

\documentclass[11pt]{book}

\usepackage{amsmath, amssymb, amscd, russcorr, theorem, fancyhdr, epsfig}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}


\newcommand{\version}{version 1.1.1,\ \   24.02.2008}

\setlength{\headheight}{15pt}
\pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny НМУ, весна 2008, первый
курс, лекция 1-2} 
\cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version}
\rhead{{\small  Миша Вербицкий}}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  equations                          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\@addtoreset{footnote}{section}
\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  listki-new.tex                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{\sf char}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
%        \writevedomost{\string\mc{\thezadacha} \string & \string & \string 
%        \\ \string \hline}
   }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
   \writevedomost{\string\mc{\thezadacha ##3}  \string & \string \grd \string & \string\grp
   \string \\ \string \hline}
    }}
\endgroup

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{zadacha}{Задача}[chapter]

\begingroup
\gdef\th@generic{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
     }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
    }}
\endgroup

\theoremstyle{generic}

\newtheorem{opredelenie}[zadacha]{Определение}
\newtheorem{ukazanie}[zadacha]{Указание}
\newtheorem{zamechanie}[zadacha]{Замечание}

\renewcommand{\labelenumi}{\ralph{enumi}.}


\newcommand{\listok}[2]{%
\setcounter{page}{1}
\renewcommand{\@oddhead}{\hfil #2 \hfil}
\renewcommand{\@evenhead}{\hfil #2 \hfil}
\section*{#2}
\refstepcounter{section}
\setcounter{section}{#1}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% VEDOMOST GENERATION
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newwrite\Vedomost
%\immediate\openout\Vedomost = \jobname.vdm
%\newcommand{\writevedomost}[1]{\immediate\write\Vedomost{ #1 }}
\newcommand{\writevedomost}[1]{}

\def\grd{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\dtt}}\vphantom{666}}
\def\grp{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\pdp}}\vphantom{666}}

\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%   Chapter                         %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



  \renewcommand{\chapter}{%
     \secdef\ChapterNumbered\ChapterStarred}

  \def\ChapterNumbered[#1]#2{%
      \addcontentsline{toc}{chapter}{\thechapter. #1}
      \refstepcounter{chapter}
      {
\vspace{\baselineskip}
\chaptermark{#2}
          { {{\noindent\bf\huge \thechapter. \ #2\par}}}
      }
    \vspace{\baselineskip}
}

  \newcommand{\ChapterStarred}[1]{%
      \refstepcounter{chapter}
      \chaptermark{#1}%
      \vspace{\baselineskip}}

  \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{#1}}
                             



\newcommand{\пример}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Пример \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\лемма}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Лемма \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Теорема \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Утверждение \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}

\def\хфилл{\hfill}
\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\задача{\begin{zadacha}}
\def\ез{\end{zadacha}}
\def\замечание{\begin{zamechanie}}
\def\еза{\end{zamechanie}}
\def\указание{\begin{ukazanie}}
\def\еу{\end{ukazanie}}
\def\eu{\end{ukazanie}}
\def\определение{\begin{opredelenie}}
\def\ео{\end{opredelenie}}
\def\eo{\end{opredelenie}}
\def\goth{\mathfrak}
\def\енум{\begin{enumerate}} 
\def\ее{\end{enumerate}}
\def\ee{\end{enumerate}}
\def\итем{\item $\bullet$ %
    \writevedomost{\string & \ralph{enumi} \string &\string & \string \\ \string \hline } }

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\lhead{{\scriptsize  Топология, лекция 1}}
\chapter{Топология, лекция 1: метрика, \\пополнение,
  $p$-адические числа}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Метрические пространства и пополнение}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Обозначим через $\R^{\geq 0}$ множество всех неотрицательных
вещественных чисел. 

\определение
Пусть $M$ - множество. {\бф Метрикой} на $M$ называется
функция $d:\; M\times M\arrow \R^{\geq 0}$, удовлетворяющая
следующим условиям
\begin{description}
\item[Невырожденность:]\ \ $d(x,y)=0$ тогда и только тогда,
когда $x=y$.
\item[Симметричность:]\ \  $d(x,y)=d(y,x)$
\item[Неравенство треугольника:]\ \  $d(x,y) \leq d(x, z) + d(z,y)$
\end{description}
для любых точек $x,y,z\in M$.
\ео

Определение метрики весьма точно соответствует
интуитивному представлению о "расстоянии". Аксиоматическое
определение метрического пространства дал Морис
Фреше в 1906-м году, но сам термин "метрическое
пространство" (metrischer Raum) принадлежит Хаусдорфу.
Слово "расстояние" часто используют как синоним "метрике",
особенно в конструкциях типа "расстояние от $x$ до $y$".
Также говорят "расстояние от $x$ до $y$ в метрике $d$".


\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\epsfig{file=Frechet.eps,width=0.4\linewidth}\\
Maurice Fr\'echet\\
(1878 -- 1973) 
\end{center}
\end{figure}

\hfill

\пример
Дурацкий пример метрического пространства:
$M$ любое множество, а $d(x,y)=1$ для любых
неравных точек $x,y$. Проверьте аксиомы.

\хфилл

\пример
$\R^n$, со стандартным расстоянием
$d(x,y) = |x-y|$ - метрическое пространство. Проверьте аксиомы.


\определение
Пусть $M, N$ - метрические пространства.
Вложение $M \stackrel\iota\hookrightarrow N$ называется
{\бф изометрическим вложением}, если $\iota$ сохраняет
расстояния: $d_M(x,y) = d_N(\iota(x), \iota(y))$,
для любых $x,y\in M$. {\бф Изометричные пространства} - пространства,
между которыми есть биекция, сохраняющая расстояния.
\ео

\определение
Пусть $x\in M$ точка в метрическом пространстве. Открытый
{\бф $\epsilon$-шар} $B_\epsilon(x)$ в с центром в $x$ - множество всех точек,
отстоящих от $x$ меньше, чем на $\epsilon$:
\[
B_\epsilon(x)= \{ y\in M\ \ | \ \  d(x,y) < \epsilon\}
\]
\ео

\определение
Пусть $M$ - метрическое пространство. 
Последовательность $\{\alpha_i\}$ точек из $M$ называется
{\бф последовательностью Коши}, если для каждого 
$\epsilon>0$, все элементы последовательности 
$\{\alpha_i\}$, кроме конечного числа, содержатся в некотором
$\epsilon$-шаре. Последовательности Коши 
$\{\alpha_i\}$,  $\{\beta_i\}$ называются 
{\бф эквивалентными}, если последовательность
$\alpha_0, \beta_0, \alpha_1, \beta_1, ...$
является последовательностью Коши. (Докажите, 
что это отношение эквивалентности.)
\ео

\определение
Говорят, что последовательность Коши $\{\alpha_i\}$
{\бф сходится к $x\in M$}, если
$\alpha_0, x, \alpha_1, x, \alpha_2, ...$ -
последовательность Коши. В этом случае также говорят,
что $x$ - это {\бф предел} последовательности
$\{\alpha_i\}$. Метрическое пространство $M$
называется {\бф полным}, если у любой
последовательности Коши есть предел.
\ео

Свойства последовательностей Коши и предела известны 
многим  из школьного курса анализа. В школе
и в МГУ обыкновенно изучают последовательности
в $\R$, но доказательства легко переносятся 
на случай произвольного метрического пространства.

Среди прочего, верно следующее (проверьте).


\begin{description}
\item[(i)]\ \ Предел последовательности Коши единственный
(если существует).
\item[(ii)] \ \ Подпоследовательность последовательности
Коши - снова последовательность Коши. Последовательность Коши
эквивалентна любой своей подпоследовательности.
\item[(iii)] \ \ Если переставить элементы последовательности
Коши $\{\alpha_i\}$ произвольным образом, получится последовательность
Коши, эквивалентная $\{\alpha_i\}$.
\end{description}

\определение
{\бф Диаметр} множества $X\subset M$ есть
$\sup_{x,y \in X} d(x,y)$. 
\ео

Легко видеть, что диаметр
$\epsilon$-шара не больше $2\epsilon$ (проверьте).
С другой стороны, для каждой точки $x\in M$,
и любых точек $y,z$, с $d(y,z)< 2\epsilon$,
верно 
\begin{equation}\label{_do_shara_dist_Equation_}
| d(x, z) - d(y, z) < 2\epsilon,
\end{equation} что
следует из неравенства треугольника.
Из \eqref{_do_shara_dist_Equation_} 
вытекает, что для любой последовательности
Коши $\{\alpha_i\}$, последовательность вещественных
чисел $d(x, \alpha_i)$ - тоже Коши:
если $\{\alpha_i\}$ содержится в $\epsilon$-шаре, то
$d(x, \alpha_i)$ содержится в отрезке длины $2\epsilon$.
Похожий аргумент доказывает, что для любых
последовательностей Коши $\{\alpha_i\}, \{\beta_i\}$, последовательность
$\{d(\alpha_i, \beta_i)\}$ - тоже  Коши.
Более того, если $\{\alpha_i\}$,  $\{\beta_i\}$
не экивалентны, то предел $\{d(\alpha_i, \beta_i)\}$
ненулевой. Проверьте каждое из этих утверждений!

Пусть дано метрическое пространство $M$. Обозначим за
$\bar M$ множество классов эквивалентностей
последовательностей Коши в $M$. Определим
на $\bar M$ метрику формулой 
\[
d(\{\alpha_i\}, \{\beta_i\}) := \lim d(\alpha_i, \beta_i).
\]
Докажите, что это метрическое пространство.

\определение
Множество классов эквивалентности
последовательностей Коши в $M$
с метрикой, определенной выше, называется
{\бф пополнением} $M$.
\ео

Эта конструкция хорошо известна 
большинству студентов, ибо таким образом
в курсе анализа определяется множество $\R$ вещественных
чисел (как множество классов эквивалентности 
последовательностей Коши из $\Q$).  Пополнение
метрического пространства впервые появилось у Хаусдорфа,
в монографии ``Grundz\"uge einer Theorie der geordneten Mengen, '' (1914).

Пополнение является полным метрическим пространством.
Чтобы в этом убедиться, возьмем последовательность 
\[ 
  \{\alpha_i(0)\}, \{\alpha_i(1)\}, \{\alpha_i(2)\}, ...
\]
последовательностей Коши в $M$. Для доказательства
полноты $\bar M$, нам нужно предъявить последовательность Коши
$\{\beta_i\}$ элементов $M$ такую, что 
$\{\alpha_i(0)\}$, $\{\alpha_i(1)\}$, $\{\alpha_i(2)\}$, ... 
сходится к $\{\beta_i\}$. Первое, что приходит
в голову - взять диагональную последовательность
$\beta_i:= \alpha_i(i)$. Этот аргумент не работает,
потому что на $i$-м месте в последовательности
Коши может стоять что угодно. Надо заменить 
$\{\alpha_i(N)\}$ на подпоследовательность,
которая сходится очень быстро, например, такую, что
$\alpha_k(N), \alpha_{k+1}(N), \alpha_{k+2}(N), ...$
содержится в шаре радиуса $2^{-k}$. Тогда 
$\alpha_k(k), \alpha_{k+1}(k+1), \alpha_{k+2}(k+2), ...$
содержится в шаре радиуса 
\[ 2^{-k+1} +  2^{-k} + 2^{-k-1} + ...  < 2^{-k+2}
\]
то есть является последовательностью Коши. При этом,
$\{\alpha_i(N)\}$ отстоит от $\{\alpha_i(i)\}$
не больше, чем на $2^{-N+1}$. Следовательно,
$\{\alpha_i(i)\}$ - это предел 
$\{\alpha_i(0)\}$, $\{\alpha_i(1)\}$, $\{\alpha_i(2)\}$, ...

Мы доказали существование пополнения.

\хфилл

\пример
Пространство с метрикой $d(x,y)=1$ для любых
 $x\neq y$ полно (докажите).


\хфилл


\пример
Пространство $\Q$ с обычной метрикой неполно, и его
пополнение --
это $\R$. К сожалению, буквально эту конструкцию для определения
$\R$ использовать нельзя, потому что метрика на метрическом
пространстве принимает значения в $\R$. Поэтому приходится
сначала определять $\R$ как множество классов
эквивалентности  последовательностей
Коши в $\Q$, а затем определять пополнение метрического
пространство, повторяя эту же самую конструкцию еще раз.

\хфилл

\пример
Пространство $\R^n$ с обычной метрикой полно (докажите).


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Нормирование на группах и кольцах}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Метрику можно вводить на различных алгебраических
объектах -- группах, кольцах, полях и так далее.
Делается это следующим образом.

\определение
Пусть $G$ - абелева группа, а $d$ - метрика на $G$.
Мы будем использовать обозначение $x, y \arrow x+y$
для групповой операции в абелевых группах.
Говорят, что $(G, +, d)$ метрическая группа,
если операция $x\arrow -x$ взятия обратного элемента
есть изометрия, и операция $x \arrow x +g$ есть
изометрия для любого $g\in G$. В этом случае
также говорят что метрика {\бф согласована с групповой
структурой,} или что метрика {\бф инвариантна.}
\ео

\определение
Функция $\nu:\; G \arrow \R^{\geq 0}$
называется {\бф нормой на группе} 
если 
\begin{description}
\item[(i)]\ \ $\nu(g) = \nu(-g)$, $\nu(0)=0$.
\item[(ii)] \ \ $\nu(g)>0$ для любого $g\neq 0$.
\item[(iii)] \ \ $\nu (g+g') \leq \nu(g) + \nu(g')$, для
любых $g, g'\in G$.
\end{description}
\ео

Легко видеть, что для любой нормы $\nu$ функция
$d_\nu(x,y):= \nu(x-y)$ задает метрику на $G$,
согласованную с групповой структурой. Обратно,
любая такая метрика задает норму $\nu(x):= d(x,0)$
(проверьте).

Множество последовательностей Коши в
метрической группе с операцией почленного сложения
образует группу, а  последовательности Коши, эквивалентные 
нулю - подгруппу этой группы. Это легко видеть из
следующего соображения. Пусть $A, B\subset G$ - подмножества в группе.
Множество всех сумм вида $\{ a+b\ \ |  \ \ a\in A, b\in B\}$
обозначается $A+B$. Легко видеть, что сумма двух шаров
радиуса $\epsilon, \epsilon'$ содержится в шаре
радиуса $\epsilon+\epsilon'$. Следовательно,
для любых последовательнпстей Коши $\{a_i\}$
$\{b_i\}$, все члены суммы $\{a_i+b_i\}$,
кроме конечного числа, содержатся в шаре
сколь угодно малого наперед заданного радиуса.

Факторгруппа 
группы последовательностей Коши по 
подгруппе последовательностей Коши, эквивалентных
нулю - это пополнение $G$. Таким образом, пополнение метрической
группы есть снова метрическая группа.
Эта конструкция хорошо известна для
группы рациональных чисел по 
сложению; таким образом строится
аддитивная структура на множестве
вещественных чисел.


\определение
Пусть $A$ - кольцо, с ассоциативным, коммутативным
умножением, а $\nu:\; A \arrow \R^{\geq 0}$
функция на $A$. $\nu$ называется нормой на кольце, если выполнены
следующие условия
\begin{description}
\item[(i)]\ \ Рассмотрим $A$ как группу, с групповым
законом, заданным сложением. Тогда $\nu$ -- это норма.
Иначе говоря, $\nu(g)>0$ для каждого $g\neq 0$, $\nu(0)=0$, 
$\nu(g) = \nu(-g)$, и $\nu (g+g') \leq \nu(g) + \nu(g')$.
\item[(ii)] \ \ Норма мультипликативна: $\nu(xy) = \nu(x)\nu(y)$.
\end{description}
\ео

Примером нормы на кольце является
отображение $t \arrow |t|$, определенное
на $\Q$ и на $\R$. Другим примером является 
дискретная норма: $\nu(t) =0$, если $t=0$, и 1 в
противном случае. Она мультипликативна на любом
кольце таком, что из $xy =0$ следует $x=0$ или $y=0$
(такие кольца называются {\бф кольцами без делителей нуля}).

Кольцо с нормой наделено инвариантной метрикой,
построенной по формуле $d_\nu(x,y) = \nu(x-y)$.
Множество последовательностей Коши в таком кольце,
с операциями почленного сложения и умножения,
образует кольцо, а последовательности, эквивалентные
нулю - идеал в этом кольце.\footnote{Напомним, что
идеал $I$ в кольце $A$ - это подгруппа по сложению в $A$,
такая, что для любых $a\in A, \iota \in I$ произведение 
$a\iota$ лежит в $I$. Факторгруппа по идеалу наделена 
естественной структурой кольца. Обратное тоже верно:
для любого сюрьективного гомоморфизма колец
$A\stackrel \phi\arrow A_1$, ядро $\phi$
является идеалом.} Фактор по этому идеалу
есть пополнение $R$ по метрике $d_\nu$.
Мы получили, что пополнение кольца по метрике,
заданной нормой - снова кольцо. 

Аналогичную процедуру можно провести с полем.
Почленного деления последовательности Коши 
на последовательность Коши не получится, 
потому что в ненулевой последовательности
Коши могут содержаться элементы, равные нулю.
Но каждую последовательность Коши, не
эквивалентную нулю, можно заменить
на подпоследовательность, не содержащую
нулей, а такие подпоследовательности можно делить
почленно. То, что частное снова будет последовательностью
Коши, проверяется за 3-4 строки вычислений.

Из этого следует, что пополнение поля с нормой --
это поле. Именно таким образом, исходя из
множества последовательностей Коши в $\Q$,
строится поле $\R$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Целые $p$-адические числа: неархимедова геометрия}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Начиная с интересных нормирований на кольцах,
можно получать очень полезные алгебраические объекты. 
Зафиксируем простое число $p$.

\определение
Пусть $x\in \Z$ представимо в виде $x= p^\alpha x_1$, где
$x_1$ не делится на $p$, а $\alpha \in \Z^{\geq 0}$. 
Тогда {\бф $p$-адическая норма} $\nu_p(x)$ равна
$p^{-\alpha}$. Положим $\nu_p(0)=0$. Проверьте,
что это норма. Пополнение $\Z$ относительно такой
нормы называется {\бф кольцом целых $p$-адических чисел},
обозначается $\Z_p$. 
\ео

Аналогичная конструкция, примененная к $\Q$, даст
пополнение $\Q_p$, которое называется {\бф полем 
$p$-адических чисел.} Любое рациональное число $a \in \Q$
можно представить в виде $a = p^\alpha\frac m n$,
где $n$, $m$ взаимно просты с $p$, а $\alpha$ -
целое число, однозначно заданное разложением
числителя и знаменателя $a$ на простые множители.
Определим $\nu(a):= p^{-\alpha}$. Докажите, что это
нормирование на поле $\Q$. 

$p$-адическая норма задает метрику, обычным способом:
$d(x,y) = \nu(x-y)$. Эта метрика довольно замечательна
геометрически, ибо обладает свойством {\бф
неархимедовости}:
\[
d(x,y) \leq \max (d(x,z), d(y, z)).
\]
Из этого условия следует аксиома треугольника,
но оно сильнее.
Для нормы, то же самое записывается в виде
\[
\nu(x+y) \leq \max(\nu(x), \nu(y)).
\]
Проверьте, что эти условия равносильны.
Проверьте это неравенство для $p$-адической нормы.

Неархимедовость метрического пространства
равносильна такому условию. Пусть задан треугольник
$x, y, z$, с длинами сторон $a, b, c$. Тогда
две из сторон равны, а третья меньше.
Действительно, пусть $a$ самая длинная сторона.
Из неархимедовости следует, что $a \leq max(b, c)$,
поэтому $b$ или $c$ имеет такую же длину, а 
третья сторона (самая маленькая) такая же, или меньше.

Геометрически, это свойство можно
переговорить так: любой треугольник в неархимедовом пространстве
равнобедренный, и его основание меньше 
двух других сторон.

Если $B_\epsilon(a)$ - $\epsilon$-шар в неархимедовом
пространстве, с центром в $a$, а $x, y$ - две его точки,
то $d(x,y) \leq \max( d(x,a), d(y, a)) \leq \epsilon$.
Поэтому $\epsilon$-шар с центром в любой точке
$B_\epsilon(a)$ совпадает с $B_\epsilon(a)$.
В неархимедовом пространстве, любая точка
шара является его центром.

Неархимедова геометрия довольно полезна в теории чисел,
алгебраической геометрии и других науках. 
Например, в физике высоких энергий, некоторые версии
теории струн развивают, исходя из того, что
физическое пространство в очень малых (квантовых) 
масштабах имеет геометрию, приближающуюся
к неархимедовой. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Арифметика $p$-адических чисел}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Легко видеть, что в любой полной группе с инвариантной
метрикой, заданной нормой $\nu$, ряд вида $\sum g_i$ 
сходится, если сходится соответствующий ряд из норм 
$\sum\nu(g_i)$ (проверьте). Поскольку
$\nu(p^i z) \leq p^{-i}$, для любой последовательности
целых чисел $z_i$, ряд $\sum_{i=0}^\infty z_i p^{i}$
сходится к целому $p$-адическому числу. Действительно,
\[
\sum _{i=0}^\infty \nu(z_i p^{i}) \leq \sum _{i=0}^\infty
p^{-i} = \frac {p}{p-1}
\]
(геометрическая прогрессия).

В частности, сходится ряд
\[
1 + p + p^2 + p^3 + ...
\]
Дробное число $\frac {1}{1-p}$ является целым
$p$-адическим! Действительно, сумма этого ряда,
будучи умножена на $1-p$, дает 1 (проверьте это).

Если два целых числа $a, b$ принадлежат $\epsilon$-шару, с
$2\epsilon < p^{-i}$, разность $a-b$ делится на $p^i$
(проверьте). Записав элементы последовательности Коши
$\{\alpha_i\}$ целых чисел в $p$-ичной системе счисления, мы получим 
нечто вроде
\begin{equation*}\begin{array}{c}
0000000000000000000000000000000000020\\
0000000000093275091374509172340957210\\
0000000000000026381637617631863181610\\
0000000000007927931793719279129881610\\
0000000000000000009812038102829881610\\
0000082739812739127397038102829881610\\
0003719237912723927397038102829881610\\
7213719237912723927397038102829881610\\
\end{array}
\end{equation*}
Из этой таблицы наглядно видно,
что соответствующая последовательность цифр стабилизируется:
на $i$-м месте, начиная с какого-то момента, стоит одна
и та же цифра. Пределом ее будет, очевидно, сумма вида
$\sum_{i=0}^\infty z_i p^{i}$, где $0\leq z_i\leq p-1$ - 
$i$-я цифра с конца, в $p$-ичном представлении 
$\alpha_N$, для достаточно большого $N$.

Как и вещественные числа, $p$-адические числа 
можно складывать и умножать в столбик,
не забывая переносить переполнение в следующий регистр.
Продумайте эту процедуру, самостоятельно посчитайте
произведение и сумму каких-нибудь $p$-адических чисел.

Для каждого $n$, не делящегося на $p$, 
уравнение $nx =1 \mod p$ имеет целое решение.
Пусть $v := 1-nx$. Очевидно,  $\nu(v) \leq \frac 1 p$,
и поэтому сумма вида $1+ v + v^2 + v^3+ ...$
сходится. Поскольку $(1+ v + v^2 + v^3+ ...)(1-v)=1$,
имеем $1+ v + v^2 + v^3+ ...= \frac 1 {xn}$, 
поэтому $\frac 1 n = x + vx + v^2 x + v^3 x + ...$.
Таким образом, в кольце целых $p$-адических чисел
определено деление на любое $n$, взаимно простое с $p$.

Из этого видно, что рациональное число $a\in \Q$
является целым $p$-адическим тогда и только тогда,
когда $a= \frac m n$, и $n$ взаимно просто с $p$.
Другими словами, рациональное число $a\in \Q$
является целым $p$-адическим тогда и только тогда,
когда $\nu(a) \leq 1$. Целые $p$-адические числа
это шар радиуса 1 в $\Q_p$, с центром
в любом целом числе, например, в нуле (центром
шара в неархимедовом метрическом пространстве
является любая его точка).

В кольце $p$-адических чисел можно совершать
и более сложные алгебраические операции, например,
вычислить квадратный корень. Из разложения Тэйлора следует, 
что сумма ряда
\begin{equation}\label{_koren_Equation_}
S := \sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^i (2i)! x^i}{(1-2i)(i!)^2 4^i N^{2i-1}}
\end{equation}
удовлетворяет $S^2 = N^2 +x$, если этот ряд сходится.
Из $S^2 = N^2 +x$ и единственности разложения
в ряд Тэйлора следует ряд комбинаторных
тождеств (по одному для каждой степени $x$), 
которые можно усмотреть непосредственно.
Воспользовавшись этими комбинаторными тождествами,
получим, что из абсолютной сходимости 
\eqref{_koren_Equation_} в каком-нибудь нормированном
поле (например, в $p$-адическом) следует, что
его сумма тоже удовлетворяет $S^2 = N^2 +x$.

Если $p$ нечетно, и взаимно просто с $N$,
$\frac{1} {4^iN^{2i-1}}$ - целое $p$-адическое число.
Частное $\frac{(2i)!}{(i!)^2}$ целое, потому что это
биномиальный коэффициент. Получаем, что норма $i$-го члена
этой суммы оценивается через
\begin{equation}\label{_koren_ocenka_Equation_}
\nu(\xi_i) \leq \nu\left(\frac {x^i}{1-2i}\right)\leq (1-2i) p^{-i}.
\end{equation}
(здесь мы используем неравенство
\[
\nu \left(\frac 1 k\right) \leq k
\]
верное для любого целого $k$; докажите его).
Используя равенство \eqref{_koren_ocenka_Equation_},
и абсолютную сходимость ряда $\sum (2i-1) p^{-i}$
(докажите), мы получаем, что ряд \eqref{_koren_Equation_}
сходится. Поэтому в кольце $p$-адических чисел, для
нечетного $p$, можно вычислять квадратный корень из числа вида
$N^2 +x$, где $x$ делится на $p$, а $N$ взаимно
просто с $p$.

\задача
Какие квадратные уравнения можно решить в $\Z_p$?
А какие - в $\Q_p$? 
\ез

Это рассуждение можно обобщить для произвольного
алгебраического уравнения. Знаменитая лемма Гензеля
(Hensel's lemma) утверждает, что любое полиномиальное
уравнение вида $P(x)=0$ с целыми коэффициентами
имеет решение в $\Z_p$, если $P(a) = 0 \mod p$
для какого-то целого числа $a$, и $P'(a) \neq 0 \mod p$.
Здесь $P'$ обозначает производную многочлена $P$.
Лемма Гензеля доказывается рекурсивно, решением
системы уравнений вида
\[
P(a_i) = 0 \mod p^{i+1}, \ \  a_i - a_{i-1} = 0 \mod p^i.
\]

\задача
Докажите лемму Гензеля.
\ез


\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\epsfig{file=Hensel.eps,width=0.3\linewidth}\\
Kurt Hensel\\
(1861 -- 1941) 
\end{center}
\end{figure}


$p$-адические числа изобрел в 1897 году Курт Гензель,
который руководствовался идеями Куммера. 
Гензель, ученик Кронекера,  был внуком сестры
композитора Мендельсона. Он надеялся, посредством
$p$-адических чисел, решать вопросы теории чисел,
и немало решил их. Впрочем, метрика и сходимость
$p$-адических чисел была совершенно непонятна
Гензелю и его современникам.

Гензель доказал, что любое вещественное
число можно представить как сумму ряда,
который будет сходиться в $\Z_p$; изучая
$p$-адическую сумму этого ряда, он доказал
несколько ошибочных теорем о вещественных числах.
Например, Гензель представил $e^p$ как сумму
сходящегося $p$-адического ряда, и вывел
отсюда неправильное доказательство 
трансцендентности числа $e$. 

$p$-адические числа были концептуально не поняты 
вплоть до 1910-х годов, когда Фреше и Рисс (Riesz)
изобрели метрические пространства, обосновав
неясные рассуждения Гензеля.

В 1912-м году, венгерский математик Йожеф
Кюршак (J\'ozsef K\"ur\-sch\'ak, 1864 - 1933)
изобрел валюации (нормы) на кольце, обобщив 
$p$-адические нормы. В 1917-м году, Александр
Маркович Островский \\(1893-1986), ученик Гензеля,
дал полную классификацию норм на поле $\Q$.
Оказалось, что нормы на поле $\Q$ исчерпываются $p$-адическими
(с точностью до возведения в степень) и обычной
(евклидовой) нормой. Набросок доказательства
теоремы Островского приведен в задачах. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Библиография, замечания}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 $p$-адические числа - центральное понятие большинства
курсов теории чисел. Теория метрических пространств
и пополнение вводятся в начале многих хороших
курсов анализа, например, Зорича, Лорана Шварца,
и Кириллова-Гвишиани; также их изучают в матшкольном
курсе анализа и геометрии. Матричные группы над
$p$-адическими полями чрезвычайно важны в теории
представлений. В. С. Владимиров
и его соавторы написали много трудов о применении
$p$-адического анализа в математической физике 
и теории струн.

Вот некоторые книжки, 
которые могут пригодиться.

\begin{itemize}

\item  Коблиц Н., {\ем   
p-адические числа, p-адический анализ и дзета-\-функ\-ции}, -
М.: Мир, 1982.

\item  Серр, Ж.-П., {\ем Курс Арифметики}, - М.: Мир, 1972,\\
http://ega-math.narod.ru/Books/Arithm.htm

\item Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. 
{\ем Теоремы и задачи функционального анализа}, - М.: Наука, 1979

\item Электронная библиотека учебников по $p$-адическим числам:\\
http://www.fen.bilkent.edu.tr/~franz/LN/LN-padic.html
\end{itemize}

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\lhead{{\scriptsize  Топология, лекция 2}}

\chapter{Лекция 2: нормирования \\в векторных пространствах}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Примеры нормированных пространств}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

В этом разделе, все векторные пространства предполагаются
заданными над $\R$.

\определение
Пусть $V$ - векторное пространство над $\R$, а 
$\nu:\; V \arrow \R^{\geq 0}$ функция со значениями
в неотрицательных числах. $\nu$ называется {\бф нормой} на
$V$, если имеет место следующее 
\begin{description}
\item[Невырожденность:] $\nu(v)>0$, если $v\neq 0$,
\item[Неравенство треугольника:] $\nu (v+v') \leq \nu(v) + \nu(v')$.
\item[Инвариантность относительно гомотетии:] \ \ $\nu(\lambda v) = |\lambda| \nu(v)$,
\end{description}
для любых $v$, $v'\in V$, и  любого $\lambda\in \R$.
В такой ситуации $V$ называется {\бф нормированным пространством}.
\ео

Заметим, что из инвариантности относительно гомотетии
следует, что $\nu(0)=0$, и $\nu(-x)=\nu(x)$. Поэтому
$\nu$ является нормой на группе $V$.

\хфилл


\пример
\begin{itemize}
\item $V= \R^n$. Для каждого вектора $v = (x_1, x_2, ..., x_n)$
определим \[ |v|_{L^\infty}:= \max|x_i|.\] Докажите, что это норма.
\item $V= \R^n$. Для каждого вектора $v = (x_1, x_2, ..., x_n)$
определим \[ |v|_{L^1}:= \sum |x_i|.\] Докажите, что это норма.
\item $V= \R^n$. Для каждого вектора $v = (x_1, x_2, ..., x_n)$
определим \[ |v|_{L^2}:= \sqrt{\sum x_i^2}.\] 
\item На одномерном пространстве норма единственна
с точностью до умножения на число: $x\arrow c |x|$. 
\end{itemize}

Норма $|\cdot|_{L^2}$ называется обычной, или {\бф евклидовой нормой}
на векторном пространстве. Неравенство треугольника для евклидовой
нормы называется {\бф неравенством Коши-Буняковского}. В нерусскоязычной
литературе оно же называется {\бф неравенство Коши-\-Шварца} 
(Cau\-chy-\-Schwarz inequality). Чтоб его доказать, возьмем два ненулевых, неколлинеарных 
вектора $x, y$ в векторном пространстве с положительно 
определенным скалярным произведением $g$; неравенство 
треугольника для $|\cdot|_{L^2}$ будет следовать
из неравенства 
\[ 
   \sqrt{ g(x,x)} + \sqrt{g(y,y)} \geq \sqrt{ g(x+y,x+y)}.
\]
Возведя обе части в квадрат и раскрыв скобки, получим, что
это неравенство равносильно такому:
\begin{equation}\label{_C_B_inequa_Equation_}
\sqrt{ g(x,x)g(y,y)} \geq  g(x,y).
\end{equation}
С другой стороны, из $g(x-\lambda y,x-\lambda y)> 0$ следует,
что квадратичный полином
\[
   P(\lambda):=  g(x,x) - 2\lambda g(x,y) + \lambda^2 g(y,y),
\]
не имеет корней. Значит, его дискриминант
$D= g(x,y)^2 - g(x,x)g(y,y)$ отрицателен.
Это доказывает \eqref{_C_B_inequa_Equation_}.



\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\epsfig{file=Bouniakowsky.eps,width=0.4\linewidth}\\
Виктор Яковлевич Буняковский\\
(1804-1889)
\end{center}
\end{figure}


В качестве альтернативного метода
заметим, что на двумерном пространстве, порожденном
$x,y$, можно ввести координаты таким образом,
что квадратичная форма $g$ будет стандартной
$g((x_1, x_2), (y_1, y_2)) = x_1y_1 + x_2 y_2$.
Тогда неравенство треугольника следует из
того, что (как известно из школьной планиметрии)
\[ g(x,y)= |x||y|\cos\alpha \leq |x||y| = \sqrt{ g(x,x)g(y,y)}
\]
где $\alpha$ есть угол между векторами $\vec x$ и $\vec y$.

Норма на пространстве задает метрику по формуле
\[ d_\nu(x,y) = \nu(x-y).\]
Та же самая формула используется
для колец, полей, групп и т. д.




\определение
Напомним, что подмножество $Z$ векторного пространства
$V$ называется {\бф выпуклым}, если для любых точек
$x, y\in Z$, $Z$ содержит отрезок $[x,y]$ целиком.
\ео


\утверждение
Пусть $\nu$ - норма на векторном пространстве.
Тогда единичный шар с центром в нуле
\[
B_1(0):= \{ x\in V\ \  \nu(x) < 1\}
\]
выпуклый.

\хфилл

{\бф Доказательство:} Напомним, что
отрезок $[x,y]$ -- это множество точек вида
$\lambda x + (1-\lambda)y$, где $0\leq \lambda\leq 1$ -
вещественное число. Можно считать это определением
отрезка. Выпуклость шара $B_1(0)$ значит, что
\[
\nu(\lambda x + (1-\lambda)y) < 1
\]
для любых $x, y$ таких, что $\nu(x)< 1, \nu(y) <1$, 
и $\lambda\in [0,1]$.
В силу неравенства треугольника и мультипликативности
нормы, имеем
\[
\nu(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq 
\nu(\lambda x) + \nu((1-\lambda)y)\leq \lambda\nu(x) +
(1-\lambda)\nu(y)\leq 1
\]
(последнее неравенство следует из того, что $\nu(x)< 1,
\nu(y) <1$). \endproof

\hfill


\begin{figure}[ht]
\begin{center}
единичный шар в $\R^2$\\
\begin{tabular}{cc}
\epsfig{file=l1-ball.eps,width=0.3\linewidth} & \epsfig{file=l-infty-ball.eps,width=0.3\linewidth}\\
в $L^1$-норме & в $L^\infty$-норме
\end{tabular} \\
\epsfig{file=l2-ball.eps,width=0.3\linewidth}\\
в $L^2$-норме (евклидовой)
\end{center}
\end{figure}

 

Единичный шар в нормах $|\cdot|_{L^1}$, 
$|\cdot|_{L^\infty}$, $|\cdot|_{L^2}$, легко нарисовать
(для $\R^2$), и наглядно убедиться в его выпуклости.



\хфилл

Евклидова норма выделена из всех прочих тем,
что у нее группа изометрий самая большая.
Чтобы доказать это (и даже сформулировать),
необходимо разобраться с тем, что такое "размер" (размерность)
группы. Но даже на картинке выше видно, что у единичной
сферы в $|\cdot|_{L^2}$ нет выделенных частей,
и группа движений (изометрий) действует на ней
транзитивно (переводя любую точку в любую), 
а в единичной сфере для $|\cdot|_{L^1}$ и $|\cdot|_{L^\infty}$
особыми точками являются углы квадратов.

\hfill

Нормы $L^1$, $L^2$, $L^\infty$ - часть непрерывной системы
норм на $\R^n$, которые определяются следующим образом.
Пусть $v= (x_1, ... x_n)$ - точка $\R^n$, а $p$ вещественное
число, $p\geq 1$.  Определим $L^p$-норму формулой
\[ |v|_{L^p}:= \sqrt[p]{\sum |x_i|^p}.\] 
Неравенство треугольника для этой нормы называется
{\бф неравенством Минковского}; его доказательство
довольно трудоемко. 

\хфилл

Для пространства непрерывных функций на отрезке (или другом
компактном множестве $М$), можно определить $L^p$-нормы,
для $p\geq  1$, формулой
\[
|f|_{L^p}= \sqrt[p]{\int_M |f|^p}.
\]
и
\[
|f|_{L^\infty}= \sup_M f
\]
Супремум $|f|$ конечен, и интегралы $|f|^p$
определены, потому что непрерывная функция достигает
максимума на отрезке (и любом компакте), а значит ограничена. 
Неравенство треугольника для $L^1$, $L^2$ и $L^\infty$-нормы
в этой ситуации доказывается элементарно (докажите). 



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Непрерывные отображения}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\определение
Подмножество $Z\subset M$ метрического пространства
называется {\бф открытым}, если 
если верны следующие равносильные условия (докажите равносильность).
\begin{description}
\item[(i)] оно является объединением
$\epsilon$-шаров 
\item[(ii)] вместе с каждой точкой $z\in Z$, $Z$ содержит целиком
некоторый $\epsilon$-шар с центром в этой точке.
\end{description}
\ео

\определение
Пусть $\{z_i\}$ - последовательность точек в метрическом
пространстве $(M,d)$. Мы говорим, что $z_i$ {\бф сходится к $z$},
если $\lim\limits_{i\arrow \infty} d(z_i, z) =0$
\ео

\определение
Пусть $(M_1, d_1)$ и $(M_2, d_2)$ - метрические пространства,
а $f:\; M_1 \arrow M_2$ - некоторое отображение.
Оно называется {\бф непрерывным}, если верны
следующие равносильные условия (докажите равносильность).
\begin{description}
\item[(i)] Отображение $f$ {\бф сохраняет пределы}: 
если последовательность $\{z_i\}$ сходится
к $z$, то $\{f(z_i)\}$ сходится к $f(z)$.
\item[(ii)] Для каждой $z\in M$ и каждого $\epsilon >0$ найдется
$\delta >0$ такой, что из $d_1(x, z) < \delta$ следует
$d_2(f(x), f(z)) <\epsilon$.
\item[(iii)] Прообраз любого открытого множества открыт.
\end{description}
\ео

Композиция непрерывных отображений очевидно непрерывна.

\замечание 
Непрерывное отображение совершенно не обязано переводить
последовательности Коши в последовательности
Коши. Рассмотрим, например, отображение 
$\Q \stackrel \phi\arrow \{0, 1\}$,
переводящее все числа $> \sqrt 2$ в 1,
 а все числа меньше $\sqrt 2$ в 0.
Открытых подмножеств в множестве 
$\{0, 1\}$ 4 штуки: \{0\}, \{1\}, пустое
множество и все $\{0, 1\}$; легко видеть,
что прообраз каждого из них открыт.

\еза

\пример\label{_distance_cont_Primer_}
Пусть $z$ - точка метрического пространства $M$.
Тогда $x \stackrel {d_z} \arrow d(z,x)$ является непрерывным отображением
из $M$ в $\R$ с евклидовой метрикой. Действительно,
из неравенства треугольника сразу следует, что
$d_z(x) - d_z(y) \leq d(x,y)$.

\определение
Отображение метрических пространств называется
{\бф гомеоморфизмом}, если оно непрерывно, биективно,
и обратное ему тоже непрерывно.
\ео

Две нормы $\nu$ и $\nu'$ на векторном пространстве $V$
называются {\бф эквивалентными}, если тождественное
отображение задает гомеоморфизм $(V, \nu) \arrow (V,\nu')$.

Непрерывность тождественного отображения $(V, \nu)\arrow (V,\nu')$
значит, что некоторый открытый шар в норме $\nu'$
содержит открытый шар в норме $\nu$. Если первый шар
имеет радиус $r$, второй шар - радиус $s$, то шар
радиуса 1 в $(V, \nu')$ содержит шар радиуса $s/r$
в норме $\nu$. Иначе говоря, из $\nu'(x) \leq 1$
следует $\nu(x)\leq s/r$. Это равносильно такому
неравенству: $\frac {\nu(x)}{\nu'(x)}\leq \frac s r$.
Из непрерывности $(V, \nu')\arrow (V,\nu)$
следует противоположное неравенство, с другим
коэффициентом. Мы получили такое утверждение. 

\hfill

\утверждение
Пусть $\nu$ и $\nu'$ - нормы на векторном пространстве $V$.
Эти нормы эквивалентны тогда и только тогда, когда
существуют ненулевые числа $C_1$, $C_2$, такие, что 
для любого $x\in V$ выполнены
неравенства
\begin{equation}\label{_equi_metri_Equation_}
C_1 \nu(х) \leq \nu'(x) \leq C_2 \nu(x).
\end{equation}

\endproof

\хфилл

Докажем следующую полезную теорему.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\теорема
На конечномерном пространстве все нормы эквивалентны.

\хфилл

Заметим, что эквивалентность норм $L^1$, $L^2$, $L^\infty$ 
на $\R^2$ вполне очевидна из чертежа, на котором нарисован 
единичный шар (см. выше).

Пусть $\nu$ - произвольная норма на $V=\R^n$, $|\cdot|_{L^1}$ - $L^1$-норма,
а $x_1, ..., x_n$ - стандартный базис в $V$. Воспользовавшись неравенством
треугольника, получаем
\[
\nu(z) \leq \sum_i |\lambda_i| \nu(x_i) \leq
\max_i \nu(x_i) \sum_i |\lambda_i| = C |z|_{L^1}
\]
где $z=\sum_i \lambda_i x_i$, а $C= \max_i \nu(x_i)$.
Это дает одно из двух неравенств \eqref{_equi_metri_Equation_}, 
нужных для эквивалентности норм. 
Мы получили, что тождественное отображение
$(V, |\cdot|_{L^1})\stackrel\Id\arrow (V,\nu)$
непрерывно.

Чтобы доказать, что обратное отображение
тоже непрерывно, воспользуемся компактностью.
Подробнее про компактность я расскажу
одной из следующих лекций. 

Напомним, что (секвенциально) компактным подмножеством в
метрическом пространстве называется множество, в котором из каждой
последовательности можно выбрать сходящуюся
подпоследовательность. Замкнутым подмножеством
называется такое подмножество, дополнение
до которого открыто.  Из курса анализа 
известно, что в $\R^n$ со стандартной
метрикой каждое замкнутое, 
ограниченное \footnote{Ограниченное 
значит "содержащееся в каком-то шаре".}
подмножество компактно.
Также известно, что непрерывная
функция на компакте принимает
максимум и минимум. Мы передокажем
эти утверждения в одной из следующих лекций. 

Функция $\nu:\; V \arrow \R$ непрерывна относительно
метрики, заданной $\nu$ (Пример \ref{_distance_cont_Primer_}).
В силу непрерывности $(V, |\cdot|_{L^1})\stackrel\Id\arrow (V,\nu)$
эта функция непрерывна на $V$ с $L^1$-метрикой.
Поэтому она достигает минимума $C_1$ на единичной сфере
относительно этой метрики.\footnote{Нетрудно видеть,
что единичная сфера в $L^1$-метрике является границей правильного
гипер-октаэдра с вершинами в центрах граней единичного куба.} 
Поскольку $\nu$ положительна
на ненулевых векторах, $C_1$ тоже
положительно. Мы получили неравенство
$\nu(v) \geq C_1 |v|_{L^1}$.
Неравенство $\nu(v) \geq C |v|_{L^1}$
получено чуть выше. Мы доказали эквивалентность
норм на $V$.
\endproof

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Выпуклые множества и норма}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Пусть $V$ - конечномерное векторное пространство,
$\nu$ норма на нем, а $B$ - единичный шар.
Как мы видели, $B$ ограниченное (содержится
в евклидовом шаре большого радиуса), открытое,
выпуклое множество. Оказывается, каждое такое
множество задает некоторую норму.

\теорема
Пусть $V$ - конечномерное векторное пространство,
а $B$ - непустое открытое, выпуклое, ограниченное
подмножество в $V$. Предположим, что $B$
центрально-симметрично, то есть для каждого $v\in B$
точка $-v$ тоже лежит в $B$. Тогда $B$ является
единичным шаром для какой-то нормы.

\хфилл

{\бф Доказательство:}
Для любых множеств $A,B\subset V$, определим 
$A+B\subset V$ как множество всех векторов вида
$a+b$, $a\in A, b\in B$. Для $\lambda \in \R$,
определим $\lambda A$ как множество всех векторов
вида $\lambda a$, $a\in A$.

Выпуклость $B$ равносильна условию 
$\lambda B + (1-\lambda) B\subset B$, где $\lambda\in[0,1]$
произвольное число от 0 до 1 (докажите это).
Поэтому для выпуклого $B$ мы имеем
$\alpha B + \beta B \subset (\alpha + \beta) B$.

Определим функцию $\nu_B:\; V \arrow \R$ формулой
\[ 
  \nu_B(x) := \inf_\rho \ \{ \rho > 0\ \  | \ \ x \in \rho B\}
\]
Поскольку $B$ открыт и содержит 0, это множество непусто,
а поскольку ограничен - для ненулевого $x$, 
$\nu_B(x)\neq 0$. Условие 
$\nu_B(\lambda x) = |\lambda| \nu_B(x)$ следует
прямо из определения. Наконец, неравенство
треугольника вытекает из 
$\alpha B + \beta B \subset (\alpha + \beta) B$.
Действительно, пусть $x, y$ такие вектора, что
$x\in (\alpha+\epsilon) B$ и $y\in (\beta+\epsilon) B$. Тогда 
$x+y \in (\alpha + \beta+2\epsilon) B$. 
Поэтому для любого $\epsilon >0$,
из $\nu_B(x) = \alpha$, 
$\nu_B(y) = \alpha$ следует
$\nu(x+y) \leq \alpha+\beta+2\epsilon$. Это 
доказывает неравенство треугольника.
Мы построили норму $\nu_B$ по выпуклому,
ограниченному, открытому, центрально-симметричному
множеству $B$. Легко видеть, что единичный
шар в $\nu_B$ это и есть $B$. \endproof

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{История, замечания}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Основы теории нормированных векторных
пространств излагаются в любом приличном
учебнике анализа. Особенно хорош для этой цели
двухтомный "Анализ" Лорана Шварца и учебник Зорича.

Неравенство Коши-Буняковского
в конечномерных векторных пространствах доказал 
Огюстен Коши (Augustin Cauchy)
в 1821-м году. В пространствах функций это неравенство
доказал Виктор Яковлевич Буняковский, в 1859-м;
в 1888-м результат Буняковского передоказал 
Герман Шварц (Hermann Amandus Schwarz), ученик
Вейерштрасса, один из основателей комплексного анализа,
в честь которого названа лемма Шварца из комплексного
анализа, производная Шварца, и много других вещей.

Понятие метрического пространства
изобрел Фреше, в его диссертации 1906-го года. 
В 1909-м году, Фридьеш Рисс  (Frigyes Riesz)
обнаружил, что понятие метрики для изучения
топологии пространства необязательно, и предложил
определение топологии, основанной на понятии замыкания.
Его система аксиом была непохожа на современную, 
но в 1914-м году Хаусдорф опубликовал монографию
``Grundz\"uge einer Theorie der geordneten Mengen,'' где 
развил аксиоматическую теорию топологических пространств, 
практически тождественную современной. 

Любопытно, что многие идеи монографии Хаусдорфа можно
обнаружить в его литературных и философских работах,
опубликованных в конце XIX века под псевдонимом Пол Монгре
(Paul Mongr\'e). 

Термин "компактное пространство" также принадлежит
Фреше. Метрика $L^p$ определена Риссом, в 1910-м году.

Понятие нормированного пространства определил и детально
исследовал Банах в начале 1920-х годов. 

\хфилл

\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\epsfig{file=Banach.eps,width=0.4\linewidth}\\
Stefan Banach\\
(1892 -- 1945) 
\end{center}
\end{figure}



\end{document}



