\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr}

\input{listki.tex}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Для зачета по каждому листку достаточно сдать все задачи со
звездочками, либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя
звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же
листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{12}{Геометрия 12: фундаментальная группа и гомотопии}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{Гомотопии}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Все топологические пространства в этом листочке
предполагаются локально линейно связными и хаусдорфовыми,
если не оговорено противного.

\begin{opredelenie}
Пусть $f_1, f_2:\; X \arrow Y$ -- непрерывные отображения
топологических пространств. Напомним, что {\bf гомотопией}
между $f_1$ и $f_2$ называется такое непрерывное отображение
$F:\; [0,1]\times X \arrow Y$, что
$F\restrict{\{0\}\times X}$ равно $f_1$, а
$F\restrict{\{1\}\times X}$ равно $f_2$. 
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
Докажите, что гомотопные отображения индуцируют
один и тот же гомоморфизм $\pi_1(X)\arrow \pi_1(Y)$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Пусть $f:\; X \arrow Y$, $g:\; Y \arrow X$ --
непрерывные отображения топологических пространств,
причем $f\circ g$ и $g\circ f$ гомотопны тождественным
отображениям из $X$ в $X$ и из $Y$ в $Y$. 
Такие отображения называются {\bf гомотопическими
эквивалентностями}, а $X$ и $Y$ -- {\bf гомотопически
эквивалентными}.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} 
Докажите, что композиция гомотопических эквивалентностей
отображений есть гомотопическая эквивалентность.
Докажите, что гомотопическая эквивалентность пространств
есть отношение эквивалентности.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- гомотопическая эквивалентность.
Докажите, что $f$ индуцирует изоморфизм фундаментальных групп.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Пусть $X\subset Y$ -- ретракт. Докажите, что $X$ и $Y$
гомотопически эквивалентны.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $X$ -- топологическое пространство. Докажите, что
$X$ стягиваемо тогда и только тогда, когда оно
гомотопически эквивалентно точке.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Дан связный граф $\Gamma$, у которого
$n$ ребер и $n$ вершин. Докажите, что его топологическое
пространство гомотопически эквивалентно окружности.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $M$ -- связное топологическое
пространство, $x,x', y, y'\in M$ -- любые точки. 
Докажите, что пространства путей 
$\Omega(M,x,x')$ и $\Omega(M,y,y')$ гомотопически
эквивалентны.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
Выберите путь $\gamma_{xy}$, соединяющий
$x$ и $y$ и путь $\gamma_{x'y'}$, соединяющий
$x'$ и $y'$. Пусть $\gamma^{-1}_{xy}(t)=\gamma_{xy}(1-t)$ 
и $\gamma^{-1}_{x'y'}(t)=\gamma_{x'y'}(1-t)$. 
Рассмотрим отображение 
$f:\Omega(M,x,x')\arrow\Omega(M,y,y')$
переводящее любой путь $\gamma\in \Omega(M,x,x')$
в композицию $\gamma^{-1}_{xy}\gamma\gamma_{x'y'}$, и аналогичное
отображение 
$g:\Omega(M,y,y')\arrow\Omega(M,x,x')$,
переводящее $\gamma\in \Omega(M,y,y')$ в 
$\gamma_{xy}\gamma\gamma^{-1}_{x'y'}$.
Докажите, что $fg$ гомотопно тождественному
и $gf$ гомотопно тождественному.
\end{ukazanie}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{Пространство путей на локально стягиваемых пространствах}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie}
Пусть $M$ -- топологическое пространство. $M$
называется {\bf локально стягиваемым}, если 
у каждой точки есть стягиваемая окрестность.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} Пусть
$M$ -- локально стягиваемое топологическое пространство.
Докажите, что $M$ локально линейно связно.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $M$ -- такое геодезически связное метрическое пространство,
что для какого-то $\delta>0$ любые две точки,
отстоящие на расстояние $<\delta$, соединяются
единственной геодезической. Докажите, что $M$
локально стягиваемо.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Докажите, что любой граф локально стягиваем.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} 
Топологическое пространство $M$ 
называется {\bf многообразием размерности $n$}, если 
у любой точки найдется окрестность, гомеоморфная
открытому шару в $\R^n$.
\end{opredelenie}

\begin{zamechanie}
Многообразия, очевидно, локально стягиваемы.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}[!]
Докажите, что сфера $S^n$ -- это многообразие.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
Воспользуйтесь стереографической проекцией.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}
Пусть $M$ стягиваемое, $x,y\in M$. Докажите,
что все пути $\gamma\in \Omega(M, x,y)$ гомотопны.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $\gamma\in \Omega(M, x,y)$ -- путь в локально стягиваемом
пространстве $M$, а $\{U_\alpha\}$ -- множество стягиваемых открытых
множеств на $M$. Выберем в $\{U_\alpha\}$ конечное подмножество,
покрывающее $\gamma$ (это можно сделать, потому что $\gamma$
компактен).  Пусть $V_1,\dots,V_n$ -- соответствующее покрытие
$[0,1]$ связными интервалами, где каждый $V_i$ является связной
компонентой $\gamma^{-1}(U_i)$, а все $U_i$ стягиваемы. Упорядочим
$V_i$ таким образом, что $V_i$ и $V_{i+1}$ пересекаются в точке
$t_i$, и пусть $a_i := \gamma(t_i)$. Докажите, что любой путь
$\gamma'\in \Omega(M, x,y)$, такой, что $\gamma'(t_i)=a_i$, и
$\gamma'([t_i, t_{i+1}])\subset U_i$, гомотопен $\gamma$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!] \label{_gomoto_bli_petli_Zadacha_}
Пусть $M$ -- локально стягиваемое топологическое
пространство, а $\gamma\in \Omega(M, x,y)$ -- некоторый
путь. Докажите, что у $\gamma$ найдется такая окрестность
${\mathcal U}\subset \Omega(M, x,y)$, что все 
$\gamma'\in {\mathcal U}$ гомотопны.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\end{ukazanie}

\begin{zamechanie} Заметим, что на компактных 
многообразиях размерности $>1$ существует петли,
задаваемые сюрьективным отображением; 
пример такой петли легко построить
тем же методом, что кривую Пеано.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $M$ это многообразие (например, сфера) 
размерности больше $1$, а $\gamma\in \Omega(M, x)$ -- 
петля. Докажите, что $\gamma$ гомотопна петле, которая 
не сюрьективна.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $n>1$. Докажите, что $n$-мерная сфера односвязна.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Пусть $\gamma$ -- петля на сфере.
Воспользовавшись предыдущей задачей, прогомотопируйте
$\gamma$ в петлю, которая отображает 
$[0,1]$ в $S^n\backslash \{x\}$, где $x$ некоторая
точка. Докажите, что сфера без точки гомеоморфна
$\R^n$, в частности стягиваема.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*] \label{_puti_iz_styagi_Zadacha_}
Пусть $M$ стягиваемо, а
$F:\; M\times [0,1]\arrow M$ -- гомотопия тождественного
отображения в постоянное отображение $M \to y \in M$. 
Рассмотрим следующее отображение
$M\arrow \Omega(M, y, *)$, $t, m \arrow F(m, t)$ 
($t\in[0,1]$, $m\in M$). Докажите, что оно непрерывно.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Пусть $M$ локально стягиваемо, $x, y\in M$ -- две точки,
$\gamma\in \Omega(M, x, y)$ -- некоторый путь. Докажите, что
у $\gamma$ есть такая окрестность ${\mathcal U}\in \Omega(M, x, *)$,
что все пути $\gamma'\in {\mathcal U}$, соединяющие
$x$ и $a$, гомотопны в $\Omega(M, x, a)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $M$ -- локально стягиваемое топологическое
пространство, $x \in M$ -- точка, а $\Omega(M, x, *)$ 
-- множество всех путей,
начинающихся в точке $x$, снабженное открытокомпактной топологией. 
Рассмотрим такое отношение эквивалентности на 
$\Omega(M,x, *)$: $\gamma\sim\gamma'$, если
$\gamma$ и $\gamma'$ соединяют $x$ и $y$,
и гомотопны в $\Omega(M, x, y)$. Рассмотрим
$\Omega(M, x, *)/\sim$, с топологией фактора.
Выберем стягиваемую окрестность $U_y\ni y$,
и пусть $U_y\stackrel F \arrow \Omega(U_y, y, *)$ --
отображение, построенное в задаче 
\ref{_puti_iz_styagi_Zadacha_}. 
Пусть $\gamma\in \Omega(M, x, y)$ --
некоторый путь, а $U_y \stackrel\Psi\arrow \Omega(M, x, *)$ --
отображение, ставящее $a\in U_y$ путь
$\gamma F(a)$ (то есть путь, заданный
на $[0, 1/2]$ как $t \arrow \gamma(2t)$,
и на $[1/2,1]$ как $F(a, 2t-1)$.
Докажите, что (для достаточно маленького 
$U_y$) $\Psi$ в композиции с 
$\Omega(M, x, *)\stackrel\pi\arrow\Omega(M, x, *)/\sim$ --
это гомеоморфизм $U_y$ на некоторое открытое
подмножество в $\Omega(M, x, *)/\sim$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Непрерывность $\Psi\circ\pi$  
очевидна по конструкции, а инъективность
следует из предыдущей задачи. Чтобы убедиться, что
$\Psi\circ\pi$  задает гомеоморфизм $U_y$ на
$\Psi\circ\pi(U_y)$, нам нужно доказать, что
$\Psi\circ\pi$ переводит открытые множества
в открытые. Это ясно из того, что
естественное отображение $\Omega(M, x, *)/\sim\arrow M$,
$\gamma'\arrow \gamma'(1)$, непрерывно,
и индуцирует гомеоморфизм $U_y$ на образ.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
Рассмотрим отображение $\Omega(M, x, *)/\sim\arrow M$,
ставящее в соответствие пути $\gamma\in \Omega(M, x, y)$
точку  $y=\gamma(1)$. Докажите, что это накрытие.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]
Докажите, что $\Omega(M, x, *)$ стягиваемо.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $\gamma$ -- путь в $\Omega(M, x, *)/\sim$.
Докажите, что $\gamma$ гомотопен образу некоторого пути из
$\Omega(M, x, *)$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Докажите, что $\gamma$ можно поднять до пути 
в $\Omega(M, x, *)$ локально, и воспользуйтесь
тем, что для каждой точки в $\Omega(M, x, *)/\sim$ ее
прообраз в $\Omega(M, x, *)$ связен.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
Выведите из этого, что $\Omega(M, x, *)/\sim$ односвязно.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
Пусть $(M, x)$ -- локально стягиваемое топологическое
пространство с отмеченной точкой. 
Универсальное накрытие $M$ можно таким образом
отождествить с множеством пар ($y\in M$, класс гомотопии
путей $\gamma\in \Omega(M,x,y)$).
\end{zamechanie}

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{Свободная группа и букет}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie}
Пусть $(M_1, x_1)$, $(M_2, x_2)$, $(M_3, x_3)$, $\ldots$ --
набор (возможно, бесконечный) связных топологических
пространств с отмеченной точкой. Рассмотрим
факторпространство несвязного объединения всех 
$(M_\alpha, x_\alpha)$ по соотношению эквивалентности
$\{x_1\}\sim \{x_2\}\sim \{x_3\}\sim \dots$
Это факторпространство называется
{\bf букетом}, обозначается 
$\bigvee_\alpha (M_\alpha,x_\alpha)$.
Также букет обозначается 
$(M_1, x_1)\vee(M_2, x_2)\vee(M_3, x_3)\vee \dots$
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} 
Пусть все $M_\alpha$ связные (линейно связные,
хаусдофовы). Докажите, что их букет связен (линейно 
связен, хаусдорфов).
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть все $M_\alpha$ связные и односвязные.
Докажите, что их букет односвязен.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $\Gamma$ -- связный граф, у которого $n$ вершин и
$n+k-1$ ребер. Докажите, что его топологическое
пространство $M_\Gamma$ гомотопически эквивалентно
букету $k$ окружностей.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
Пусть у $\Gamma$ есть ребро $r$, соединяющее две разные
вершины $v_1, v_2$,  Рассмотрим граф $\Gamma'$,
у которого $n-1$ вершин и $n+k-2$ ребер, полученный
из $\Gamma$ следующим образом. Из $\Gamma$
выкидывается ребро $r$, а вершины $v_1$ и $v_2$
склеиваются в одну. Докажите, что $M_\Gamma$
и $M_{\Gamma'}$ гомотопически эквивалентны.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie}
Зададим множество $\{a_1, a_2, \dots\}$ мощности 
$N$ ($N$ может быть как конечным кардиналом, так
и бесконечным). {\bf $N$-арное дерево} $D_N$ -- это бесконечный
граф, который определяется следующим образом.
Вершины $D_N$ -- конечные последовательности
из символов $a_i$. Ребрами соединяются
вершины, соответствующие $A_1A_2 \dots A_k$
и $A_1A_2 \dots A_kA_{k+1}$ (все $A_i$ принадлежат
$\{a_1, a_2, \dots\}$).
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} Докажите, что в каждую вершину 
$D_N$ входят $N+1$ ребер.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $M_N$ -- топологическое пространство 
$N$-арного дерева, с естественной метрикой, построенной в
начале этого листка.  Докажите, что $M_N$ является звездчатым
(любые две точки соединяются единственной геодезической).
Докажите, что оно стягиваемо.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Рассмотрим $2N-1$-арное дерево.
Раскрасим его ребра в $N$ цветов, таким образом,
что к каждой вершине сходится по 2 ребра каждого цвета.
Рассмотрим букет из $N$ окружностей, и раскрасим
каждую из окружностей в свой цвет. 
Рассмотрим отображение из $M_{2N-1}$ в букет из $N$
окружностей, переводящий вершины графа 
в вершины букета, а ребро цвета $a_i$ в 
окружность такого же света. Докажите, что
это универсальное накрытие.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Пусть $\{a_1, a_2, \dots\}$ -- множество мощности 
$N$, а ${\mathcal W}$ -- множество конечных последовательностей
(``слов'') из символов $a_i$, $a_j^{-1}$, в которых нигде 
не встречаются подряд $a_ia_i^{-1}$, а также
$a_i^{-1}a_i$. Последовательность длины 
0 обозначается $e$. Мы умножаем слова, записывая
одно за другим и зачеркивая последовательно
все $a_ia_i^{-1}$, $a_i^{-1}a_i$, которые
встречаются подряд. Докажите, что ${\mathcal W}$
образует группу.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Эта группа называется {\bf свободной группой, порожденной 
образующими $\{a_1, a_2, \dots\}$}, обозначается $F_N$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
Докажите, что $F_1$ изоморфно $\Z$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $G$ -- любая группа, а
$\{g_1, g_2, \dots \}$ -- набор элементов
из $G$, пронумерованный $\{a_1, a_2, \dots\}$.
Докажите, что существует единственный гомоморфизм $F_N\arrow G$,
переводящий $a_i$ в $g_i$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!] Постройте свободное действие $F_N$ 
на топологическом пространстве $M_{2N-1}$ $2N-1$-арного дерева,
транзитивное на вершинах.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!] Докажите, что 
$M_{2N-1}/F_N$ -- букет $N$ окружностей,
а фундаментальная группа букета свободна.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Докажите, что любой (возможно, бесконечный) граф гомотопически
эквивалентен букету окружностей.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Выведите из этого, что любая подгруппа свободной группы
свободна.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь теорией Галуа для накрытий.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*] 
Пусть $G_1,G_2,\dots$ -- какой-то набор
групп. Рассмотрим множество ${\mathcal W}$ 
конечных последовательностей неединичных 
элементов из разных $G_i$, таких, что 
элементы одной и той же группы
нигде не идут подряд. Если дана
любая последовательность $A$ элементов
из $G_i$, из нее можно получить элемент
${\mathcal W}$ следующим способом.
Если в $A$ идут подряд два элемента
из $G_i$, мы их перемножаем и заменяем
эти два элемента на произведение. Если
в $A$ встречается единица одний из групп,
мы ее вычеркиваем. Повторим эту процедуру
столько раз, сколько нужно, чтобы получить
элемент из ${\mathcal W}$. Элементы ${\mathcal W}$
можно перемножать, записав одно слово после
другого и применив вышеописанную процедуру.
Докажите, что получится группа.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Эта группа называется {\bf свободным произведением 
групп $G_1$, $G_2$, $\dots$}.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} Докажите, что свободная
группа от $N$ образующих -- это свободное
произведение $N$ копий $\Z$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Докажите, что свободное произведение
свободных групп свободно.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $(M_1, x_1), (M_2, x_2), (M_3, x_3), \dots$ --
набор связных топологических пространств с отмеченной
точкой. Докажите, что $\pi_1(\bigvee_\alpha(M_\alpha,x_\alpha))$
изоморфна свободному произведению групп $\pi_1(M_1, x_1),
\pi_1(M_2, x_2), \pi_1(M_3, x_3), \dots$.
\end{zadacha}

\end{document}
