

\documentclass[11pt]{book}

\usepackage{amsmath, amssymb, amscd, russcorr, theorem, fancyhdr, epsfig}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\triangle}{\vartriangle}

\newcommand{\version}{version 2.0,\ \   24.03.2008}

\setlength{\headheight}{15pt}
\pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny НМУ, весна 2008, первый
курс, лекция 10} 
\cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version}
\rhead{{\small  Миша Вербицкий}}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  equations                          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\@addtoreset{footnote}{section}
\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  listki-new.tex                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Spec{\operatorname{\sf Spec}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{\sf char}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
%        \writevedomost{\string\mc{\thezadacha} \string & \string & \string 
%        \\ \string \hline}
   }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
   \writevedomost{\string\mc{\thezadacha ##3}  \string & \string \grd \string & \string\grp
   \string \\ \string \hline}
    }}
\endgroup

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{zadacha}{Задача}[chapter]

\begingroup
\gdef\th@generic{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
     }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
    }}
\endgroup

\theoremstyle{generic}

\newtheorem{opredelenie}[zadacha]{Определение}
\newtheorem{ukazanie}[zadacha]{Указание}
\newtheorem{zamechanie}[zadacha]{Замечание}

\renewcommand{\labelenumi}{\ralph{enumi}.}


\newcommand{\listok}[2]{%
\setcounter{page}{1}
\renewcommand{\@oddhead}{\hfil #2 \hfil}
\renewcommand{\@evenhead}{\hfil #2 \hfil}
\section*{#2}
\refstepcounter{section}
\setcounter{section}{#1}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% VEDOMOST GENERATION
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newwrite\Vedomost
%\immediate\openout\Vedomost = \jobname.vdm
%\newcommand{\writevedomost}[1]{\immediate\write\Vedomost{ #1 }}
\newcommand{\writevedomost}[1]{}

\def\grd{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\dtt}}\vphantom{666}}
\def\grp{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\pdp}}\vphantom{666}}

\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%   Chapter                         %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



  \renewcommand{\chapter}{%
     \secdef\ChapterNumbered\ChapterStarred}

  \def\ChapterNumbered[#1]#2{%
      \addcontentsline{toc}{chapter}{\thechapter. #1}
      \refstepcounter{chapter}
      {
\vspace{\baselineskip}
\chaptermark{#2}
          { {{\noindent\bf\huge \thechapter. \ #2\par}}}
      }
    \vspace{\baselineskip}
}

  \newcommand{\ChapterStarred}[1]{%
      \refstepcounter{chapter}
      \chaptermark{#1}%
      \vspace{\baselineskip}}

  \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{#1}}
                             



\newcommand{\пример}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Пример \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\лемма}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Лемма \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Теорема \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Утверждение \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}

\def\хфилл{\hfill}
\def\ноиндент{\noindent}
\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\задача{\begin{zadacha}}
\def\ез{\end{zadacha}}
\def\замечание{\begin{zamechanie}}
\def\еза{\end{zamechanie}}
\def\указание{\begin{ukazanie}}
\def\еу{\end{ukazanie}}
\def\eu{\end{ukazanie}}
\def\определение{\begin{opredelenie}}
\def\ео{\end{opredelenie}}
\def\eo{\end{opredelenie}}
\def\goth{\mathfrak}
\def\енум{\begin{enumerate}} 
\def\ее{\end{enumerate}}
\def\ee{\end{enumerate}}
\def\итем{\item $\bullet$ %
    \writevedomost{\string & \ralph{enumi} \string &\string & \string \\ \string \hline } }

\begin{document}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{chapter}{9}
\lhead{{\scriptsize  Топология, лекция 10: равномерная сходимость}}
\chapter{Топология, лекция 10: \\Равномерная  сходимость}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Банаховы пространства}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $(V,\nu)$ -- пространство с нормой.
Напомним, что $(V, \nu)$ называется {\бф банаховым},
если оно полно, как метрическое пространство.
\ео

\замечание
Предположим, что $(V, \nu_2)$ -- конечномерное
пространство с евклидовой нормой, заданной
как $\nu_2(v) = g(v,v)$, где $g$ -- билинейная
симметричная, невырожденная форма.
 В Лекции 2 мы доказали, что тождественный
изоморфизм $(V, \nu)\stackrel {\Id}\arrow (V, \nu_2)$
является липшицевым, и обратное ему отображение
тоже липшицево (такие отображения называются
{\бф билипшицевыми}). Из этого следует, что 
$(V, \nu)\stackrel {\Id}\arrow (V, \nu_2)$
переводит последовательности Коши в последовательности
Коши. Поэтому $(V,\nu)$ полно.
\еза

Мы доказали следующее утверждение

\хфилл

\утверждение
Любое конечномерное
нормированное пространство\footnote{{\бф Нормированное
пространство} -- пространство с нормой.}  -- банахово.

\хфилл

Отметим также, что единичный шар в $(V, \nu)$
компактен. Действительно, он является замкнутым
и ограниченным подмножеством в евклидовом пространстве $(V, \nu_2)$,
что следует из билипшицевости тождественного
отображения $(V, \nu)\stackrel {\Id}\arrow (V, \nu_2)$.

\хфилл


Следующая полезная теорема была доказана Ф. Риссом.

\хфилл

Пусть $(V,\nu)$ -- нормированное пространство,
а $\bar B_1\subset V$ -- единичный замкнутый шар в $V$.
Если $\bar B_1$ компактен, то $V$ конечномерно.

\хфилл

\ноиндент
{\бф Доказательство.} {\bf Шаг 1:}
Если $\bar B_1$ компактен, из
покрытия $\bar B_1$ открытыми шарами радиуса $\frac 1 2$ можно 
выбрать конечное подпокрытие. Пусть $\{x_1, ..., x_n\}$
центры шаров, которые составляют это подпокрытие.
Тогда для каждого $v\in V$, $|v|\leq 1$, для какого-то
$x_i$ имеет место $|v-x_i|< \frac 1 2$.

\хфилл

\ноиндент
{\bf Шаг 2:}
Следовательно, для каждого $w\in V$, такого, что 
$|w|\leq \lambda$, и для какого-то $x_i\in \{x_1, ..., x_n\}$ 
имеет место $|w-\lambda x_i|< \frac 1 2\lambda$.


\хфилл

\ноиндент
{\bf Шаг 3:} Возьмем какой-то $v\in V$, $|v|\leq 1$.
Выберем $x_{i_1}\in \{x_1, ..., x_n\}$ такой, что
$|v-x_{i_1}|< \frac 1 2$. Применив утверждение
предыдущего шага к $w=v-x_{i_1}$, $\lambda=1/2$,
получим, что
\[ |v-x_{i_1} - \frac 1 2 x_{i_2}| < \frac 1 4,
\]
для какого-то $x_{i_2}\in \{x_1, ..., x_n\}$.
Применим утверждение предыдущего шага 
к $w =v- \sum_{k=1}^{n-1} \frac 1 {2^{k-1}} x_{i_k}$, $\lambda=1/2^{n-1}$,
воспользуемся индукцией, получим
\[
\bigg | v- \sum_{k=1}^n \frac 1 {2^{k-1}} x_{i_k}\bigg| <
\frac 1 {2^n}.
\]

\хфилл

\ноиндент
{\bf Шаг 4:} Мы доказали, что 
\[ v = \sum_{k=1}^\infty \frac 1 {2^{k-1}} x_{i_k}. 
\]
Следовательно, $v$ принадлежит линейной оболочке
векторов $\{x_1, ..., x_n\}$, которая таким образом
должна содержать $V$ целиком. Поэтому $V$ конечномерно.
\endproof

\хфилл

Пусть $M$ -- топологическое пространство.
Напомним, что функцию $f:\; M \arrow \R$ называют
{\бф ограниченной}, если $\sup_{x\in M} |f(x)| < \infty$.
Пусть $C_b(M)$ -- пространство непрерывных, ограниченных,
вещественнозначных функций на $M$. Пусть
\[ |f|:= \sup_{x\in M} |f(x)|.\]
Легко видеть, что это норма (докажите). 
Такая норма называется {\бф $L^\infty$-нормой,}
или же {\бф $\sup$-нормой} на пространстве
непрерывных, ограниченных,
вещественнозначных функций. 

\определение
Топология, определяемая $\sup$-нормой
на пространстве непрерывных, ограниченных функций
$C_b(M)$, называется {\бф топологией равномерной
сходимости}. Последовательность функций,
которая сходится в такой топологии,
называется {\бф равномерно сходящейся.}
\ео




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\теорема\label{_sup_norma_Banach_Theorem_}
Предел равномерно сходящейся последовательности
непрерывных функций непрерывен. Более того,
пространство $C_b(M)$ с $\sup$-нормой -- банахово.

\хфилл

\ноиндент
{\бф Доказательство.} {\бф Шаг 1.}
Пусть $\{f_i\}$ -- последовательность Коши 
ограниченных функций. Поскольку 
\[ |f_i(y) - f_j(y)| \leq \sup_{x\in M} |f_i(x)-f_j(x)|,\]
для каждой точки $y\in M$, $\{f_i(y)\}$ --
последовательность
Коши. Поэтому $f_i$ поточечно сходятся к функции $f:\; M \arrow \R$.

\хфилл

\ноиндент
{\бф Шаг 2.} Пусть 
$\phi:\; M \arrow \R$ -- непрерывная функция, а 
$\Gamma_{\phi, \epsilon}\subset M \times \R$ это объединение всех
$\epsilon$-отрезков вида $m\times [\phi(m)-\epsilon, \phi(m)-\epsilon]$.
Можно думать про $\Gamma_{\phi, \epsilon}$ как про объединение графиков
функций $\phi+c$, где $c\in[-\epsilon, \epsilon]$.
Докажем, что множество $\Gamma_{\phi, \epsilon}$
замкнуто. Для этого рассмотрим отображение
$\Psi=\phi\times \Id:\; M \times \R\arrow \R \times \R$.
Легко видеть, что $\Gamma_{\phi, \epsilon} = \Psi^{-1}(W)$,
где $W$ -- замкнутое подмножество в $\R\times \R$,
составленное из всех пар $(x, y)$, таких, что $|x-y| \leq \epsilon$.
Поскольку $W$ замкнуто, а $\Psi$ непрерывно, $\Gamma_{\phi, \epsilon}$
также замкнуто.

\begin{figure}[ht]
\begin{center}\ \\
\epsfig{file=grafik.eps,width=0.9\linewidth}\\
{\small \em Множество $\Gamma_{f, \epsilon}$ получено как $\Psi^{-1}(W)$}
\end{center}
\end{figure}


\хфилл

\ноиндент
{\бф Шаг 3.} Для каждого $i$, обозначим за $\epsilon_i$
число $|f-f_i|$. График $\Gamma_f$ лежит в 
замкнутом множестве $\Gamma_{f_i, \epsilon_i}$.
Поскольку последовательность $\{\epsilon_i\}$
сходится к нулю, имеем
\[
\Gamma_f = \bigcap_i \Gamma_{f_i, \epsilon_i}.
\]
График функции $\Gamma_f$ является пересечением
замкнутых множеств, поэтому он замкнут.

\хфилл

\ноиндент
{\бф Шаг 4.} 
Поскольку функция $f$ ограниченна,
можно рассматривать ее как функцию
$f:\; M \arrow [-C, C]$.
Пусть $\pi:\; M\times [-C, C] \arrow М$ --
обычная проекция. Легко видеть, что 
$f^{-1}([a,b])= \pi(\Gamma_f\cap M\times [a,b])$.
Поскольку проекция $\pi:\; M\times [-C, C] \arrow М$
имеет компактные слои, она замкнута (это было
доказано на прошлой лекции). Поэтому  
$f^{-1}([a,b])= \pi(\Gamma_f\cap M\times [a,b])$
замкнуто, а значит, прообраз любого открытого
интервала в $[-C, C]$ открыт. Поскольку открытые
интервалы являются базой топологии, $f$
непрерывно. Мы доказали, что $\{f_i\}$ 
равномерно сходится
к непрерывной функции. \endproof

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Примеры пространств Фреше}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Пусть $V$ -- топологическое векторное пространство,
с хаусдорфовой топологией, заданной системой
полунорм $\{\nu_\alpha\}$. Напомним, что
$V$ называется {\бф пространством Фреше},
если каждая последовательность $\{x_i\}$,
которая является последовательностью Коши
относительно всех полунорм $\nu_\alpha$,
сходится к $x\in V$.

Пусть $M$ -- локально компактное топологическое
пространство, а $V$ -- пространство непрерывных
функций на $M$. Для каждого компактного подмножества
$K \subset M$, рассмотрим полунорму на $V$,
\[
|f|_K:=\sup_{x\in K} |f(x)|
\]
Поскольку $K$ компактно, а $f$ непрерывно,
имеем $\sup_{x\in K} |f(x)|< \infty$.

Эта система полунорм задает на $V$ топологию,
которая называется
{\бф топология равномерной сходимости на компактах}. 
Легко видеть, что $V$ является пространством Фреше
(докажите).

Другой пример пространства Фреше получается,
если рассмотреть пространство $C^\infty([0,1])$
гладких функций на отрезке. Рассмотрим, для каждого $n$,
норму $|f|_{C^n}$, определенную следующим образом:
\[ |f|_{C^0}= \sup_{x\in [0,1]} |f(x)|, \ \ 
|f|_{C^1}= \sup_{x\in [0,1]} |f(x)|+ |f'(x)|, ...,
\] 
\[
|f|_{C^n}:= \sup_{x\in [0,1]} \sum_{i=0}^n |f^{(i)}(x)| .
\]
Легко видеть, что
\[
|\phi|_{C^n} \geq |\phi^{(k)}|_{C^{n-k}}
\]
для любой $n$-кратно дифференцируемой функции $\phi$.
(проверьте это). В частности, $\{f_i^{(k)}\}$ -- последовательность
Коши в $C^{n-k}$-топологии, если $\{f_i\}$ -- последовательность
Коши в $C^n$.

Поскольку предел по $C^0$-норме
непрерывен, как было доказано выше, предел по
$C^k$-норме -- $k$ раз дифференцируемая функция.
Действительно, $f_i$ будет $k$-кратной первообразной
для $f_i^{(k)}$, значит, $f$ будет $k$-кратной первообразной
для $f^{(k)}:= \lim f_i^{(k)}$ (чтобы получить
это, докажите, что взятие первообразной
перестановочно с взятием предела по равномерной
сходимости).

\замечание
Мы получили, что пространство $C^k([0,1])$ $k$ раз дифференцируемых
функций на $[0,1]$  полно относительно нормы
$|\cdot|_{C^k}$. Действительно, пусть $\{f_i\}$ --
последовательность Коши относительно этой
нормы. Поскольку $|\cdot|_{C^k} \geq |\cdot|_{C^0}$,
из Теоремы \ref{_sup_norma_Banach_Theorem_} следует, что
любая последовательность Коши в норме $|\cdot|_{C^k}$
сходится к непрерывной функции. В силу вышесказанного,
эта функция $k$ раз дифференцируема.
\еза



Рассмотрим пространство $C^\infty([0,1])$
с системой норм, заданных $C^i$, $i=0,1, 2, ...$.
В силу вышесказанного, если последовательность 
$\{f_i\}$ сходится во всех этих нормах, предел
этой последовательности гладкий. 
Поэтому $C^\infty([0,1])$ -- пространство Фреше.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{$\sup$-метрика на пространстве отображений}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $X$ -- топологическое пространство, $Y$ --
метрическое пространство. Отображение $f:\; X \arrow Y$
называется {\бф ограниченным}, если $f(X)$ лежит
в шаре $B_r(y)$ для какого-то $y\in Y$,
и $r\in \R$.
\ео

На множестве $\Map_b(X,Y)$ ограниченных отображений
из $X$ в $Y$ определена {\бф $\sup$-метрика} формулой
$d(f_1, f_2):= \sup_{x\in X} d(f_1(x), f_2(x))$
(проверьте, что это метрика). Эта же метрика
определяется на $C_b(M)$ посредством $\sup$-нормы
(проверьте). Тот же самый аргумент, что доказывает
Теорему \ref{_sup_norma_Banach_Theorem_} о банаховости
$C_b(M)$, доказывает полноту пространства $C_b(X,Y)$
непрерывных, ограниченных отображений. Для доказательства,
надо убедиться, что последовательность Коши отображений
$\{f_i\}\in C_b(X,Y)$ сходится поточечно к отображению
$f\in\Map_b(X,Y)$, а затем воспользоваться 
замкнутостью графика $f$, чтоб доказать его 
непрерывность. Для этого используется такая
лемма.

\хфилл


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\лемма\label{_zamknu_gra_Lemma_}
Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- отображение топологических
пространств, причем график $\Gamma_f\subset X\times Y$
замкнут. Предположим, что  $Y$ компактно.
Тогда $f$ -- непрерывно.


\хфилл

\ноиндент
{\бф Доказательство:} Пусть $\pi_X:\; X \times Y\arrow X$ -
отображение проекции. Для каждого замкнутого подмножества
$A\subset Y$, 
\[ f^{-1}(A) = \pi_X(\Gamma_f\cap X \times A).
\]
Если $Y$ компактно, то отображение $\pi_X$ замкнуто 
(Лекция 9), поэтому множество \[ \pi_X(\Gamma_f\cap X \times A)\] тоже замкнуто,
а значит, $f$ непрерывно (докажите). \endproof



\хфилл


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\теорема\label{_oto_polno_Teorema_}
Пусть $X$ -- топологическое пространство, $Y$ -- полное
метрическое пространство, а $C_b(X,Y)$ -- пространство
непрерывных, ограниченных отображений, с $\sup$-метрикой. 
Предположим, что любой замкнутый шар в $Y$ компактен.
Тогда $C_b(X,Y)$ полно.


\ноиндент
{\бф Доказательство Теоремы \ref{_oto_polno_Teorema_}.} \\{\бф Шаг 1:} 
Поскольку $d(f_1(x), f_2(x))\leq d(f_1, f_2)$, любая
последовательность Коши $\{f_i\}$ отображений 
поточечно сходится к ограниченному отображению
$f \in \Map_b(X,Y)$. Для доказательства полноты
$C_b(X,Y)$ осталось проверить, что $f$ непрерывно.

\hfill

\noindent
{\бф Шаг 2:} 
Предположим, что любой замкнутый шар в $Y$ компактен.
Тогда для любой последовательность Коши  
\[ \{f_i\} \in \Map_b(X,Y),\] $\{f_i\}$ целиком лежит
в каком-то замкнутом шаре. Поэтому можно считать
$Y$ компактным, а значит, выполнено условие Леммы
\ref{_zamknu_gra_Lemma_}. Поэтому
для доказательства непрерывности $f$ достаточно
убедиться в том, что его график замкнут.


\hfill

\noindent
{\бф Шаг 3:} Пусть $\phi:\; X\arrow Y$ -- непрерывное
отображение, где $X$ -- топологическое пространство,
а $Y$ -- метрическое пространство.
Обозначим за $\Gamma_{\phi, \epsilon}\subset X \times Y $ множество
\[
\Gamma_{\phi, \epsilon}=
\{ (x,y) \in X\times Y\ \ |\ \ d(f(x), y) \leq \epsilon\}.
\]
Докажем, что $\Gamma_{\phi, \epsilon}$ замкнуто. В самом
деле, пусть $\Psi:\; X \times Y \arrow Y\times Y$ 
отображает $(x,y)$ в $(\phi(x),y)$, а $A_\epsilon \subset
Y \times Y$ -- множество всех пар $(y_1, y_2)$ таких, 
что $d(y_1,y_2) \leq\epsilon$.
Множество $A_\epsilon$, очевидно, замкнуто (проверьте), а 
$\Gamma_{\phi, \epsilon}= \Phi^{-1}(A_\epsilon)$,
значит, оно тоже замкнуто.


\hfill

\noindent
{\бф Шаг 4:}
Пусть $\epsilon_i = d(f, f_i)$. Тогда
\[ 
  \Gamma_f= \bigcap_i \Gamma_{f_i, \epsilon_i}
\]
(проверьте). Значит, $\Gamma_f$ -- пересечение замкнутых
множеств и оно замкнуто.
В силу Шага 2, из этого следует непрерывность $f$.
Мы доказали Теорему \ref{_oto_polno_Teorema_}.
\endproof

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{История, замечания}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

В 1821-м году Огюстен Коши опубликовал неправильное доказательство
того, что поточечный предел непрерывных функций непрерывен.
В скором времени, Абель и Фурье нашли контрпримеры к этому
утверждению, a Дирихле обнаружил ошибку в доказательстве
Коши.

Определение равномерной сходимости принадлежит,
судя по всему, Кристофу Гудерманну (Christoph Gudermann). 
В 1841-м году ученик Гудерманна Карл Вейерштрасс
опубликовал определение равномерной сходимости, и придумал немецкий
термин "gleichm\"a\ss ig konvergent", который переводится
на русский как "равномерная сходимость" (по-английски --
uniform convergence).

\begin{figure}[ht]
\begin{center}\ \\
\epsfig{file=Weierstrass.eps,width=0.85\linewidth}\\
{Karl Theodor Wilhelm Weierstra\ss\\
(1815 - 1897)}
\end{center}
\end{figure}


\end{document}



