
\documentclass[11pt]{book}

\usepackage{amsmath, amssymb, amscd, russcorr, theorem, fancyhdr, epsfig}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\triangle}{\vartriangle}

\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   14.04.2008}

\setlength{\headheight}{15pt}
\pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny НМУ, весна 2008, первый
курс, лекция 15} 
\cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version}
\rhead{{\small  Миша Вербицкий}}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  equations                          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\@addtoreset{footnote}{section}
\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  listki-new.tex                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Spec{\operatorname{\sf Spec}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\ev{\operatorname{\sf ev}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}
\newcommand{\Ob}{\operatorname{{\cal O}b}}
\newcommand{\Mor}{\operatorname{{\cal M}or}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Set}{\operatorname{Set}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{\sf char}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
%        \writevedomost{\string\mc{\thezadacha} \string & \string & \string 
%        \\ \string \hline}
   }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
   \writevedomost{\string\mc{\thezadacha ##3}  \string & \string \grd \string & \string\grp
   \string \\ \string \hline}
    }}
\endgroup

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{zadacha}{Задача}[chapter]

\begingroup
\gdef\th@generic{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
     }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
    }}
\endgroup

\theoremstyle{generic}

\newtheorem{opredelenie}[zadacha]{Определение}
\newtheorem{ukazanie}[zadacha]{Указание}
\newtheorem{zamechanie}[zadacha]{Замечание}

\renewcommand{\labelenumi}{\ralph{enumi}.}


\newcommand{\listok}[2]{%
\setcounter{page}{1}
\renewcommand{\@oddhead}{\hfil #2 \hfil}
\renewcommand{\@evenhead}{\hfil #2 \hfil}
\section*{#2}
\refstepcounter{section}
\setcounter{section}{#1}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% VEDOMOST GENERATION
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newwrite\Vedomost
%\immediate\openout\Vedomost = \jobname.vdm
%\newcommand{\writevedomost}[1]{\immediate\write\Vedomost{ #1 }}
\newcommand{\writevedomost}[1]{}

\def\grd{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\dtt}}\vphantom{666}}
\def\grp{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\pdp}}\vphantom{666}}

\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%   Chapter                         %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



  \renewcommand{\chapter}{%
     \secdef\ChapterNumbered\ChapterStarred}

  \def\ChapterNumbered[#1]#2{%
      \addcontentsline{toc}{chapter}{\thechapter. #1}
      \refstepcounter{chapter}
      {
\vspace{\baselineskip}
\chaptermark{#2}
          { {{\noindent\bf\huge \thechapter. \ #2\par}}}
      }
    \vspace{\baselineskip}
}

  \newcommand{\ChapterStarred}[1]{%
      \refstepcounter{chapter}
      \chaptermark{#1}%
      \vspace{\baselineskip}}

  \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{#1}}
                             



\newcommand{\пример}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Пример \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\лемма}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Лемма \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Теорема \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Утверждение \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Следствие \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}

\def\хфилл{\hfill}
\def\ноиндент{\noindent}
\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\задача{\begin{zadacha}}
\def\ез{\end{zadacha}}
\def\замечание{\begin{zamechanie}}
\def\еза{\end{zamechanie}}
\def\указание{\begin{ukazanie}}
\def\еу{\end{ukazanie}}
\def\eu{\end{ukazanie}}
\def\определение{\begin{opredelenie}}
\def\ео{\end{opredelenie}}
\def\eo{\end{opredelenie}}
\def\goth{\mathfrak}
\def\енум{\begin{enumerate}} 
\def\ее{\end{enumerate}}
\def\ee{\end{enumerate}}
\def\итем{\item $\bullet$ %
    \writevedomost{\string & \ralph{enumi} \string &\string & \string \\ \string \hline } }

\begin{document}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{chapter}{14}
\lhead{{\scriptsize  Топология, лекция 15: Фундаментальная
группа}}
\chapter{Топология, лекция 15:\\ Фундаментальная группа}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Гомотопные отображения}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $f_0, f_1:\; X \arrow Y$ -- непрерывные отображения.
{\бф Гомотопией} $f_0$ в $f_1$ называется непрерывное
отображение $f:\; X \times [0,1] \arrow Y$ такое,
что $f\restrict{X \times \{0\}}=f_0$, $f\restrict{X \times \{1\}}=f_1$.
\ео

\замечание
Гомотопные отображения - отображения, которые можно непрерывно
продеформировать одно в другое. 
\еза

\замечание
Пусть $f_0$, $f_1$ принадлежат какому-то выделенному
классу отображений, например, к классу $C$-липшицевых
отображений из метрического пространства $X$ в метрическое
пространство $Y$. Говорится, что $f:\; X \times [0,1] \arrow Y$
{\бф гомотопия в классе ${\cal A}$}, если для любого $t$,
отображение $f_t:=f\restrict{X \times \{t\}}:\; X \arrow Y$
принадлежит классу ${\cal A}$. 
\еза

\задача
Пусть $f, g:\; \R^n \arrow \R$ -- гладкие функции.
Докажите, что $f$ и $g$ гомотопны в классе гладких
отображений.
\ез

Следующее утверждение вполне очевидно.

\хфилл

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\утверждение\label{_composi_gomo_Utverzhdenie_}
Пусть $f_0, f_1:\; X \arrow Y$ -- гомотопные отображения,
а $g:\; P\arrow X$, $h:\; Y \arrow Z$ - непрерывные
отображения. Тогда $f_0 \circ h$ гомотопно $f_1 \circ h$,
а $g \circ f_0$ гомотопно $g \circ f_1$.

\хфилл

\ноиндент
{\бф Доказательство:} 
Пусть $f:\; X \times [0,1] \arrow Y$ -- гомотопия $f_0$ в $f_1$.
Гомотопию $f_0 \circ h$ в $f_1 \circ h$
строим как композицию $f\circ h:\; X \times [0,1] \arrow Z$
(проверьте, что это гомотопия). Гомотопию 
$g \circ f_0$ в $g \circ f_1$ получим, взяв композицию
$g\times \Id_{[0,1]}:\; P \times [0,1] \arrow X \times [0,1]$
и $f:\; X \times [0,1] \arrow Y$.
\endproof

\хфилл

Следующее утверждение также тривиально, но весьма полезно.

\хфилл

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\утверждение\label{_transiti_gomo_Utverzhdenie_}
Пусть $f_0, f_1, f_2:\; X \arrow Y$ -- непрерывные
отображения, причем $f_0$ гомотопно $f_1$, а $f_1$
гомотопно $f_2$. Тогда $f_0$ гомотопно $f_2$.


\хфилл

\ноиндент
{\бф Доказательство:}
Пусть
$\tilde f:\; X \times [0,1] \arrow Y$ -- гомотопия $f_0$ в $f_1$,
а $\tilde{\tilde f}:\; X \times [1,2] \arrow Y$ -- гомотопия $f_1$ в $f_2$.
Рассмотрим отображение $f:\; X \times [0,1] \arrow Y$
\begin{equation}\label{_skle_gomoto_Equation_}
f(x, \lambda) = \begin{cases} 
\tilde f(2\lambda), & \ \ \text{если} \ \ \lambda\leq \frac 1 2\\
\tilde{\tilde f}(2\lambda), &\ \ \text{если} \ \ \lambda\geq \frac 1 2\\
\end{cases}
\end{equation}
Если $f$ непрерывно, оно, очевидно, является гомотопией
$f_0$ в $f_2$, поэтому для доказательства Утверждения
\ref{_transiti_gomo_Utverzhdenie_}, достаточно
убедиться, что $f$ непрерывно.

Легко убедиться, что отображение $\phi:\; A \arrow B$ 
непрерывно, если для каждого $Z\subset A$, образ
$\phi(\bar Z)$ замыкания $Z$ лежит в замыкании $\overline{\phi(Z)}$
(проверьте это). 

Пусть $Z \subset X \times [0,1]$ -- некоторое подмножество,
причем 
\[ Z_1= Z \cap  X \times [0,1/2]\ \ \text{и} \ \  
Z_2= Z \cap  X \times [1/2,1]. 
\]
Легко видеть, что
$\bar Z = \bar Z_1 \cup \bar Z_2$, соответственно
\[
f(\bar Z ) \subset f(\bar Z_1) \cup f (\bar Z_2) 
\subset \overline{f (Z_1)} \cup \overline{f(Z_2)}
\]
(последнее включение следует из того, что ограничения
$f\restrict {X \times [0,1/2]}$\\ и $f\restrict {X \times [1/2,1]}$
непрерывны). Поэтому $f$ непрерывно. Утверждение
\ref{_transiti_gomo_Utverzhdenie_} доказано.
\endproof


\замечание
Предыдущее утверждение означает, что гомотопии
можно "склеивать" между собой: приклеив
гомотопию из $f_0$ в $f_1$ к гомотопии $f_1$ в $f_2$,
мы получим гомотопию $f_0$ в $f_2$. Первое отображение
непрерывно деформируется во второе, второе в третье,
и взяв эти две деформации одну за другой, мы получаем,
что первое можно непрерывно продеформировать в третье.
\еза


\замечание
Из Утверждения
\ref{_transiti_gomo_Utverzhdenie_}
следует, что отношение ``$f$ гомотопно $g$" транзитивно.
Оно также рефлексивно и симметрично (проверьте).
Множество классов эквивалентности отображений
$f:\; X \arrow Y$  с точностью
до гомотопии
называется {\бф множество классов гомотопической
эквивалентности отображений}, или же {\бф множество
гомотопических классов отображений}.
\еза

\задача
Пусть $\Ob(\cac)$ - класс всех топологических
пространств, а $\Mor(X,Y)$ - множество гомотопических
классов непрерывных отображений из $X$ в $Y$. Докажите,
что таким образом получается категория. Эта категория
называется {\бф гомотопическая категория}, а изоморфизмы
в ней -- {\бф гомотопическими эквивалетностями}.
\ез



В дальнейшем нам понадобится следующая
тривиальная лемма.


\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\лемма \label{_homo_fu_Lemma_}
Пусть $f_0, f_1$ непрерывные отображения
из отрезка $[a, b]$ в отрезок $[c, d]$, причем
$f_i(a) = a'$, $f_i(b)=b'$. Тогда $f_0$ гомотопно
$f_1$ в классе отображений, переводящих $a$ в $a'$,
$b$ в $b'$.

\хфилл

Следующее отображение осуществляет искомую гомотопию
\begin{align*}f:\; [a, b]\times [0,1]  \arrow [c,d],\ \ \ 
f(x, t) = t f_1(x) + (1-t) f_0(x)
\end{align*}
(проверьте это).


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Категория отмеченных пространств и пространства петель}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пара
\[ \bigg(\text{топологическое пространство $M$, точка
$m\in M$}\bigg)
\]
называется {\бф отмеченным пространством}, обозначается
$(M,m)$. Отмеченное пространство это топологическое
пространство, в котором выбрана точка.
\ео

\определение
{\бф Непрерывное отображение отмеченных \\ пространств}
$\phi:\; (X,x) \arrow (Y,y)$  -- непрерывное отображение
из $X$ в $Y$, которое переводит $x$ в $y$. 
Во избежание путаницы, непрерывные отображения
отмеченных пространств называются {\бф морфизмами
отмеченных пространств}.
\ео


Напомним, что {\бф категорией} $\cac$ называется набор
объектов $\Ob(\cac)$, таких, что для каждой пары
$X, Y \in \Ob(\cac)$ задано множество $\Mor(X,Y)$
{\бф морфизмов из $X$ в $Y$}. На морфизмах задано
отображение композиции
\[
\Mor(X,Y)\times \Mor(Y,Z) \arrow \Mor(X,Z),
\]
которое ассоциативно. В каждом множестве
$\Mor(X,X)$ выделен {\бф тождественный морфизм}
$\Id_X$, причем композиция любого морфизма $\phi$
с тождественным равна $\phi$

\замечание
Легко видеть, что {\ем отмеченные 
пространства образуют категорию:} композиция
морфизмов -- снова морфизм, композиция очевидно
ассоциативнa, а тождественное
отображение \[ \Id_{(X,x)}:\; (X,x) \arrow (X,x)\]
является морфизмом отмеченных пространств.
\еза

\определение
Пусть $f_0, f_1:\; (X,x) \arrow (Y,y)$ --
морфизмы отмеченных пространств.
{\бф Гомотопией морфизма $f_0$ к $f_1$} называется
отображение $f:\; X \times [0,1] \arrow Y$
такое, что $f(x, t) =y$ для любого $t\in [0,1]$.
\ео


\определение
Пусть $M$ -- топологическое пространство.
Напомним, что {\бф путем из $x\in M$ в $y\in M$}
называется непрерывное отображение 
$\gamma:\; [a,b] \arrow M$
из отрезка $[a,b]$ в $M$ такое, что
$\gamma(a) =x$, $\gamma(b)=y$.
\ео

\определение
Пусть $(M,m)$ -- отмеченное
топологическое пространство.
Рассмотрим множество путей $\gamma:\; [0,1] \arrow M$
из $m$ в $m$. Такие пути называются
{\бф петлями в $M$}. Множество всех
петель обозначается $\Omega(M,m)$.

Если $M$ -- метрическое пространство,
на $\Omega(M,m)$ вводится $\sup$-\-ме\-т\-ри\-ка,
заданная формулой
\[
d(\gamma, \gamma') = \sup_{t\in [0,1]} d(\gamma(t), \gamma'(t)).
\] 
Пространство $\Omega(M,m)$ называется
{\бф пространством петель} для $M$.
Если $M$ метризуемо и локально компактно,
топология на $\Omega(M,m)$ не зависит 
от выбора метрики на $M$ (Лекция 11). В такой ситуации
мы рассматриваем пространство петель 
$\Omega(M,m)$ как топологическое пространство.
\ео

\замечание
Рассмотрим окружность $S^1$ с отмеченной точкой.
Легко видеть, что любой путь $\gamma:\; [0,1] \arrow M$ из $m$ в $m$
задает морфизм $(S^1, 0) \arrow (M,m)$, и это соответствие
взаимно однозначно. В дальнейшем, мы будем рассматривать
$\Omega(M,m)$ как множество морфизмов отмеченных пространств
$(S^1, 0) \arrow (M,m)$.
\еза

\замечание
Терминология теории категорий в применении к отмеченным
пространствам может показаться избыточной. Это не так:
язык теории категорий существенно экономит время и
позволяет избежать двусмысленностей. Если вы испытываете
дискомфорт от те\-о\-ре\-ти\-ко-\-ка\-те\-гор\-но\-го
языка, всякий  раз заменяйте
"морфизм отмеченных пространств" на "непрерывное
отображение, переводящее отмеченную точку
в отмеченную точку", и постижение топологии
 будет менее болезненным.
\еза

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Фундаментальная группа}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Пусть $(M,m)$ -- отмеченное топологическое пространство.
В силу Утверждения \ref{_transiti_gomo_Utverzhdenie_},
гомотопия задает отношение эквивалентности на 
множестве всех морфизмов $(S^1, 0) \arrow (M,m)$,
или, что то же самое, путей из $m$ в $m$.
Множество классов гомотопической эквивалентности 
путей из $m$ в $m$ обозначается $\pi_1(M,m)$.

Если $\gamma, \gamma':\; [0,1] \arrow M$ --
два пути из $m$ в $m$, обозначим за
$\widetilde{\gamma\gamma'}:\; [0,2]\arrow M$
путь, который получен по формуле
\[
\widetilde{\gamma\gamma'}(\lambda) = \begin{cases} 
\gamma(\lambda), & \ \ \text{если} \ \ \lambda\leq 1\\
\gamma'(\lambda-1), &\ \ \text{если} \ \ \lambda\geq 1.
\end{cases}
\]
Непрерывность этого пути доказывается тем же самым
аргументом, который использовался при доказательстве
Утверждения \ref{_transiti_gomo_Utverzhdenie_}
(отображение $f:\; X \arrow Y$ непрерывно, если замыкание 
образа любого $Z\subset X$ содержит образ замыкания $Z$).

Определим произведение $\gamma\gamma'$ формулой
$\gamma\gamma'(\lambda) = \widetilde{\gamma\gamma'}(2\lambda)$.

Следующая лемма утверждает, что это произведение
переводит гомотопные пути в гомотопные. Эта лемма
 тривиальна, и интуитивно очевидна.
В самом деле, произведение путей -- это обход $M$ вдоль
одного пути, потом вдоль другого; если мы непрерывно 
продеформируем первый путь и  второй, то произведение 
путей тоже продеформируется, а значит, будет
гомотопно исходному произведению.

\хфилл

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\лемма
Определенная выше операция на $\Omega(M,m)$
переводит гомотопные пути в гомотопные: если
$\gamma_0$ гомотопен $\gamma_1$, а 
$\gamma_0'$ гомотопен $\gamma_1'$, то
$\gamma_0\gamma_0'$ гомотопен $\gamma_1\gamma_1'$.

\хфилл

{\бф Доказательство:}
Пусть
\[ \gamma:\; [0,1]\times [0,1] \arrow M, \ \ 
\gamma':\; [0,1]\times [0,1] \arrow M\] 
-- гомотопии,
соединяющие $\gamma_0$ и $\gamma_1$, а также
$\gamma_0'$ и $\gamma_1'$. Гомотопии путей это отображения
из квадрата в $M$, а то, что концы пути остаются в $m$,
означает, что две стороны квадрата идут в $m$
(остальные две стороны идут в $\gamma_0$, $\gamma_1$
для первого квадрата, $\gamma_0'$, $\gamma_1'$ для второго).
Рассмотрим гомотопию между $\widetilde{\gamma_0\gamma_0'}$
и $\widetilde{\gamma_1\gamma_1'}$, полученную по формуле
\[
\widetilde{\gamma\gamma'}(\lambda, t) = \begin{cases} 
\gamma(\lambda,t), & \ \ \text{если} \ \ \lambda\leq 1\\
\gamma'(\lambda-1,t), &\ \ \text{если} \ \ \lambda\geq 1.
\end{cases}
\]
Вышеприведенный аргумент
(отображение $f:\; X \arrow Y$ непрерывно, если замыкание 
образа любого $Z\subset X$ содержит образ замыкания $Z$)
доказывает, что это отображение непрерывно, значит,
осуществляет гомотопию $\widetilde{\gamma_0\gamma_0'}$
и $\widetilde{\gamma_1\gamma_1'}$. Гомотопия 
$\gamma_0\gamma_0'$ и $\gamma_1\gamma_1'$
получается из этого, поскольку
$\gamma_0\gamma_0'$ и $\gamma_1\gamma_1'$
получены из $\widetilde{\gamma_0\gamma_0'}$
и $\widetilde{\gamma_1\gamma_1'}$ репараметризацией.
\endproof

\хфилл

Из этой леммы следует, что произведение
$\gamma, \gamma' \arrow \gamma\gamma'$ --
корректно определенная операция на множестве
$\pi_1(M,m)$ классов гомотопической 
эквивалентности путей из $m$ в $m$.

\хфилл

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\теорема
Определенная выше операция 
\[ \pi_1(M,m) \times \pi_1(M,m)\arrow \pi_1(M,m)\]
задает структуру группы на $\pi_1(M)$.

\хфилл

\ноиндент
{\бф Доказательство:} Нужно проверить выполнение групповых
аксиом. Роль единицы $\iota :\; [0,1]\arrow M$ 
играет отображение $[0,1]$ в точку $m\in M$. Эта петля
называется {\бф тривиальной}.
Обозначим за $\phi_0:\; [0,1]\arrow [0,1]$
отображение $t \arrow \max(0, 2t-1)$, за 
$\phi_1:\; [0,1]\arrow [0,1]$ отображение
$t \arrow \min(1, 2t)$. 



\begin{center}
\begin{minipage}{.45\linewidth}
\begin{center}\epsfig{file=phi_0.eps,width=0.9\linewidth}\\ 
{\small График функции $\phi_0(t)$} \end{center}\end{minipage}
\begin{minipage}{.45\linewidth}
\begin{center}\epsfig{file=phi_1.eps,width=0.9\linewidth}\\ 
{\small График функции $\phi_1(t)$} \end{center}\end{minipage}
\end{center}

% max(x,y)=x>y?x:y
% min(x,y)=x<y?x:y
% f(x) = max(0, 2*x-1)
% set terminal postscript eps lw 3 butt "Helvetica" 22
% set output "phi_0.eps"
% set size square
% plot [0:1] [0:1] f(x)
% f(x) = min(1, 2*x)
% set output "phi_1.eps"

Легко видеть, что $\gamma\iota= \phi_0 \circ\gamma$, а
$\iota\gamma= \phi_1 \circ\gamma$. В силу Леммы \ref{_homo_fu_Lemma_},
функции $\phi_1$ и $\phi_2$ гомотопны друг другу и тождественному
отображению $x\arrow x$ в классе функций, сохраняющих
$0$ и $1$. Kомпозиция уважает гомотопию
(Утверждениe \ref{_composi_gomo_Utverzhdenie_}), следовательно,
путь $\gamma\iota$ гомотопен $\iota\gamma$ и гомотопен
$\gamma$.

Обратный элемент $\gamma^{-1}$ к пути $\gamma$
строится так: $\gamma^{-1}(t) = \gamma(1-t)$.
Рассмотрим функцию $\Phi:\; [0,1]\arrow [0,1]$,
$\Phi(t)= \min(2t, 2-2t)$,

% f(x) = min(2*x, 2-2*x)
% set output "Phi.eps"


\begin{center}\epsfig{file=Phi.eps,width=0.4\linewidth}\\ 
{\small График функции $\Phi(t)$} \end{center}


Легко видеть, что $\gamma\gamma^{-1}=\Phi\circ\gamma$.
Поскольку $\Phi$ гомотопен отображению $t\arrow 0$
в классе функций, переводящих 0 и 1 в 0 (Лемма \ref{_homo_fu_Lemma_}), 
путь $\gamma\gamma^{-1}=\Phi\circ\gamma$ гомотопен тривиальному.

Эту гомотопию можно увидеть  из следующей картинки.

\begin{center}\epsfig{file=styagivaem.eps,width=0.95\linewidth}\\ 
{\small Стягивание петли $\gamma\gamma^{-1}$ в точку} \end{center}

Наконец, ассоциативность умножения видна из следующего
рассуждения. Пусть $\gamma_0$, $\gamma_1$, $\gamma_2$ три
пути из $m$ в $m$, а $\widetilde{\gamma_0\gamma_1\gamma_2}:\; [0,3]\arrow M$ --
петля, определенная формулой
\[
\widetilde{\gamma_0\gamma_1\gamma_2}(\lambda) = \begin{cases} 
\gamma_0(\lambda), & \ \ \text{если} \ \ 0\leq\lambda\leq 1\\
\gamma_1(\lambda-1), &\ \ \text{если} \ \ 1\leq\lambda\leq 2,\\
\gamma_2(\lambda-2), &\ \ \text{если} \ \ 2\leq\lambda\leq 3.
\end{cases}
\]
Рассмотрим функции $\psi_1, \psi_2:\; [0,1]\arrow [0,3]$
заданные формулами
\[
\psi_1(t) = \max\left(2 t, 4 \left(t-1/4\right)\right), 
\ \ \psi_2(t) = \min\left(4 t, 2\left(t+1/2 \right)\right)
\]
Функции $\psi_1$ и $\psi_2$ - кусочно-линейные,
их графики составлены из двух прямолинейных отрезков. У $\psi_1$ 
первый отрезок соединяет (0,0) и (1/2,1), второй отрезок
соединяет (1/2,1) и (1,3). У $\psi_2$ первый отрезок 
соединяет (0,0) и (1/2,2), второй отрезок соединяет
 (1/2,2) и (1,3).

% f(x) = max(2*x, 4*(x-0.25))
% set grid
% plot [0:1] [0:3] f(x) title ""
% set size ratio 3 1,2
% set output "psi_1.eps"
% f(x) = min(4*x, 2*(x+0.5))


\begin{center}
\begin{minipage}{.45\linewidth}
\begin{center}\epsfig{file=psi_1.eps,width=0.65\linewidth}\\ 
{\small График функции $\psi_1(t)$} \end{center}\end{minipage}
\begin{minipage}{.45\linewidth}
\begin{center}\epsfig{file=psi_2.eps,width=0.65\linewidth}\\ 
{\small График функции $\phi_2(t)$} \end{center}\end{minipage}
\end{center}

Легко видеть, что 
$\gamma_0(\gamma_1\gamma_2)=
\psi_1\circ
\widetilde{\gamma_0\gamma_1\gamma_2}(\lambda)$,
и $(\gamma_0\gamma_1)\gamma_2=
\psi_2\circ
\widetilde{\gamma_0\gamma_1\gamma_2}(\lambda)$
(проверьте). Поскольку $\psi_1$ и $\psi_2$ гомотопны,
из этого следует, что гомотопны петли
$\gamma_0(\gamma_1\gamma_2)$ и
$(\gamma_0\gamma_1)\gamma_2$.
Мы доказали, что $\pi_1(M, m)$ это группа.
\endproof

\определение
Группа $\pi_1(M, m)$, определенная выше, называется
{\бф фундаментальной группой} топологического
пространства $(М, m)$.
\ео

\замечание
Пусть \[ (X,x)\stackrel f\arrow (Y,y)\] -- морфизм отмеченных
пространств. Для любого пути $\gamma\in \Omega(X,x)$,
композиция $\gamma\circ f$ задает путь в $(Y,y)$.
Пользуясь тем. что композиция $f$ с гомотопными отображениями
гомотопна (Утверждение \ref{_composi_gomo_Utverzhdenie_}),
мы получаем, что $\gamma \arrow \gamma\circ f$ определяет
отображение на классах эквивалентности петель
$\pi_1(X,x) \arrow \pi_1(Y,y)$. 
Из конструкции этого отображения сразу ясно,
что это гомоморфизм групп. Отображение
фундаментальных групп, индуцированное $f$, часто
обозначается той же самой буквой.
\еза

\замечание
Напомним, что {\бф функтор} из категории $\cac_1$ в
$\cac_2$ задается отображением \[ F:\; \Ob(\cac_1) \arrow \Ob(\cac_2)\]
и отображениями  \[ F:\; \Mor(X,Y) \arrow \Mor(F(X), F(Y)),\]
определенными для любых $X, Y\in \Ob(\cac_1)$,
переводящими $\Id_X$ в $\Id_{F(X)}$ и 
совместимыми с взятием композиций.
\еза

\замечание
Взятие фундаментальной группы определяет
функтор из категории отмеченных пространств
в категорию групп (проверьте это).
\еза


\замечание
Пусть $f_0, f_1:\; (X,x) \arrow (Y,y)$ - гомотопные отображения.
Тогда соответствующие гомоморфизмы фундаментальных
групп совпадают. В самом деле, если $f_0$ гомотопно $f_1$,
то $\gamma\circ f_0$ гомотопно $\gamma\circ f_1$, для
любой петли $\gamma\in \Omega(X,x)$.
\еза



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Стягиваемые пространства, ретракты,
гомотопическая  эквивалентность}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $(X,x)$ -- отмеченное топологическое
пространство. Рассмотрим отображение
$\iota_x:\; X \arrow X$, переводящее все точки
$X$ в $x$. Пространство $X$ называется
{\бф стягиваемым}, если $\iota_x$ гомотопно
тождественному отображению $\Id_X$.
\ео

\пример
Пусть $(X,x)$ -- подмножество $\R^n$.
Это подмножество называется {\бф звездчатым}, если
для любой точки $x'\in X$, отрезок
$[x,x']$ целиком лежит в $X$. 
Рассмотрим отображение
\[
X \times [0,1] \stackrel \Psi \arrow X,
\]
переводящее $(x',t)$ в $x - t(x-x')$.
Легко видеть, что $\Psi$ это гомотопия
$\Id_X$ и $\iota_x$ (докажите это).
Мы получили, что любое звездчатое подмножество
стягиваемо.

\замечание
Пусть $(X,x)$ -- стягиваемое пространство.
Легко видеть, что отображение
$\iota_x:\; X \arrow X$ задает
тривиальный гомоморфизм \[ \pi_1(X,x) \stackrel{\iota_x}\arrow \pi_1(X,x)\]
(все элементы группы $\pi_1(X,x)$ переходят в 1).
Поскольку отображение $\iota_x$ гомотопно тождественному,
а гомотопные отображения топологических
пространств индуцируют одинаковые отображения
фундаментальных групп, тождественное отображение
$\pi_1(X,x)\stackrel {\Id} \arrow \pi_1(X,x)$
равно отображению, переводящему все элементы в 1.
Поэтому $\pi_1(X,x) = \{1\}$.
\еза

\определение
Если $\pi_1(X,x)=\{1\}$, отмеченное пространство
$(X,x)$ называется {\бф односвязным}. В этой ситуации
еще говорят, что у $(X,x)$ {\бф нулевая фундаментальная группа}.
\ео

\определение
Пусть $X\subset Y$ -- 
подмножество. Предположим, что существует
отображение $Y \stackrel {\Psi_1}\arrow X$, тождественное 
на $X\subset Y$, и гомотопное тождественному отображению $\Id_Y$.
В  этом случае $X$ называется {\бф деформационным
ретрактом} $Y$, или просто {\бф ретрактом}. Гомотопия $\Psi_1$ и $\Id_Y$
называется {\бф ретракцией $Y$ на $X$}.
\ео

\пример
Пусть $Y$ - множество всех ненулевых векторов в $\R^n$,
а $X \subset Y$ -- единичная сфера. Рассмотрим отображение
$Y\stackrel {\Psi_1}\arrow X$, $v \arrow \frac v{|v|}$. 
Отображение $\Psi_1$ гомотопно тождественному:
\[
\Psi(v, t) = \frac v{|v|^{t} }
\]
осуществляет гомотопию $\Psi_1$ и $\Psi_0=\Id_Y$.

\хфилл

\замечание
Отмеченное пространство $(X,x)$ является стягиваемым
тогда и только тогда, когда $\{x\}$ -- ретракт $X$.
\еза

\определение
Отображение $X \stackrel f \arrow Y$ называется {\бф гомотопической
эквивалентностью}, если существуют отображения\\
$g, g':\; Y \arrow X$ такие, что $g\circ f$ гомотопно
$\Id_Y$, а $f\circ g'$ гомотопно $\Id_X$.
Аналогичным образом определяется гомотопическая
эквивалентность отмеченных пространств:
 $(X, x) \stackrel f \arrow (Y,y)$ гомотопическая
эквивалентность, если есть $g, g':\; (Y,y) \arrow (X,x)$
и $g\circ f$ гомотопно
$\Id_Y$, а $f\circ g'$ гомотопно $\Id_X$
как отображение отмеченных пространств.
\ео

\пример
Если $X \stackrel j\hookrightarrow Y$ -- деформационный ретракт, то
пространство $X$ гомотопически эквивалентно $Y$. Действительно,
естественное вложение $X \stackrel j\hookrightarrow Y$ 
в композиции с $Y \stackrel {\Psi_1}\arrow X$ 
дает $\Id_X$, а композиция $\Psi_1 \circ j$
гомотопна $\Id_Y$, по определению деформационного
ретракта. В частности, любое стягиваемое
пространство гомотопически эквивалентно точке.

\замечание
Пусть  $(X,x) \stackrel f \arrow (Y,y)$ -- гомотопическая
эквивалентность отмеченных пространств, 
а $\pi_1(X,x) \stackrel f \arrow \pi_1(Y,y)$
соответствующее отображение фундаментальных групп.
Тогда существуют морфизмы $g, g'$, такие, что $g\circ f$ гомотопно
$\Id_Y$, а $f\circ g'$ гомотопно $\Id_X$. Значит,
у $\pi_1(X,x) \stackrel f \arrow \pi_1(Y,y)$ нет ядра
(потому что на фундаментальных группах 
$f\circ g'= \Id_{\pi_1(X,x)}$).
С другой стороны, поскольку $g\circ f=\Id_{\pi_1(Y,x)}$,
отображение
$\pi_1(X,x) \stackrel f \arrow \pi_1(Y,y)$ сюрьективно.
Мы доказали, что это изоморфизм групп.
\еза

\следствие
Пусть $(X,x)$ и $(Y,y)$ -- гомотопически эквивалентные
отмеченные пространства. Тогда $\pi_1(X) \cong \pi_1(Y)$.




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{История, замечания}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\small Понятие гомотопии и фундаментальной группы было 
впервые строго определено Пуанкаре, в 1895-м году. 
Гомотопные пути и фундаментальную группу 
определил в 1866-м году Камиль Жордан; впрочем, 
Жордан в работах по топологии не пользовался 
понятием группы (которое он сам же и ввел,
тоже в 1860-х, следуя Галуа, в работах 
о разрешимости алгебраических уравнений).


Фундаментальная группа есть первый (и самый простой)
алгебраический инвариант топологических пространств.
Существует немало функторов аналогичной природы:
гомотопические группы, когомологии, К-теория, кобордизмы 
и т.д.
Эти конструкции изучаются в алгебраической
топологии, методами теории категорий.

Строгое изучение топологии затруднено
патологичностью общих топологических пространств.
Алгебраические топологи по большей части ограничиваются
{\ем CW-комплексами}, пространствами, которые склеены 
из симплексов (многомерных тетраэдров)
наподобие многогранников. 

В большинстве курсов топологии, никакие другие
пространства, кроме CW-комплексов, не рассматриваются, 
или практически не рассматриваются. Ограничив
таким образом класс изучаемых пространств, можно перевести
на язык категорий любое геометрическое утверждение.

В той (достаточно общей) геометрической ситуации, с
которой имеют дело в метрической геометрии и анализе, 
считать алгебраические инварианты
пространств чрезвычайно затруднительно. По этой причине предмет
алгебраической топологии практически никак не соотносится
с предметом общей топологии. С другой стороны,
без понимания основ общей топологии заниматься
геометрией и топологией проблематично.

Основные достижения математики XX века относились
к алгебраической топологии и алгебраической геометрии;
на протяжении столетия эти две науки параллельно 
и чрезвычайно интенсивно развивались, используя
язык категорий и гомологической алгебры, специально
разработанный для такой цели. 


Каноническим учебником алгебраической топологии
является книжка Фукса, Фоменко, "Курс гомотопической
топологии". Для других целей полезен том Свитцера
"Алгебраическая топология: гомотопии и гомологии".
Теории категорий посвящен учебник Мак Лэйна
"Категории для работающего математика". Гомологическая алгебра
изложена в прекрасной книге "Методы гомологической алгебры"
Гельфанда-Манина.
}


\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\epsfig{file=Jordan.eps,width=0.55\linewidth}\\
{Marie Ennemond Camille Jordan \\
(1838 - 1922)}
\end{center}
\end{figure}





\end{document}



