

\documentclass{slides}

\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}


\usepackage{amsmath, amssymb, amscd, color,  epsfig}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}
\def\goth{\mathfrak}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Топология, первый курс, второй семестр\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother


   \setlength\paperheight {9in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}



\begin{document}

\setcounter{page}{0}

\ \newpage



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Топология, лекция 13: \\[3mm] Вполне несвязные пространства}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 7 апреля, 2008\\
Независимый Университет}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
{\bf \blue Связные пространства}

{\bf \green Определение:} Напомним, что
{\bf \blue связным} называется топологическое
пространство $M$, которое нельзя разбить в
объединение непересекающихся открытых подмножеств.
В противном случае $М$ называется {\bf \blue несвязным}.



{\bf \green Утверждение:} 
{\bf \red Связное подмножество отрезка $[0,1]$ -- это отрезок,
интервал или полуинтервал.}


{\bf \green Утверждение:} \\
{\bf \red Замыкание 
$\bar Z$ связного подмножества $Z$ всегда связно.}


{\bf \green Утверждение:} 
{\bf \red Пусть $X$ связно, а $f:\; X \arrow Y$ -- 
непрерывное отображение. Тогда $f(Y)$ связно. }

{\bf \green Следствие:}
Если $f:\; X \arrow \R$ -- непрерывная функция
на связном множестве, то $f(X)$ это отрезок,
интервал или полуинтервал. В частности,
{\bf \purple $f$ принимает все промежуточные значения
между $f(x_1)$ и $f(x_2)$. }

\newpage

{\bf \blue Компоненты связности}

{\bf \green Утверждение:} 
{\bf \red Пусть $X$ и $Y$ -- два пересекающихся связных подмножества
топологического пространства $M$. Тогда $X \cup Y$ тоже
  связно.}

{\bf \green Определение:} 
Пусть $x\in M$ -- точка топологического пространства,
а $A_x$ -- объединение всех связных подмножеств $M$,
содержащих $x$. В силу вышесказанного, $A_x$ связно.
Множество $A_x$ называется {\bf \blue компонентой связности}
точки $x$.


{\bf \green Утверждение:} 
{\bf \red Каждое топологическое пространство является
\\ непересекающимся объединением своих компонент связности.}

{\bf \green Замечание:}
Если $M$ представлено в виде объединения
непустых, непересекающихся открытых подмножеств $U$ и $V$,
{\bf \purple каждая компонента связности $M$ содержится
целиком в $U$ или в $V$.}


\newpage


{\bf \blue Произведение связных пространств}

Напомним, что непрерывное отображение называется
{\bf\blue открытым}, если оно переводит открытые множества
в открытые.

{\bf \green Замечание:} 
Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- открытое отображение
со связными слоями. Предположим, что
$X$ представлено в виде объединения
непустых, непересекающихся открытых подмножеств $U$ и $V$.
Поскольку слои $f$ связны, подмножества $U$ и $V$ содержат каждый
слой целиком. Поэтому $U = f^{-1}(U_1)$, $V = f^{-1}(V_1)$,
причем $U_1$ и $V_1$ не пересекаются.
{\bf \purple Поскольку $f$ открыто, $U_1$ и $V_1$ открыты
и непусты. }

{\bf \green Следствие:} 
{\bf \red Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- открытое отображение
со связными слоями, и $Y$ связно. Тогда $X$ связно.}

{\bf \green Следствие:} 
{\bf \red Произведение связных пространств $X$ и $Y$
связно.}

Действительно, {\bf \purple отображение проекции $\pi:\; X\times Y$
открыто и имеет связные слои.}


\newpage

{\bf \blue Вполне несвязные пространства}


{\bf \green Определение:} 
Пространство $M$ называется {\bf \blue вполне несвязным},
если у него нет связных подмножеств, кроме точек и $\emptyset$.

{\bf \green Определение:} 
Подмножество $M$ называется {\bf \blue открытозамкнутым},
если оно открыто и замкнуто.

{\bf \green Замечание:} Пространство $M$ связно тогда и только
тогда, когда у него нет открытозамкнутых подмножеств,
кроме $M$ и $\emptyset$.

{\bf \green Замечание:}
 Конечное пересечение, конечное объединение,
дополнение открытозамкнутых подмножеств
снова открытозамкнуто.

{\bf \green Утверждение:}
{\bf \purple Предположим, что у хаусдорфова топологического
пространства $M$ есть база топологии, состоящая из
открытозамкнутых множеств. Тогда оно вполне несвязно.}

\newpage 

{\bf \blue Примеры вполне несвязных пространств}

{\bf \green Утверждение:} \\ 
{\bf \red Произведение вполне несвязных
пространств вполне несвязно.}

Действительно, любое связное подмножество $M\times N$
должно проектироваться в связные подмножества $M$ и $N$.

{\bf \green Пример:} 
Пусть $M=\{0,1\}$ -- множество из двух точек, с дискретной
топологией (<<{\bf \blue двоеточие}>>). 
{\purple Произведение любого числа двоеточий компактно
(по теореме Тихонова), хаусдорфово и вполне несвязно.}


{\bf \green Замечание:}
Предположим, что $(M, d)$ - метрическое пространство,
причем метрика $d:\; M \times M \arrow \R$ 
не принимает значений в интервале $]\alpha, \beta[$,
где $\beta> \alpha$. {\bf \red Тогда замкнутый шар 
$\bar B_\alpha(x)$ открытозамкнут.} Действительно,
$\bar B_\alpha(x) = B_{\alpha+\epsilon}(x)$,
для любого $\epsilon$ такого, что $\alpha +\epsilon
\in]\alpha, \beta[$, а шар $ B_{\alpha+\epsilon}(x)$
открыт.

{\bf \green Следствие :} Пространство $\Z_p$
$p$-адических целых чисел вполне несвязно. Действительно,
$p$-адическая метрика принимает значения в множестве
$\{p^{s}, s\in \Z\}$, значит, любой открытый шар в $\Z_p$ 
замкнут.


\newpage 

{\bf \blue Пространства Стоуна}

{\bf \green Определение:}
Компактное, вполне несвязное, хаусдорфово
топологическое пространство называется
{\bf \blue пространством Стоуна} 

{\bf \green Лемма 1:}
{\blue Пусть $M$ -- пространство Стоуна, а $x,y \in M$ -- две разные точки.
Тогда у $x$ и $y$ есть непересекающиеся, открытозамкнутые окрестности.}

{\bf \green Доказательство.} {\bf \green Шаг 1:}
Пусть $Z=\bigcap_\alpha U_\alpha$ -- пересечение всех 
открытозамкнутых окрестностей $x$. Если $Z$
не содержит $y$, какое-то открытозамкнутое подмножество
$U\ni x$ не содержит $y$, тогда его дополнение $M\backslash U$ 
содержит $y$, и мы получим, что у $x$ и $y$ есть
 непересекающиеся открытозамкнутые окрестности.

Поэтому {\bf \purple достаточно доказать, что $Z \not\ni y$.}


{\bf \green Шаг 2:} Поскольку $Z$ несвязно, {\bf \purple  $Z$ есть объединение 
непересекающихся подмножеств $Z = Z_x\coprod Z_y$,}
замкнутых в $Z$. Поскольку $Z$ замкнуто в $M$, {\bf
\purple  $Z_x$, $Z_y$ тоже замкнуты.}



\newpage 

{\bf \blue Доказательство Леммы 1 (продолжение)}


{\bf \green Шаг 3:}
Поскольку $M$ компактно и хаусдорфово,
$M$ нормально, то есть {\bf \purple любые два замкнутых, непересекающихся
подмножества $M$ имеют непересекающиеся окрестности.} 
Применив это к $Z_x, Z_y$, получим
непересекающиеся окрестности $U_x\supset Z_x, U_y\supset
Z_y$. 


{\bf \green Шаг 4:}
Обозначим за $K$ дополнение $M \backslash (U_x \cup U_y)$
Поскольку $Z=\bigcap_\alpha U_\alpha$,
имеем
\[
K\subset \bigcup_\alpha (M\backslash U_\alpha).
\]
Поскольку $K$ замкнуто, оно 
компактно. Поэтому 
$K\subset\bigcup_\alpha (M\backslash U_\alpha)$ имеет конечное
подпокрытие:
\[
K \subset \bigcup_{i=1}^n (M\backslash U_i)
\]
Из этого следует, что {\bf \purple $U:=\bigcup_{i=1}^n U_i$
открытозамкнуто, содержит $x$, и содержится в 
$M \backslash K=U_x \cup U_y$.}

\newpage 

{\bf \blue Доказательство Леммы 1 (окончание)}


\begin{center}\ \\
\epsfig{file=otkrytoza.png,width=0.3\linewidth}\ 

{\small  Непересекающиеся окрестности $Z_x$, $Z_y$}
\end{center}

{\bf \green Шаг 4:}
$U= (U \cap U_x) \coprod (U \cap U_y)$.
Поскольку $U_x, U_y$ открыты, $U \cap U_x$ открыто и замкнуто
в $U$. Следовательно, $V=U \cap U_x$ открыто и замкнуто в $M$.
Это множество не содержит $y$, и содержит $x$. {\bf
\purple Мы
получили открытозамкнутую окрестность $x$, не содержащую
$y$.}. {\bf \red Лемма 1 доказана.}

\newpage

\begin{center}
\epsfig{file=Stone1.jpg,width=0.35\linewidth}\\
{Marshall Harvey Stone\\
(1903 - 1989)}
\end{center}


\newpage


{\bf \blue Открытозамкнутые подмножества в пространстве
Стоуна}

Из Леммы 1 немедленно следует

{\bf \green Теорема:} 
{\bf \red Пусть $M$ -- пространство Стоуна. Тогда у $M$ есть база
топологии, состоящая из открытозамкнутых подмножеств.}

{\bf \green Доказательство.}
Пусть ${\cal T}$ -- топология на
$M$, а ${\cal T}_1$ -- топология, полученная 
из базы, состоящей из всех открытозамкнутых
подмножеств $M$. Тогда
\[
(M, {\cal T}) \stackrel \Id \arrow (M, {\cal T}_1)
\]
биективно и непрерывно. В силу Леммы 1, ${\cal T}_1$
хаусдорфово.
Непрерывная биекция из компактного пространства 
в хаусдорфово является гомеоморфизмом. Значит, 
{\bf \purple 
$(M, {\cal T}) \stackrel \Id \arrow (M, {\cal T}_1)$ -- гомеоморфизм.}


\newpage


{\bf \blue Вложение пространства в тихоновское двоеточие}

{\bf \green Замечание:}
Из Леммы 1
немедленно вытекает, что для любой пары точек
$x, y \in M$, {\bf \purple существует непрерывная функция
$f:\; M \arrow \{0,1\},$ принимающая значение
1 на $x$ и 0 на $y$.}

Пусть $R=C(M, {\Bbb F}_2)$ -- кольцо непрерывных
функций на $M$ со значениями в ${\Bbb F}_2=\{0,1\}$.
Рассмотрим отображение
\[
M \stackrel {\Psi}\arrow  \{0,1\}^R,
\]
переводящее $m$ в $\prod_{\phi\in R}\phi(m)$.

Оно непрерывно и инъективно, а поскольку $M$ компакт,
является гомеоморфизмом на образ. Мы получили следующую
теорему.

{\bf \green Теорема:} {\bf \red 
Любое пространство Стоуна  гомеоморфно
замкнутому подмножеству в тихоновском произведении $\{0,1\}^I$,
для какого-то набора индексов $I$.}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Топология, лекция 14: \\[3mm] Булевы алгебры и категории}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 7 апреля, 2008\\
Независимый Университет}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

\newcommand{\cac}{{\cal C}}
\newcommand{\Ob}{\operatorname{{\cal O}b}}
\newcommand{\Mor}{\operatorname{{\cal M}or}}

{\bf \blue Определение категории}

{\bf \green Определение:} {\bf \blue
 Категорией} $\cac$ называется набор данных ("объектов
категории", "морфизмов между объектами" и так далее), 
удовлетворяющих аксиомам, приведенным ниже.

{\bf \purple ДАННЫЕ:}

{\bf \red Объекты:} Множество $\Ob(\cac)$ {\bf \blue объектов} $\cac$
(иногда рассматривают не множество, а {\green класс}
$\Ob(\cac)$, который может и не быть множеством, например,
класс всех множеств, или класс всех линейных пространств).

{\bf \red Морфизмы:} Для любых $X, Y \in \Ob(\cac)$, задано
множество $\Mor(X,Y)$ {\bf \blue морфизмов} из $X$ в $Y$.

{\bf \red Композиция морфизмов:} Если
$\phi\in \Mor(X,Y), \psi \in \Mor(Y,Z)$, 
задан морфизм $\phi\circ \psi \in \Mor(X, Z)$,
который называется {\bf\blue композицией морфизмов}.

{\bf \red Тождественный морфизм:} Для каждого $A\in \Ob(\cac)$
задан морфизм $\Id_A \in \Mor(A,A)$.

\newpage

{\bf \blue Определение категории (продолжение)}

{\bf \purple Эти данные удовлетворяют следующим аксиомам.}

{\bf \red Ассоциативность композиции:}
$\phi_1\circ(\phi_2\circ\phi_3)=(\phi_1\circ\phi_2)\circ\phi_3$.

{\bf \red Свойства тождественного морфизма:}
Для любого морфизма $\phi\in \Mor(X,Y)$,
$\Id_x\circ \phi = \phi = \phi\circ \Id_Y$

{\bf \green Примеры категорий:}\\
{\bf \purple Категория множеств} \\(морфизмы --
произвольные отображения), \\{\bf \purple категория линейных пространств} \\
(морфизмы -- линейные отображения), \\{\bf \purple  категории колец,
полей, групп}\\ (морфизмы -- гомоморфизмы),\\ {\bf \purple категория
топологических пространств}\\ (морфизмы -- непрерывные
отображения).

\newpage

{\bf \blue Функторы}


Категории сами образуют категорию; морфизмами
этой категории являются {\bf \blue функторы}.

{\bf \green Определение:}
Пусть $\cac_1, \cac_2$ -- категории. {\bf \blue  Ковариантным функтором}
из $\cac_1$ в $\cac_2$ называется следующий набор данных.

1. {\bf \purple Отображение $F:\; \Ob(\cac_1) \arrow \Ob(\cac_2)$,}
ставящее в соответствие объектам $\cac_1$ объекты $\cac_2$.

2.  {\bf \purple Отображение морфизмов $F:\; \Mor(X,Y) \arrow \Mor(F(X), F(Y))$,}
определенное для любой пары объектов $X, Y \in \Ob(\cac_1)$.

Чтобы эти данные задавали функтор, они {\bf \purple должны удовлетворять условию
$F(\phi) \circ F(\psi) = F(\phi\circ\psi)$.}

\newpage

{\bf \blue Примеры функторов}

Любая "естественная операция" на математических объектах - это
функтор. Например:

{\bf \purple Отображение $X \arrow 2^X$} -- функтор на категории
множеств.

{\bf \purple Отображение $M \arrow M^I$} -- функтор 
на топологических пространствах, для любого заданного набора индексов
$I$.

{\bf \purple Отображение $V \arrow V \oplus V$} -- функтор 
на линейных пространствах. 

 {\bf \purple Тождественный функтор} из категории
в себя. 

   Ображение,
ставящее в соответствие топологическому пространству
множество его связных компонент. 

\newpage

{\bf \blue Контравариантные функторы}

{\bf \green Определение:} 
Если задана категория $\cac$, определим 
{\bf \blue  двойственную категорию}
$\cac^{op}$. Множество объектов в $\cac^{op}$ -- то же самое,
что и в $\cac$, а $\Mor_{\cac^{op}}(A,B)= \Mor_{\cac}(B,A)$.
Соответственно, композиция $\phi\circ \psi$ в $\cac$ дает
композицию $\psi^{op}\circ \phi^{op}$ в $\cac^{op}$.

{\bf \green Определение:}
{\bf \blue  Контравариантный функтор} из $\cac_1$ в $\cac_2$ --
это ковариантный функтор из $\cac_1^{op}$ в $\cac_2$.



{\bf \green Пример:}
Отображение, ставящее
в соответствие топологическому пространству $M$ кольцо
непрерывных $\R$-\-зна\-ч\-ных функций на $M$ --
контравариантный функтор
из топологических пространств в кольца.

{\bf \green Пример:}
Пусть $X\in \Ob(\cac)$ -- объект категории $\cac$.
Тогда отображение $Y\arrow \Mor(X,Y)$ задает ковариантный
функтор из $\cac$ в категорию $Set$ множеств,
а отображение $Y\arrow \Mor(Y, X)$ задает контравариантный
функтор из $\cac$ в  $Set$. Такие функторы
называются {\bf \blue  представимыми}.

\newpage

{\bf \blue Изоморфизм и эквивалентность функторов}

{\bf \green Определение:}
Пусть $X, Y\in \Ob(\cac)$ -- объекты категории $\cac$.
Морфизм $\phi\in \Mor(X,Y)$ называется {\bf \blue  изоморфизмом},
если существует $\psi\in \Mor(Y,X)$ такой, что
$\phi \circ \psi = \Id_X$ и $\psi\circ\phi = \Id_Y$.
В таком случае, объекты $X$ и $Y$ называются
{\bf \blue  изоморфными}.

{\bf \green Определение:}
Два функтора $F, G:\;\cac_1\arrow \cac_2$ 
называются {\bf \blue  эквивалентными}, если для каждого 
$X \in \Ob(\cac_1)$ задан изоморфизм $\Psi_X:\; F(X) \arrow
G(X),$ причем для любого морфизма $\phi\in \Mor(X,Y)$, имеем
$ F(\phi) \circ \Psi_Y= \Psi_X\circ G(\phi).$

{\bf \green Замечание:}
Подобные коммутационные отношения принято изображать
{\bf \blue  коммутативными диаграммами}. Так, к примеру,
условие $ F(\phi) \circ \Psi_Y= \Psi_X\circ G(\phi).$  можно записать следующей
коммутативной диаграммой
\begin{equation*}
\begin{CD}
F(X) @>{F(\phi)}>> F(Y)\\
@V{\Psi_X}VV @VV{\Psi_Y}V\\
G(X) @>{G(\phi)}>> G(Y)
\end{CD}
\end{equation*}

\newpage

{\bf \blue Эквивалентность категорий}

{\bf \green Определение:}
Функтор $F:\; \cac_1 \arrow \cac_2$ называется
{\bf \blue  эквивалентностью категорий}, если
он задает изоморфизм в категории всех категорий.

Иначе говоря, задан функтор $G:\;\cac_2 \arrow \cac_1$
такой, что композиции $G\circ F$ и $G\circ F$ эквивалентны 
тождественым функторам $\Id_{\cac_1}$, $\Id_{\cac_2}$.

{\bf \green Замечание:}
Можно проверить, что это равносильно следующему:
$F$ задает биекцию на классах изоморфизма
объектов, и биекцию \[ \Mor(X,Y) \arrow \Mor(F(X), F(Y)).\]

{\bf \purple С точки зрения теории категорий, эквивалентные категории
неразличимы.}


\newpage


\begin{minipage}[m]{0.45\linewidth}
\begin{center}
\epsfig{file=Maclane.jpg,width=0.75\linewidth}\\
{Saunders Mac Lane\\
(1909-2005)}\end{center}\end{minipage}
\begin{minipage}[m]{0.45\linewidth} 
\begin{center}
\epsfig{file=Eilenberg.jpg,width=0.70\linewidth}\\
{Samuel Eilenberg \\
(1913-1998)}
\end{center}
\end{minipage}

\newpage

\begin{center}
\epsfig{file=Grothendieck.jpg,width=0.35\linewidth}\\
{Alexander Grothendieck \\
(род. 28 марта 1928)}
\end{center}

\newpage

{\bf \blue Булевы кольца}

{\bf \green Определение:}
{\bf \blue  Идемпотент} в кольце -- элемент, удовлетворяющий 
соотношению $x^2=x$.
{\bf \blue  Булево кольцо} -- кольцо (коммутативное, с единицей),
где любой элемент является идемпотентом.

{\bf \green Замечание:}
Отметим, что в булевом кольце выполнено соотношение
$2x=0$ для любого $x$.  Действительно,
\[
  0 = (x+1)^2 -x-1 = (x^2-x) + 2x = 2x.
\]

{\bf \green Пример:}
Пусть $M$ -- любое топологическое пространство,
а $R= C(M, {\Bbb F}_2)$ -- кольцо непрерывных
функций на $M$ со значениями в поле ${\Bbb F}_2$
из двух элементов. Тогда $R$ -- булево кольцо.
Оно называется {\bf \blue  кольцом открытозамкнутых
подмножеств $M$}.

Булевы кольца чрезвычайно важны в логике и информатике,
ибо {\bf \red категория булевых колец эквивалентна категории булевых алгебр,
то есть алгебр логических высказываний.}

\newpage

{\bf \blue Булевы алгебры}

{\bf \green Определение:}
Пусть $A$ -- множество, наделенное бинарными  операциями
$\land$ (коньюнкция, "и"), $\lor$ (дизъюнкция, "или"),
и $\lnot$ (негация, "не"), и выделены элементы
1 ("правда") и 0 ("ложь"). $A$ называется {\bf \blue  булевой
алгеброй}, если выполнены следующие условия.


{\bf \red ассоциативность:} $a\land (b\land c)= (a\land b)\land c$,\ \  
$a\lor (b\lor c)= (a\lor b)\lor c$

{\bf \red коммутативность:} $a\land b=b\land a$,\ \  $a\lor b=b\lor a$ 

{\bf \red дистрибутивность:} $a\land (b\lor c) =(a\land  b) \lor (a\land c)$, \ \ 
$a\lor (b\land c) =(a\lor  b) \land (a\lor c)$

{\bf \red абсорбция:} $a\lor (a\land b) = a$, \ \ $a\land (a\lor b) = a$

{\bf \red дополнительность:} $a\lor \lnot a = 1$,\ \  $a\land \lnot a = 0$.


{\bf \green Замечание:}
Этим условиям, очевидно, удовлетворяет любой набор логических 
утверждений, которые могут принимать значения ``истинно'' и ``ложно''.
{\bf \purple Логические операции ("и", "или", "не")
превращают такой набор утверждений
в булеву алгебру.}

\newpage


{\bf \blue Булевы алгебры эквивалентны булевым кольцам}

Пусть $A$ -- булева алгебра.\\
{\bf \purple Зададим на $A$ умножение и сложение следующим образом:
$a\cdot b := a \land b$, $a + b := (a\lor b) \land \lnot (a \land b)$}
(сумма соответствует "симметрической разности", или,
что то же самое, "исключающему или").

{\bf \purple Полученные операции удовлетворяют аксиомам кольца (это ясно
из ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности). }

Соотношение
$a^2 =a$ следует из аксиомы дополнительности $a +\lnot a =1$, которая 
(после домножения на $a$) влечет $a\land a + a\land\lnot a=a$.
Применив $a\land\lnot a=0$ (дополнительность), обретем $a^2 =a$.
{\bf \red Мы получили функтор $F$ из категории булевых алгебр в категорию
булевых колец.}

{\bf \green Теорема:} Этот функтор -- эквивалентность категорий.

\newpage



{\bf \blue Булевы алгебры эквивалентны булевым кольцам (доказательство)}


{\bf \green Доказательство:} 
Чтобы доказать, что $F:\; \cac \arrow \cac_1$ -- эквивалентность,
надо построить обратный функтор $G$, то есть из каждого
булева кольца произвести булеву алгебру. Если $R$ -- булево кольцо,
операции $\lnot, \land, \lor$ определяются формулами
$\lnot a = 1-a$, $a\land b = ab$, $a\lor b = ab +a +b$.
Аксиомы булевой алгебры проверяются непосредственно
(проверьте их), а взаимная обратность $F$ и $G$
очевидна из конструкции. 


\end{document}



