Сечение Дедекинда $R$ называется {\bf замкнутым}, если существует
такое рациональное число $a$, что $b \in R$ тогда и только тогда,
когда $b \leq a$. В противном случае $R$ называется {\bf открытым}.
\end{opredelenie}

Пусть $\{a_i\}$ -- последовательность Коши. Обозначим через
$R_{\{a_i\}}$ множество таких рациональных чисел $b$, что $\{b\} <
\{a_i\}$.

\begin{zadacha}
Докажите, что $R_{\{a_i\}}$ -- сечение Дедекинда (т.е. если $b
\in R_{\{a_i\}}$, а $c < b$, то $c \in R_{\{a_i\}}$). Докажите, что
это сечение открыто.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Пусть $\{ a_i\}$ и $\{b_i\}$ -- эквивалентные
последовательности Коши. Докажите, что $R_{\{a_i\}} = R_{\{b_i\}}$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Пусть $\{ a_i\}$ и $\{b_i\}$ -- неэквивалентные последовательности
Коши, и $\{a_i\} < \{b_i\}$. Докажите, что $R_{\{a_i\}} \subset
R_{\{b_i\}}$, но эти множества не совпадают.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Рассмотрите точки интервала $[c,d]$ из задачи~\ref{inte}; какому из
множеств $R_{\{a_i\}}$, $R_{\{b_i\}}$ они принаделжат?
\end{ukazanie}
 
\begin{zadacha}[*] Пусть $\{ a_i\}$, $\{b_i\}$ -- две последовательности
Коши. Докажите, что они эквивалентны тогда и только тогда, когда 
$R_{\{ a_i\}} = R_{\{ b_i\}}$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь задачей~\ref{order} (и предыдущими задачами).
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $R \subset \Q$ -- открытое сечение Дедекинда. Докажите, что $R
= R_{\{a_i\}}$ для какой-то фундаментальной последовательности
$\{a_i\}$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Рассмотрите интервал $I_0=[a,b]$ такой, что $a$ лежит в $R$, а $b$ --
нет. Поделите его пополам, выберите половину $I_1$ с тем же
свойством. Повторите процесс, и возьмите в качестве $a_i$ любую
точку интервала $I_i$.
\end{ukazanie} 

Мы видим, что множество классов эквивалентности последовательностей
Коши -- это то же самое, что множество открытых сечений
Дедекинда. Поэтому действительные числа можно с тем же успехом
определять как сечения Дедекинда. В дальнейшем пользуйтесь тем из
определений, которое вам удобнее.

\begin{zadacha}[**]
Определите арифметические операции на $\R$ непосредственно через
сечения Дедeкинда, не прибегая к последовательностям Коши. Проверьте
аксиомы поля.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Чтобы определить умножение, определите сначала операции ``умножение
на положительное действительное число $a$'' и ``умножение на $-1$'',
и докажите дистибутивность для каждой из них по отдельности.
\end{ukazanie}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{Супремум и инфимум.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie} Пусть $A\subset \R$ -- некоторое подмножество
$\R$. Множество $A$ называется {\bf ограниченным снизу}, если все
элементы $A$ больше некоторой константы $C\in \R$.  Множество $A$
называется {\bf ограниченным сверху}, если все элементы $A$ меньше
некоторой константы $C\in \R$. Множество $A$ называется {\bf
ограниченным}, если оно ограниченно сверху и снизу.
\end{opredelenie}

\begin{opredelenie} Пусть $A\subset \R$ -- некоторое подмножество
$\R$. Инфимум $A$ (обозначается $\inf A$) есть такое число $c \in
\R$, что $c \leq a$ для всех $a\in A$, и в любом открытом отрезке
$]x, y[$, содежащем $c$, содержатся и элементы $a$. Супремум $A$
(обозначается $\sup A$) есть такое число $c \in \R$, что $c \geq a$
для всех $a\in A$, и в любом открытом отрезке $]x, y[$, содежащем
$c$, содержатся и элементы $a$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} Докажите, что $\inf A$ и $\sup A$
единственны (если существуют).
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!] Пусть $A$ -- ограниченное сверху множество.
Докажите, что $\sup A$ существует.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Рассмотрим все $a\in A$ как сечения Дедекинда,
т.е. подмножества в $\Q$. Возьмем их объединение $R$; поскольку все
$a \leq C$, это будет тоже сечение Дедекинда. Докажите, что $\inf A
= R$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!] Пусть $A \subset \R$ -- ограниченное снизу множество.
Докажите, что $\inf A$ существует.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie} Пусть $A\subset \R$ не ограничено снизу (сверху).
Тогда пишут $\inf A = -\infty$ ($\sup A = \infty$).
\end{zamechanie}

\end{document}
