
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{ГЕОМЕТРИЯ 9: Связность и линейная связность}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть дано топологическое пространство $M$ 
подмножество $W\subset M$ называется {\бф открытозамкнутым},
если оно открыто и замкнуто. $M$ называется {\бф связным},
если любое открытозамкнутое подмножество $M$
это либо $\emptyset$, либо само $M$.
Подмножество $Z\subset M$ называется
{\bf связным}, если оно связно в индуцированной
топологии.
\ео

\задача
Связно ли $\R$?
\ез

\задача (!)
Пусть $X$, $Y$ связные. Докажите, что $X\times Y$ связно.
\ез

\задача
Связно ли $\R^n$ (с естественной топологией)?
\ез

\задача
Выкинем точку из окружности или плоскости.
Докажите, что получится связное пространство.
\ез

\задача (!)
Выкинем конечное число точек из $\R^2$.
Докажите, что получится связное пространство.
\ез

\задача
Выкинем точку из интервала. 
Докажите, что получится несвязное пространство.
\ез

\задача (!)
Докажите, что следующие пространства попарно
негомеоморфны: $\R$, $\R^2$, окружность.
\ез

\задача (!)
Докажите, что
отрезок, интервал и полуинтервал попарно негомеоморфны.
\ез 

\задача
Дано непрерывное отображение
$f:\; X \arrow Y$. Пусть $X$ связно.
Докажите, что образ $f$ связен.
\ез

\задача (!)
Дано связное подмножество в отрезке $[0,1]$ 
Докажите, что это интервал, полуинтервал или отрезок.
\ез

\задача
Дано непрерывное отображение
$f:\; X \arrow \R$. Пусть $X$ связно,
а $f$ принимает и положительные, и отрицательные
значения. Докажите, что $f$ где-то зануляется.
\ез

\задача (*)
Пусть дано метризуемое
счетное связное пространство $M$. Докажите,
что $M$ это точка.
\ез

\задача Пусть даны связные, 
подмножества топологического пространства $M$, 
пересечение которых непусто.
Докажите, что их объединение связно.
\ез


\задача (!)
Пусть $x\in M$ точка в топологическом пространстве,
а $W$ объединение всех связных подмножеств, которые
ее содержат. Докажите, что $W$ связно.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей
\еу

\определение
В такой ситуации, $W$ называется {\бф компонента
связности} точки $x$ (или просто {\бф компонента связности}).
\ео 

\задача (!)
Докажите, что $W\subset M$ есть компонента
связности тогда и только тогда, когда любое связное
подмножество, содержащее $W$, с ним совпадает.
\ез

\задача
Докажите, что $M$ разбивается в объединение
непересекающихся компонент связности.
\ез

\задача
Докажите, что все компоненты связности $M$ замкнуты.
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Вполне несвязные пространства}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Топологическое пространство $M$ называется {\бф вполне несвязным},
если любая компонента связности $M$ состоит из одной точки.
\ео

\задача
Докажите, что множество рациональных чисел
(с топологией, индуцированной с $\R$) вполне несвязно.
Докажите, что оно не дискретно.
\ез


\задача (*)
Докажите, что пространство $p$-адических чисел
вполне несвязно.
\ез

\задача (*)
Докажите, что произведение вполне несвязных
пространств вполне несвязно.
\ез

\задача 
Пусть дано топологическое пространство с предбазой $S$.
Пусть все элементы $S$ открытозамкнуты. Докажите, что
$S$ вполне несвязно.
\ез

\задача (!)
 Рассмотрим множество $\{0, 1\}$
с дискретной топологией, и пусть $\{0, 1\}^I$
произведение $I$ копий $\{0, 1\}$ с тихоновской
топологией, где $I$ - произвольный набор индексов.
Докажите, что $\{0, 1\}^I$ вполне несвязно.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу


\задача (*)
Пусть дано хаусдорфово
топологическое пространство $M$,  $М_1$ - 
множество компонент связности $M$, а
$M\stackrel \pi\arrow M_1$ - естественная проекция.
Введем на $М_1$ такую топологию -
подмножество $U\subset M_1$ открыто, если
объединение всех компонент связности,
содержащихся в $U$, открыто в $M$.
Докажите, что $M_1$ вполне несвязно.
Докажите, что любое непрерывное отображение
$M\stackrel \pi_2\arrow M_2$
из $M$ во вполне несвязное пространство $M_2$
раскладывается в композицию непрерывных отображений
$M\stackrel \pi\arrow M_1 \arrow  M_2$
(в таком случае говорится, что
``отображение $\pi_2$ пропускается через $\pi$'').
\ез


\задача 
Пусть дано открытое подмножество компактного 
хаусдорфова пространства $U$, и набор замкнутых
подмножеств $\{K_i\}$, пересечение которых содержится в $U$.
Докажите, что из $\{K_i\}$ можно выбрать конечный
поднабор, пересечение элементов которого содержится в $U$.
\ез

\задача (*) Пусть дано
вполне несвязное компактное хаусдорфово
топологическое пространство $M$.
Докажите, что каждая точка $x\in M$ является пересечением
всех открытозамкнутых подмножеств $M$, которые
ее содержат.
\ез

\указание
Пусть $P$ - пересечение всех открытозамкнутых подмножеств
$M$, которые содержат $x$. Очевидно, оно
замкнуто. Докажите, что оно равно $\{x\}$ либо несвязно.
Если оно несвязно, $P$
распадается в объединение двух непустых непересекающихся замкнутых
подмножеств $P_1$, $P_2$. Воспользовавшись тем,
что в компактном хаусдорфовом пространстве выполняется Т4
(докажите это), найдем у $P_1$, $P_2$ непересекающиеся
открытые окрестности $U_1$, $U_2$. 
Выведите из предыдущей задачи, что $U_1 \cup U_2$
содержит открытозамкнутое подмножество $W\subset M$.
Докажите, что $W\cup U_i$ открытозамкнуты, и 
выведите из этого, что $P$ это $\{x\}$.
\еу

\задача (*)
Пусть дано вполне несвязное компактное хаусдорфово
топологическое пространство $M$. Докажите, что
открытозамкнутые множества образуют 
базу топологии $M$.
\ез

\задача (*)
Пусть дано вполне несвязное компактное хаусдорфово
топологическое пространство $M$, и $x, y$ - две различные
точки. Докажите, что $M$ допускает непрерывное отображение
в $\{0, 1\}$ (с дискретной топологией) такое, чт0
$x$ идет в $0$, $y$ в $1$.
\ез

\задача (*)
Пусть дано вполне несвязное компактное хаусдорфово
топологическое пространство $M$, а $I$ - множество
всех непрерывных отображений в $\{0, 1\}$.
Определите естественное отображение
$M \arrow \{0, 1\}^I$. Докажите, что
это вложение, и что образ $M$ замкнут.
\ез

\задача (*)
Пусть $M$ - компактное хаусдорфово топологическое пространство.
Докажите, что следующие утверждения равносильны

(i) $M$ вполне несвязно 

(ii) $М$ может быть вложено в $\{0, 1\}^I$,
для какого-то множества индексов $I$
\ез





\определение Связность. Линейная связность

\задача Связное и 
линейно несвязное (замыкание графика $\sin(1/x)$).

\задача Вполне несвязные. $\Z_p$ такое.


\задача 8 негомеоморфно 0, 8 негомеоморфно отрезку,
0 негомеоморфен диску. 



1. Компакты. Доказательство основной 
теоремы алгебры через компакты.

2. Связность, линейная связность

3. \pi(1). \pi(1) букета. Накрытие. Римановы поверхности.
Ориентируемость для римановых поверхностей.

4. Доказательство основной теоремы алгебры через фундаментальную группу.
Вычисление \pi(1) для римановой поверхности (проколотой и такой).


