\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr,epsfig,amscd}

\input{listki.tex}

\newcommand{\diam}{{\sf diam}}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Для зачета по каждому листку достаточно сдать все задачи со
звездочками, либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя
звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же
листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\listok{8}{ГЕОМЕТРИЯ 8: Поточечная и равномерная сходимость}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


На протяжении этого листка, разрешается
пользоваться следующей формой теоремы
Тихонова. Пусть $X$ -- компактное топологическое
пространство, $I$ -- произвольное множество,
а $X^I$ -- пространство отображений из $I$ в $X$,
с топологией поточечной сходимости. Тогда $X^I$
компактно. 

\begin{zadacha}
Рассмотрим пространство функций из отрезка в отрезок,
с топологией поточечной сходимости. Докажите, что предел
непрерывных функций может быть разрывен.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Пусть $X$, $Y$ -- метрические пространства,
а $\{f_\alpha\}$ -- набор непрерывных отображений
из $X$ в $Y$. Множество $\{f_\alpha\}$ называется
{\bf равномерно непрерывным}, если 
для каждого $\epsilon$ найдется такое $\delta$, 
что образ любого $\delta$-шара
под действием любого $f_\alpha$ содержится
в некотором $\epsilon$-шаре (возможно, зависящим от $f_\alpha$).
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
Пусть дано отображение $f:\; X \arrow Y$ 
метрических пространств,
которое переводит последовательности Коши в
последовательности Коши. Докажите, что 
$f$ непрерывно как отображение топологических
пространств. Всякое ли непрерывное
отображение переводит последовательности Коши в
последовательности Коши?
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $X$, $Y$ -- метрические пространства,
а $\{f_i\}$ -- равномерно непрерывная
последовательность непрерывных отображений
из $X$ в $Y$. Предположим, что $\{f_i\}$ 
сходится к $f$ в топологии поточечной
сходимости. Докажите, что $f$ непрерывна.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
Докажите, что $f$ равномерно непрерывна,
с теми же самыми числами $\epsilon$, $\delta$,
что и $\{f_i\}$, и воспользуйтесь предыдущей задачей.
\end{ukazanie}

Зафиксируем компактные метрические пространства $X$, $Y$, 
и пусть $\Map(X,Y)$ -- множество непрерывных отображений 
из $X$ в $Y$. 

\begin{zadacha} 
Для любых $f, g\in \Map(X,Y)$ определим $d_{\sup}(f,g)$
как $\sup_{x\in X} d(f(x), g(x))$. Докажите,
что $d_{\sup}(f,g)$ корректно определено и задает
метрику на $\Map(X,Y)$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Эта метрика называется $\sup$-метрикой на
$\Map(X,Y)$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
Предположим, что равномерно непрерывная 
последовательность отображений $\{f_i\}\subset \Map(X,Y)$ поточечно 
сходится к $f$. Докажите, что она сходится к $f$
в топологии, заданной $\sup$-метрикой.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Пусть $\sup_{x\in X} d(f(x), f_i(x))>C$
для любого $i$. Найдите сходящуюся
последовательность
таких $\{x_i\}$, что $d(f(x_i), f_i(x_i))> C$,
и пусть $x$ -- ее предел.
В силу равномерной непрерывности, 
$d(f_i(x_i), f_i(x))$ стремится к нулю. 
Воспользовавшись неравенством треугольника
\[ 
d(f_i(x), f(x)) + d(f_i(x_i), f_i(x)) \geq d(f(x), f_i(x_i)),
\]
получите противоречие.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!] 
(теорема Арцела-Асколи)
Пусть дано замкнутое (в смысле $\sup$-метрики) и
равномерно непрерывное подмножество 
$\Psi\subset\Map(X,Y)$. Докажите, что $\Psi$ компактно.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь теоремой Тихонова и предыдущей задачей. Как 
и говорилось ранее, предполагается, что $X$ и $Y$ компактны!
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[**]
Придумайте независимое от теоремы Тихонова
(а следовательно, аксиомы выбора) доказательство
теоремы Арцела-Асколи.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть задано компактное подмножество $K\subset X$
и открытое подмножество $V\subset Y$.
Обозначим через $U(K,V)\subset \Map(X,Y)$ множество
всех отображений переводящих $K$ в $V$.
Рассмотрим топологию на $\Map(X,Y)$,
заданную предбазой из всех $U(K,V)$.
Докажите, что та же самая топология
задается $\sup$-метрикой.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Эта топология на  $\Map(X,Y)$ называется 
{\bf компактно-открытой топологией}, или
{\bf топологией равномерной сходимости}.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
Докажите, что топология поточечной сходимости
слабее топологии равномерной сходимости; другими
словами, что тождественное отображение из $\Map(X,Y)$
с топологией равномерной сходимости в 
$\Map(X,Y)$ с топологией поточечной сходимости
непрерывно.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Пусть $Z$ -- подмножество метрического пространства
$M$. {\bf Диаметром} $Z$ называется число 
$\diam(Z):= \sup_{x,y\in Z} d(x,y)$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} 
Пусть $f \in \Map(X,Y)$ -- любое отображение,
$\epsilon$ -- вещественное число, а $\delta(f, \epsilon)$ --
супремум $\diam(f(B))$
по всем $\epsilon$-шарам $B$ в $X$.
Докажите, что $\lim_{\epsilon \arrow 0}\delta(f, \epsilon)=0$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
Пусть задана такая сходящаяся к нулю последовательность
$\epsilon_i$, какого-то набора точек $x_i\in X$ и
положительной константы $C$ имеем $\diam
f(B_{\epsilon_i}(x_i)))>C$. Рассмотрим предельную точку $x$ 
последовательности $\{x_i\}$. Тогда
в каждом $\epsilon$-шаре вокруг $x$ содержится
$B_{\epsilon_i}(x_i)$ (для достаточно большого $i$),
из чего следует, что образ этого $\epsilon$-шара
имеет диаметр больше $C$. Значит, $f$ не непрерывна.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]
Пусть задана непрерывная функция $f \in \Map(X,Y)$
Докажите, что $f$ равномерно непрерывна.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Это утверждение тавтологически эквивалентно
$\lim_{\epsilon \arrow 0}\delta(f, \epsilon)=0$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha} 
Пусть дано подмножество $\Psi \subset\Map(X,Y)$.
Докажите, что $\Psi$ равномерно непрерывно
тогда и только тогда, когда 
$\lim_{\epsilon\arrow 0}\sup_{f\in\Psi}\delta(f, \epsilon)=0$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $d_{\sup}(f,g) <\gamma$. Докажите, что
$\delta(f, \epsilon)< \delta(g, \epsilon)+\gamma$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $\{f_i\}$ -- последовательность Коши в $(\Map(X,Y),d_{\sup})$.
Докажите, что она равномерно непрерывна.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Нам нужно доказать, что 
\[
\lim_{\epsilon\arrow 0}\sup_{i}\delta(f_i,\epsilon)=0
\]
Воспользoвавшись предыдущей задачей, убедитесь,
что для всех $f_i$, лежащих в каком-то $\gamma$-шаре 
в $(\Map(X,Y),d_{\sup})$, числа $\delta(f_i, \epsilon)$
отличаются не больше, чем на $\gamma$. Выведите из этого,
что $\sup_{i}\delta(f_i,\epsilon) <\delta(f_N,\epsilon)+\gamma$
для фиксированного $N$, а следовательно,
\[
\sup_{i}\delta(f_i,\epsilon)< \gamma + \max_{i\leq N}\delta(f_i,\epsilon)
\]
Предел этого выражения при $\epsilon \arrow 0$ не
больше $\gamma$, поскольку все $f_i$ равномерно непрерывны. 
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
Докажите, что метрическое пространство $(\Map(X,Y),d_{\sup})$ полное.
\end{zadacha}

%\begin{ukazanie}
%Это утверждение непосредственно
%следует из приведенных выше задач.
%\end{ukazanie}
%
% Ну и на фиг такие
% указания? студенты
% в таких случаях
% пишут: читай
% указание, и
% говорят, что вот
% оно решение
%

\begin{zadacha}[*]
Является ли $(\Map(X,Y),d_{\sup})$ локально компактным?
\end{zadacha}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{Кривая Пеано}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Пусть дан отрезок $[a,b]$. Отображение
$[a,b] \overset{f}{\arrow} \R^n$ называется {\bf линейным},
если $f (\lambda a + (1-\lambda) b)= \lambda f (a) +(1-\lambda) f(b)$,
для любого $0<\lambda<1$. Отображение называется
{\bf кусочно линейным}, если отрезок разбит
на подотрезки $[a, a_1], [a_1, a_2], [a_2, a_3], \ldots$,
и $f$ линеен на каждом из этих подотрезков.
Образ кусочно линейного отображения это, очевидно,
ломаная. 

Пусть дано кусочно линейное
отображение $f$ из отрезка $[0, 1]$ в квадрат
$[0, 1]\times [0, 1]$ со следующим свойством:
все сегменты ломаной $f([0, 1])$ параллельны
прямой $x=y$ либо прямой $x=-y$.
\begin{center}
\epsfxsize .45\linewidth
\epsfbox{geom8pic0.eps}
\end{center}
Иными словами, для каждого подотрезка 
$[a, a_1]$, на котором $f$ линеен, $f$ отображает
$[a, a_1]$ в диагональ некоторого квадрата $Q$, со сторонами,
параллельными осям координат. Пусть ${\cal P}l$ --
пространство таких кусочно-линейных отображений.

Определим операцию $\mu$, которая делает из
кусочно-линейного отображения $f\in {\cal P}l$ с
$k$ линейными сегментами кусочно-линейное отображение
с $4k$ линейными сегментами:
%$$
%\begin{CD}
%\mbox{\epsfig{file=geom8pic1.eps,width=0.25\linewidth}}
%@>\mu>>
%\epsfig{file=geom8pic2.eps,width=0.25\linewidth}
%@>\mu>>
%\epsfig{file=geom8pic3.eps,width=0.25\linewidth}
%\end{CD}
%$$
\begin{center}
\epsfig{file=geom8pic1.eps,width=0.25\linewidth}
$\overset{\mu}{\longrightarrow}$
\epsfig{file=geom8pic2.eps,width=0.25\linewidth}
$\overset{\mu}{\longrightarrow}$
\epsfig{file=geom8pic3.eps,width=0.25\linewidth}
\end{center}
Определим $\mu(f)$ следующим образом.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}.}
\item Обозначим через $a_0, a_1, \dots, a_k$ 
концы сегментов, на которых $f$ был линейно.
Тогда $\mu(f)$ отображает $a_i$ в $f(a_i)$.

\item Разобьем каждый из сегментов 
$[a_i, a_{i+1}]$ на четыре равные части:
\[ 
  [b_{4i},b_{4i+1}], [b_{4i+1},b_{4i+2}], 
  [b_{4i+2},b_{4i+3}], [b_{4i+3},b_{4i+4}].
\]
$\mu(f)$ отображает $[b_{4i},b_{4i+1}]$
линейно в $[f(a_i), f\left(\frac{a_i+a_{i+1}}2\right)]$,
а $[b_{4i+3},b_{4i+4}]$ в $[f\left(\frac{a_i+a_{i+1}}2\right), f(a_{i+1})]$.

\item Рассмотрим квадрат, диагональю которого
является отрезок $[f(a_i), f(a_{i+1})]$, и перенумеруем
его вершины по часовой стрелке: $f(a_i), A, f(a_{i+1}), B$.
Тогда $\mu(f)$ отображает $[b_{4i+1},b_{4i+2}]$
линейно в $[f\left(\frac{a_i+a_{i+1}}2\right), B]$,
а $[b_{4i+2},b_{4i+3}]$ в $[B, f\left(\frac{a_i+a_{i+1}}2\right)]$.
\end{enumerate}
Мы получаем такую ломаную:
\begin{center}
\epsfxsize .45\linewidth
\epsfbox{geom8pic4.eps}
\end{center}

\begin{zadacha}
Рассмотрим отрезок и квадрат как метрические
пространства со стандартной метрикой.
Пусть $f\in {\cal P}l$, и самый большой прямолинейный
сегмент $[f(a_i), f(a_{i+1})]$ соответствующей ломаной
имеет длину $k$. Тогда $d_{\sup}(f, \mu(f)) \leq\frac{k}{\sqrt 2}$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Пусть $f\in {\cal P}l$, и самый большой прямолинейный
сегмент $[f(a_i), f(a_{i+1})]$ соответствующей ломаной
имеет длину $k$. Тогда самый большой прямолинейный сегмент
в $\mu(f)$ имеет длину $k/2$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Пусть $f_0\in {\cal P}l$, $f_1 = \mu(f_0), \dots, f_n = \mu(f_{n-1})$,
а самый большой прямолинейный сегмент в ломаной, соответствующей
$f_0$, имеет длину $k$. Докажите, что 
\[
d_{\sup}(f_n, f_{n+1}) < \frac k {2^n \sqrt 2}
\]
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Докажите, что $\{ f_i\}$ -- последовательность Коши
в метрике $d_{\sup}$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Пусть $f\in {\cal P}l$, и для всех прямолинейных сегментов
$[a_i, a_{i+1}]$ в $f$, длина $[f(a_i), f(a_{i+1})]$
не больше, чем \[ \rho(a_{i+1}-a_i),\] где $\rho$ - какое-то
положительное вещественное число. 
Докажите, что $\delta(f, \epsilon)\leq \rho\epsilon$,
где $\delta(f, \epsilon)$ -- функция, определенная выше.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Пусть $f_0\in {\cal P}l$, $f_1 = \mu(f_0), \dots, f_n = \mu(f_{n-1})$,
и для всех прямолинейных сегментов
$[a_i, a_{i+1}]$ в $f_0$, длина $[f(a_i), f(a_{i+1})]$
не больше, чем $\rho(a_{i+1}-a_i)$.
Докажите, что $\delta(f_n, \epsilon)\leq \rho 2^n\epsilon$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Пусть $f\in {\cal P}l$, а самый большой прямолинейный
сегмент $[f(a_i), f(a_{i+1})]$ соответствующей ломаной
имеет длину $k$. Докажите, что 
$\delta(\mu(f), \epsilon) \leq 2\frac{k}{\sqrt 2}+\delta(f, \epsilon)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Пусть $f_0\in {\cal P}l$, $f_1 = \mu(f_0), \dots, f_n = \mu(f_{n-1})$,
а самый большой прямолинейный сегмент в ломаной, соответствующей
$f_0$, имеет длину $k$.
Докажите, что 
\begin{equation}\label{_delta_Equation_}
\delta(f_n, \epsilon) \leq 4\frac{k}{2^{n-m}\sqrt 2}+\rho 2^m\epsilon
\end{equation}
для любых $n$, $m$ ($n>m$)
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
В предыдущей задаче, возьмем $\epsilon < 2^{-2m}$,
$n > 2m$. Выведите из \eqref{_delta_Equation_} 
\[
\delta(f_n, \epsilon) \leq  \frac{4k\sqrt 2+\rho}{2^{-m}}.
\]
Докажите, что для произвольного $i$
\[
\delta(f_i, \epsilon) \leq  \max \left(\frac{4k\sqrt
2+\rho}{2^{-m}},  \rho 2^{2m}\epsilon\right).
\]
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $f_0$ линейно отображает $[0, 1/2]$ в отрезок
$[(0,0), (1,1)]$, a $[1/2, 1]$ -- в отрезок $[ (1,1), (0,0)]$.
Докажите, что множество $\{ f_i\}$ равномерно непрерывно.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Выведите из предыдущей задачи, что 
$\lim_{\epsilon\arrow 0}\sup_i(\delta(f_i, \epsilon))=0$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha} 
Выведите из теоремы Арцела-Асколи, что
предел $\lim f_i$ (в $\sup$-метрике) существует
и является непрерывной функцией 
${\cal P}:\; [0,1] \arrow [0,1]\times [0,1]$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Определенная выше функция
${\cal P}$ называется {\bf кривая Пеано}.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} 
Найдите ${\cal P}(q)$, где $q=\frac {a}{2^n}$ ($a\in \Z$) --
двоично-рациональное число. 
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Пусть $Q_2$ -- множество двоично-рациональных чисел.
Докажите, что ${\cal P}(Q_2)$ плотно в
квадрате. 
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Докажите, что образ ${\cal P}$ --
это весь квадрат.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь тем, что образ компакта компактен.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]
Можно ли сюрьективно и непрерывно 
отобразить $[0,1]$ на куб? На куб с выколотой точкой?
\end{zadacha}

\end{document}
