
\documentclass[11pt]{book}

\usepackage{amsmath, amssymb, amscd, russcorr, theorem, fancyhdr, epsfig}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\triangle}{\vartriangle}

\newcommand{\version}{version 1.2,\ \   07.04.2008}

\setlength{\headheight}{15pt}
\pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny ���, ����� 2008, ������
����, ������ 11-12} 
\cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version}
\rhead{{\small  ���� ���������}}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  equations                          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\@addtoreset{footnote}{section}
\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  listki-new.tex                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Spec{\operatorname{\sf Spec}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\ev{\operatorname{\sf ev}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{\sf char}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
%        \writevedomost{\string\mc{\thezadacha} \string & \string & \string 
%        \\ \string \hline}
   }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
   \writevedomost{\string\mc{\thezadacha ##3}  \string & \string \grd \string & \string\grp
   \string \\ \string \hline}
    }}
\endgroup

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{zadacha}{������}[chapter]

\begingroup
\gdef\th@generic{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
     }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
    }}
\endgroup

\theoremstyle{generic}

\newtheorem{opredelenie}[zadacha]{�����������}
\newtheorem{ukazanie}[zadacha]{��������}
\newtheorem{zamechanie}[zadacha]{���������}

\renewcommand{\labelenumi}{\ralph{enumi}.}


\newcommand{\listok}[2]{%
\setcounter{page}{1}
\renewcommand{\@oddhead}{\hfil #2 \hfil}
\renewcommand{\@evenhead}{\hfil #2 \hfil}
\section*{#2}
\refstepcounter{section}
\setcounter{section}{#1}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% VEDOMOST GENERATION
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newwrite\Vedomost
%\immediate\openout\Vedomost = \jobname.vdm
%\newcommand{\writevedomost}[1]{\immediate\write\Vedomost{ #1 }}
\newcommand{\writevedomost}[1]{}

\def\grd{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\dtt}}\vphantom{666}}
\def\grp{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\pdp}}\vphantom{666}}

\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%   Chapter                         %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



  \renewcommand{\chapter}{%
     \secdef\ChapterNumbered\ChapterStarred}

  \def\ChapterNumbered[#1]#2{%
      \addcontentsline{toc}{chapter}{\thechapter. #1}
      \refstepcounter{chapter}
      {
\vspace{\baselineskip}
\chaptermark{#2}
          { {{\noindent\bf\huge \thechapter. \ #2\par}}}
      }
    \vspace{\baselineskip}
}

  \newcommand{\ChapterStarred}[1]{%
      \refstepcounter{chapter}
      \chaptermark{#1}%
      \vspace{\baselineskip}}

  \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{#1}}
                             



\newcommand{\������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ������ \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\�����}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ����� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\�������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ������� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ����������� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ��������� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}

\def\�����{\hfill}
\def\��������{\noindent}
\def\��{\bf}
\def\��{\em}
\def\��{\it}
\def\������{\begin{zadacha}}
\def\��{\end{zadacha}}
\def\���������{\begin{zamechanie}}
\def\���{\end{zamechanie}}
\def\��������{\begin{ukazanie}}
\def\��{\end{ukazanie}}
\def\eu{\end{ukazanie}}
\def\�����������{\begin{opredelenie}}
\def\��{\end{opredelenie}}
\def\eo{\end{opredelenie}}
\def\goth{\mathfrak}
\def\����{\begin{enumerate}} 
\def\��{\end{enumerate}}
\def\ee{\end{enumerate}}
\def\����{\item $\bullet$ %
    \writevedomost{\string & \ralph{enumi} \string &\string & \string \\ \string \hline } }

\begin{document}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{chapter}{10}
\lhead{{\scriptsize  ���������, ������ 11: ������������ ����������� �����������}}
\chapter{���������, ������ 11: \\ ������������ �����������\\ �����������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{��������� ����������� ����������\\�� $C(X,Y)$}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


����� $X$ -- ���������� �������������� ������������,
$Y$ -- ����������� ������������, � $C(X,Y)$ --
��������� ����������� ����������� �� $X$ � $Y$.
��������, ��� �� $C(X,Y)$ ���������� {\�� $\sup$-�������}
�� �������
\[
d(f, f') = \sup_{x\in X}d(f(x), f'(x)).
\]
���������� ��������� ������� �� ������������ $X$
(��������).

��������, ��� {\�� �����������} ������������
$Z$ ��������������� ������������ -- ��� ��������
���������, ������� �������� $Z$.

����� $\Delta_\epsilon$ ���������� 
����������� ��������� $\Delta$ � $Y\times Y$, �������� ��������
\[
\Delta_\epsilon = \{ (y,y') \in Y \times Y \ | \  d(y, y')
< \epsilon \}.
\]
��� ������� ������������ ����������� 
$\phi:\; X \arrow Y$, ���������� 
$\Phi= \phi \times \Id_Y:\; X \times Y \arrow Y \times Y$.
����� ������, ��� ������ $\Gamma_\phi$ ���������� ���
$\Gamma_\phi = \phi^{-1}(\Delta)$.


\begin{figure}[ht]
\begin{center}\ \\
\epsfig{file=grafik.eps,width=0.9\linewidth}\\
{\small \em ��������� $\Gamma_{\phi, \epsilon}$ �������� ��� $\Psi^{-1}(W)$}
\end{center}
\end{figure}
����� $\Gamma_{\phi, \epsilon}:=\Phi^{-1}(\Delta_\epsilon)$ --
����������� $\Gamma_\phi$, ���������� ��� �������� $\Delta_\epsilon$.

\���������\label{_Gamma_f_epsilon_neigh_Zamechanie_}
�� ������� ������ �� ��������, ���
$d(\phi, \phi') < \epsilon$ ����� � ������ �����,
����� ������ $\Gamma_{\phi'}$ ������� ����� � 
$\Gamma_{\phi, \epsilon}$.
\���

\�����������
�����
$X \times C(X,Y) \stackrel{\ev}\arrow Y$,
��������� ���� $(x, \phi)$ � $\phi(x)$.
��� ����������� ����������
{\�� ����������� ���������} (����������).
\��

�������� ����������� ���� ������ -- ��������� �������.

\�����

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\�������\label{_eval_C(X,Y)_Teorema_}
����� $X$ -- ���������� �������������� ������������,
$Y$ -- ����������� ������������, � $C(X,Y)$ --
��������� ����������� ����������� �� $X$ � $Y$,
� ���������� ����������� ����������.
�����������, ��� � $X$ ���� ������� ���� ������������ � �����.
����� ����������� ��������� 
$X \times C(X,Y) \stackrel{\ev}\arrow Y$
����������. ����� ����, ��������� �����������
���������� -- ����� ������ ���������, �
������� $\ev$ ����������.

\���������
�� ������� \ref{_eval_C(X,Y)_Teorema_}
����� �������, ��� ��������� �����������
���������� �� $C(X,Y)$ ������� ������������
�������������� ���������� $X$ � $Y$.
\���

\���������
��������, ��� ����������� ��������������
�����\-������ ���������� {\�� ������������� �����������},
���� ��� ��������� ������� �������������������
� ������� �������������������. ��������������
������������� $\ev$ ���������� ������� (���������) 
�� ����������� ������������
\[
d(f_i(x_i), f(x)) \leq d(f_i(x_i), f(x_i)) + d(f(x_i), f(x))
\]
��� $\{f_i\}\in C(X,Y)$ -- ������������������
�������, ���������� ���������� � $f$, � $\{x_i\}\in X$ --
������������������ �����, ���������� � $x$.
\���

\���������
��� ����������� �� ������� ����� ������������ � �����, 
�������������� ������������� ����������� �������
(�������� ���). ������� $X \times C(X,Y) \stackrel{\ev}\arrow Y$
����������, � �������������, ��� � $X$ ���� �������
���� ������������ � ����� (��������).
\���

�� �������� �������������� ������� 
\ref{_eval_C(X,Y)_Teorema_}
� ����� ��������� ������.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{T��������, �������� �������������\\ �������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

����� $X$, $Y$ -- �������������� ������������,
� $C(X,Y)$ -- ��������� ���� ����������� �����������
�� $X$ � $Y$.

����� $W$ -- ������������
� $X\times Y$. ���������� ��������� ${\goth S}_W$ � $C(X, Y)$,
��������� �� ���� ����������� �����������
$f\in C(X,Y)$ �����, ��� ������ $\Gamma_{f}$ ����� � $W$.
����� $C'(X,Y)$ -- ������������ ����������� �������,
� ����������, ����� ������� �������� ��������� ����
${\goth S}_W$, ��� $W$ -- ����������� ��������� ����� �������� �����������
$U \times V\subset X\subset Y$ � �������������� ���� $� \times Y$,
��� $K \subset X$ �������.

���������� ����������� 
$X \times C'(X,Y)\stackrel \Phi\arrow X \times Y$,
����������� $(x, \phi)$ � $(x, \phi(x))$.
��� ������� ��������� ��������� 
$U\times V \subset X \times Y$,
�����
\[ W:=U\times V \cup (X \backslash U) \times Y.\]

�� ����������� ${\goth S}_W$ ����� �������, ���
\[
\Phi^{-1}(U\times V) = U \times {\goth S}_W.
\]
�������������, ��� ������� $\phi\in C(X,Y)$,
����� $\phi(U)$ ����� � $V$ ����� � ������ �����,
����� ������ $\phi$ ����� � $W$.
�������������, �����������
$\Phi:\; X \times C'(X,Y)\arrow X \times Y$
����������. ��������� ����������� ���������
���������� ��� ���������� $\Phi$ � ��������,
�� ��������, ��� $X \times C'(X,Y) \stackrel{\ev}\arrow Y$
����������.

�� �����������,
���� �������� �������� � $C'(X,Y)$ ���������
����������� ����  ${\goth S}_W$, ���
$W= U \times V \cup (X \backslash U) \times Y$.
��� ���� ���������� �� ����������
$\pi(\Phi^{-1}(A))$, ��� 
$\pi:\; X \times C'(X,Y) \arrow C'(X,Y)$ -- ������������
��������, � $A=U \times V $ ������� � $X\times Y$. �������
��������� $C'(X,Y)$ ���� ��������� ���������, � �������
$\Phi$ ����������. 

\���������
������������� 
$X \times C(X,Y)\stackrel \Phi\arrow X \times Y$ �
�����-�� ��������� �� $C(X,Y)$ �����������
������������� $\ev$ � ���� �� ����� ���������.
�������������, $\ev$ ���������� ����������� $\Phi$
� ��������, � $\Phi$ ���������� ��� ������������
$\ev$ � �������� $X \times C(X,Y)\arrow X$.
\���

�� ��������, ��� $C'(X,Y)$ -- ���������
���������, � ������� ���������� ����������� $\ev$.
��� �������������� ������� \ref{_eval_C(X,Y)_Teorema_}
�������� ��������, ��� ��������� $C'(X,Y)$
������������ ��������� $C(X,Y)$.

����� $X$ -- ���������� �������������� ������������
�� ������� ����� ������������ � �����
� $Y$ -- ����������� ������������.
��� �������������� ������� \ref{_eval_C(X,Y)_Teorema_},
���������� ������������� �����������
$C'(X,Y) \stackrel \Id \arrow C(X,Y)$. ���� �������� ��������
� $C(X,Y)$ ������� �� �������� ���� 
${\goth S}_{\Gamma_{\phi, \epsilon}}$
(��������� \ref{_Gamma_f_epsilon_neigh_Zamechanie_}).
����� ��������� ������� � $C'(X,Y)$, ��
����������� ��������� �� $C'(X,Y)$.
������� $C'(X,Y) \stackrel \Id \arrow C(X,Y)$
����������, �� ���� ���������, ������������ ${\goth S}_W$,
�������, ��� ��������� ����������� ����������.

� ������ �������, ���������  $C'(X,Y)$ -- ���������
���������, � ������� ���������� �����������
���������, � $X \times C(X,Y) \stackrel{\ev}\arrow Y$
����������, ��������� $C'(X,Y)$ ������,
��� ��������� $C(X,Y)$. �� ��������,
��� ��� ��������� ������������.

\hfill

\�����������
����� $Y$ -- ���������� ����������� ������������,
$Z$ -- ����������� ������������, � $X$ ���������.
����� ����������� ����������
$C(X,Y) \times C(Y,Z) \stackrel A \arrow C(X,Z)$ ����������.

\�����

\��������
{\�� ��������������:}
����������� $C(X,Y) \times C(Y,Z)\stackrel A \arrow
C(X,Z)$ ���������� ����� � ������ �����, ����� 
\[ X\times C(X,Y) \times C(Y,Z)\stackrel {\Id_X \times A} \arrow
X \times C(X,Z)
\]
����������. �� ������� \ref{_eval_C(X,Y)_Teorema_},
���� ��������� �� $X \times C(X,Z)$
����������� $\ev^{-1}(U)$, ��� $U\subset Z$ -- ��������
���������. ������� ��� �������������� �������������
����������, ���������� ��������, ���
����������� $\ev^2(X\times C(X,Y) \times C(Y,Z)) \arrow Z$,
$(x, \phi, \psi) \arrow \psi(\phi(x))$ ����������.
� ������ �������, $\ev^2$ ���������� �����������
��������� ��� ����: ������ ���
$(x, \phi, \psi) \arrow (\phi(x), \psi)$,
� ������ ��� -- $(\phi(x), \psi) \arrow \psi(\phi(x))$,
� ������ �� ���� ��������� ����������, ��� �������
�� ������� \ref{_eval_C(X,Y)_Teorema_}. \endproof







%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{���������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

��������� �� $C(X,Y)$, ������������ ����, 
�������� ��������� {\�� ��\-���\-��-���������� ���������},
������� ���������� ��� ������ �������� ����������� $X$ 
� ������ (�� ����������� ������������) $Y$.
��� ����������� ������������ $K \subset X$ �
��������� $U\subset Y$, ����� ${\cal V}(K, U)$ --
��������� �����������, ����������� $K$ � $U$.
�������-���������� ��������� (compact-open topology)
�� $C(X,Y)$ -- ���������, �������� ����� ${\cal V}(K, U)$.

\������[*]
��������, ��� �������-���������� ���������
������������ ��������� ����������� ����������,
���� $X$ ���������, � $Y$ ����������.
\��

\������[*]
��������, ��� ����������� ����������
$C(X,Y) \times C(Y,Z) \arrow C(X,Z)$ ����������,
��� �������-���������� ���������, ���� $X$, $Y$, $Z$ 
�����������.
\��

\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\epsfig{file=Fox.eps,width=0.56\linewidth}\\
{Ralph Hartzler Fox\\
(1913 - 1973)}
\end{center}
\end{figure}

�������-���������� ��������� ������� � 1945-� ����
����� ����, ������ �������� �������, ������� 
��� ������� ������������� ��������� ���������� �����������,
� ��������� ����� ������� � ����� ������.

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\lhead{{\scriptsize  ���������, ������ 12: ������� ������������}}
\chapter{���������, ������ 12: \\ ������� ������������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{�������� ������� �����������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\�����������
����� $M$ --  �������������� ������������,
a $A\subset M$ -- ��� ������������, �������
������� � ��������. ����� $A$ ����������
{\�� �������-���������} (clopen).
\��

\���������
��������, $M$ � $\emptyset$ �������-��������.
���� � $M$ ���� �������-��������� ������������
$U$, �� ������ $M$ � $\emptyset$, �� $M$ ����� �������
� ����������� ���� ����������������, ��������, ��������
�����������, $U$ � $M \backslash U$. �������� ����
����� (��������).
\���


\�����������
����� $�$ -- �������������� ������������,
� $X \subset M$ -- ��� ������������, �������������
��� �������������� ������������ � ��������������
����������. ����� $X$ ���������� {\�� �������}
(connected), ����
����� ��������� ������������ �������
\begin{description}
\item[(i)] $X$ �� �������� �������-��������� �����������,
����� $X$ � $\emptyset$.
\item[(ii)] $X$ �� ����� ���� ������ � �����������
���� ����������������, ��������, �������� �����������
\end{description}
\��

\�����������
������� ������������ ������� $[0,1]$ -- ��� �������,
�������� ��� ������������.\footnote{����� � ������
��������� ��������� �������� �������� ������� � ���������.}

\�����

\��������
{\�� ��������������:} 
����� $X\subset [0,1]$ -- ������������, �� ���������� 
��������, ���������� ��� ��������������.
����� � $[0, 1] \backslash X$ ���������� 
����� $\alpha$ �����, ��� � $X$ ���� �����
$x> \alpha$ � ����� $y < \alpha$.
� ���� ������, $X$ ����������� � �����������
���� ��������, �������� �����������
$X \cap [0, \alpha[$ � $X \cap ]\alpha, 0]$.

����� ��������, ��� �������, �������� ���
������������ $I$ ������, ������� ��������� $I$
� ����������� ���� ����������������, �������� �����������
$X$ � $Y$, � ����� $x\in X$ -- ����� �����.
��� ��������, �������, ��� $I$ -- ��������
(�������������� ��� ������� � ������������� ����������).
����� $I_x$ -- ����������� ���� ����������,
������� � $X$ � ���������� $x$. ����� $I_x$
��� �������� $]\alpha, \beta[\subset I$, 
������ ���� $\alpha$, ���� $\beta$
�� �������� ������ $I$. �����, � �������,
$\alpha$ ��� �� ����� $I$. ����� $\alpha$ 
���������� $Y$. ��������� $Y$ 
�������, �� ����� ������ ���������, ��� 
$Y$ �������� ��������� ����������� ����� $\alpha$,
�� ��� ����������, ������ ��� $\alpha$ ��������
���������� ������ $X$.
\endproof


\�����

\���������
��������� $\bar Z$ �������� ������������ $Z$ ������ ������.
�������������, ���� $\bar Z$ ������� ������� � �����������
�������� ���������������� �������� ����������� $U$ � $V$,
$U \cap Z$ � $V\cap Z$ ������� � ��
������������. ��������� $Z$ ������ � $\bar Z$, ��� 
��������� ������� (��������).
\���

\���������
����� $X$ ������, � $f:\; X \arrow Y$ -- 
����������� �����������. ����� $f(Y)$ ������.
�������������, ���� $f(Y)$ ������� � �����������
�������� ���������������� �������� �����������,
�� ��������� -- ���������������� �������� ������������ $Y$
\���

\���������
���� $f:\; X \arrow \R$ -- ����������� �������
�� ������� ��������� �� $f(X)$ ��� �������,
�������� ��� ������������. � ���������,
$f$ ��������� ��� ������������� ��������
����� $f(x_1)$ � $f(x_2)$. 


\begin{figure}[ht]
\begin{center}\ \\
\epsfig{file=Poincare.eps,width=0.60\linewidth}\\
{Jules Henri Poincar\'e\\
(1854 - 1912)}
\end{center}
\end{figure}



\hfill

������� ��������� ������� ������ ���������� � XIX ����, ��
������������� ������� ����������� �������� ��������� ������
���� ���� ��������.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{���������� ���������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\���������
����� $X$ � $Y$ -- ��� �������������� ������� ������������
��������������� ������������ $M$. ����� $X \cup Y$ ���� ������
(�������� ���).
\���


\�����������
����� $x\in M$ -- ����� ��������������� ������������,
� $A_x$ -- ����������� ���� ������� ����������� $M$,
���������� $x$. � ���� ��������������, $A_x$ ������.
��������� $A_x$ ���������� {\�� ����������� ���������}
����� $x$.
\��

\���������
������ �������������� ������������ ��������
��������������� ������������ ����� ��������� ���������.
\���


\���������
���� $M$ ������������ � ���� �����������
��������, ���������������� �������� ����������� $U$ � $V$,
������ ���������� ��������� $M$ ����������
������� � $U$ ��� � $V$ (��������).
\���

��������, ��� ����������� ����������� ����������
{\�� ��������}, ���� ��� ��������� �������� ���������
� ��������.


\���������
����� $f:\; X \arrow Y$ -- �������� �����������
�� �������� ������. �����������, ���
$X$ ������������ � ���� �����������
��������, ���������������� �������� ����������� $U$ � $V$.
��������� ���� $f$ ������, ������������ $U$ � $V$ �������� ������
���� �������. ������� $U = f^{-1}(U_1)$, $V = f^{-1}(V_1)$,
������ $U_1$ � $V_1$ �� ������������.
��������� $f$ �������, $U_1$ � $V_1$ �������
� �������. 
\���

\���������
����� $f:\; X \arrow Y$ -- �������� �����������
�� �������� ������, � $Y$ ������. ����� $X$ ������.
\endproof

\��������� 
�� ����� �������, ��� 
������������ ������� ����������� $X$ � $Y$ ������.
�������������, ����������� �������� $\pi:\; X\times Y$
������� (��������)
� ����� ������� ����.
\���

\���������
����  $f:\; X \arrow Y$ �� �������, �� ���������
$X$ �� �������� �� ��������� $Y$ � ����� $f$.
� �������� �������, ���������� ������������
����������� �� $\R$ � ���������� ���������� �
$\R$ � ������� ����������. ���� ����� ����������� --
�����, ����� ������, �� $\R$ � ����������
����������, ��������, ��������.
\���


\���������
���������� ��������� ��������������� ������������
��������, ������ ��� ��������� �������� ���������
������. 
\���

\�����������
�������������� ������������ ����������
{\�� ������ ���������}, ���� ��� ��� �������
������������ -- �����.
\��

\�����������
����� $M$ -- ����������� �������������� ������������, � ��������
���� ���� ���������, ��������� �� �������-���������
��������. ����� $M$ ������ ��������.

\�����

\��������
{\�� ��������������:} 
����� $m \in M$. � ���� ��������������, � ������ �����
$m_1\neq m$ ���� ���������������� �����������, ��
���������� $m$. ������� $\{m\}$ -- �����������
�������-��������� ��������, $\{m\} = \bigcap U_\alpha$. 
����� ������� ������������
$Z\subset M$, ���������� $m$, ���������� � ������ �� ���� 
�������-��������� �������� ������� (��������). ������� 
$Z \subset \bigcap U_\alpha=\{m\}$.
\endproof

\�����

\���������
������������ $\Z_p$ $p$-��������� �����
������ ��������. �������������, ������ ��������
��� � $\Z_p$ ������� (�������� ���).

\������
��� �� �������� ������������ $\Z_p$ ���������������?
\��


\��������� 
����� $M$ -- �������������� ������������,
� \\ $f:\; M \arrow X$ -- ������������ �����������.
���������� �� $X$ ����� ���������: $U\subset X$ �������,
���� $f^{-1}(U)$ �������. ��� ���������� ���������
�� $X$ �����, ��� $f$ ����������. 
\���


\�����������
����� $M$ -- �������������� ������������,
� $\underline M$ -- ��������� ��������� ��������� $M$.
���������� �� $\underline M$ ���������� ���������,
� ������� ������������ �������� 
$\pi:\; M \arrow \underline M$
����������. ����� $\underline M$ ����������
{\�� ������������� ��������� ��������� $M$}.
\��

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{�������� ���������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\�����������
������������ $M$ ���������� {\�� ������� �������},
���� ��� ����� ���� ����� $x, y\in M$ ��������
����������� ����������� $\gamma:\; [0,1]\arrow M$
�����, ��� $x$ � $y$ ����� � ������ $\gamma$.
\��

\���������
�� �������� ��������� ������� ���������.
�������������, ������� $[0,1]$ ������,
����� �������� ��������� ������, �����������
�������������� ������� �������� ������,
� ������� ������� ������� ������������
������� �� �����-������������ ���������� ���������.
\���

\begin{figure}[ht]
\begin{center}\ \\
\epsfig{file=sin-1x.eps,width=0.8\linewidth}\\
{\small  ������ $f(x)= \sin(1/x)$}
\end{center}
\end{figure}

���������� ������ $\Gamma_f$ ����������� $f(x)= \sin(1/x)$,
\[ f:\; ]0, 1]\arrow [-1,1].\]


��� ��������� ����������; ����� ������, ��� ��� ����������
$\bar\Gamma_f$ ����� ����������� $\Gamma_f$ � ������� 
$\{0\}\times [-1,1]$.

������������ $\Gamma_f$ ����������� ������������� $]0, 1]$
(������������ �������� ��������� �� ��� �������).
������� $\bar\Gamma_f$ ���� ������, ��� ���������
�������� ���������.

\�����

\�����������
����������� ����� ������� ���������
 $\bar\Gamma_f$ �� �������� ������� �������.


\�����

\��������
{\�� ��������������:}
����� $\gamma:\; [0,1] \arrow \bar\Gamma_f$ --
����������� �� �������, ����� �������� �� �����
������� � $\{0\}\times [-1,1]$. �������, ���
����� $\gamma$ �� ���������� $\{0\}\times [-1,1]$.
����� $U \subset [0,1]$ -- �������� ���������,
���������� ��� $\gamma^{-1}(\Gamma_f)$,
$U_0$ -- �����-�� ���������� ��������� $U$,
$\bar U_0$ -- �� ���������, 
� $Z= \gamma(\bar U_0)$. �����������,
��� $Z$ ���������� $\{0\}\times [-1,1]$
(� ��������� ������ $\gamma([0,1])$ �����
� $\Gamma_f$, � �� ��� ��������).

\�����


\��������
{\�� ��� 1:} ��������� $\bar U_0$ ���������,
$Z$ ���� ���������, � ������������� ��������.

\�����

\��������
{\�� ��� 2:}
��������� ��������� $\gamma(U_0)$ ����������
$\{0\}\times [-1,1]$, ��� �� ����������
� $\Gamma_f$. �������������, $\gamma(U_0)$
�������� ������������ ���� 
\[
\{ (\alpha, \sin(1/\alpha)) \ | \  0< \alpha< c\},
\]
� ��� ��������� $Z$ �������� ������� $\{0\}\times [-1,1]$ �������.


\�����

\��������
{\�� ��� 3:} ��������� $Z\backslash \gamma(U_0)$
�������� $\{0\}\times [-1,1]$,
����� $\gamma(\bar U_0 \backslash U_0)$ �������� �������
$\{0\}\times [-1,1]$. �� ��� ����������, ������ ���
��������� $\bar U_0 \backslash U_0$  �������.
\endproof


\end{document}



