\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr}

\input{listki.tex}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

��� ������ �� ������� ������ ���������� ����� ��� ������ ��
�����������, ���� ��� ������ ��� ���������. ������ � �����
����������� ����� �� �������. ������� $k$ ����� � ����� �����������
����������� �� ������� $2k$ ����� �� ����������� �� ���� ��
��������. ������, ������������ (!), ������� ������� ����.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{6}{��������� 6: ����� ���������: ������������ �����������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie}
����� ���� �������������� ������������ $M$ � ����� $B$ �� ��������
����������� � $M$. ����� $B$ ���������� {\bf ���������} ���
��������� �� $M$, ���� ����� �������� ��������� ����� ��������
(��������, �����������) ������������ �������� ����������� ��������
�����������, ������������� $B$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} ���������� $\R$ � ���������� ����������. ��������, ���
� ��� ��� ������� ��������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]\label{count}
����� ������ �������������� ������������ $M$ �� �������
���������. ��������, ��� � $M$ ���� ������� ����.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
���� �������� ��������� $M$, $|M|=2^n$, � ���������� ����������, �
$B$ -- �������� � $M$. ��������, ��� $|B| \geq 2n$. ������� ��������,
� ������� $2n$ ���������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
���������� $\R$ � ������������ ����������, � ����� $B$ -- ���������
���� ����������, � ������� ����� -- �������� �������� �����.
��������, ��� ��� ���� � ��������� $\R$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����� ��� ����� ����������� $B$ � ��������� $M$, �����, ���
$\cup B=M$.  ���������� ���
������������, ������� ����� �������� �� ��������� $B$, 
� ����� $M$ i $\emptyset$ ��������� �������������
� ������������� �������������. ��������, ��� ��������� ��������� ��
$M$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
����� ��������� ���������� {\bf ����������, �������� ��������� $B$}.
\end{opredelenie}

\begin{opredelenie}
����� $M_1$, $M_2$ -- �������������� ������������.  ����������
��������� $S$ �� $M_1 \times M_2$, �������� ��������� �� �����������
���� $U_1\times M_2$,
$M_1\times U_2$, ��� $U_1$, $U_2$ ������� � $M_1$, $M_2$. �����
$(M_1\times M_2, S)$ ���������� {\bf ������������� $M_1$ � $M_2$}.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
��������, ��� ������������ �������� $M_1 \times M_2\arrow M_1$
����������. ��������, ��� ��������� ���� $U_1\times U_2$
������ ���� � ��������� �� $M_1 \times M_2$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}\label{_product_nepre_Zadacha_}
���� ����������� �������������� �����������
$X\overset{\gamma_1}{\arrow} M_1$, $X\overset{\gamma_2}{\arrow}
M_2$. ��������, ��� ��� ���������� ����� � ������ �����, �����
������������
\[
X\overset{\gamma_1\times \gamma_2}{\arrow} M_1\times M_2
\]
����������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
����� $M_1$, $M_2$ ������������� ������� �� ������,
������������ ����. ��������, ��� $M_1\times M_2$ 
������������� ���� �� �������.
\begin{enumerate}
\item �������� ����������� �1.

\item\shrk{} ������� ��������� (�2).

\item �������� ����������� �3.

\item ���������������.

\item\shrk{} ������� ������� ���� ������������ � ������ �����.

\item ������� ������� ����.
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[**]
����� �� ��� ��� �������� ����������� �4? � ��� �4+�1?
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
����������� $x\overset{\Delta}{\arrow} (x,x)\in X\times X$
���������� {\bf ������������ ���������}, ��� ����� -- {\bf
����������} � $X\times X$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
��������, ��� ������������ �������� �������� �������������� �� ����
����� (��������� �� $\Delta\subset X\times X$ ��������������
�������������� � $X\times X$).
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
�������������� ������� \ref{_product_nepre_Zadacha_}.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}
��������, ��� $X$ ������������� ������� �1 ����� � ������ �����,
����� ��������� �������� ������������ ���� �������� ��������, ��
����������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
��������, ��� $X$ ����������� ����� � ������ �����, ����� ���������
�������� � $X\times X$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
����� ������ $\Gamma\subset X\times Y$ ����������� ��������������
����������� $X\overset{\gamma}{\arrow} Y$ �������. ����� ��, ���
$\gamma$ ����������?
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
����� $X\overset{\gamma}{\arrow} Y$ -- ������� ��������������
�����������, ������ $X$ �����������. ��������, ��� ������ $\gamma$
�������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
����� $M_1$, $M_2$ -- ����������� ������������, $M=M_1\times M_2$ --
�� ������������, � $d$ -- ���� �� ������������� ���� ������� ��
$M\times M$. ��������, ��� $d$ ������ ������� �� $M$.
\begin{enumerate}
\item $d((m_1, m_2), (m'_1, m'_2)) = d(m_1, m_2) + d(m_1', m_2')$

\item $d((m_1, m_2), (m'_1, m'_2)) = \max(d(m_1, m_2), d(m_1', m_2'))$

\item\shrk{} $d((m_1, m_2), (m'_1, m'_2)) = \sqrt{d(m_1,
m_2)^2+d(m_1', m_2')^2}$
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!] 
��������, ��� ��� ����������� ��������� �� ���������� ������ ������
�� $M_1\times M_2$ ���� � �� �� ���������. ��������, ��� ���
��������� ������������ ��������� ������������ �� $M_1\times M_2$,
������� ��������������� ��� ������������ �������������� �����������.
\end{zadacha}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{����������� ��� � ���������� ���}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie}
����� $I$ -- ��������� ����� �������� (��������, ���������), �
$M=X^I$ -- ��������� ����������� �� $I$ � �������������
�������������� ������������ $X$. �� $X^I$ ����� �������� ��� ��
��������� ������������������� ����� $X$, ��������������� $I$, ����
��� �� ����������� ������������ $X$ � �����.  ��������� ����� $W(i,
U)\subset X^I$ ��������� ���� ����������� $I\arrow X$, �����������
�������� ������ $i$ � ������� �� ������������ $U\subset X$. �������
�������� $B$ ��������� �� $X^I$ ����� �������: $U\in B$, ����
$U=W(i, U)$ ��� ������-�� ������� $i\in I$ � ������-�� ���������
������������ $U\subset X$. ����� ��������� ���������� {\bf ������}.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
���� ������������������ ����� $\alpha_1, \alpha_2, \dots $ �
$X^I$. ��������, ��� ��� �������� ����� � ������ �����, �����
������������������ $\alpha_k(i)$ �������� ��� ������� ������� $i\in
I$.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
����������� ���������� ������ ����� ����������� ���: ``������������
$X^I$ �� ������ ���������� ���� ��������� ����������� �� $I$ � $X$,
� ���������� ���������� ����������''.
\end{zamechanie}

\begin{opredelenie}
����� $I$ -- ��������� ����� ��������.  ������������ $[0,1]^I$ ��
������ ���������� ���������� {\bf ����������� �����}.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} 
����� �� �������������� ������������ $M$ ����� ����� �����������
������� $\alpha_i:\; M \arrow [0,1]$, ������������������ �������
�������� $I$.  ��������, ��� �����������
\[ 
\prod \alpha_i:\; m \arrow \prod_{i\in I}\alpha_i(m)
\]
� ����������� ��� $[0,1]^I$ ����������. 
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
��������, ��� ����� ����� ������������ ���� ��������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
��������, ��� ����������� ��� ������������� �������� �2 � �3.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
��� ����������� ��� $[0,1]^I$, ��� $I$ ������.  ��������, ��� � ����
���� ������� ����.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
��������, ��� ������������ ���� $U=W(i, ]a,b[)$ � �������������
$a,b$ ������ ������� �������� � $[0,1]^I$, � ��������������
�������~\ref{count}.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[**]
��������, ��� ���� ��������� $I$ ����� �������� ����������
��� ������, �� ����������� ���
$[0,1]^I$ �������������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
����� ������ ������� ������������ $W$ �����������
������������. ��������, ��� �������� ��������� $W$ 
�� ������ ����������.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]
���������� ��������� $M=[0,1]^\N$ -- ��������� �������������������
������������ ����� � $[0,1]$, ��������������� $\N$. ����������
������� $d:\; M\times M\arrow \R$,
\[ 
d(\{\alpha_i\}, \{\beta_i\})= \sqrt{\sum i^{-2}|\alpha_i - \beta_i|^2}.
\]
��������, ��� ��� ������� ������ ���������� � ������
������� �� $[0,1]^\N$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
����������� ������������ $[0,1]^\N$ � ��������, ����������� ����,
���������� {\bf ������������ �����}.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
����� ������ ������������������ $\{\alpha_i(n)\}$ ����� �
$[0,1]^\N$.  ��������, ��� ��� �������� � ����������� ���������
����� � ������ �����, ����� ��� �������� � ��������� �����������
����.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] 
�������� �� �����, ��� ������������� ����������� ������ ������������
����������� ���� � ������������ ����.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
�� ��������, ��� ���� ��������� �������� $I$ ������, �� �����������
��� $[0,1]^I$ ���������.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}[*] 
����� ��������� �������� $I$ ��������.  ����� �� ����������� ���
$[0,1]^I$ ���������?
\end{zadacha}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{����� ������� � ���������� �������������� �����������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie}
����� ���� ���������������� ��������� ������������ $A, B\subset M$
��������������� ������������ $M$. ����������� ������� $f:\; M \arrow
[0,1]$ ���������� {\bf �������� �������}, ���� $f(A)=0, f(B)=1$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
����� ��� ����� ���������������� ��������� ����������� $A, B\subset
M$ ���������� ������� �������. ��������, ��� $M$ �������������
������� ����������� �4.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
� �������� ���������� ������, ��������, ��� $M$ ����� ��
������������� ������� �1.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
����� $M$ ������������� ������� �4, � $A, B\subset M$ --
���������������� ���������  ������������. ��������, ���
����� ����� ������������������ ������������ 
$U_{p/2^q}\supset A$, ��������������� �������������
������� ���� $0<p/2^q<1$, � ��������������� ���������
��������:
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item ��� ���� $p,q$, $B$ �� ������������ � $U_{p/2^q}$.

\item ���� $p_1/2^{q_1}< p_2/2^{q_2}$, �� ��������� $U_{p_1/2^{q_1}}$
���������� � $U_{p_2/2^{q_2}}$.
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
�������������� ���������.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
� �������� ���������� ������, ��������� ������� $f:\; M \arrow
[0,1]$ ��������
\[  
f(m) = \sup \left\{ p_2/2^{q_2} \ \ | \ \ m\notin U_{p_1/2^{q_1}}\right\}
\]
��� $A$ � ������� $f$ ������ ���� �� $A$.
��������, ��� $f$ ���������� � �������� �������� �������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
��������, ��� ������� ���� $]p_1/2^{q_1}, p_2/2^{q_2}[$ ������ ��������
��������� � $[0,1]$. ��������, ���
\[ 
   f^{-1}(]p_1/2^{q_1}, p_2/2^{q_2}[) =
   U_{p_2/2^{q_2}}\backslash \overline{U_{p_1/2^{q_1}}}.
\]
�������� �� �����, ��� $f$ ����������.
\end{ukazanie}

\begin{zamechanie}
�� �������� ��������� ``����� �������'': ���� � $M$ �����������
������� �4, �� ��� ����� ���� ���������������� ��������� �����������
$M$ ���������� ������� �������.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}[*]
����� $M$ -- ����������� ������������ �� ������� ����� $B$,
��������������� ������� �4, $I$ -- ��������� ���� ��� $U_1, U_2 \in
B$, �����, ��� ��������� $U_1$, $U_2$ �� ������������, $F_{U_1,
U_2}$ -- ��������������� ������� �������, � $F:\; M \arrow [0,1]^I$
-- ����������� � ����������� ���, �������� ��� $F(m) = \prod F_{U_1,
U_2}$.  ��������, ��� $F$ ���������� � ����������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
� �������� ���������� ������, ��������� �� $G:\; F(M) \arrow M$
�����������, �������� $F$. ����� ���� ������������������ �����
$\{x_i\}$ �����, ��� $F_{U_1, U_2}(x_i)$ �������� ��� ����� ����
$(U_1, U_2)$ � $I$. �������� �� �����, ��� ������������������
$\{x_i\}$ ��������. ��������, ��� $G$ ����������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
��������, ��� ����� ����������� �������������� ������������ $M$ �
������� �����, ��������������� ������� �4 (����� ������������
���������� {\bf ��������}) ����� ����������� ��� ��������������
��������������� � ������������ ����.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
�� �������� ��������� {\bf ������� � ����������}.  
������ �������� �������������� ������������ ����������.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha} 
��������, ��� ����� ������������ ����������� ���� - ��������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
����� �� ����������� ������������ -- ��������?
\end{zadacha}

\end{document}
