%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{ГЕОМЕТРИЯ 5:
Теоретико-множественная топология.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть дано пространство $M$ и набор подмножеств $S\subset M$,
называющихся {\бф открытыми подмножествами}.
$M$ называется {\бф топологическим пространством,}
если выполнены следующие условия.

1. Пустое множество и $M$ открыты.

2. Объединение любого числа открытых подмножеств открыто.

3. Пересечение конечного числа открытых подмножеств открыто.

Отображение $\phi:\; M \arrow M'$ топологических
пространств называется {\бф непрерывным}, если прообраз
каждого открытого множества открыт. Непрерывные
отображения также называются {\бф морфизмами} топологических
пространств. {\бф Изоморфизм} топологических пространств -
такое отображение  $\phi:\; M \arrow M'$, что существует
морфизм $\psi:\; M' \arrow M$, такой, что 
$\phi\circ \psi $ тождественный, и $\psi\circ \phi $
тоже тождественный. Изоморфизм топологических пространств
называется {\бф гомеоморфизмом}.

Подмножество $Z\subset M$ называется {\бф замкнутым},
если его дополнение открыто. {\бф Окрестность} точки $x\in M$
это любое открытое подмножество $M$, которое ее содержит.
{\бф Окрестность} подмножества $Z\subset M$ - это любое
открытое подмножество $M$, которое его содержит.
\ео


\задача
Докажите, что композиция непрерывных отображений
непрерывна
\ез

\задача
Дана биекция $\phi:\; M \arrow M'$
топологических пространств, такая, что обратное
отображение непрерывно. Докажите, что это гомеоморфизм.
Докажите, что все гомеоморфизмы получаются таким образом.
\ез

\задача (!)
Пусть $M$ некоторое множество, а $S$ - множество всех
подмножеств $M$. Докажите, что $S$ задает на $M$ топологию.
Эта топология называется {\бф дискретной}. Опишите
множество всех непрерывных отображений из $M$
в заданное топологическое пространство.
\ез 

\задача (!)
Пусть $M$ некоторое множество, а $S$ - множество из двух
подмножеств $M$: пустого множества и $M$. 
Докажите, что $S$ задает на $M$ топологию.
Эта топология называется {\бф кодискретной}. Опишите
множество всех непрерывных отображений из $M$
в пространство с дискретной топологией. 
\ез 

\задача
Постройте непрерывную биекцию топологических пространств,
которая не является гомеоморфизмом.


\задача 
Дано подмножество $Z$ топологического пространства $M$.
Открытые подмножества в $Z$ задаются пересечениями вида
$Z\cap U$, где $U$ открыто в $Z$. 

а. Докажите, что
это задает топологию на $Z$. Докажите, что 
естественное вложение $Z\hookrightarrow M$ непрерывно.

б. (*) 
Все ли непрерывные вложения получаются таким образом?
\ез

\определение
Такая 
топология на $Z\subset M$ называется {\бф индуцированной с $M$}.
Подмножество любого топологического пространства
мы будем рассматривать как топологическое пространство
с индуцированной топологией.
\ео

\определение
Пусть $M$ топологическое пространство, а
$S_0$ такой набор открытых множеств, что 
любое открытое множество можно получить 
как объединение множеств из $S_0$. 
Тогда $S_0$ называется {\бф базой} $M$.
\ео

\задача
Опишите все базы для $M$ с дискретной топологией;
для $M$ с кодискретной топологией.
\ез

\определение
Пусть $M$ метрическое пространство.
Напомним, что подмножество $U\subset M$ называется 
{\бф открытым} если для каждой точки $u\in U$,
$u$ содержит шар радиуса $\epsilon >0$ с центром в $u$.
\ео

\задача 
Докажите, что это определение
задает топологию на метрическом пространстве.
\ез

\определение
Топологическое пространство называется {\бф метризуемым}
если оно получено из метрического пространства вышеописанным
способом.

\задача 
Докажите, что дискретное топологическое пространство
метризуемо, а кодискретное - нет.

\задача 
Докажите, что открытые шары в метрическом пространстве $M$ открыты. 
Докажите, что открытые шары задают базу топологии на $M$.
\ез

\задача (!)
Пусть $М$ топологическое пространство,
а $S$, $S'$ - две топологии на $M$.
Предположим, что для каждой точки 
$m\in M$ и окрестности $U\ni m$, 
открытой в топологии $S$, найдется 
окрестность $U'\ni m$, $U'\subset U$,
открытая в топологии $S'$. Докажите,
что тождественное отображение 
$(M, S) \stackrel i \arrow (M, S')$
непрерывно. Приведите пример, 
когда в такой ситуации $i$ не является
гомеоморфизмом.
\ез

\задача  
Рассмотрим пространство $\R^n$ с нормой $\nu$
как в листке Геометрия 3. Эта норма задает
метрику, а следовательно, 
топологию $S_\nu$ на $\R^n$. 
Предположим, что $\nu$, $\nu'$ - две нормы,
такие, что $C^{-1} \nu'(x) <\nu(x)< C \nu'(x)$
для какой-то константы $C\in \R$.
Докажите, что тождественное
отображение из $\R^n$ в себя задает гомеоморфизм
$(\R^n, S_nu)\arrow (\R^n, S_{\nu'})$
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача (*)
Предположим, что  $\nu$, $\nu'$ - две нормы на
$\R^n$, такие, что тождественное
отображение из $\R^n$ в себя задает гомеоморфизм
$(\R^n, S_nu)\arrow (\R^n, S_{\nu'})$. Докажите,
что найдется константа $C$ такая, что 
$C^{-1} \nu'(x) <\nu(x)< C \nu'(x)$.
\ез

\задача (*)
Пусть $V$ векторное пространство, наделенное
положительно определенной билинейной формой $g$.
Рассмотрим $V$ как метрическое пространство,
с метрикой $d_g$, построенной в листке 
Геометрия 3. Обозначим соответствующую
топологию за $S_g$. Докажите, что топология на
$V$ не зависит от выбора $g$, то есть для
любых $g, g'$,  тождественное
отображение из $V$ в себя задает гомеоморфизм
$(V, S_g)\arrow (V, S_{g'})$.
\ез

\задача (**) Докажите, что топология на 
$S_nu$ не зависит от выбора формы $\nu$:
тождественное отображение из $\R^n$ в себя 
всегда задает гомеоморфизм
$(\R^n, S_nu)\arrow (\R^n, S_{\nu'})$.
\ез

\определение
Рассмотрим метрику $d$ на $\R^n$, заданную
нормой 
\[ |(\alpha_1, ... \alpha_n)= \sqrt{\sum_i \alpha_i^2}.
\]
Топология на $\R^n$, связанная с $d$,  
называется {\бф естественной}. 
{\бф Естественная топология} на подмножествах в $\R^n$ - топология,
индуцированная с $\R^n$.
\ео

\задача 
Рассмотрим $\R$ с естественной топологией.
Пусть $M$ пространство с дискретной топологией,
$M'$ - пространство с кодискретной топологией.
Найдите множество всех непрерывных отображений 

а. Из $\R$ в $M$

б. Из $M$ в $\R$

в. Из $M'$ в $\R$

г. Из $\R$ в $M'$.
\ез


\задача 
Пусть $\phi:\; M \arrow M'$ - некоторое
отображение топологических пространств.
Верно ли, что если $\phi$ непрерывно, то 
прообраз любого замкнутого множества замкнут?
Верно ли, что если прообраз любого замкнутого 
множества замкнут, то отображение непрерывно?
\ез

\задача
Приведите пример непрерывного отображение топологических
пространств, такого, что образ открытого множества
не открыт. Приведите пример непрерывного отображение топологических
пространств, такого, что образ замкнутого множества
не замкнут. 
\ез

\определение
{\бф Замыкание} Пусть $M$ топологическое пространство,
$Z\subset M$ произвольное подмножество, $\bar Z$ - пересечение
всех замкнутых подмножеств $M$, содержащих $Z$. 
Тогда $\bar Z$ называется {\бф замыканием} $Z$.
\ео

\задача
Докажите, что $\bar Z$ замкнуто. 
\ез



\определение
Пусть $M$ - топологическое
пространство. Следующие условия Т1-Т4 называются
{\бф условиями отделимости.} 

Т1. Любая точка $M$ замкнута.

Т2. Любые две различные точки $x$, $y\in M$ обладают 
окрестностями $U_x$, $U_y$, которые не пересекаются.

Т3. Для любой точки $y\in M$,
любая окрестность $U\ni y$ содержит открытую
окрестность $U'\ni y$, замыкание которой 
содержится в $U$.

Т4. Для любого замкнутого подмножества $Z\in M$,
любая окрестность $U\supset Z$ содержит открытую
окрестность $U'\supset Z$, замыкание которой
содержится в $U$.

Условие Т2 называется {\бф аксиома Хаусдорфа}.
Топологическое пространство, удовлетворяющее
условию Т2, называется {\бф Хаусдорфовым}.
\ео

\задача
Докажите, что условие Т1 эквивалентно следующему:
для любых двух несовпадающих точек $x, y\in M$, найдется
окрестность $y$, не содержащая $x$.
\ез


\задача
Докажите, что условие Т4 эквивалентно следующему:
у любых двух непересекающихся замкнутых множеств
 $X, Y\subset M$, найдутся непересекающиеся окрестности.
\ез


\задача
Выполняются ли условия Т1-Т4 в пространстве с дискретной
топологией? С кодискретной?
\ез

\задача
Докажите, что условия Т1-Т4 выполняются в $\R$.
\ез

\задача
Докажите, что условие Т1 следует из Т2.
\ез

\задача 
Приведите пример пространства, 
не удовлетворяющего условию 
Т1. Приведите пример нехаусдорфова 
пространства, где все точки замкнуты.
\ез

\задача (*)
Приведите пример пространства, 
удовлетворяющего Т1, и такого, что любые
два непустых открытых множества пересекаются.

\задача (*)
Докажите, что из Т1 и Т3 следует Т2.


\задача (*)
Приведите пример пространства, где выполняется
Т4, но не выполняется Т1.
\ез

\задача 
Дано метризуемое топологическое пространство.
Докажите, что в нем выполнены условия Т1, Т2, Т3.
\ез

\задача (*)
Дано метризуемое топологическое пространство.
Докажите, что в нем выполнено условие Т4.
\ез

\определение
Пусть $Z\subset M$ подмножество в топологическом пространстве.
$Z$ называется {\бф плотным}, если $Z$ пересекается с каждым
открытым подмножеством $M$.
\ео

\задача (!)
Докажите, что $Z$ плотно тогда и только тогда, когда 
замыкание $\bar Z$ это все $M$.
\ез

\задача
Найдите все плотные подмножества в пространстве
с дискретной топологией; с кодискретной топологией.
\ез

\задача
Докажите, что $\Q$ плотно в $\R$.
\ез

\задача (!)
Подмножество $Z$ в топологическом пространстве $M$ называется 
{\бф нигде не плотным}, если $Z\cap U$ неплотно в $U$, для
любого открытого подмножества $U\subset M$. Докажите, что
$Z$ нигде не плотно тогда и только тогда, когда
$M\backslash \bar Z$ плотно в $M$.
\ез

\задача (*) 
Постойте бесконечное нигде не плотное подмножество в отрезке
$[0, 1]$ с естественной топологией.
\ез

\задача
Найдите все нигде не плотные подмножества в пространсте
с дискретной топологией; в пространстве с кодискретной топологией.
\ез

\определение
Пусть $M$ топологическое пространство, $x\in M$ 
произвольная точка. База окрестностей $x$ это
такой набор $B$ окрестностей $x$, что любая окрестность
$U\in x$ содержит какую-то окрестность из $M$.
\ео

\задача
Пусть в топологическом пространстве $M$ задан
набор открытых подмножеств $B$, такой, что
для любой точки $x\in M$, совокупность всех
$U\in B$ содержащих $x$ образует базу в $M$.
Докажите, что $B$ это база топологии $M$.
\ез


\определение
Пусть $M$ топологическое пространство.
Есть два условия счетности. 
Если у каждой точки $M$
найдется счетная база окрестностей,
говорится, что в $M$ {\бф выполняется 
первая аксиома счетности}.
Говорится, что для $M$ выполняется
{\бф вторая аксиома счетности}, либо что
$M$ - {\бф пространство со счетной базой}, если
у $M$ найдется счетная база открытых множеств.
Говорится, что $M$ {\бф сепарабельно}, если
в $M$ найдется плотное счетное множество.
\ео

\задача
Дано пространство $M$ с дискретной топологией.
Докажите, что в $M$ выполняется первая аксиома счетности.
\ез

\задача 
Пусть топологическое пространство $M$ имеет счетную базу.
Докажите, что оно сепарабельно.
\ез

\задача  Пусть топологическое пространство $M$
имеет счетную базу окрестностей в каждой точке и сепарабельно.
Докажите, что $M$ имеет счетную базу.
\ез


\задача (!)
Дано метризуемое топологическое пространство.
Докажите, что оно имеет счетную базу окрестностей 
в каждой точке.
\ез

\задача 
Постройте несепарабельное 
метризуемое топологическое пространство.
\ез

\задача (*)
Приведите пример счетного хаусдорфова 
пространства без счетной базы.
\ез

\subsection{Топология и сходимость}

Топологические пространства были изобретены как
язык, на котором удобно говорить о непрерывных
функциях. В листке Геометрия 4 мы определили непрерывную
функцию как функцию, сохраняющую пределы
сходящихся последовательностей. К топологии
можно подходить с аксиоматической точки зрения,
приведенной выше, либо с точки зрения
геометрической интуиции, определяя
топологию на пространстве посредством
задания класса сходящихся последовательностей,
а напрерывные отображения - как отображения,
сохраняющие пределы.

Второй подход к топологии (при всех
его очевидных преимуществах) наталкивается 
на теоретико-множественные
трудности - если в нашем пространстве нет
счетной базы, приходится пользоваться
полностью упорядоченными несчетными 
последовательностями. В дальнейшем
мы будем работать в основном
в пространствах со счетной базой
окрестностей точки, и в такой 
ситуации весьма удобно определять
топологию и непрерывность через 
пределы последовательностей.

\определение 
Пусть $M$ топологическое пространство,
$Z\subset M$ бесконечное подмножество.
$x\in M$ называется {\бф предельной точкой}
для $Z$, если в каждой окрестности $x$ содержится
 $z\in Z$. {\бф Пределом}
последовательности $\{ x_i\}$ называется
такая точка $x$, что в любой окрестности
$x$ содержатся почти все $x_i$.
Последовательность называется {\бф сходящейся},
если у ней есть предел.
\ео

\задача
Найдите все сходящиеся последовательности в пространстве
с дискретной топологией. В пространстве с кодискретной
топологией.
\ез

\задача
Пусть $M$ - хаусдорфово. Докажите, что у любой 
 последовательности есть не более одного предела.
\ез

\задача (*) Верно ли обратное (т.е. вытекает ли хаусдорфовость
из единственности предела)?  А если в $M$ есть счетная 
база окрестностей точки?
\ез

\задача 
Пусть в $M$ предел любой последовательности
единственен. Докажите, что в $M$ выполнено
условие отделимости Т1.
\ез

\задача Пусть заданно непрерывное отображение
$f:\; M \arrow M'$, а $Z\subset M$ некоторое подмножество.
Докажите, что оно переводит предельные
точки $Z$ в предельные точки $f(Z)$. 
Докажите, что оно переводит пределы 
в пределы.
\ез

\задача (!)
Пусть есть отображение, переводящее предельные 
точки в предельные точки. Докажите, что оно непрерывно.
\ез

\задача 
Пусть дано пространство $M$ с счетной базой окрестностей точки.
Рассмотрим произвольное подмножество $Z\subset M$.
Докажите, что замыкание $Z$ есть множество пределов всех
последовательностей из $Z$.
\ез


\задача (!)
Пусть даны пространства $M$, $M'$ со счетной базой окрестностей точки,
и отображение $f:\; M \arrow M'$, сохраняющее пределы
последовательностей. Докажите, что оно непрерывно.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача (*) 
А что, если в предыдущей задаче не требовать 
счетной базы окрестностей точки для $M$? Для $M'$?
\ез


\задача (*)
Пусть дано множество $M$, и некоторые последовательности
элементов из $M$ объявлены {\бф сходящимися} к точкам из $M$
(это записывается в виде $x\in \lim x_i$; 
заметим, что пределов последовательности 
может быть больше одного).
Пусть сходимость последовательностей удовлетворяет
следующим условиям

(i) Если $x\in \lim x_i$, то предел любой подпоследовательности
$\{x_i\}$ определен и равен $x$.

(ii) Перенумеруем элементы последовательности
$\{x_i\}$, и обозначим полученную подпоследовательность
за $\{ y_i\}$. Если  
$x\in \lim x_i$, то $\x\in lim y_i$.

(iii) Если $\x\in\lim x_i$ и $x\in\lim y_i$,
то последовательность $x_1, y_1, x_2, y_2, ...$
сходится к $x$.

(а) Определим замкнутые подмножества в $M$ как подмножества $Z\subset M$,
содержащие все пределы всех последовательностей $\{x_i\}\in Z$.
Определим открытые подмножества как дополнения к замкнутым.
Докажите, что это задает топологию на $M$.

(б) Будет ли в этом пространстве выполняться
первая аксиома счетности?

(в) Пусть дана топология $S$ на $M$ со счетной базой
окрестностей любой точки. Определим пределы последовательностей,
исходя из этой топологии, как делалось выше. Докажите, что
выполняются условия (i)-(iii). Пусть $S'$ - топология,
полученная из пределов, как в части (а). Докажите, что
топологии $S'$ и $S$ совпадают.

(г) Возьмем несчетное множество с дискретной топологией $S$,
и пусть $S'$ - топология, построенная, исходя из пределов,
как в части (в). Найдите все открытые множества в $S'$.
Докажите, что $S\neq S'$.
\ез

\замечание
Из этой задачи ясно, что можно
определить топологию с первой аксиомой счетности через
задание множества сходящихся последовательностей, удовлетворяющих 
условиям (i)-(iii). Тогда непрерывные отображения 
определяются, как отображения, сохраняющие предел.
В силу задачи (предыдущей), это определение
эквивалентно стандартному.
\еза


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{ГЕОМЕТРИЯ 6: Общая топология: произведение пространств}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть дано топологическое пространство $M$ и набор
$B$ из открытых подмножеств в $M$. $B$ называется
{\бф предбазой} для топологии на $M$, если 
любое открытое множество можно получить
(возможно, бесконечным) 
объединением конечных пересечений 
открытых подмножеств, принадлежащих $B$.
\ео

\задача Рассмотрим $\R$ с дискретной топологией. Докажите, что
там нет счетной предбазы.
\ез

\задача (!)
Пусть задано топологическое пространство $M$
со счетной предбазой. Докажите, что у $M$ есть счетная база.
\ез

\задача (*) Дано конечное множество $M$,
$|M|=2^n$, с дискретной топологией, а $B$ - предбаза
в $M$. Докажите, что $|B| \geq n$. Найдите предбазу,
в которой $n$ элементов. 
\ез

\задача 
Рассмотрим $\R$ с естественной топологией,
и пусть $B$ множество всех отрезков, у которых
концы - конечные двоичные дроби. 
Докажите, что это база в топологии $\R$.
\ез

\задача
Пусть дан набор подмножеств $B$ в множестве $M$.
Рассмотрим все подмножества, которые можно получить
из $B$ конечными пересечениями и произвольными
объединениями. Докажите, что получится топология на $M$.
\ез

\определение
Такая топология называется {\бф топология, заданная
предбазой $B$}.
\ео

\определение
Пусть $M_1$, $M_2$ - топологические пространство.
Рассмотрим топологию $S$ на $M_1 \times M_2$, заданную
предбазой из подмножеств виде $U_1\times U_2$, где
$U_1$, $U_2$ открыты в $M_1$, $M_2$. $M_1\times M_2$
называется {\бф произведением  $M_1$ и $M_2$}. 
\ео

\задача
Докажите, что естественная проекция
$M_1 \times M_2\arrow M_1$ непрерывна.
\ез

\задача
Даны отображения топологических
пространств $X\strackrel {\gamma_1} \arrow M_1$, 
$X\stackrel{\gamma_2}\arrow M_2$. Докажите, что
они непрерывны тогда и только тогда, когда 
произведение 
\[ X\strackrel 
{\gamma_1\times \gamma_2}\arrow M_1\times M_2
\]
непрерывно.
\ез

\задача 
Пусть $M_1$, $M_2$ удовлетворяет условию из списка,
приведенного ниже. Докажите, что $M_1\times M_2$ 
удовлетворяет тому же условию.

а. Свойство отделимости Т1.

б. (!) Условие Хаусдорфа (Т2).

в. Свойство отделимости Т3.

г. Сепарабельность

д. (!) Наличие счетной базы окрестностей точки

е. Наличие счетной базы
\ез

\задача (**)
Верно ли это для свойства отделимости Т4? А для Т4+Т1?
\ез

\определение
Отображение $x\stackrel \Delta \arrow (x,x)\in X\times X$
называется {\бф диагональным вложением}, его образ -
{\бф диагональю} в $X\times X$.
\ео

\задача
Докажите, что диагональное вложение является
гомеоморфизмом (топология на $\Delta\subset X\times X$
предполагается индуцированной с $X\times X$).
\ез

\задача
Докажите, что $X$ удовлетворяет условию Т1 тогда и только
тогда, когда диагональ является пересечением всех
открытых множеств, ее содержащих.
\ез

\задача (!)
Докажите, что $X$ хаусдорфово тогда и только тогда, когда
диагональ замкнута в $X\times X$.
\ез

\задача 
Пусть график $\Gamma\subset X\times Y$ 
отображения топологических пространств 
$X\stackrel \gamma\arrow Y$ замкнут. Докажите, что
$\gamma$ непрерывно. 
\ез

\задача (!)
Пусть $X\stackrel \gamma\arrow Y$ 
морфизм топологических пространств, причем $X$
хаусдорфово. Докажите, что график $\gamma$ замкнут.
\ез


\задача 
Пусть $M_1$, $M_2$ метрические пространства,
а $d$ - функция на $M\times M$, где $M=M_1\times M_2$
приведенная в списке ниже. Докажите, что $d$
тоже метрика.

а. $d((m_1, m_2), (m'_1, m'_2)) = d(m_1, m_2) + d(m_1', m_2')$

б. $d((m_1, m_2), (m'_1, m'_2)) = \max(d(m_1, m_2), d(m_1', m_2'))$

в. (!) $d((m_1, m_2), (m'_1, m'_2)) = \sqrt{d(m_1, m_2)^2+d(m_1', m_2')^2}$
\ез

\задача  (!) 
Докажите, что три метрические структуры 
из предыдущей задачи задают на $M_1\times M_2$
одну и ту же топологию. Докажите, что эта топология
эквивалентна топологии произведения на 
$M_1\times M_2$, которое рассматривается
как произведение топологических пространств.
\ез
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Тихоновский куб и гильбертов куб}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $I$ - некоторый набор индексов 
(возможно, несчетный), а $M=X^I$ множество
отображений из $I$ в фиксированное топологическое
пространство $X$. 
На $X^I$ можно смотреть как на множество
последовательностей точек $X$, индексированное $I$,
либо как на бесконечное произведение $X$ с собой.
Обозначим за $W(i, U)\subset X^I$
множество всех отображений $I\arrow X$,
переводящих заданный индекс $i$ в подмножество $U\subset X$
Зададим предбазу $B$ топологии на $X^I$ 
таким образом: $U\in B$, если $U=W(i, U)$
для какого-то 
индекса $i\in I$ и открытого подмножества $U\subset X$.
Такая топология называется {\бф слабой}.
\ео

\задача (!)
Дана последовательность точек
$\alpha_1, \alpha_2, ... $ в $X^I$. Докажите, что она сходится
тогда и только тогда, когда для каждого индекса $i\in I$,
последовательность $\alpha_1(i)$ сходится.
\ез

\замечание
Утверждение предыдущей задачи часто формулируют так:
``пространство 
$X^I$ со слабой топологией есть множество отображений из $I$
в $X$, с топологией поточечной сходимости''.
\еза

\определение
Пусть $I$ - некоторый набор индексов.
Пространство $[0,1]^I$ со слабой топологией
называется {\бф тихоновский куб}.
\ео

\задача 
Пусть на топологическом пространстве $M$ задан набор непрерывных
функций $\alpha_i:\; M \arrow [0,1]$, проиндексированных набором индексов $I$.
Докажите, что отображение
\[ \prod \alpha_i|:\; m \arrow \Prod_{i\in I}\alpha_i(m)
\]
в тихоновский куб $[0,1]^I$ непрерывно. 
\ез

\задача 
Докажите, что любая точка тихоновского куба замкнута.
\ез

\задача (*)
Докажите, что 
тихоновский куб удовлетворяет условиям Т2 и Т3.
\ез

\задача (!)
Дан тихоновский куб $[0,1]^I$, где $I$ счетно.
Докажите, что у него есть счетная база.
\ез

\указание
Докажите, что совокупность всех 
$U=W(i, ]a,b[)$ с рациональными $a,b$ задает счетную
предбазу в $[0,1]^I$, и воспользуйтесь задачей (номер? ###).
\еу

\задача (*)
Дан тихоновский куб $[0,1]^I$, где $I$ несчетно.
Докажите, что $[0,1]^I$ несепарабелен
\ез

\указание
Найдите несчетное множество непересекающихся
открытых подмножеств в $[0,1]^I$.
\ез

\задача (!)
Рассмотрим множество  $M=[0,1]^\N$ - множество последовательностей
вещественных чисел в $[0,1]$, индексированных 
$\N$. Рассмотрим  функцию $d:\; M\times M\arrow \R$,
\[ d(\{\alpha_i\}, \{\beta_i\})= \sqrt{\sum i^{-2}|\alpha_i - \beta_i|^2}.
\]
Докажите, что эта функция хорошо определена и задает
метрику на $[0,1]^\N$.
\ез

\определение
Метрическое пространство $[0,1]^\N$
с метрикой, построенной выше, называется
{\бф гильбертов куб}. 
\ео

\задача (!)
Пусть задана последовательность
$\{\alpha_i(n)\}$ точек в $[0,1]^\N$.
Докажите, что она сходится в тихоновской
топологии тогда и только тогда, когда она
сходится в топологии гильбертова куба.
\ез

\задача (*) 
Выведите из этого, что тождественное
отображение задает гомеоморфизм гильбертова
куба и тихоновского куба.
\ез

\замечание
Мы получили, что тихоновский куб $[0,1]^I$
метризуем, если множество индексов $I$ счетно.
\еза

\задача (*) 
Пусть множество индексов $I$ несчетно.
Будет ли тихоновский куб $[0,1]^I$ метризуем?
\ез



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Лемма Урысона и метризация топологических пространств}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть даны непересекающиеся замкнутые 
подмножества $A, B\subset M$, где $M$ - топологическое
пространство. Непрерывная функция $f:\; M \arrow [0,1]$
называется {\бф функцией Урысона}, если $f(A)=0, f(B)=1$.
\ео

\задача
Пусть для любых непересекающихся замкнутых
подмножеств $A, B\subset M$ существует функция
Урысона. Докажите, что $M$ удовлетворяет
условию отделимости Т4.
\ез

\задача
В условиях предыдущей задачи, докажите, что
$M$ может не удовлетворять условию Т1.
\ез

\задача (*)
Пусть $M$ удовлетворяет условию Т4, а $A, B\subset M$ -
непересекающиеся замкнутые  подмножества. Докажите, что
можно найти последовательность окрестностей 
$U_{p/2^q}\supset A$, индексированную рациональными
числами вида $0<p/2^q<1$, и удовлетворяющую следующим
условиям

(i) $B$ не пересекается с $U_{p/2^q}$, для всех $p,q$

(ii) Для $p_1/2^q_1< p_2/2^q_2$, 
замыкание $U_{p_1/2^q_1}$ содержится в $U_{p_2/2^q_2}$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь индукцией.
\еу

\задача (*)
В условиях предыдущей задачи,
определим функцию $f:\; M \arrow [0,1]$
по формуле 
\[ f(m) = \sup \{ p_2/2^q_2 \ \ | \ \ m\notin U_{p_1/2^q_1}\]
Докажите, что $f$ непрерывна и является функцией Урысона.
\ез

\указание 
Докажите, что 
отрезки вида $]p_1/2^q_1, p_2/2^q_2[$ задают 
предбазу топологии в $[0,1]$. Докажите, что
\[ 
   f^{-1}(]p_1/2^q_1, p_2/2^q_2[) =
   U_{p_2/2^q_2}\backslash \overline{U_{p_1/2^q_1}}.
\]
Выведите из этого, что $f$ непрерывна.
\еу

\замечание
Мы получили следующую ``лемму Урысона'': если
в $M$ выполняется условие Т4, то
функции Урысона существуют для
любых двух непересекающихся 
замкнутых подмножеств $M$.
\ез

\задача (*)
Пусть $M$ - хаусдорфово пространство со счетной
базой $B$, удовлетворяющее условию Т4, $I$ - множество
всех пар $U_1, U_2 \in B$, таких, что замыкания
$U_1$, $U_2$ не пересекаются, $F_{U_1, U_2}$ - соответствующие
функции Урысона, а $F:\; M \arrow [0,1]^I$
отображение в тихоновский куб, заданное
как $F(m) = \prod F_{U_1, U_2}$.
Докажите, что $F$ непрерывно и инъективно.
\ез

\задача (*) 
В условиях предыдущей задачи,
обозначим за $G:\;  F(M) \arrow M$
отображение, обратное $F$. Пусть дана
последовательность точек $\{x_i\}$
такая, что $F_{U_1, U_2}(x_i)$
сходится для любой пары
$(U_1, U_2)$ в $I$. Выведите
из этого, что последовательность
$\{x_i\}$ сходится. Докажите, что
$G$ непрерывно.
\ез

\задача (*) Докажите, что любое 
хаусдорфово топологическое пространство $M$ 
с счетной базой, удовлетворяющее условию Т4 (такое пространство
называется {\бф польским}) можно реализовать как 
топологическое 
подпространство в гильбертовом кубе. Докажите, что
любое подмножество гильбертова куба польское.
\ез

\замечание
Мы получили следующую {\бф теорему о метризации}.
Пусть задано польское топологическое пространство. 
Тогда оно метризуемо.
\еза

\задача 
Докажите, что
любое подмножество гильбертова куба - польское.
\ез

\задача (*)
Любое ли метризуемое пространство - польское?
\ез





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{ГЕОМЕТРИЯ 7: Общая топология: компактность}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\задача (!)
Докажите, что топологическое пространство
хаусдорфово тогда и только тогда, когда 
диагональ $\Delta\in M\times M$ замкнута в $M\times M$.

План только

\определение Топологическое пространство. Аксиома Хаусдорфа.

\задача Дискретная топология, кодискретная топология.
Дискретное хаусдорфово, кодискретное нет.

\определение Счетная база. 

\задача Метрическое -> топология. Доказать, что хаусдорфово
и с счетной базой.

\определение Сходящиеся последовательности. Точки концентрации.

\определение Непрерывные функции

\задача Описать непрерывные функции на множестве
с дискретной, кодискретной топологией.

\задача Непрерывные сохраняют пределы


\задача хаусдорфово
и с счетной базой. Тогда непрерывные - это которые сохраняют
пределы.


\задача Пусть дано отображение топологических
пространств X -> Y со счетной базой, сохраняющее
точки концентрации последовательностей. Докажите, что 
оно непрерывно.



\определение Компакт

\задача На компакте непрерывная 
функция имеет максимум, последовательность имеет точку концентрации

\задача Если хаусдорфово
и с счетной базой, то последовательность имеет точку концентрации
=> компактность

\задача Замкнутое подмногообразие компакта компактно

\задача Замкнут ли компакт? (Нет, конечно)

\определение Связность. Линейная связность

\задача Связное и 
линейно несвязное (замыкание графика $\sin(1/x)$).

\задача Вполне несвязные. $\Z_p$ такое.

\определение Произведение. 
Произведение счетного числа
топологических пространств. 

\задача Доказать, что это топологическое
пространство.

\определение Гомеоморфизм

\задача 8 негомеоморфно 0, 8 негомеоморфно отрезку,
0 негомеоморфен диску. 

\определения Разные сходимости на пространстве функций
(униформная, поточечная)

Дальше: Теорема Урысона, теорема о метризации, теорема Тихонова,
Теорема Арзела-Асколи 
http://www.stanford.edu/~lukeb/arzela.pdf

\задача Кривая Пеано

\задача Нет непрерывного наложения из отрезка в квадрат,
откуда выкинули нуль 


1. Компакты. Доказательство основной 
теоремы алгебры через компакты.

2. Связность, линейная связность

3. \pi(1). \pi(1) букета. Накрытие. Римановы поверхности.
Ориентируемость для римановых поверхностей.

4. Доказательство основной теоремы алгебры через фундаментальную группу.
Вычисление \pi(1) для римановой поверхности (проколотой и такой).


