\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr}

\input{listki.tex}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Для зачета по каждому листку надо сдать все задачи со звездочками,
либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{2}{ГЕОМЕТРИЯ 2: вещественные числа, часть 2.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subs{Корни многочленов нечетной степени.}

\begin{zadacha}[!] Дан полином нечетной степени над $\Q$,
$P= t^{2n+1} + a_{2n} t^{2n} + a_{2n-1} t^{2n-1} + ... + a_0$.
Пусть $R_P$ -- множество всех $x\in \Q$ таких, что $P(t)<0$ на
отрезке $]-\infty, x]$. Докажите, что $R_P$ непусто.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Докажите, что $R_P$ содержит 
$-\max(1, \sum |a_i|)$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!] 
Докажите, что $R_P$ -- не все множество вещественных чисел.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Докажите, что дополнение $\Q \backslash R_P$ 
содержит $\max(1, \sum |a_i|)$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!] Докажите, что $R_P$ - сечение Дедекинда. 
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]\label{lips} 
Докажите, что $P$ удовлетворяет {\bf свойству Липшица}: для любого
отрезка $I$ существует такая константа $C > 0$, что $|P(a)-P(b)| <
C|a-b|$ для любых $a,b \in I$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!] Рассмотрим дедекиндово сечение 
$R_P$ как вещественное число. Докажите, что $P(R_P)=0$. Тем самым,
любой многочлен нечетной степени над $\R$ имеет корень.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Докажите сначала, что $P(R_P) \leq 0$. Затем докажите, что $P(R_P) <
0$ противоречит задаче~\ref{lips}.
\end{ukazanie}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{Пределы.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie} Пусть $A\subset \R$ -- пoдмножество в
множестве вещественных чисел, а $c$ -- вещественное число. Точка $c$
называется {\bf предельной точкой} последовательности $A$, если для
каждого открытого интервала $I = ]x, y[$, содержащего $c$, в $I$
содержится бесконечно много элементов $A$.
\end{opredelenie}

\begin{opredelenie} Пусть $\{a_i\}$ -- последовательность
вещественных чисел, а $c$ -- вещественное число. Пусть для каждого
открытого интервала $I = ]x, y[$, содержащего $c$, в $I$ содержатся
все элементы $\{a_i\}$, кроме конечного числа. Тогда говорят, что
$c$ есть {\bf предел последовательности $\{a_i\}$} (обозначается $c
= \lim_{i \to \infty} a_i $). Еще говорят, что последовательность
$a_i$ {\bf сходится к $c$}, или {\bf стремится к $c$}
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} Пусть $c$ -- предельная точка последовательности
$\{a_i\}$. Докажите, что из нее можно выбрать подпоследовательность,
сходящуюся к $c$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] Дана последовательность $\{a_i\}$ точек на
отрезке $[x,y]$. Докажите, что у нее есть предельные точки.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} Множество $A\subset \R$ называется {\bf
дискретным}, если у него нет предельных точек.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[*] Пусть $\{a_i\}$ -- последовательность. Обозначим
множество всех $a_i$ за $A$.  Докажите, что $\{a_i\}$ сходится тогда
и только тогда, когда $A$ не имеет бесконечных дискретных
подмножеств, и имеет единственную предельную точку.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Рассмотрим последовательность $0, 1, 2, 3, 4,
\ldots$. Докажите, что у этой последовательности нет предела.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Рассмотрим последовательность $0, 1, 1/2, 1/3, 1/4,
\ldots$. Докажите, что эта последовательность сходится к 0.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Дана монотонно возрастающая последовательность 
$a_1\leq a_2 \leq a_3 \leq ...$, $a_i\in \R$. Известно, что все
$a_i$ ограничены сверху некоторой константой $C$: $a_i \leq
C$. Докажите, что эта последовательность имеет предел. Используйте
определение вещественных чисел через сечения Дедекинда.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Докажите, что $\lim_{i \to \infty} a_i  = \sup\{a_i\}$,
и воспользуйтесь существованием супремума.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie} Пусть $\{a_i\}= a_0, a_1, a_2, \ldots$ --
последовательность вещественных чисел. Говорят, что $\{a_i\}$ --
{\bf последовательность Коши,} если для каждого $\epsilon >0$
существует отрезок $[x, y]$ длины $\epsilon$, который содержит все
$\{a_i\}$, кроме конечного числа.
\end{opredelenie}

\begin{zamechanie} То же самое определение используется для
последовательностей Коши рациональных чисел.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha} Пусть последовательность $\{a_i\}$ сходится к
какому-нибудь вещественному числу $c$. Докажите, что это
последовательность Коши.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Пусть у последовательности Коши $\{a_i\}$ 
есть подпоследовательность, которая сходится к $x\in \R$. Докажите,
что $\{a_i\}$ сходится к $x$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Пусть $\{a_i\}$ -- последовательность Коши.
Рассмотрим последовательность $\{b_i\}$, $b_i = \inf_{j\geq i}
a_j$. Докажите, что этот инфимум определен, и что последовательность
$b_i$ возрастает.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} В условиях предыдущей задачи докажите, что если
последовательность $\{b_i\}$ имеет предел, то $\lim_{i \to \infty}
a_i =\lim_{i \to \infty} b_i$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!] Пусть $\{a_i\}$ -- последовательность
Коши. Докажите, что $\{a_i\}$ сходится. Используйте определение
вещественных чисел через сечения Дедекинда.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!] Пусть $\{a_i\}$ -- последовательность
Коши. Докажите, что $\{a_i\}$ сходится. Используйте определение
вещественных чисел через последовательности Коши.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
Пусть вещественное число $\{a_i\}$ представлено последовательностью
Коши рациональных чисел $a_i(0), a_i(1), a_i(2), ...$. Перейдя к
подпоследовательности, можно предполагать, что все $a_i$ ($i> n$)
содержатся в отрезке длины $2^{-n}$, и все $a_i(j)$ ($j>
m$)содержатся в отрезке длины $2^{-m}$. Докажите, что
последовательность $\{a_i(i)\}$ -- последовательность Коши, и к
представленному ей вещественному числу сходится последовательность
$\{a_i\}$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!] 
(теорема о двух миллиционерах) Пусть $\{ a_i\}$, $\{b_i\}$,
$\{c_i\}$ -- сходящиеся последовательности вещественных чисел,
причем $a_i \leq b_i \leq c_i$ для всех $i$.  Предположим, что
$\lim_{i \to \infty} a_i = \lim_{i \to \infty} c_i =x$.  Докажите,
что $\lim_{i \to \infty} b_i =x$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] Пусть последовательность $\{a_i\}$ сходится
к $x$. Докажите, что последовательность $b_j = \frac 1 j
\sum_{i=0}^j a_i$ сходится к $x$. Приведите пример, когда $\{b_j\}$
сходится, а $\{a_i\}$ не сходится.
\end{zadacha}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{Ряды.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie} Пусть $\{a_i\}$ -- последовательность
вещественных чисел. Рассмотрим последовательность частичных сумм
$\sum_{i=0}^n a_i$.  Если эта последовательность сходится, говорят,
что {\bf ряд $\sum_{i=0}^\infty a_i$ сходится}. В этом случае пишут
$\sum_{i=0}^\infty a_i =x$, где
$$ 
   x = \lim_{i \to \infty} \sum_{i=0}^n a_i.
$$
Часто пишут проще: $\sum a_i =x$.
\end{opredelenie}

\begin{opredelenie} Ряд $\sum a_i$ {\bf абсолютно сходится},
если сходится ряд $\sum |a_i|$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!] Дан абсолютно сходящийся ряд
$\sum a_i$. Докажите, что этот ряд сходится.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Дан абсолютно сходящийся ряд $\sum a_i$. Пусть 
$b_i$ -- такая последовательность неотрицательных чисел, что $a_i
\geq b_i$. Докажите, что ряд $\sum b_i$ абсолютно сходится.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[**] Пусть $a_i$, $b_i$ -- такие последовательности
вещественных чисел, что ряды $\sum a_i^2$, $\sum b_i^2$
сходятся. Докажите, что ряд $\sum a_ib_i$ сходится.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] Пусть $a_i$ -- последовательность
положительных вещественных чисел. Предел последовательности
произведений
$$
\lim_{n\to \infty} \prod^n_{i=0} (1+a_i)
$$
обозначается $\prod^\infty_{i=0} (1+a_i)$. Если этот предел
существует, то говорят, что бесконечное произведение
$\prod^\infty_{i=0} (1+a_i)$ сходится. Пусть произведение
$\prod^\infty_{i=0} (1+a_i)$ сходится. Докажите, что ряд
$\sum^\infty_{i=0} a_i$ сходится.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] Докажите, что бесконечное произведение
$\prod^\infty_{i=0} (1+\frac 1 {3^n})$ сходится.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[**] Пусть ряд $\sum a_i$ сходится.
Докажите, что $\prod^\infty_{i=0} (1+a_i)$ тоже сходится.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!] Пусть $a_0\geq a_1 \geq a_2 \geq \ldots$ --
монотонно убывающая последовательность положительных вещественных
чисел, которая стремится к нулю. Рассмотрим ряд $\sum^\infty_{i=0}
(-1)^ia_i$. Докажите, что этот ряд сходится. Такой ряд называется
{\bf знакопеременным}.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Докажите, что ряд $\sum \frac 1{n (n+1)}$
сходится.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Воспользуйтесь соотношением
$\frac{1}{n} - \frac 1{(n+1)}$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha} Докажите, что ряд 
$\sum \frac{1}{n^2}$ сходится.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Докажите, что ряд $\sum \frac 1{n!}$
сходится.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!] Докажите, что ряд $\sum \frac 1{2^n}$
сходится. Вычислите, к чему он сходится.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] Докажите, что ряд $\sum_{n=0}^\infty \frac
{x^n}{n!}$ сходится для всех $x\in \R$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[**] Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^\infty \frac
{x^n}{n!}$ в полном упорядоченном поле $A$. Сходится ли эта сумма
для всех $x\in A$?
\end{zadacha}
 
\end{document}
