

\documentclass{slides}

\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}


\usepackage{amsmath, amssymb, amscd, color,  epsfig}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Топология, первый курс, второй семестр\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother


   \setlength\paperheight {9in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}



\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Топология, лекция 1: метрика, \\[3mm] пополнение,
  $p$-адические числа}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 11 февраля, 2008\\
Независимый Университет}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage


{\bf \blue Метрические пространства}

{\bf \blue Определение:}
Пусть $M$ - множество. {\bf \green Метрикой} на $M$ называется
функция $d:\; M\times M\arrow \R^{\geq 0}$, удовлетворяющая
следующим условиям
\begin{description}
\item[\red Невырожденность:]\ \ $d(x,y)=0$ тогда и только тогда,
когда $x=y$.
\item[\red Симметричность:]\ \  $d(x,y)=d(y,x)$
\item[\red Неравенство треугольника:]\ \  $d(x,y) \leq d(x, z) + d(z,y)$
\end{description}
для любых точек $x,y,z\in M$.


{\green Метрика - математическая абстракция, отвечающая 
интуитивному представлению о <<расстоянии>>}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\begin{center}

{\blue Определение метрического пространства\\ дал Морис Фреше в
1906-м году.}

\epsfig{file=Frechet.jpg,width=0.4\linewidth}\\
Maurice Fr\'echet\\
(1878 -- 1973) 
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

{\blue\bf Последовательности Коши}

{\green \bf Определение:} 
Пусть $x\in M$ точка в метрическом пространстве. Открытый
{\bf \blue $\epsilon$-шар} $B_\epsilon(x)$ в с центром в 
$x$ - множество всех точек, отстоящих от $x$ меньше, 
чем на $\epsilon$:
\[
B_\epsilon(x)= \{ y\in M\ \ | \ \  d(x,y) < \epsilon\}
\]

{\green \bf Определение:} 
Пусть $M$ - метрическое пространство. 
Последовательность $\{\alpha_i\}$ точек из $M$ называется
{\bf \blue последовательностью Коши}, если для каждого 
$\epsilon>0$, все элементы последовательности 
$\{\alpha_i\}$, кроме конечного числа, содержатся в некотором
$\epsilon$-шаре. Последовательности Коши 
$\{\alpha_i\}$,  $\{\beta_i\}$ называются 
{\bf \blue эквивалентными}, если последовательность
$\alpha_0, \beta_0, \alpha_1, \beta_1, ...$
является последовательностью Коши.

{\bf \red  Не путать со сходимостью!}

{\purple Все сходящиеся последовательности - последовательности
Коши, но не все последовательности Коши сходятся.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

{\bf \blue Сходящиеся последовательности}

{\green \bf Определение:} 
Пусть $M$ - метрическое пространство. 
Последовательность $\{\alpha_i\}$ точек из $M$ 
{\bf \blue сходится к $x\in M$}, если в любом
$\epsilon$-шаре $B_\epsilon(x)$ содержатся все
члены $\{\alpha_i\}$, кроме конечного числа.
 В этом случае также говорят,
что $x$ - это {\bf \blue предел} последовательности
$\{\alpha_i\}$. Метрическое пространство $M$
называется {\bf \blue полным}, если у любой
последовательности Коши есть предел.

{\bf \blue Свойства последовательностей Коши и пределов:}

{\purple {\bf 1.} Подпоследовательность последовательности
Коши -  снова последовательность Коши}. Последовательность Коши
эквивалентна любой своей подпоследовательности.

{\purple \bf 2.} Если переставить элементы последовательности
Коши $\{\alpha_i\}$ произвольным образом, {\purple
получится последовательность
Коши, эквивалентная $\{\alpha_i\}$.}

{ \purple{\bf 3.} Предел последовательности единственный, если существует.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

{\bf \blue Пополнение.}


{\green \bf Определение:} 
{\bf \blue Диаметр} множества $X\subset M$ есть
$\sup_{x,y \in X} d(x,y)$. 

{\red Диаметр $\epsilon$-шара не больше $2\epsilon$.}

Из этого следует, что {\blue для любой последовательности
Коши $\{\alpha_i\}$, и любого $x\in M$, последовательность вещественных
чисел $\{d(x, \alpha_i)\}$ -- последовательность Коши в
$\R$.} 

Более того, {\blue для любых
последовательностей Коши $\{\alpha_i\}, \{\beta_i\}$, последовательность
$\{d(\alpha_i, \beta_i)\}$ -- тоже последовательность
Коши}. 

{\bf \green Это задает метрику на классах эквивалентности
последовательностей Коши}.

{\green \bf Определение:}
Множество классов эквивалентности
последовательностей Коши в $M$
с метрикой, определенной выше, называется\\
{\blue \bf пополнением $M$.}

{\red \bf Теорема:}
Пополнение является {\red полным метрическим пространством.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage 

{\bf \blue Метрики на абелевых группах}


{\bf \green Определение:}
Пусть $M, N$ - метрические пространства.
Вложение $M \stackrel\iota\hookrightarrow N$ называется
{\bf \blue изометрическим вложением}, если $\iota$ сохраняет
расстояния: $d_M(x,y) = d_N(\iota(x), \iota(y))$,
для любых $x,y\in M$. {\bf \blue Изометричные пространства} - пространства,
между которыми есть биекция, сохраняющая расстояния.


{\green \bf Определение:}\\
Пусть $G$ - абелева группа, а $d$ - метрика на $G$.
Мы будем использовать обозначение $x, y \arrow x+y$
для групповой операции в абелевых группах.
Говорят, что $(G, +, d)$ метрическая группа,
если операция $x\arrow -x$ взятия обратного элемента
есть изометрия, и операция $x \arrow x +g$ есть
изометрия для любого $g\in G$. В этом случае
также говорят что метрика {\bf \blue согласована с групповой
структурой,} или что метрика {\bf \blue инвариантна.}

{\purple <<Группа с инвариантной метрикой действует сама
на себе изометриями>>}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage 

{\bf \blue Задание инвариантных метрик через норму}


{\green \bf Определение:}\\
Функция $\nu:\; G \arrow \R^{\geq 0}$
называется {\bf\blue нормой на группе} 
если 

{\bf \purple (i)} $\nu(g) = \nu(-g)$, $\nu(0)=0$.

{\bf \purple (ii)} $\nu(g)>0$ для любого $g\neq 0$.

{\bf \purple (iii)}  $\nu (g+g') \leq \nu(g) + \nu(g')$, для
любых $g, g'\in G$.

Для любой нормы $\nu$ {\blue функция
$d_\nu(x,y):= \nu(x-y)$ задает метрику на $G$,
согласованную с групповой структурой}.

Обратное тоже верно: {\blue  все инвариантные метрики на
$G$ могут быть получены таким образом.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

{\bf \blue Пополнение группы с инвариантной метрикой}


Пусть $A, B\subset G$ - подмножества в группе.
{\green Множество всех сумм вида $\{ a+b\ \ |  \ \ a\in A, b\in B\}$
обозначается $A+B$.}

{\red Сумма двух шаров
радиуса $\epsilon, \epsilon'$ содержится в шаре
радиуса $\epsilon+\epsilon'$. }

Поэтому  множество последовательностей Коши в
метрической группе с операцией почленного сложения
{\bf \green образует группу}, а  последовательности Коши, эквивалентные 
нулю - {\bf \green подгруппу этой группы. }

{\bf \blue Факторгруппой будет пополнение $G$}.

{\red Пополнение $G$ -- снова метрическая группа.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

{\bf \blue Нормирования на кольце}

{\bf \green Определение:}
Пусть $A$ - кольцо, с ассоциативным, коммутативным
умножением, а $\nu:\; A \arrow \R^{\geq 0}$
функция на $A$. $\nu$ называется {\bf \blue нормой}
(или нормированием) если 

{\bf 1. \green $\nu$ -- это норма на группе $A$ по сложению}

{\bf 2. \green $\nu$ мультипликативна:} $\nu(xy) = \nu(x)\nu(y)$

{\bf \purple Пример нормы:} $t \arrow |t|$ на $\Q$, $\R$
или $\C$.

{\bf \purple Пример нормы:} $\nu(t) =0$, если $t=0$, и 1 в
противном случае. Она мультипликативна на любом кольце без
делителей нуля. 

Кольцо с нормой наделено инвариантной метрикой,
построенной по формуле $d_\nu(x,y) = \nu(x-y)$.

{\bf \red Пополнение кольца по этой метрике - снова
кольцо.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

{\bf\blue $p$-адические числа.}

{\bf \red Зафиксируем простое число $p$.}

{\bf \green Определение:}\\
Пусть $x\in \Z$ представимо в виде $x= p^\alpha x_1$, где
$x_1$ не делится на $p$, а $\alpha \in \Z^{\geq 0}$. 
Тогда {\bf \blue $p$-адическая норма} $\nu(x)$ равна
$p^{-\alpha}$. Положим также $\nu(0)=0$. 
Пополнение $\Z$ относительно такой нормы называется 
{\bf \blue кольцом целых $p$-адических чисел},
обозначается $\Z_p$. 

Аналогичная конструкция, примененная к $\Q$, даст
пополнение $\Q_p$, которое называется {\bf \blue полем 
$p$-адических чисел.} Любое рациональное число $a \in \Q$
можно представить в виде $a = p^\alpha\frac m n$,
где $n$, $m$ взаимно просты с $p$, а $\alpha$ -
целое число, однозначно заданное разложением
числителя и знаменателя $a$ на простые множители.
Определим $\nu(a):= p^{-\alpha}$. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

{\bf \blue Неархимедовы метрики}

$p$-адическая метрика {\bf \blue неархимедова:}
\[
d(x,y) \leq \max (d(x,z), d(y, z)).
\]
Из этого условия следует аксиома треугольника,
но оно сильнее.

Геометрически, неархимедовость
значит следующее: {\bf \purple любой треугольник в неархимедовом пространстве
равнобедренный, и его основание меньше 
двух других сторон.}

$\epsilon$-шар с центром в любой точке
$B_\epsilon(a)$ совпадает с $B_\epsilon(a)$.
{\bf \purple В неархимедовом пространстве, любая точка
шара является его центром.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

{\bf \blue Арифметика $p$-адических чисел}

В любой группе с инвариантной
метрикой, заданной нормой $\nu$, {\bf \red ряд вида $\sum g_i$ 
сходится, если сходится соответствующий ряд из норм 
$\sum\nu(g_i)$.}

Поэтому для любой последовательности
целых чисел $z_i$, {\bf \red ряд $\sum_{i=0}^\infty z_i p^{i}$
сходится к целому $p$-адическому числу.}

В частности, 
\[
\frac {1}{1-p}= 1 + p + p^2 + p^3 + ...
\]
целое $p$-адическое.

{\green
Если два целых числа $a, b$ принадлежат $\epsilon$-шару, с
$2\epsilon < p^{-i}$,  разность $a-b$ делится на $p^i$.}
Поэтому их записи в $p$-ичной системе счисления совпадают
вплоть до $i$-го знака.

Записав элементы последовательности Коши
$\{\alpha_i\}$ целых чисел в $p$-ичной системе счисления, мы получим,
что соответствующая последовательность цифр стабилизируется:
{\bf \red на $i$-м месте, начиная с какого-то момента, стоит одна
и та же цифра.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

{\bf \blue Арифметика $p$-адических чисел (продолжение)}

Пределом любой последовательности Коши $\{\alpha_i\}$ будет сумма вида
$\sum_{i=0}^\infty z_i p^{i}$, где $0\leq z_i\leq p-1$ - 
$i$-я цифра с конца, в $p$-ичном представлении 
$\alpha_N$, для достаточно большого $N$.

{\green \bf Любое целое $p$-адическое число записывается
как в $p$-ичной системе счисления последовательностью цифр, 
бесконечной влево}.
\[
\dots 5402510251025410251405150162126161611102002020315610310
\]
{\bf \red $p$-адические числа 
можно складывать и умножать в столбик,}
не забывая переносить переполнение в следующий регистр.


Для каждого $n$, не делящегося на $p$, 
уравнение $nx =1 \mod p$ имеет целое решение.
Пусть $y := 1-nx$. Очевидно,  $\nu(y) \leq \frac 1 p$.
Сумма вида $1+ y + y^2 + y^3+ ...$
сходится к $\frac 1 {xn}$. Поэтому $\frac 1 n = x + yx + y^2 x + y^3 x + ...$.
Таким образом, {\bf \red в кольце целых $p$-адических чисел
определено деление на любое $n$, взаимно простое с $p$.}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage


{\bf \blue Целые $p$-адические числа.}


{\bf \green Рациональное число $a\in \Q$
является целым $p$-адическим тогда и только тогда,
когда $a= \frac m n$, и $n$ взаимно просто с $p$.}

Целые $p$-адические числа
это {\bf \green шар радиуса 1 в $\Q_p$,} с центром
в любом целом числе, например, в нуле (центром
шара в неархимедовом метрическом пространстве
является любая его точка).



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

{\bf \blue Вычисление $\sqrt{N^2 +x}$ в $\Z_p$.}

Пусть $p$ нечетное, взаимно простое с $N$, а $x$ делится
на $p$. Ряд Тэйлора для $\sqrt{N^2 +x}$
\[
\sqrt{N^2 +x}=
\sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^i (2i)! x^i}{(1-2i)(i!)^2 4^i N^{2i-1}}
\]
сходится в $\Z_p$, и его сумма равна $\sqrt{N^2 +x}$.

{\bf \green Лемма Гензеля:}
Любое полиномиальное
уравнение вида $P(x)=0$ с целыми коэффициентами
имеет решение в $\Z_p$, если $P(a) = 0 \mod p$
для какого-то целого числа $a$, и $P'(a) \neq 0 \mod p$.


Лемма Гензеля доказывается рекурсивно, решением
системы уравнений вида
\[
P(a_i) = 0 \mod p^{i+1}, \ \  a_i - a_{i-1} = 0 \mod p^i.
\]


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage



\begin{center}
$p$-адические числа изобрел в 1897 году Курт Гензель.

\epsfig{file=Hensel.jpg,width=0.4\linewidth}\\
Kurt Hensel\\
(1861 -- 1941) 
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage


{\bf \blue Нормированные пространства}

{\bf \green Определение:} \\
Пусть $V$ - векторное пространство над $\R$, а 
$\nu:\; V \arrow \R^{\geq 0}$ функция со значениями
в неотрицательных числах. $\nu$ называется {\bf \blue нормой} на
$V$, если имеет место следующее 
\begin{description}
\item[\red Невырожденность:] $\nu(x)>0$, если $x\neq 0$,
\item[\red Неравенство треугольника:] $\nu (x+x') \leq \nu(x) + \nu(x')$.
\item[\red Инвариантность относительно гомотетии:] \ \ $\nu(\lambda x) = |\lambda| \nu(x)$,
\end{description}
для любых $x$, $x'\in V$, и  любого $\lambda\in \R$.
В такой ситуации $V$ называется {\bf \blue нормированным пространством}.

{\purple В такой ситуации $\nu$ является нормой на группе $V$ по сложению}.

{\bf \green Норма задает метрику на пространстве $V$, стандартной формулой.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

{\bf \blue Примеры нормы}
 
{\bf \purple 1.} $V= \R^n$. Для каждого вектора $z = (x_1, x_2, ..., x_n)$
определим {\blue \[ |z|_{L^\infty}:= \max|x_i|.\]} 

 {\bf \purple 2.}  $V= \R^n$. Для каждого вектора $z = (x_1, x_2, ..., x_n)$
определим {\blue \[ |z|_{L^1}:= \sum |x_i|.\] } 

 {\bf \purple 3.}  $V= \R^n$. Для каждого вектора $z = (x_1, x_2, ..., x_n)$
определим {\blue \[ |z|_{L^2}:= \sqrt{\sum x_i^2}.\] }

 {\bf \purple 4.} На одномерном пространстве норма единственна
с точностью до умножения на число:  {\blue \[ x\arrow c |x|.\] }


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

{\bf \blue Неравенство Коши-Буняковского}

Неравенство треугольника для евклидовой
нормы называется {\blue \bf неравенством Коши-Буняковского}.

Возьмем два ненулевых, неколлинеарных 
вектора $x, y$ в векторном пространстве с положительно 
определенным скалярным произведением $g$.
Неравенство Коши-Буняковского следует из
{\green \[ \sqrt{ g(x,x)} + \sqrt{g(y,y)} \geq \sqrt{ g(x+y,x+y)}\]}.

Это равносильно {\green $\sqrt{ g(x,x)g(y,y)} \geq  g(x,y).$}

Из $g(x-\lambda y,x-\lambda y)> 0$ следует, что
что квадратичный полином
{\green\[
   P(\lambda):=  g(x,x) - 2\lambda g(x,y) + \lambda^2 g(y,y),
\]}
имеет отрицательный дискриминант $D= g(x,y)^2 - g(x,x)g(y,y)$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

Также неравенство Коши-Буняковского можно получить из
формулы
{\green\[ g(x,y)= |x||y|\cos\alpha \leq |x||y| = \sqrt{ g(x,x)g(y,y)}.
\]}
\begin{center}
\epsfig{file=Bouniakowsky.png,width=0.4\linewidth}\\
Виктор Яковлевич Буняковский\\
(1804-1889)
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

{\bf \blue Выпуклые множества}

{\bf \green Определение:}
{\bf \blue Отрезок} $[x,y]$ в векторном пространстве 
-- это множество точек вида
$\lambda x + (1-\lambda)y$, где $0\leq \lambda\leq 1$ -
вещественное число.

{\bf \green Определение:}
Подмножество $Z$ векторного пространства
$V$ называется {\bf \blue выпуклым}, если для любых точек
$x, y\in Z$, $Z$ содержит отрезок $[x,y]$ целиком.

{\bf \green Утверждение:}
Пусть $\nu$ - норма на векторном пространстве.
Тогда единичный шар с центром в нуле
\[
B_1(0):= \{ x\in V\ \  \nu(x) < 1\}
\]
выпуклый.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\begin{center}
{\bf \blue единичный шар в $\R^2$}

\begin{tabular}{cc}
\epsfig{file=l1-ball.png,width=0.25\linewidth} & \epsfig{file=l-infty-ball.png,width=0.25\linewidth}\\
в $L^1$-норме & в $L^\infty$-норме
\end{tabular} \\
\epsfig{file=l2-ball.png,width=0.25\linewidth}\\
в $L^2$-норме (евклидовой)
\end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

{\bf \blue Непрерывные отображения.}

{\bf \green Определение:}\\
Подмножество $Z\subset M$ метрического пространства
называется {\bf \blue открытым}, если оно является объединением 
(открытых) $\epsilon$-шаров.

{\bf \green Определение:}\\
Последовательность $\{z_i\}$ {\bf \blue сходится к $z$},
если $\lim\limits_{i\arrow \infty} d(z_i, z) =0$

{\bf \green Определение:}\\
Пусть $f:\; M_1 \arrow M_2$ -- отображение метрических пространств.
Оно называется {\blue \bf непрерывным}, если верны
следующие равносильные условия.

{\bf \green 1.} Отображение $f$ {\blue \bf сохраняет пределы}: 
если последовательность $\{z_i\}$ сходится
к $z$, то $\{f(z_i)\}$ сходится к $f(z)$.

{\bf \green 2.} Прообраз любого открытого множества открыт.




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage


{\bf \blue Непрерывные отображения (продолжение).}

{\bf \green Композиция непрерывных отображений
непрерывна.}

{\bf \red Непрерывное отображение не обязано переводить
последовательности Коши в последовательности
Коши. }

{\purple Пусть $z$ - точка метрического пространства $M$.
Тогда $x \stackrel {d_z} \arrow d(z,x)$ является непрерывным отображением
из $M$ в $\R$ с евклидовой метрикой.}

Действительно, $d_z(x) - d_z(y) \leq d(x,y)$.

{\bf \green Определение:}\\
Отображение метрических пространств называется
{\blue\bf гомеоморфизмом}, если оно непрерывно, биективно,
и обратное ему тоже непрерывно.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage


{\bf \blue Эквивалентность норм.}

{\bf \green Определение:}
Две нормы $\nu$ и $\nu'$ на векторном пространстве $V$
называются {\blue \bf эквивалентными}, если тождественное
отображение $(V, \nu) \arrow
(V,\nu')$ это гомеоморфизм.

{\bf \green Утверждение:}\\
Пусть $\nu$ и $\nu'$ - нормы на векторном пространстве $V$.
Эти нормы эквивалентны тогда и только тогда, когда
существуют ненулевые числа $C_1$, $C_2$, такие, что 
для любого $x\in V$ выполнены
неравенства
{\green \[
C_1 \nu(x) \leq \nu'(x) \leq C_2 \nu(x).
\]}

{\bf \red Теорема:\\ На конечномерном пространстве все нормы
эквивалентны.}

Пусть $z=\sum_i \lambda_i x_i$, а $x_i$ - базис в 
конечномерном пространстве $V$. Тогда
{\green \[
\nu(z) \leq \sum_i |\lambda_i| \nu(x_i) \leq
\max_i \nu(x_i) \sum_i |\lambda_i| = C |z|_{L^1}
\]}
где $C= \max_i \nu(x_i)$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage


{\bf \blue Выпуклые множества и норма.}

{\bf \green Теорема:}\\
Пусть $V$ - конечномерное векторное пространство,
а $B$ - непустое открытое, выпуклое, ограниченное
подмножество в $V$. Предположим, что $B$
центрально-симметрично, то есть для каждого $v\in B$
точка $-v$ тоже лежит в $B$. Тогда $B$ является
единичным шаром для какой-то нормы.

\newpage

\begin{center}
\epsfig{file=Banach.jpg,width=0.25\linewidth}\\
Stefan Banach\\
(1892 -- 1945) 
\end{center}








\end{document}



