
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{ГЕОМЕТРИЯ 7: Общая топология: компактность}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение 
Пусть $M$ - топологическое пространство, $Z\subset M$ 
подмножество. {\bf покрытие} $Z$ это такой набор открытых
подмножеств $U_i\subset M$ (возможно, бесконечный,
или даже несчетный), что $Z\subset \bigcup U_i$
Подмножество $Z$ называется {\бф компактным}, если
из каждого открытого покрытия $Z$ можно выбрать конечное
подпокрытие.
\ео

\задача
Докажите, что отрезок $[0,1]$ компактен.
Когда компактно множество с дискретной топологией?
С кодискретной топологией? 
\ез

\задача (*)
Пусть в $M$ задана такая топология: 
открытые множества это дополнения к конечным подмножествам
(такая топология называется {\бф кофинитной}). 
Найдите все компактные подмножества в $M$.
\ез

\задача (!)
Пусть $Z$ компактно, $Z' \subset Z$ замкнуто в $Z$.
Докажите, что $Z'$ тоже компактно. Следует ли из 
компактности подмножества его замкнутость?
\ез

\задача 
Пусть $M$ хаусдорфово, $Z$ произвольное подмножество
$M$, а $x\notin Z$ любая точка.

а.  Докажите, что у $Z$
есть открытое покрытие $\{U_i\}$, причем замыкание
каждого $U_i$ не содержит $x$. 

б (*) Приведите пример нехаусдорфова Т1-пространства, где
это не выполнено.

\ез


\задача (!)
Пусть $M$ хаусдорфово.
Докажите, что любое компактное подмножество в $M$ замкнуто.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача 
Даны два компактных подмножества хаусдорфова пространства.
Докажите, что у них есть непересекающиеся открытые окрестности.
\ез

\задача (!) 
Дано компактное хаусдорфово топологическое пространство.
Докажите, что выполняется условие отделимости Т4.
\ез

\определение
Топологическое пространство называется {\бф локально
компактным}, если у любой точки найдется окрестность,
замыкание которой компактно.
\ео

\задача 
Дано локально компактное топологическое пространство,
Докажите, что в нем выполнено условие Т3.
\ез

\задача (**)
Может ли быть локально компактное топологическое
пространство без первого условия счетности?
\ез

\задача (**) Может ли быть счетное топологическое
пространство, которое не локально компактно?
\ез

\задача
\label{_DISKR_Opredelenie_Zadacha_}
Дано топологическое пространство $M$, в нем подмножество
$Z$. Докажите, что следующие условия эквивалентны.

(i) Для любой точки $z\in Z$, существует окрестность
$U\ni z$, не содержащая других точек из $Z$.

(ii) $M$ индуцирует на $Z$ дискретную топологию.
\ез

\определение
Замкнутое подмножество $Z\subset M$, удовлетворяющее одному из условий
задачи \ref{_DISKR_Opredelenie_Zadacha_}, называется
{\бф дискретным}
\ео

\задача
Дано бесконечное дискретное подмножество $Z\subset M$
хаусдорфова топологического пространства. Докажите, что
$M$ некомпактно.
\ез


\задача (*) 
Пусть $M$ хаусдорфово топологическое пространство.
Докажите, что $M$ компактно тогда и только тогда,
когда у $M$ нет бесконечных дискретных подмножеств.
\ез

\указание
Пусть $M$ некомпактно. Это значит, что у $M$ есть покрытие
$S $, такое, что никакое конечное подмножество
$S$ не покрывает $M$. Выкидывая какие-то элементы
из $S$, можно добиться, чтобы объединение $W_\alpha$
всех $U\in S$, кроме одного элемента $U_\alpha$, не 
покрывало $M$ (если $S$ несчетно, то для этого нужна 
лемма Цорна). Возьмем по точке $m_\alpha$ 
в $M\backslash W_\alpha$. По определению,
$m_\alpha$ лежит в $U_\alpha$ и не лежит в объединении
всех остальных $U\in S$. Докажите, что 
объединение всех $\{m_\alpha\}$ дискретно.
\еу

\задача (*)
Дано топологическое пространство $M$, не обязательно хаусдорфово. 

а. Может ли компактное подмножество $M$ содержать бесконечное
дискретное подмножество?

б. Пусть $M$ обладает свойством Т1.
Может ли компактное подмножество $M$ содержать бесконечное
дискретное подмножество?

в. Может ли быть некомпактное подмножество $M$,
не содержащее бесконечных дискретных подмножеств?

г. Пусть $M$ обладает свойством Т1.
Может ли быть некомпактное подмножество $M$,
не содержащее бесконечных дискретных 
подмножеств?
\ез 

\задача (!)
Пусть $f:\; M \arrow N$ непрерывное отображение
топологических пространств, а $M$ компактно.
Докажите, что для любого компактного подмножества
$Z\subset M$, $f(Z)$ всегда компактен.
\ез


\задача 
Пусть дано подмножество $Z\subset\R$.
Докажите, что $Z$ компактно тогда и только
тогда, когда любое его подмножество имеет супремум
и инфимум в $Z$.
\ез

\задача (!)
Пусть $f:\; M \arrow \R$
непрерывное отображение топологических пространств. 
Докажите, что $f$ принимает максимум и минимум
на любом компактном подмножестве $M$.
\ез

\задача (*)
Пусть дано некомпактное 
хаусдорфово топологическое пространство,
которое удовлетворяет свойству Т4 отделимости.
Постройте непрерывную функцию $f:\; M \arrow \R$,
которая не принимает максимума.

\ез

\указание
Пусть $\{x_i\}$ - счетное дискретное подмножество 
$M$. Воспользовавшись свойством Т4, постройте
набор окрестностей $U_i\supset x_i$, таких,
что замыкание $U_i$ не пересекается с 
замыканием $\bigcup_{j\neq i} U_j$.
Теперь примените лемму Урысона к замкнутым
множествам $\bar U_i$, $\overline {\bigcup_{j\neq i}
U_j}$, и просуммируйте полученные функции Урысона 
$f_i$ с правильно подобранными коэффициентами.
\еу

\задача 
Пусть $f:\; M \arrow N$ непрерывное отображение
топологических пространств, $M$ компактно,
а $N$ хаусдорфово. Докажите, что 
$f$ переводит замкнутые множества
в замкнутые.
\ез 

\задача 
Пусть $f:\; M \arrow N$ непрерывное отображение
топологических пространств, $M$ компактно,
а $N$ хаусдорфово. Предположим, что $f$
взаимно однозначно. Докажите, что $f$ -
гомеоморфизм.
\ез

\задача 
Пусть $N$ не обязательно хаусдорфово.
Придумайте непрерывное взаимно однозначное
отображение топологических пространств 
$f:\; M \arrow N$ такое, что $M$
компактно, а $f$ не гомеоморфизм.
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Компакты и произведения}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 

\задача 
Рассмотрим топологические  пространства $X, Y$.
Пусть дано подмножество
$\{(x_\alpha, y_\alpha)\} \in X\times Y$,
такая, что $x$ - предельная точка $\{x_\alpha\}$,
$y$ - предельная точка $\{y_\alpha\}$. Докажите, что
$(x, y)$ - предельная точка $\{(x_\alpha, y_\alpha)\}$.
\ез

\задача
Пусть даны хаусдорфовы топологические пространства
$X, Y$, такие, что любое подмножество
$X'\subset X$, $Y'\subset Y$ имеет предельную точку. Докажите,
что любое подмножество из $X\times Y$ имеет
предельную точку. Выведите 
из задачи \ref###, что $X\times Y$
компактно.
\ез

\задача
Пусть $X\times Y\stackrel \pi \arrow Y$ естественная проекция.
Докажите, что $\pi$ переводит замкнутые подмножества
в замкнутые. 
\ез

\указание 
Воспользуйтесь тем, что
каждое замкнутое подмножество в $X\times Y$
есть (возможно, бесконечное)
пересечение замкнутых множеств 
предписанного вида.
\еу


\определение
Пусть $f:\; M \arrow N$ непрерывное отображение
топологических пространств. $f$ называется
{\бф собственным}, если прообраз любой
точки компактен.
\ео


\задача (!)
Пусть $f:\; X\arrow Y$ собственное отображение
топологических пространств, переводящее замкнутые
подмножества в замкнутые.
Докажите, что прообраз компактного множества
всегда компактен.
\ез

\указание
Пусть $K\subset Y$ компакт, $\{U_{\alpha}\}$ - покрытие
$f^{-1}(K)$. Для каждой точки $y\in K$, 
выберем конечное подмножество $\{U_{\alpha}(y)\}$,
покрывающее $f^{-1}(y)$. Обозначим за $U(y)$
их объединение. Дополнение $X\backslash U(y)$ 
к $U(y)$ замкнуто, его образ замкнут, значит, дополнение
до его образа это окрестность $y$. Обозначим
ее за $V(y):= Y\backslash f(X\backslash U(y))$.
По построению, $U(y)$ содержит $f^{-1}(V(y))$,
а множество $\{ V(y)\}$ это покрытие $K$.
Выбрав в нем конечное подпокрытие
$\{V(y_i)\}$, мы получим, что
$\{U_{\alpha}(y_i)\}$ это конечное
подпокрытие  $\{U_{\alpha}\}$.
\еу


\задача (!)
Докажите, что произведение компактных 
топологических пространств компактно.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей, применив
ее к проекции $X\times Y \arrow Y$.
\еу

\задача
Дано подмножество $X\subset \R^n$. Докажите, что 
следующие свойства равносильны

(i) $X$ компактно

(ii) $X$ замкнуто и ограниченно (т.е. содержится
в каком-то шаре).
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Теорема Тихонова}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
Пусть дана последовательность $a_i(n)$ отображений из $\N$
в $[0,1]$. Докажите, что можно выбрать
подпоследовательность $a_{i_1}$, $a_{i_2}$, $a_{i_3}$, ...
такую, что $\{a_{i_k}(n)\}$ сходится для любого $n$.
\ез

\задача (!)
Выведите из этого, что тихоновский куб $[0,1]^\N$
компактен.
\ез

\задача (*)
Дано топологическое пространство $M$.
Пусть задано множество $\{ V_{\alpha}\}$
покрытий $M$ (возможно, несчетное)
такая, что каждое $V_{\alpha}$ 
содержит $V_{\alpha'}$ либо содержится в нем
(иначе говоря, $\{ V_{\alpha}\}$ - последовательность
покрытий, получающихся друг из друга присоединением
каких-то элементов). Пусть из каждого $V_{\alpha}$ 
нельзя выбрать конечное подпокрытие.
Докажите, что из объединения всех
$V_{\alpha}$ тоже нельзя выбрать 
конечное подпокрытие.
\ез

\задача (*) Используя лемму Цорна,
докажите, что у всякого некомпактного подмножества
$X\subset M$ найдется покрытие $\{ V_{\alpha}\}$, 
из которого нельзя выбрать конечного подпокрытия,
а если добавить к $\{ V_{\alpha}\}$ любое не содержащееся
в нем открытое множество, то из полученного покрытия
можно будет выбрать конечное подпокрытие.
\ез

\указание Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\ез

Мы будем называть такие покрытия {\бф максимальными}.

\задача
Пусть дано некомпактное подмножество
$X\subset M$ и максимальное покрытие
$\{ V_{\alpha}\}$. Пусть
$V_1$ не лежит в $\{ V_{\alpha}\}$.
Тогда $\{ V_{\alpha}\}$ можно выбрать конечное 
подмножество $A_1, ... A_n$ такое, что 
$V_1, A_1, ... A_n$ - покрытие $X$.
\ез

\задача (*)
Пусть дано некомпактное подмножество
$X\subset M$ и максимальное покрытие
$\{ V_{\alpha}\}$. Докажите, что если
$V_1$, $V_2$ не лежат в $\{ V_{\alpha}\}$,
то и их пересечение не лежит в $\{ V_{\alpha}\}$.
Докажите, что любое конечное пересечение
открытых множеств, не лежащих в $\{ V_{\alpha}\}$,
тоже не принадлежит $\{ V_{\alpha}\}$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей
\еу

\задача (*)
Пусть в топологическом пространстве $M$ задана
предбаза топологии $R$. Пусть дано некомпактное подмножество
$X\subset M$ и максимальное покрытие
$\{ V_{\alpha}\}$. Докажите, что в 
$\{ V_{\alpha}\}$ можно выбрать 
подпокрытие из $R$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей
\еу

\замечание 
Мы получили следующую теорему
(теорема Александера о предбазе).
Пусть в топологическом пространстве $M$ задана
предбаза топологии $S$. Тогда подмножество
$X\subset M$ компактно тогда и только тогда,
когда из любого покрытия $X$ элементами из
$S$ можно выбрать конечное подпокрытие.
Теорема Александера использует аксиому выбора
и (как показал Кэли) эквивалентна ей.
\еза

\задача (*)
Выведите из этого, что
тихоновский куб $[0,1]^I$
компактен для любого множества $I$.
\ез

\указание
Рассмотрите предбазу для топологии на 
тихоновском кубе, составленную из 
подмножеств вида 
$[0,1]\times [0,1]\times ... \times ]a,b[ \times [0,1]\times ...$
(на одном месте стоит открытый интервал).
Воспользуйтесь теоремой Александера.
\еу

\замечание 
Компактность тихоновского куба эквивалентна такому
утверждению. Рассмотрим пространство $\Map(I, [0,1])$  отображений
из множества $I$ в отрезок $[0,1]$, с топологией
поточечной сходимости. Тогда  $\Map(I, [0,1])$ компактно.
Иначе говоря, из любой последовательности $\{a_{i}(x)\}$
отображений можно выбрать подпоследовательность $\{a_{i_k}(x)\}$, 
для которой $\{a_{i_k}(x)\} будет сходиться в любом $x\in I$.
\еза

\определение
Пусть $M$ топологическое пространство,
$I$ некоторое множество, а $M^I$ - пространство
отображений из $I$ в $M$, то есть произведение $I$ копий
$M$. Для $x\in I$ и открытого множества
$U\subset M$, рассмотрим подмножество
$U(x)\subset M^I$, состоящее из всех
отображений, переводящих $x$ в $U$.  
Определим на $M^I$ топологию с предбазой,
состоящей из всех $U(x)$. Такая топология
называется {\бф тихоновской} (также {\бф слабой}
или {\бф топологией поточечной сходимости}).
\ео

\задача (*)
Пусть $M$ компактно. Выведите из
теоремы Александера, что $M^I$ с 
тихоновской топологией компактно.
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Основная теорема алгебры}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Пусть $P(x)= x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_0 $ - 
полином с комплексными коэффициентами,
положительной степени. Мы рассматриваем $P$ как функцию из
$\C$ в $\C$. Как топологическое пространство, $\C$
отождествляется с $\R^2$.

\задача
Докажите, что $P$ непрерывен.
\ез

\задача (!)
Докажите, что для $x> 2\max (1, \sum a_i)$,
имеет место неравенство $\frac{|P(x)-x^n|}{|x^n|} <1/2$.
\ез


\задача (!)
Докажите, что для $x> 2R \max (1, \sum |a_i|)$,
$|P(x)| > R^n$.
\ез

\задача (!)
Выведите из этого, что $|P|$ достигает 
минимума в точке $a\in \C$.
\ез

\замечание
Мы приблизили многочлен $|P|$ многочленом $x^n$,
скорость роста которого нам известна.
Из этого мы вывели, что $|P(x)|>  R^n$,
когда $|x|$ достаточно велик.
Поэтому минимум $|P|$ достигается
внутри круга $|z|\leq R$, а не на
его границе.
\еза

Мы хотим доказать, что минимум $|P|$ равен нулю.
Пусть это не так. Пусть $k$ самое маленькое число 
среди $1, 2, 3, ..., n$ такое, что
$a_k\neq 0$.

Для упрощения обозначений, мы будем в дальнейшем
предполагать, что минимум $P$ достигается в нуле.
Домножив $P$ на $a_0^{-1}$, и сделав замену
$x=z\sqrt[k]{a_k^{-1}}$, мы получим, что
$P$ имеет вид 
\[ P = 1 + x^k + b_{k+1} x^{k+1} + b_{k+2} x^{k+2} + ...
\]

\задача (!)
Пусть $k$ самое маленькое число 
среди $1, 2, 3, ..., n$ такое, что
$a_k\neq 0$. Докажите, что для любого
комплексного $x$ с $|x|< \max (1, \sum |b_i|)^{-1}$,
\[ \frac{|P(x)-1 - x^k| }{|x^{k}|}<|x|\max (1, 1+\sum b_i)\]
\ez

\задача (!)
Выведите из этого, что 
\begin{equation}\label{_sqrt_main_TA_Equation_}
|P(\sqrt[k]{-\epsilon})|< 
   |1-\epsilon^k| + \epsilon^{k^1}\max (1, \sum a_i).
\end{equation}
для любого положительного
вещественного $\epsilon< \max (1, \sum |b_i|)^{-1}$.
\ез


\задача
Выведите из \eqref{_ocenka_main_TA_Equation_}, 
что $|P(\sqrt[k]{-\epsilon}| \leq (1-\frac 1 2 \epsilon^k)$
для $\epsilon< \frac 1 2 \max (1, \sum |b_i|)^{-1}$ либо $P(0)=0$.
\ез


\замечание
В окрестности нуля, мы приблизили
$P$ многочленом $1- x^k$, с предписанной
\eqref{_sqrt_main_TA_Equation_} точностью.
Из этого мы вывели, что 
$|P(\sqrt[k]{-\epsilon}|<|P(0)|(1-\frac 1 2 \epsilon^k)$,
для достаточно малых $\epsilon$.
\еза


\задача (!)
Докажите Основную Теорему Алгебры:
каждый многочлен $P$ положительной степени имеет
корень в $\C$.
\ез



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\section{ГЕОМЕТРИЯ 8: Поточечная и равномерная сходимость}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


На протяжении этого листка, разрешается
пользоваться следующей формой теоремы
Тихонова. Пусть $X$ компактное топологическое
пространство, $I$ произвольное множество,
а $X^I$ пространство отображений из $I$ в $X$,
с топологией поточечной сходимости. Тогда $X^I$
компактно. 

\задача
Рассмотрим пространство функций из отрезка в отрезок,
с топологией поточечной сходимости. Докажите, что предел
непрерывных функций может быть разрывен.
\ез

\определение
Пусть $X$, $Y$ метрические пространства,
а $\{f_\alpha\}$ набор непрерывных отображений
из $X$ в $Y$. $\{f_\alpha\}$ называется
{\бф равномерно непрерывным}, если 
для каждого $\epsilon$ найдется $\delta$ 
такой, что образ любого $\epsilon$-шара,
под действием любого $f_\alpha$, содержится
в некотором $\delta$-шаре.
\ео

\задача
Пусть дано отображение $f:\; X \arrow Y$ 
метрических пространств,
которое переводит последовательности Коши в
последовательности Коши. Докажите, что 
$f$ непрерывно как отображение топологических
пространств. Всякое ли непрерывное
отображение переводит последовательности Коши в
последовательности Коши?
\ез

\задача (!)
Пусть $X$, $Y$ метрические пространства,
а $\{f_i\}$ - равномерно непрерывная
последовательность непрерывных отображений
из $X$ в $Y$. Предположим, что $\{f_i\}$ 
сходится к $f$, в топологии поточечной
сходимости. Докажите, что $f$ непрерывна.
\ез

\указание 
Докажите, что $f$ равномерно непрерывна,
с теми же самыми числами $\epsilon$, $\delta$,
что и $\{f_i\}$, и воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу


Зафиксируем компактные метрические пространства $X$, $Y$, 
и пусть $\Map(X,Y)$ - множество непрерывных отображений 
из $X$ в $Y$. 


\задача 
Для $f, g\in \Map(X,Y)$, определим $d_\sup(f,g)$
как $\sup_{x\in X} d(f(x), g(x))$. Докажите,
что $d_\sup(f,g)$ корректно определено и задает
метрику на $\Map(X,Y)$.
\ез

\определение
Эта метрика называется $\sup$-метрикой на
$\Map(X,Y)$.
\ео

\задача (!)
Предположим, что равномерно непрерывная 
последовательность $\{f_i\}\subset \Map(X,Y)$ поточечно 
сходится к $f$. Докажите, что она сходится к $f$
в топологии, заданной $\sup$-метрикой.
\ез

\указание
Пусть $\sup_{x\in X} d(f(x), f_i(x))>C$
для любого $i$. Найдите сходящуюся
последовательность
$\{x_i\}$ таких, что $d(f(x_i), f_i(x_i))> C$,
и пусть $x$ - ее предел.
В силу равномерной непрерывности, 
$d(f_i(x_i), f_i(x))$ стремится к нулю. 
Воспользовавшись неравенством треугольника
\[ d(f_i(x), f(x) \geq d(f_i(x_i), f_i(x)) + d(f(x_i), f_i(x_i)),
\]
получите противоречие.
\еу


\задача (!) 
(теорема Арцела-Асколи)
Пусть дано замкнутое (в смысле $\sup$-метрики) и
равномерно непрерывное подмножество 
$\Psi\subset\Map(X,Y)$. Докажите, что $\Psi$ компактно.
\ез

\указание Воспользуйтесь теоремой Тихонова и
предыдущей задачей.
\еу

\задача (**)
Придумайте независимое от теоремы Тихонова
(а следовательно, аксиомы выбора) доказательство
теоремы Арцела-Асколи.
\ез

\задача (*) 
Пусть задано компактное подмножество $K\subset X$,
и открытое подмножество $V\subset Y$.
Зададим $U(K,V)\subset \Map(X,Y)$ как множество
всех отображений, переводящих $K$ в $V$.
Рассмотрим топологию на $\Map(X,Y)$ 
с предбазой из всех $U(K,V)$.
Докажите, что та же самая топология
задается $\sup$-метрикой.
\ез

\определение
Эта топология на  $\Map(X,Y)$ называется 
{\бф компактно-открытой топологией}, или
{\бф топологией равномерной сходимости}.
\ео

\задача
Докажите, что топология поточечной сходимости
слабее топологии равномерной сходимости; другими
словами, что тождественное отображение из $\Map(X,Y)$
с топологией равномерной сходимости в 
$\Map(X,Y)$ с топологией поточечной сходимости
непрерывно.
\ез


\определение
Пусть $Z$ - подмножество метрического пространства
$M$. {\бф Диаметром} $Z$ называется число 
$\diam(Z):= \sup_{x,y\in Z} d(x,y)$.
\ео

\задача 
Пусть $f \in \Map(X,Y)$ любое отображение,
$\epsilon$ - вещественное число, а $\delta(f, \epsilon)$
обозначает супремум $\diam(f(B))$
по всем $\epsilon$-шарам $B$ в $X$.
Докажите, $\lim_{\epsilon \arrow 0}\delta(f, \epsilon)=0$.

\ез

\указание 
Пусть задана последовательность $\epsilon_i$,
сходящаяся к нулю и такая, что $\diam f(B_{\epsilon_i}(x_i)))>C$
для каких-то точек $x_i\in X$ и положительной константы $C$.
Рассмотрим предельную точку $x$ у $\{x_i\}$. Тогда
в каждом $\epsilon$-шаре вокруг $x$ содержится
$B_{\epsilon_i}(x_i)$ (для достаточно большого $i$),
из чего следует, что образ этого $\epsilon$-шара
имеет диаметр больше $C$. Значит, $f$ не непрерывна.
\еу

\задача (!)
Пусть задана непрерывная функция $f \in \Map(X,Y)$
Докажите, что $f$ равномерно непрерывна.
\ез

\указание
Это утверждение тавтологически эквивалентно
$\lim_{\epsilon \arrow 0}\delta(f, \epsilon)=0$.
\еу

\задача 
Пусть дано подмножество $\Psi \subset\Map(X,Y)$.
Докажите, что $\Psi$ равномерно непрерывно
тогда и только тогда, когда 
$\lim_{\epsilon\arrow 0}\sup_{f\in\Psi}\delta(f, \epsilon)=0$.

\ез

\задача (*)
Пусть $d_\sup(f,g) <\gamma$. Докажите, что
$\delta(f, \epsilon)< \delta(g, \epsilon)+\gamma$.
\ез


\задача (*)
Пусть $\{f_i\}$ - последовательность Коши в $(\Map(X,Y),d_\sup)$.
Докажите, что она равномерно непрерывна.
\ез

\указание
Нам нужно доказать, что 
\[ \lim_{\epsilon\arrow 0}\sup_{i}\delta(f_i,\epsilon)=0
\]
Воспользуйтесь предыдущей задачей, чтобы убедиться,
что для всех $f_i$, лежащих в каком-то $\gamma$-шаре 
в $(\Map(X,Y),d_\sup)$, числа $\delta(f_i, \epsilon)$
отличаются не больше, чем на $\gamma$. Выведите из этого,
что $\sup_{i}\delta(f_i,\epsilon) <\delta(f_N,\epsilon)+\gamma$
для фиксированного $N$, а следовательно,
\[ \sup_{i}\delta(f_i,\epsilon)< \gamma + \max_{i\leq N}\delta(f_i,\epsilon)
\]
Предел этого выражения при $\epsilon \arrow 0$ не
больше $\gamma$, поскольку все $f_i$ равномерно непрерывны. 
\еу

\задача (*)
Докажите, что пространство $(\Map(X,Y),d_\sup)$ полное.
\ез

\указание
Это утверждение непосредственно
следует из приведенных выше задач.
\еу

\задача (*)
Является ли $(\Map(X,Y),d_\sup)$ локально компактным?
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Кривая Пеано}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Пусть дан отрезок $[a,b]$. Отображение
$[a,b] \stackrel f\arrow \R^n$ называется {\бф линейным},
если $f (\lambda a + (1-\lambda) b)= \lambda f (a) +(1-\lambda) f(b)$,
для любого $0<\lambda<1$. Отображение называется
{\бф кусочно линейным}, если отрезок разбит
на подотрезки $[a, a_1]$, $[a_1, a_2]$, $[a_2, a_3]$, ...
и $f$ линеен на каждом из этих подотрезков.
Образ кусочно линейного отображения это, очевидно,
ломаная. 

Пусть дано кусочно линейное
отображение $f$ из отрезка $[0, 1]$ в квадрат
$[0, 1]\times [0, 1]$ со следующим свойством:
все сегменты ломаной $f([0, 1])$ параллельны
прямой $x=y$ либо прямой $x=-y$.
(картинка - ###!).

Иными словами, для каждого подотрезка 
$[a, a_1]$, на котором $f$ линеен, $f$ отображает
$[a, a_1]$ в диагональ некоторого квадрата $Q$, со сторонами,
параллельными осям координат. Пусть ${\cal P}l$
пространство таких кусочно-линейных отображений.

Определим операцию $\mu$, которая делает из
кусочно-линейного отображения $f\in {\cal P}l$ с
$k$ линейными сегментами кусочно-линейное отображение
с $4k$ линейными сегментами:
(картинка - ###!).

$\mu(f)$ определяется следующим образом.

1. Обозначим за $a_0, a_1, ..., a_k$ 
концы сегментов, где $f$ был линеен.
Тогда $\mu(f)$ отображает $a_i$ в $f(a_i)$.

2. Разобьем каждый из сегментов 
$[a_i, a_{i+1}]$ на четыре равные части:
\[ 
  [b_{4i},b_{4i+1}], [b_{4i+1},b_{4i+2}], 
  [b_{4i+2},b_{4i+3}], [b_{4i+3},b_{4i+4}].
\]
$\mu(f)$ отображает $[b_{4i},b_{4i+1}]$
линейно в $[f(a_i), f\right(\frac{a_i+a_{i+1}}2\left)]$,
а $[b_{4i+3},b_{4i+4}]$ в $[f\right(\frac{a_i+a_{i+1}}2\left), f(a_{i+1})]$.

3. Рассмотрим квадрат, диагональю которого
является отрезок $[f(a_i), f(a_{i+1})]$, и перенумеруем
его вершины по часовой стрелке: $f(a_i), A, f(a_{i+1}), B$.
Тогда $\mu(f)$ отображает $[b_{4i+1},b_{4i+2}]$
линейно в $[f\right(\frac{a_i+a_{i+1}}2\left), B]$,
а $[b_{4i+2},b_{4i+3}]$ в $[B, f\right(\frac{a_i+a_{i+1}}2\left)]$.
Мы получаем такую ломаную:

(картинка - ###!).

\задача
Рассмотрим отрезок и квадрат как метрические
пространства со стандартной метрикой.
Пусть $f\in {\cal P}l$, и самый большой прямолинейный
сегмент $[f(a_i), f(a_{i+1})]$ соответствующей ломаной
имеет длину $k$. Тогда $d_{\sup}(f, \mu(f)) \leq\frac{k}{\sqrt 2}$.
\ез

\задача 
Пусть $f\in {\cal P}l$, и самый большой прямолинейный
сегмент $[f(a_i), f(a_{i+1})]$ соответствующей ломаной
имеет длину $k$. Тогда самый большой прямолинейный сегмент
в $\mu(f)$ имеет длину $k/2$.
\ез 

\задача
Пусть $f_0\in {\cal P}l$, $f_1 = \mu(f_0), ..., f_n = \mu(f_{n-1})$,
а самый большой прямолинейный сегмент в ломаной, соответствующей
$f_0$, имеет длину $k$. Докажите, что 
\[ d_{\sup}(f_n, f_{n+1}) < \frac k {2^n \sqrt 2}
\]
\ез

\задача (!)
Докажите, что $\{ f_i\}$ - последовательность Коши
в метрике $d_\sup$.
\ез

\задача 
Пусть $f\in {\cal P}l$, и для всех прямолинейных сегментов
$[a_i, a_{i+1}]$ в $f$, длина $[f(a_i), f(a_{i+1})]$
не больше, чем $\rho(a_{i+1}-a_i)$.
Докажите, что $\delta(f, \epsilon)\leq \rho\epsilon$,
где $\delta(f, \epsilon)$ функция, определенная выше.
\ез

\задача
Пусть $f_0\in {\cal P}l$, $f_1 = \mu(f_0), ..., f_n = \mu(f_{n-1})$,
 и для всех прямолинейных сегментов
$[a_i, a_{i+1}]$ в $f_0$, длина $[f(a_i), f(a_{i+1})]$
не больше, чем $\rho(a_{i+1}-a_i)$.
Докажите, что $\delta(f_n, \epsilon)\leq \rho 2^n\epsilon$.
\ез


\задача
Пусть $f\in {\cal P}l$, а самый большой прямолинейный
сегмент $[f(a_i), f(a_{i+1})]$ соответствующей ломаной
имеет длину $k$. Докажите, что 
$\delta(\mu(f), \epsilon) \leq 2\frac{k}{\sqrt 2}+\delta(f, \epsilon)$.
\ез

\задача 
Пусть $f_0\in {\cal P}l$, $f_1 = \mu(f_0), ..., f_n = \mu(f_{n-1})$,
а самый большой прямолинейный сегмент в ломаной, соответствующей
$f_0$, имеет длину $k$.
 Докажите, что 
\begin{equation}\label{_delta_Equation_}
\delta(f_n, \epsilon) \leq 4\frac{k}{2^{n-m}\sqrt 2}+\rho 2^m\epsilon
\end{equation}
для любых $n$, $m$ ($n>m$)
\ез

\задача
В предыдущей задаче, возьмем $\epsilon < 2^{-2m}$,
$n > 2m$. Выведите из \eqref{_delta_Equation_} 
\[
\delta(f_n, \epsilon) \leq  \frac{4k\sqrt 2+\rho}{2^{-m}}.
\]
Докажите, для произвольного $i$, что
\[
\delta(f_i, \epsilon) \leq  \max (\frac{4k\sqrt
2+\rho}{2^{-m}},  \rho 2^{2m}\epsilon)
\]
\ез

\задача (!)
Пусть $f_0$ линейно отображает $[0, 1/2]$ в отрезок
$[(0,0), (1,1)]$, a $[1/2, 1]$ в отрезок $[ (1,1), (0,0)]$.
Докажите, что $\{ f_i\}$ равномерно непрерывна.
\ез

\указание
Выведите из предыдущей задачи, что 
$\lim_{\epsilon\arrow 0}\sup_i(\delta(f_i, \epsilon))=0$
\еу

\задача 
Выведите из теоремы Арцело-Асколи, что
предел $\lim f_i$ (в $\sup$-метрике) существует
и является непрерывной функцией 
${\cal P}:\; [0,1] \arrow [0,1]\times [0,1]$.
\ез

\определение
Определенная выше функция
${\cal P}$ называется {\бф кривая Пеано}.
\ео

\задача 
Найдите ${\cal P}(q)$, где $q=\frac {a}{2^n}$ ($a\in \Z$)
двоично рациональное число. 
\ез

\задача
Пусть $Q_2$ множество двоично рациональных чисел.
Докажите, что ${\cal P}(Q_2)$ плотно в
квадрате. 
\ез

\задача (!)
Докажите, что образ ${\cal P}$
это весь квадрат.
\ез

\указание
Воспользуйтесь тем, что образ компакта компактен
\еу

\задача (!)
Можно ли сюрьективно и непрерывно 
отобразить $[0,1]$ на куб? На куб с выколотой точкой?
\ез










\определение Связность. Линейная связность

\задача Связное и 
линейно несвязное (замыкание графика $\sin(1/x)$).

\задача Вполне несвязные. $\Z_p$ такое.


\задача 8 негомеоморфно 0, 8 негомеоморфно отрезку,
0 негомеоморфен диску. 



1. Компакты. Доказательство основной 
теоремы алгебры через компакты.

2. Связность, линейная связность

3. \pi(1). \pi(1) букета. Накрытие. Римановы поверхности.
Ориентируемость для римановых поверхностей.

4. Доказательство основной теоремы алгебры через фундаментальную группу.
Вычисление \pi(1) для римановой поверхности (проколотой и такой).


