Студенты состоят из двух, условно говоря, категорий: застарелых матшкольников, которым не хочется расставаться с матшколой, плюс посторонних персонажей, многие из которых не из Москвы, и многие не знают ВООБЩЕ НИЧЕГО. Это, между прочим, отчасти плюс (понтов меньше, а полезных знаний столько же).
Основная проблема IMU состоит в том, что к 4-му курсу отсеиваются практически все. Матшкольники перестают отождествлять себя с матшколой, а немосквичи отсеиваются еще раньше, будучи отпугнуты матшкольным снобизмом.
Поэтому программа первого-второго курса должна ориентироваться на обе категории. Матшкольников следует призвать к сдаче экзамена Матшкольник, остальных дрючить по тем вещам, которые им следовало изучить в школе. В результате матшкольники обнаружат, что ничего не знают (ибо современная матшкола это тот еще ужас), а нематшкольники чего-то выучат.
Первые полгода следует, видимо, посвятить преимущественно латанию дыр в школьном образовании. Плюс еще 2-3 небольших курса по не вполне стандартным математическим вещам, чтобы не скучно было. Главное, не следует дублировать вузовскую программу.
Матшкольные курсы ведутся так:
1. Две пары в неделю посвящены сдаче задач (для нематшкольников) и экзамена Матшкольник (для тех, кто думает, что все знает).
2. Сдавшие Матшкольник по данной специальности получают кредит за курс, решившие правильное количество задач тоже получают кредит.
3. Эти курсы занимают по 2-3 пары в неделю, плюс еще одна неделя из 5 наверняка уйдет не пойми на что. Итого, у нас есть, условно говоря, 25-30 пар.
1. Базис, ранг, определители. Билинейные, полилинейные формы, двойственные пространства. Определение тензорного произведения векторных пространств. 10 задач, две пары
2. Линейные операторы. Полупростота, нильпотентность. Симплектические и квадратичные формы. Классические группы Ли. 10 задач, две пары.
3. Группы преобразований плоскости и пространства. Вывод тригонометрических тождеств через комплексные числа. Геометрия на верхней полуплоскости (Лобачевского). Свойства инверсии. Действие дробно-линейных преобразований. 20 задач, четыре пары
Итого 10 пар.
2. Счетная база. Определение компактности в терминах сходящихся последовательностей для пространств со счетной базой. Полные метрические пространства, критерий Коши полноты пространства. Существование и единственность пополнения. 10 задач, две пары.
3. Гомотопии, фундаментальная группа, гомотопическая эквивалентность. 20 задач, 4 пары.
4. Дифференцирование, интегрирование, формула Ньютона-Лейбница. Дельта-эпсилон формализм, лемма о милиционере, пределы, правило Лопиталя. 30 задач, 6 пар.
Итого - 15 пар.
2. Основы теории Галуа. 10 задач, две пары.
3. p-адические числа, теорема Островского, умножение и деление p-адических чисел в столбик. 10 задач, две пары.
4. Иррациональное и трансцендентное. Теорема Лиувилля. Иррациональность числа е. 10 задач, две пары.
Итого - 8 пар.
Это была матшкольная часть программы за первый семестр (30-35 пар). У нас остается по 3-4 пары в неделю, причем рассказывать придется вещи, которые (а) не содержатся в матшкольной программе и (б) не требуют знания колец-полей-групп (первые три недели) и анализа (первые 2 месяца). Получается примерно полтора месяца по 4 пары в неделю общеобразовательных курсов.
2. Доказуемое и недоказуемое. Вычислимость. Классы P и NP (две пары).
3. Теорема Тарского о полноте. Доказательство теоремы Геделя (две пары).
4. Теория множеств. Лемма Цорна. Вполне упорядоченные множества. Базис Коши-Гамеля. Теорема Кантора-Бернштейна. Несчетность множества вещественных чисел (две пары, плюс две пары решение задач).
5. Зачет, экзамен (две пары).
Получаем 12 пар. Их следует растянуть на 2-3 месяца, по 2-3 пары в неделю (лучше бы конечно быстрее, но крыша, я боюсь, поедет от такого количества логики и теории множеств).
Остается полтора месяца (6-10 пар) общеобразовательного материала, плюс 15 пар занятий в конце семестра, ведущихся после усвоения основ матшкольной премудрости.
1. Гиперкомплексные числа. Грассманова алгебра, комплексные числа и кватернионы (одна пара).
2. Движения в трехмерном пространстве и кватернионы (одна пара).
3. Клиффордовы алгебры. Периодичность Ботта. (одна пара плюс одна пара задач). См. напр. http://www.innerx.net/personal/tsmith/clfpq.html
4. Алгебра октав, определение и свойства группы G_2 (две пары). Классификация норменных алгебр с делением. http://math.ucr.edu/home/baez/Octonions/node6.html
5. Экзамен (две пары и задачи).
Итого - 8 пар. Плюс-минус.
У нас остается 10-15 пар во второй половине семестра.
2. Интеграл Римана. Мера (две пары задач, по Кириллову-Гвишиани - штук 20-30).
3. Интеграл Лебега. Эквивалентность интегралу Римана. Теорема Фубини. Измеримые функции. Разрезание шара на 4 части и составление из них 2 таких же шаров. Две пары лекций, две пары задач.
4. Экзамен - 2 пары.
Итого - 11 пар.
Вот.
Привет,
Миша.