

\documentclass{slides}

\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}


\usepackage{amsmath, amssymb, amscd, color,  epsfig}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}
\def\goth{\mathfrak}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Топология, первый курс, второй семестр\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother


   \setlength\paperheight {9in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}



\begin{document}

\setcounter{page}{0}

\ \newpage


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Топология, лекция 10: \\[3mm] Равномерная сходимость}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 24 марта, 2008\\
Независимый Университет}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

{\bf \blue Банаховы пространства}

{\bf\green Определение:} Пусть $(V,\nu)$ -- пространство с нормой.
Напомним, что $(V, \nu)$ называется {\bf\blue банаховым},
если оно полно, как метрическое пространство.

{\bf \green Замечание:} Мы доказали, что
любое конечномерное векторное пространство $V$ 
гомеоморфно $\R^n$ со стандартной метрикой. {\bf \purple}
Этот гомеоморфизм билипшицев. Получаем 


{\bf \green Утверждение:} \\{\bf \red Любое конечномерное
нормированное пространство -- банахово.}


{\bf \green Замечание:}
Отметим также, что единичный шар в $(V, \nu)$
компактен. 

{\bf \green Теорема Рисса:}
Пусть $V$ -- локально компактное нормированное пространство.
{\bf \red Тогда $V$ конечномерно.}

\newpage

{\bf \blue Доказательство теоремы Рисса}

{\bf\green Шаг 0:} Если $V$ локально компактно,
{\bf \purple замкнутый шар $\bar B_1$ компактен.}

{\bf\green Шаг 1:}
Если шар $\bar B_1$ компактен, из
покрытия $\bar B_1$ открытыми шарами радиуса $\frac 1 2$ можно 
выбрать конечное подпокрытие. Пусть $\{x_1, ..., x_n\}$
центры шаров, которые составляют это подпокрытие.
{\bf \purple Тогда для каждого $v\in V$, $|v|\leq 1$, 
для какого-то $x_i$, имеем $|v-x_i|< \frac 1 2$.}

{\bf\green Шаг 2:} Пусть $v\in \bar B_1$. Выберем
$x_{i_1}$ такой, что $|v-x_{i_1}|< \frac 1 2$,
затем $x_{i_2}$, такой, что $|v-x_{i_1} - \frac 1 2 x_{i_2}| < \frac 1 4$,
и т.д.
Воспользовавшись индукцией, получим
{\bf \purple\[
\bigg | v- \sum_{k=1}^n \frac 1 {2^{k-1}} x_{i_k}\bigg| <
\frac 1 {2^n}.
\]}
{\bf\green Шаг 3:} Мы доказали, что  
$v = \sum_{k=1}^\infty \frac 1 {2^{k-1}} x_{i_k}.$
Следовательно,
{\bf \purple $v$ принадлежит линейной оболочке
векторов $\{x_1, ..., x_n\}$.}

\newpage

{\bf \blue Топология равномерной сходимости}

{\bf\green Определение:}
Напомним, что функцию $f:\; M \arrow \R$ называют
{\bf\blue ограниченной}, если $\sup_{x\in M} |f(x)| < \infty$.
Пусть $C_b(M)$ -- пространство непрерывных, ограниченных 
функций на $M$. Введем на $C_b(M)$ норму по формуле
\[ |f|:= \sup_{x\in M} |f(x)|.\]
Такая норма называется {\bf\blue $L^\infty$-нормой,}
или же {\bf\blue $\sup$-нормой}.


{\bf\green Определение:} Определенная этой нормой
топология называется {\bf\blue топологией равномерной
сходимости}. Последовательность функций,
которая сходится в такой топологии,
называется {\bf\blue равномерно сходящейся.}

{\bf\green Замечание:}
{\bf \red Равномерно сходящаяся последовательность 
сходится поточечно.} Обратное, вообще говоря, неверно.

{\bf\green Замечание:}
Поточечно сходящаяся последовательность 
непрерывных функций может сходиться к 
разрывной функции. {\bf \red Предел равномерно сходящейся
последовательности функций всегда непрерывен.}


\newpage

{\bf \blue Полнота $\sup$-нормы}

{\bf\green Теорема:} 
Предел равномерно сходящейся последовательности
непрерывных функций непрерывен. Более того,
пространство $C_b(M)$ с $\sup$-нормой -- банахово.

{\bf \green Доказательство.} {\bf \green Шаг 1.}\\
Пусть $\{f_i\}\subset C_b(M)$ -- последовательность Коши.
 Поскольку 
\[ |f_i(y) - f_j(y)| \leq \sup_{x\in M} |f_i(x)-f_j(x)|,\]
для каждой точки $y\in M$, $\{f_i(y)\}$ --
последовательность
Коши. {\bf\purple
Поэтому $f_i$ поточечно сходятся к функции $f:\; M \arrow \R$.}

{\bf \green Шаг 2.} Пусть 
$\phi:\; M \arrow \R$ -- непрерывная функция, а 
$\Gamma_{\phi, \epsilon}\subset M \times \R$ это объединение всех
$\epsilon$-отрезков вида $m\times [\phi(m)-\epsilon, \phi(m)-\epsilon]$.
Рассмотрим отображение
$\Psi=\phi\times \Id:\; M \times \R\arrow \R \times \R$.
Поскольку
\[
\Gamma_{\phi, \epsilon} = \Psi^{-1}\bigg(\bigg\{(x,y)\in \R\times \R\ | \ |x-y|\leq \epsilon\bigg\}\bigg),
\]
{\bf\purple множество $\Gamma_{\phi, \epsilon}$ замкнуто.}


\newpage

{\bf \blue Полнота $\sup$-нормы (продолжение)}

\ \ \ \ \ \epsfig{file=grafik.png,width=0.56\linewidth}

{\bf \green Шаг 3.} Для каждого $i$, обозначим за $\epsilon_i$
число $|f-f_i|$. График $\Gamma_f$ лежит в 
замкнутом множестве $\Gamma_{f_i, \epsilon_i}$. Получаем
\[
\Gamma_f = \bigcap_i \Gamma_{f_i, \epsilon_i}.
\]
Поэтому {\bf \purple $\Gamma_f$ замкнут.}


{\bf \green Шаг 4.} Имеем
$f^{-1}([a,b])= \pi(\Gamma_f\cap M\times [a,b])$.
Поскольку проекция $\pi:\; M\times [-C, C] \arrow М$
имеет компактные слои, она замкнута. {\bf \purple Поэтому
$f^{-1}([a,b])$ замкнуто, а значит, $f$ непрерывно.}

\newpage

{\bf \blue Пространства Фреше}

{\bf \green Определение:}
Пусть $V$ -- топологическое векторное пространство,
с хаусдорфовой топологией, заданной системой
полунорм $\{\nu_\alpha\}$. Напомним, что
$V$ называется {\bf\blue пространством Фреше},
когда оно {\bf\blue полно,} то есть когда  
каждая последовательность $\{x_i\}$,
которая является последовательностью Коши
относительно всех полунорм $\nu_\alpha$,
сходится к $x\in V$.

Пусть $M$ -- локально компактное топологическое
пространство, а $V$ -- пространство непрерывных
функций на $M$. Для каждого компактного подмножества
$K \subset M$, рассмотрим полунорму на $V$,
\[
|f|_K:=\sup_{x\in K} |f(x)|
\]

{\bf \green Определение:}
Эта система полунорм задает на $V$ топологию,
которая называется
{\bf\blue топология равномерной сходимости на компактах}.

{\bf\green Замечание:} {\bf \red Эта 
система полунорм полна.} Действительно, поточечный
предел последовательности Коши существует,
и непрерывен на каждом компакте.


\newpage

{\bf \blue Пространство гладких функций на отрезке}

{\bf \green Определение:} Пусть $C^\infty([0,1])$ -- пространство
гладких функций на отрезке. Рассмотрим, для каждого $n$,
норму $|f|_{C^n}$, определенную следующим образом:
\[ |f|_{C^0}= \sup_{x\in [0,1]} |f(x)|, \ \ 
|f|_{C^1}= \sup_{x\in [0,1]} |f(x)|+ |f'(x)|, \ \ ..., \]
\[ |f|_{C^n}:= \sup_{x\in [0,1]} \sum_{i=0}^n |f^{(i)}(x)| .
\] 

{\bf\green Утверждение:} \\ {\bf \red $C^\infty([0,1])$  с такой
системой полунорм -- пространство Фреше.}

{\bf \green Доказательство:} Поскольку
\[ |\phi|_{C^n} \geq \left|\phi^{(k)}\right|_{C^{n-k}},
\]
{\bf\purple для любой последовательности Коши $\{f_i\}$,
$\{f_i^{(k)}\}$ -- тоже последовательность Коши.}
Предел   последовательности $\{f_i\}$ будет $k$-кратной
первообразной для предела $\{f_i^{(k)}\}$, значит,
предел $\{f_i\}$ -- гладкий.

\newpage

{\bf \blue Замкнутость графика отображения влечет непрерывность}

{\bf \green Лемма 1:} 
Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- отображение топологических
пространств, причем график $\Gamma_f\subset X\times Y$
замкнут. Предположим, что   $Y$ компактно.
{\bf \red Тогда $f$ -- непрерывно.}

{\bf \green Доказательство.} 
Пусть $\pi_X:\; X \times Y\arrow X$ -
отображение проекции. Для каждого замкнутого подмножества
$A\subset Y$, 
\[ f^{-1}(A) = \pi_X(\Gamma_f\cap X \times A).
\]
Если $Y$ компактно, то отображение $\pi_X$ замкнуто,
поэтому множество $f^{-1}(A)$ замкнуто, а значит,
$f$ непрерывно. 


\newpage

{\bf \blue $\sup$-метрика на пространстве отображений}

{\bf \green Определение:} \\
Пусть $X$ -- топологическое пространство, $Y$ --
метрическое пространство. Отображение $f:\; X \arrow Y$
называется {\bf\blue ограниченным}, если $f(X)$ лежит
в шаре $B_r(y)$.

На множестве $\Map_b(X,Y)$ ограниченных отображений
из $X$ в $Y$ определена {\bf\blue $\sup$-метрика} формулой
$d(f_1, f_2):= \sup_{x\in X} d(f_1(x), f_2(x))$

{\bf \green Теорема:} 
Пусть $X$ -- топологическое пространство, $Y$ -- полное
метрическое пространство, а $C_b(X,Y)$ -- пространство
непрерывных, ограниченных отображений, с $\sup$-метрикой.
Предположим, что любой замкнутый шар в $Y$ компактен.
{\bf \red Тогда $C_b(X,Y)$ полно.}

{\bf \green Доказательство. Шаг 1:}
Поскольку $d(f_1(x), f_2(x))\leq d(f_1, f_2)$,
последовательность Коши $\{f_i\}$ отображений 
поточечно сходится к ограниченному отображению
$f \in \Map_b(X,Y)$. {\bf \purple Для доказательства полноты
$C_b(X,Y)$ осталось проверить, что $f$ непрерывно.}

\newpage

{\bf \blue Непрерывность предела последовательности Коши в
$C_b(X,Y)$\\ (доказательство)}

{\bf \green Шаг 2:} 
Поскольку $\{f_i\}$ ограничены, они все принимают значение
в каком-то замкнутом шаре.
Заменив $Y$ на этот замкнутый шар, можно считать, что $Y$
компактно. В силу Леммы 1,
{\bf \purple для доказательства непрерывности $f$ достаточно
убедиться, что его график замкнут.}

{\bf \green Шаг 3:} Пусть $\phi:\; X\arrow Y$ непрерывно, а 
\[
\Gamma_{\phi, \epsilon}:=
\{ (x,y) \in X\times Y\ \ |\ \ d(f(x), y) \leq \epsilon\}.
\]
Пусть $\Psi:\; X \times Y \arrow Y\times Y$ отображает
$(x,y)$ в $(\phi(x),y)$. Тогда
\[
\Gamma_{\phi, \epsilon}= 
\Psi^{-1}\bigg(\bigg\{(y_1, y_2)\in Y \times Y \ | \ d(y_1, y_2)\leq \epsilon\bigg\}\bigg).
\]
{\bf \purple Следовательно, $\Gamma_{\phi, \epsilon}$ замкнуто.}

{\bf \green Шаг 4:} Пусть $\epsilon_i = d(f, f_i)$.
Поскольку
$\Gamma_f= \bigcap_i \Gamma_{f_i, \epsilon_i}$ -- пересечение замкнутых
множеств, оно замкнуто. {\bf \red Значит, $f$ непрерывно.}

\newpage

\begin{center}
\epsfig{file=Weierstrass.jpg,width=0.45\linewidth}\\
{Karl Theodor Wilhelm Weierstra\ss\\
(1815 - 1897)}
\end{center}

\newpage


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Топология, лекция 0: \\[3mm] Лемма Цорна и теорема Цермело}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 24 марта, 2008\\
Независимый Университет}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

{\bf \blue Аксиома выбора}


Пусть $\phi:\; A \arrow B$ сюрьективное отображение
множеств. {\bf\blue Сечением} отображения $\phi$ называется
отображение $\psi:\; B \arrow A$, такое, что
$\psi\circ \phi=\Id$. 

\begin{center}
\epsfig{file=sechenie.png,width=0.25\linewidth}
\end{center}

{\bf \red Аксиома выбора утверждает, что 
каждое сюрьективное отображение имеет сечение}

\newpage

\begin{center}
\epsfig{file=Zermelo.jpg,width=0.35\linewidth}\\
{Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo\\
(1871 - 1953)}
\end{center}


\newpage

{\bf \blue Результаты, требующие аксиомы выбора}

{\bf \green 
1. Теорема о существовании максимальных идеалов.}

{\bf \green 2. Теорема о существовании базиса в бесконечномерном
векторном пространстве} (``базиса Коши-Гамеля'').
 
{\bf \green
3. Теорема Хана-Банаха} о существовании замкнутой 
гиперплоскости, разделяющей два выпуклых, непересекающихся, замкнутых
подмножества в топологическом векторном пространстве.

{\bf \green 4. Теорема Тихонова} о компактности произведения
бесконечного количества компактов.

5.  Из аксиомы выбора
следует, что для любых множеств $X$, $Y$,
{\bf \green  $X$ равномощно подмножеству $Y$, либо
$Y$ равномощно подмножеству $X$.}

Утверждения 1, 2, 4, 5 равносильны аксиоме выбора,
а теорема Хана-Банаха существенно слабее.

\newpage

{\bf \blue Частично упорядоченные множества}

{\bf \green Определение:}
Пусть $X$ -- множество, а $R\subset X\times X$ -- бинарное
отношение на множестве $X$, обозначенное $x_1 \prec x_2$.
Это отношение называется {\bf\blue отношением частичного
порядка}, если оно удовлетворяет следующим свойствам.\\
{\bf \red транзитивность:} из $x\prec y$ и $y\prec z$ следует
$x\prec z$.\\
{\bf \red асимметричность:} если $x\prec y$, то невозможно
$y\prec x$.

Множество $(X, \prec)$ с отношением частичного
порядка называется {\bf \blue частично упорядоченное множество}.

{\bf \green Определение:}
Пусть $(X, \prec)$ -- частично
упорядоченное множество. Если для каких-то $x, y\in X$ имеет
место  $x\prec y$ либо $y\prec x$, мы говорим,
что $x$ и $y$ {\bf\blue сравнимы}.
Отношение $\prec$ называется {\bf\blue отношением линейного
порядка} (total order), если любые два элемента сравнимы. Множество
$(X, \prec)$ с отношением линейного порядка
называется {\bf\blue линейно упорядоченное множество}.


\newpage

{\bf \blue Вполне упорядоченные множества}

{\bf \green Определение:}
Пусть $(X, \prec)$ -- линейно
упорядоченное множество, а $Y \subset X$ -- его
подмножество. Элемент $y_0\in Y$ называется {\bf\blue
минимальным}, если  для любого $y\in Y$, 
имеем $y_0\preccurlyeq y$. Линейно упорядоченное
множество называется {\bf\blue вполне упорядоченным},
если любое его подмножество имеет минимальный
элемент. Отношение порядка на таком множестве
называется {\bf\blue отношение полного порядка}.

{\bf \green Определение:}
{\bf\blue Начальным элементом} вполне упорядоченного
множества называется его минимальный элемент.
{\bf\blue Отрезком} линейно упорядоченного
множества $(X, \prec)$ называется подмножество 
$Y\subset X$ такое, что для любых $x, z\in Y$,
и любого $y\in X$ такого, что $x\prec y\prec z$,
имеем $y\in Y$. {\bf\blue Начальным отрезком}
вполне упорядоченного
множества называется отрезок, содержащий
минимальный элемент. 

{\bf \green Замечание:}
Пусть $X_0\subset X$ -- начальный отрезок 
вполне упорядоченного множества, $x_0$ его
начальный элемент, а $x$ -- минимальный
элемент в $X \backslash X_0$ (мы предполагаем,
что это множество непусто). 
 {\bf\red Тогда $X_0$ -- множество всех
$y$ таких, что $x_0\preccurlyeq y\prec x$}.
Мы обозначаем такой отрезок $[x_0, x[$.

\newpage

\begin{center}
\epsfig{file=Cantor.jpg,width=0.30\linewidth}\\
{Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor\\
(1845 - 1918)}
\end{center}


\newpage

{\bf \blue Сравнение ординалов}

{\bf \green Определение:}
Два вполне упорядоченных множества называются
{\bf\blue изоморфными}, если между ними есть
биекция, сохраняющая порядок. Классы изоморфизма
вполне упорядоченных множеств называются
{\bf\blue ординалами}, или же {\bf\blue ординальными числами}.


{\bf \green Теорема:} Пусть $X$, $Y$ -- вполне
упорядоченные множества. Тогда 
$X$ изоморфно начальному отрезку $Y$,
либо $Y$ изоморфно начальному отрезку $X$.
Более того, такой изоморфизм определен
однозначно.

{\bf\green Доказательство теоремы о сравнении ординалов.}
Пусть $Z$ -- множество пар $(X_1, Y_1)$ 
изоморфных начальных отрезков $X$ и $Y$.

{\bf\green Шаг 1:}
{\bf \purple Изоморфизм начальных отрезков
$(X_1, Y_1)$ определяется однозначно
множеством $X_1$.} В самом деле,
пусть существует два различных вложения
$\phi:\; X_1\arrow Y$ и 
$\phi':\; X_1\arrow Y$,
задающие изоморфизм $X_1$ и начального
отрезка $Y$. Обозначим за $x$ минимальный
элемент $X_1$, такой, что $\phi(x) \neq \phi'(x)$.
Тогда $\phi\restrict{[x_0, x[}= \phi'\restrict{[x_0, x[}$,
следовательно, $\phi(x) = \phi'(x)$.

\newpage

{\bf \blue Сравнение ординалов (продолжение)}

{\bf\green Шаг 2:} {\bf \purple Мы получили, что $Z$ упорядочено по включению,
и это отношение задает на $Z$ полный порядок. }
Пусть $x$ -- минимальный элемент $X$, не принадлежащий $X_1$ для какого-то
$(X_1, Y_1)\in Z$. Если такого нет,
это значит, что $X$ изоморфен начальному
отрезку $Y$.  Если $Y_1=Y$, мы все доказали.
В противном случае, начальный отрезок
$[x_0, x[$ изоморфен начальному отрезку
$[y_0, y[$, следовательно, отрезок
$[x_0, x]$ изоморфен $[y_0, y]$. Мы пришли к противоречию!


{\bf\green Замечание:} {\bf \red Эта теорема определяет
порядок на ординалах:} один ординал меньше другого,
если первый изоморфен отрезку второго. 

{\bf\green Замечание:} Ординалы можно складывать и умножать.
Эти операции ассоциативны, некоммутативны, и сложение
дистрибутивно слева относительни умножения.


\newpage

{\bf \blue Лемма Цорна и теорема Цермело}

Пусть $(S, \prec)$ -- частично упорядоченное
множество. Элемент $x\in S$ называется
{\bf\blue максимальным}, если не существует $y\in S$ с $x\prec y$.
Для подмножества $S_1\subset S$ и $x\in S$, 
мы пишем $S_1 \preccurlyeq х$, если для каждого
$\xi \in S_1$ имеем $\xi \preccurlyeq x$.


{\bf \green Лемма Цорна} Пусть $(S, \prec)$  -- частично упорядоченное
множество, причем для любого вполне упорядоченного 
подмножества $S_1\subset S$ найдется элемент $\xi\in S$
такой, что $S_1 \preccurlyeq \xi$. Тогда в $S$ найдется максимальный
элемент.

{\bf \green Теорема Цермело:} 
("well-ordering theorem") 
Любое множество может быть вполне упорядочено.

{\bf \green Теорема:} 
Следующие утверждения равносильны:\\
{\bf \red ZL:} Лемма Цорна\\
{\bf \red WOT:} Теорема Цермело\\
{\bf \red AC:} Аксиома выбора.

\newpage

{\bf \blue Лемма Цорна и теорема Цермело (продолжение)}

{\bf \green ZL$\Rightarrow$ WOT:}
Пусть $X$ -- любое множество, а $S$ -- множество
всех пар $(X_1, \prec)$, где $X_1\subset X$ -- подмножество,
а $\prec$ -- отношение полного порядка на $X_1$.

Рассмотрим отношение частичного порядка на $S$:
$(X_1, \prec) < (X_2, \prec)$, если $(X_1, \prec)$ это начальный
отрезок $(X_2, \prec)$. Поскольку условие
леммы Цорна выполнено для $(S, <)$, {\bf \red в $S$ есть
максимальный элемент $(\Xi, \prec)$. }
Если $\Xi \neq X$, возьмем $\xi \in X \backslash \Xi$,
и определим отношение порядка на $\Xi_1:=\Xi \cup \{\xi\}$,
положив $\Xi \prec \xi$. Тогда $\Xi$ будет начальным
отрезком $\Xi_1$. Это невозможно, так как $\Xi$
максимальный. Значит, $\Xi=X$.

{\bf \green WOT $\Rightarrow$ AC:}
Пусть $X\stackrel\phi \arrow Y$ -- сюрьекция, а $X$ вполне
упорядочено. Определим сечение $Y \stackrel\psi\arrow X$,
взяв за $\psi(y)$ минимальный (в смысле полного порядка)
элемент $\phi^{-1}(y)$. 


\newpage

{\bf \blue Доказательство Леммы Цорна}

{\bf \green AC $\Rightarrow$ ZL.} {\bf \green Шаг 1:}
Пусть $(S, \prec)$ -- частично упорядоченное множество,
удовлетворяющее условиям леммы Цорна, и не содержащее
максимального элемента. {\bf \purple Тогда для каждого вполне
упорядоченного подмножества $S_1\subset S$, 
найдется $\xi \succcurlyeq S_1$. }


{\bf \green Шаг 2:} 
Пусть ${\goth S}$ -- множество
вполне упорядоченных подмножеств $S$,
а $\gamma:\; {\goth S}\arrow S$ -- отображение,
переводящее $S_1 \subset S$ в элемент $\xi\in S$,
удовлетворяющий $\xi \succ S_1$. 
Для доказательства существования $\gamma$ 
используется аксиома выбора. Пусть 
\[ {\goth R}:= \{ (S_1 \in {\goth S}, \xi \in S) \ | \  \xi \succ S_1\}
\]
Естественная проекция ${\goth R}\arrow {\goth S}$
сюрьективна (Шаг 1). {\bf \purple Сечение
${\goth R}\arrow {\goth S}$ в композиции с проекцией
${\goth R}\arrow S$ задаст искомое отображение $\gamma$.}

\newpage

{\bf \blue Доказательство Леммы Цорна (продолжение)}

{\bf \green Шаг 3:} Пусть $\Theta$ -- множество вполне упорядоченных
подмножеств $P\subset S$ таких, что
для каждого $p\in P$, начальный отрезок
$[p_0, p[$ удовлетворяет $p = \gamma([p_0, p[)$.
Когда $p=p_0$, это значит, что
$p_0=\gamma(\emptyset)$. {\bf \purple Тогда
множество $\Theta$ вполне упорядочено по вложению.}
Возьмем $P, Q\in \Theta$,
и пусть $p$ -- минимальный элемент $P$
такой, что отрезок $[p_0,p[$ лежит в $Q$,
а $[p_0,p]$ уже не лежит в $Q$.
Поскольку $p=\gamma([p_0,p[)$, а
$[p_0,p[$ лежит в $Q$, из $p\notin Q$ следует,
что $Q=[p_0,p[$. {\bf \purple Значит, $P$ -- начальный
отрезок $Q$, либо $Q$ -- начальный отрезок $P$.}

{\bf \green Шаг 4:} Объединение 
$P_\infty:=\bigcup_{P\in\Theta} P$ лежит в $\Theta$.
{\bf \purple Это невозможно, потому что объединение
$P_\infty \cup \gamma(P_\infty)$ строго больше
$P_\infty$, и тоже лежит в $\Theta$.} Мы пришли к
противоречию! Лемма Цорна доказана.

\end{document}



