\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr}

\input{listki.tex}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Для зачета по каждому листку надо сдать все задачи со звездочками,
либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{3}{ГЕОМЕТРИЯ 3: Метрические пространства и норма.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

В этом листочке предполагается знакомство с определением линейного
пространства и скалярного произведения (т.е. положительно
определенной билинейной симметричной формы). См. Алгебра, листок 3.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{Метрические пространства, выпуклые множества, норма.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie} Метрическое пространство есть множество $X$,
снабженное такой функцией $d:\; X \times X \to \R$, что
\begin{enumerate}
\item Для любых $x, y \in X$ имеем $d(x,y)\geq 0$, причем равенство
имеет место тогда и только тогда, когда $x=y$.

\item Симметричность: $d(x, y) = d (y, x)$

\item ``Неравенство треугольника'': для любых $x, y, z \in X$,
$$
d(x,z) \leq  d(x,y) + d(y,z).
$$
\end{enumerate}
Функция $d$, удовлетворяющая этим условиям, называется {\bf
метрикой}. Число $d(x,y)$ называется ``расстоянием между $x$ и
$y$''.
\end{opredelenie}

Если $x\in X$ -- точка, а $\epsilon$ -- вещественное число,
множество
$$ 
B_\epsilon(x) = \{ y \in X \ \  | \ \  d(x,y)< \epsilon
$$
называется {\bf (открытый) шар радиуса $\epsilon$ с центром в $x$}.
Такой шар еще называется {\bf $\epsilon$-шар}.  Замкнутый шар
определяется как
$$ 
\overline B_\epsilon(x) = \{ y \in X \ \  | \ \  d(x,y)\leq \epsilon\}.
$$

\begin{zadacha} Рассмотрим любое подмножество в евклидовой плоскости
$\R^2$ с функцией $d$, заданной как $d(a, b)= |ab|$, где $|ab|$ --
длина отрезка $[a, b]$ на плоскости. Докажите, что это метрическое
пространство.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Рассмотрим такую функцию $d_\infty:\;\R^2\times \R^2
\to \R$:
$$
(x, y), (x', y') \mapsto \max (|x-x'|, |y-y'|).
$$
Докажите, что эта метрика. Опишите единичный шар с центром в нуле.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Рассмотрим такую функцию $d_1:\;\R^2\times \R^2 \to \R$:
$$
(x, y), (x', y') \mapsto |x-x'|+ |y-y'|.
$$
Докажите, что эта метрика. Опишите единичный шар с центром в нуле.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] Функция $f:\; [0, \infty[ \to [0, \infty[$ называется
{\bf выпуклой вверх}, если $f(ax+by) \geq \frac{ af(x) + af(y)}{a+b}$,
для любых положительных $a$, $b\in \R$. 
Пусть $f$ -- такая функция, а $X, d$ -- метрическое пространство.
Предположим, что $f(\lambda)=0$ тогда и только тогда, когда $\lambda
= 0$. Докажите, что функция $d_f(x,y) = f(d(x,y))$ задает метрику на
$X$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Пусть $V$ -- линейное пространство с 
положительно определенной билинейной симметричной формой $g(x,y)$ (в
дальнейшем мы будем называть такую форму {\bf скалярным
произведением}). Определим ``расстояние'' $d_g:\; V\times V \to \R$
как $d_g(x, y) = \sqrt{g(x-y, x-y)}$. Докажите, что $d(x,y)\geq 0$,
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда $x=y$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} Пусть $x\in V$ -- вектор векторного пространства.
{\bf Параллельный перенос на вектор $x$} -- это отображение $P_x:\;
V \to V$, $y\mapsto y+x$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} Докажите, что функция $d_g$ ``инвариантна
относительно параллельных переносов'', т.е.  $d_g(a, b) = d_g
(P_x(a), P_x(b))$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Докажите, что  $d_g$ удовлетворяет 
неравенству треугольника:
$$
\sqrt{g(x-y,x-y)} \leq \sqrt{g(x,x)}+ \sqrt{g(y,y)}
$$
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Рассмотрим подпространство
$V_0 \subset V$, порожденное $x$ и $y$. Докажите, что оно 
либо одномерно, либо изоморфно,
как пространство со скалярным произведением, пространству $\R^2$ со
скалярным произведением $g((x,y), (x', y')) = xx' + yy'$.
Воспользуйтесь неравенством треугольника для $\R^2$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!] Докажите, что $d_g$ удовлетворяет 
неравенству треугольника.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Пользуясь инвариантностью относительно
параллельных переносов, сведите эту задачу к предыдущей.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie} Пусть $V$ -- пространство со скалярным
произведением $g$, а $d_g$ -- метрика, построенная выше. Эта метрика
называется {\bf евклидовой.}
\end{opredelenie}

\begin{opredelenie} Пусть $V$ -- линейное пространство,
$P_x: \; V \to V$ -- параллельный перенос, а $V_1\subset V$ --
одномерное подпространство. Тогда образ $P_x(V_1)$ называется {\bf
прямой} в $V$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} Даны две разные точки $x, y \in V$. Докажите, что
существует единственная прямая $V_{x,y}$, проходящая через $x$ и
$y$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} Пусть $l$ прямая, проведенная через
точки $x$ и $y$, $a$ - точка, ляжащая на
$l$. Мы говорим, что $a$ лежит {\bf между} $x$, $y$,
если $d(x,a)+ d(b,y)= d(x,y)$.
{\bf Отрезок прямой между $x$ и $y$}
(обозначается $[x,y]$) есть множество всех точек прямой $V_{x,y}$,
которые ``лежат между'' $x$ и $y$. 
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} Даны три разные точки на прямой. Докажите,
что одна (и только одна) из этих точек лежит между другими.
Докажите, что отрезок $[x,y]$ -- это множество всех
точек $z$ вида $a x + (1-a) y$, где $a \in [0, 1] \subset \R$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} Пусть $V$ -- линейное пространство,
а $B\subset V$ -- некоторое подмножество. Говорят, что подможество
$B$ {\bf выпуклое}, если для любых $x, y \in V$, $B$ содержит все
точки отрезка $[x,y]$.
\end{opredelenie}

\begin{opredelenie} Пусть $V$ -- линейное пространство
над $\R$. {\bf Нормой} на $V$ называется такая функция $\rho:\; V
\to \R$, что выполняются следующие свойства.
\begin{enumerate}
\item Для любого $v\in V$ имеем $\rho(v) \geq 0$. Более того,
$\rho(v)>0$ для всех ненулевых $v$.

\item $\rho(\lambda v) = |\lambda| \rho(v)$

\item Для любых $v_1, v_2\in V$ выполнено $\rho(v_1+ v_2) \leq
\rho(v_1)+ \rho(v_2)$.
\end{enumerate}
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} Пусть $V$ -- линейное пространство
над $\R$, и пусть $\rho:\; V \to \R$ -- норма на $V$.  Рассмотрим
функцию $d_\rho:\; V \times V \to \R$, $d_\rho (x, y) =
\rho(x-y)$. Докажите, что это метрика на $V$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] Пусть $d:\; V \times V \to \R$ --
метрика на $V$, инвариантная относительно параллельных
переносов. Предположим, что $d$ удовлетворяет условию
$$
d(\lambda x, \lambda y)= |\lambda| d(x,y)
$$
для всех $\lambda \in \R$. Докажите, что $d$ получается из нормы
$\rho:\; V \to \R$ по формуле $d (x, y) = \rho(x-y)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Пусть $V$ -- линейное пространство
над $\R$, а $\rho:\; V \to \R$ -- норма на $V$. Рассмотрим множество
$B_1(0)$ всех точек с нормой $\leq 1$. Докажите, что это множество
выпукло.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} Пусть $V$ -- векторное пространство
над $\R$, а $v$ ненулевой вектор. Тогда множество всех векторов вида
$\{ \lambda v, \ \ | \ \ \lambda >0\}$ называется {\bf лучом в $V$}.
\end{opredelenie}

\begin{opredelenie} {\bf Центральная симметрия} в $V$ -- это
отображение $x \mapsto -x$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[*] Пусть центрально симметричное выпуклое множество
$B\subset V$ не содержит лучей и пересекается с каждым лучом $\{
\lambda v, \ \ | \ \ \lambda >0\}$. Рассмотрим функцию
$$
v \overset{\rho}{\mapsto} \inf\{\lambda \in \R^{>0}\ \ | \ \ \lambda
v\notin B\}
$$
Докажите, что это норма на $V$. Докажите, что все нормы получаются
таким образом.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Пусть $G$ -- абелева группа, а 
$\nu:\; G \to \R$ функция, которая принимает неотрицательные
значения, и положительные значения для всех ненулевых $g\in G$.
Предположим, что $\nu(a+b) \leq \nu(a) + \nu(b)$, $\nu(0)=0$, а также
что $\nu(g) = \nu(-g)$ для всех $g\in G$.  Докажите, что
функция $d_\nu:\; G \times G \to \R$, $d_\nu(x, y) = \nu (x-y)$ --
это метрика на $G$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Метрика $d$ на абелевой группе $G$ называется
{\bf инвариантной}, если $d(x+g, y+g) = d(x,y)$ для всех $x, y, g
\in G$. Докажите, что любая инвариантная метрика $d$ получена из
некоторой функции $\nu:\; G \to \R$ по формуле $d(x, y) = \nu
(x-y)$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} 
Зафиксируем простое число $p\in \Z$. Рассмотрим функцию $\nu_p:\; \Z
\to \R$, которая ставит числу $n = p^k r$ ($r$ не делится на $p$) в
соответствие число $p^{-k}$, а $\nu_p(0)=0$. Эта функция называется {\bf
$p$-адическим нормированием на $\Z$}.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} Докажите, что функция $d_p(m, n) = \nu_p(n-m)$
задает метрику на $\Z$. Эта метрика называется {\bf $p$-адической
метрикой на $\Z$}.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Проверьте соотношение $\nu_p(a+b) \leq \nu(a) +
\nu(b)$ и воспользуйтесь предыдущей задачей.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie} Пусть $R$ -- кольцо, а $\nu:\; R \to \R$ --
функция, которая принимает неотрицательные значения, и положительные
значения для всех ненулевых $r$. Предположим, что $\nu(r_1 r_2) =
\nu(r_1) \nu(r_2)$, а $\nu(r_1+r_2) \leq \nu(r_1) + \nu(r_2)$.
Тогда $\nu$ называется {\bf нормированием} кольца $R$. Кольцо,
снабженное нормированием, называется {\bf нормированное кольцо}.
\end{opredelenie}

\begin{zamechanie} Как видно из вышеприведенных задач,
нормирование на кольце $R$ определяет инвариантную метрику на $R$. В
дальнейшем любое нормированное кольцо будет рассматриваться как
метрическое пространство.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha} Докажите, что $\nu_p$ -- нормирование на
кольце $\Z$. Определите нормирование на $\Q$, которая продолжает $\nu_p$.
\end{zadacha}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{{Полные метрические пространства.}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie} Пусть $(X, d)$ -- метрическое
пространство, а $\{a_i\}$ -- последовательность точек из
$X$. Последовательность $\{a_i\}$ называется {\bf
последовательностью Коши}, если для каждого $\epsilon>0$ найдется
$\epsilon$-шар в $X$, содержащий все $a_i$, кроме конечного числа.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} Пусть $\{a_i\}$, $\{b_i\}$ -- последовательности
Коши в $X$. Докажите, что $\{ d(a_i, b_i)\}$ -- последовательность
Коши в $\R$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} Пусть $(X, d)$ -- метрическое
пространство, а $\{a_i\}$, $\{b_i\}$ -- последовательности Коши в
$X$. Последовательности $\{a_i\}$ и $\{b_i\}$ называются {\bf
эквивалентными}, если последовательность $a_0, b_0, a_1, b_1,\ldots$
-- последовательность Коши.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} Пусть $\{a_i\}$, $\{b_i\}$ -- последовательности
Коши в $X$. Докажите, что $\{a_i\}$, $\{b_i\}$ эквивалентны тогда и
только тогда, когда $\lim_{i\to \infty} d(a_i, b_i) =0$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Пусть $\{a_i\}$, $\{b_i\}$ -- эквивалентные
последовательности Коши в $X$, а $\{c_i\}$ -- еще одна
последовательность Коши. Докажите, что
$$
\lim_{i\to \infty} d(a_i, c_i)=
   \lim_{i\to \infty} d(b_i, c_i)
$$
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!] Пусть $(X, d)$ метрическое пространство, а
$\overline{X}$ -- множество классов эквивалентности
последовательностей Коши. Докажите, что функция
$$
\{a_i\}, \{b_i\} \mapsto \lim_{i\to \infty} d(a_i, b_i)
$$
задает метрику на $\overline X$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}\label{compl.bad.defn} 
В такой ситуации, $\overline{X}$ называется {\bf пополнением $X$}.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} Рассмотрим естественное отображение
$X \to \overline{X}$, $x \mapsto \{ x, x, x, x, ...\}$. Докажите, что
это вложение, которое сохраняет метрику.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} Пусть $A$ -- подмножество в $X$.
Элемент $c\in X$ называется {\bf предельной точкой} подмножества
$A$, если в любом открытом шаре, содержащем $c$, содержится
бесконечное количество элементов $A$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} Дана последовательность Коши. Докажите, что
у нее не может быть больше одной предельной точки.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} Пусть $\{a_i\}$ -- последовательность
Коши. Мы говорим, что $\{a_i\}$ {\bf сходится к $x\in X$}, или {\bf
имеет предел в $x$} (пишется $\lim_{i\to \infty} a_i =x$), если $x$
-- предельная точка $\{a_i\}$
\end{opredelenie}

\begin{opredelenie}
Метрическое пространство $(X,d)$ называется {\bf полным}, если любая
последовательность Коши в $X$ имеет предел.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!] Докажите, что пополнение 
метрического пространства полно.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} Подмножество $A \subset X$ метрического
пространства называется {\bf плотным}, если в каждом открытом шаре в
$X$ содержится элемент из $A$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} Докажите, что $X$ плотно в $\overline{X}$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $X$ -- метрическое пространство, и пусть задано сохраняющее
метрику отображение $j: X \to Z$ из $X$ в полное метрическое
пространство $Z$. Докажите, что $j$ единственным образом
продолжается до отображения $\overline{j}:\overline{X} \to Z$.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
Эту задачу можно использовать в качестве определения
$\overline{X}$. Определение~\ref{compl.bad.defn} тогда превращается
в теорему.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}[!] Пусть $R$ -- кольцо, снабженное нормированием $\nu$.
Постройте сложение и умножение на пополнении $R$ относительно
метрики, соответствующей нормированию. Докажите, что $\overline{R}$
снабжено нормированием, продолжающем нормирование на $R$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} Нормированное кольцо $\overline{R}$ называется
{\bf пополнением $R$ относительно нормирования $\nu$.}
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[*] Пусть $R$ -- нормированное кольцо, 
а $\overline{R}$ его пополнение.  Предположим, что $R$ --
поле. Докажите, что $\overline{R}$ -- тоже поле.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] Пусть $R$ -- кольцо без делителей нуля
(т.е. удовлетворяющее такому свойству: если $r_1$, $r_2$ ненулевые
элементы, то и $r_1r_2$ ненулевой).
Рассмотрим функцию $\nu:\; R \to \R$, отображающую все ненулевые
элементы $R$ в единицу, а нуль в нуль. Докажите, что $\nu$ --
нормирование. Вычислите $\overline{R}$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Докажите, что $\R$ получено пополнением
$\Q$ относительно нормирования $q \mapsto |q|$. Можно ли это использовать в
качестве еще одного определения $\R$?
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} Пополнение $\Z$ относительно нормирования
$\nu_p$ называется {\bf кольцо целых $p$-адических чисел}. Это
кольцо обозначается $\Z_p$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} Пусть $(X, d)$ -- метрическое пространство,
а $\{a_i\}$ -- последовательность точек из $X$.  Предположим, что
ряд $\sum d(a_i, a_{i-1})$ сходится. Докажите, что $\{a_i\}$ --
последовательность Коши. Верно ли обратное?
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!] Докажите, что для любой последовательности целых
чисел $a_k$ ряд $\sum a_k p^k$ сходится в $Z_p$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha} Докажите, что $(1-p) (\sum_{k=0}^\infty  p^k) =1$
в $Z_p$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] Докажите, что любое целое число, которое
не делится на $p$, обратимо в $Z_p$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} Пополнение $\Q$ относительно нормирования, полученного
продолжением $\nu_p$, обозначается $\Q_p$ и называется {\bf (поле
$p$-адических чисел)}.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[*] Дано $x\in \Q_p$. Докажите, что
$x = \frac {x'}{p^k}$, где $x'\in \Z_p$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Докажите, что $\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{n}=1$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} Нормирование $\nu$ кольца $R$ называется
{\bf неархимедовым}, если $\nu (x+y) \leq \max (\nu(x), \nu(y))$
для всех $x,y$. В
противном случае нормирование называется {\bf архимедовым}.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[*] Пусть $\nu$ - нормирование в $\Q$.
Докажите, что $\nu$ неархимедово тогда и только тогда,
когда $\Z$ содержится в единичном шаре. 
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Воспользуйтесь пределом 
$\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{n}=1$.
Оцените $\sqrt[n]{((\nu(x+y)^n)}$ для
больших $n$, воспользовавшись оценкой на
биномиальные коэффициенты: $\nu(C^n_k)\leq 1$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*] Пусть $\nu$ - неархимедово
нормирование в $\Q$.
Рассмотрим множество
${\mathfrak m} \subset \Z$, состоящее из всех целых $n$ с $\nu(n)<1$. 
Выведите из этого, что $\mathfrak m$ это {\em идеал} в $\Z$
(идеал в кольце $R$ есть подмножество, замкнутое относительно
сложения и умножения на элементы из $R$). Докажите, что идеал
$$
{\mathfrak m} = \{ n\in \Z \ \ | \ \ \nu(n)<1\}
$$
{\em простой} (простой идеал это такой идеал, что $xy \notin
{\mathfrak m}$ для всех $x, y \notin {\mathfrak m}$). 
\end{zadacha}


\begin{zadacha}[*] Докажите, что любой идеал в $\Z$ 
имеет вид $\{0, \pm1 m, \pm 2m, \pm3m, ...\}$ для некоторого $m\in \Z$.
Докажите, что любой простой идеал ${\mathfrak m}$ 
в $\Z$ имеет вид $\{0, \pm1 p, \pm 2p, \pm3p, ...\}$, где $p=0, 1$
либо $p$ простое.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Воспользуйтесь алгоритмом Евклида.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*] Пусть $\nu$ -- неархимедово нормирование $\Q$, 
а $\mathfrak m = \{p, 2p, 3p, 4p, ...\}$ -- 
идеал, построенный выше. Докажите, что существует
такое вещественное число $\lambda>1$, что $\nu(n) = \lambda^{-k}$ для
каждого $n=p^k r$, $r\not\vdots p$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] Пусть $\nu$ -- такое нормирование $\Q$,
что $\nu(2)\leq 1$. Докажите, что $\nu(a)< \log_2 (a)+1$
для любого целого $a>0$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Воспользуйтесь представлением числа $N$ в 
двоичной системе счисления.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*] Пусть $\nu$ -- такое нормирование $\Q$,
что $\nu(2)<1$. Докажите, что $\nu(a)\leq 1$
для любого целого $a>0$ (т.е. $\nu$ неархимедово).
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Выведите из
$\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{n}=1$ соотношение
$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{\log n}{n}=0$. Воспользовавшись
предыдущей задачей, получите 
$\lim\limits_{N\to \infty} \nu(a^N)\leq 1.$
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*] Пусть $a_i$ -- последовательность
Коши рациональных чисел вида $\frac{x}{2^n}$ 
(``последовательность Коши'' здесь понимается в обычном
смысле, то есть как в вещественных числах). 
Предположим, что нормирование $\nu$ на $\Q$ архимедово.
Докажите, что $\nu(a_i)$ - последовательность Коши.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Записав $x$ в двоичной системе счисления,
докажите, что \[ \nu(x/2^n)\leq
  \nu(2)^{\log_2(x)+1} /\nu(2)^n\leq \nu(2)^{\log_2|x+1/2^n|}.\]
\end{ukazanie}


\begin{zadacha}[*] Выведите из этого, что нормирование
$\nu$ продолжается до непрерывной функции на $\R$,
которая удовлетворяет $\nu(xy)=\nu(x)\nu(y)$. Докажите, что
$\nu$ получается как $x \mapsto |x|^\lambda$ для какой-то константы
$\lambda>0$. Выразите $\lambda$ через $\nu(2)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] Для каких $\lambda>0$ фукнция $x \mapsto
|x|^\lambda$ задает нормирование $\Q$?
\end{zadacha}

Мы получили полную классификацию нормирований $\Q$: любое
нормирование получается как степень $p$-адического нормирования либо
модуля. Эта классификация называется {\bf теорема Островского}.

\end{document}
