

\documentclass{slides}

\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}


\usepackage{amsmath, amssymb, amscd, color,  epsfig}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{#1}\right.}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Spec{\operatorname{Spec}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}
\def\goth{\mathfrak}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Топология, первый курс, второй семестр\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother


   \setlength\paperheight {9in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}



\begin{document}

\setcounter{page}{0}

\ \newpage



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Топология, лекция 14: \\[3mm] Теорема Стоуна}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 14 апреля, 2008\\
Независимый Университет}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
{\bf \blue Булевы кольца}

{\bf \green Определение:}
Напомним, что {\bf\blue булевым кольцом} называется
кольцо $R$ такое, что все элементы $R$ -- {\bf\blue
идемпотенты,} то есть удовлетворяют $r^2=r$. 

{\bf \green Замечание:}
Отметим, что в булевом кольце {\bf \red выполнено соотношение
$2x=0$ для любого $x$.}  Действительно,
\[
  0 = (x+1)^2 -x-1 = (x^2-x) + 2x = 2x.
\]

{\bf \green Замечание:}
Пусть $R$ -- булево кольцо, а $I\subset R$ -- простой
идеал в $R$. {\bf \red Тогда $R/I\cong {\Bbb F}_2$.} Действительно,
 все элементы $R/I$ 
удовлетворяют $r(r-1) =0$; поскольку в $R/I$ нет делителей
нуля,  $r=0$ или $r=1$.

{\bf \green Замечание:} Следовательно, {\bf \redвсе простые идеалы
в $R$ максимальны.}

{\bf \green Пример:}
Пусть $M$ -- любое топологическое пространство,
а $R= C(M, {\Bbb F}_2)$ -- кольцо непрерывных
функций на $M$ со значениями в поле ${\Bbb F}_2$
из двух элементов. Тогда $R$ -- булево кольцо.
Оно называется {\bf \blue  кольцом открытозамкнутых
подмножеств $M$}.



\newpage
{\bf \blue Пространство Зариского}


{\bf \green Определение:}
Пусть $R$ -- кольцо, а $\Spec(R)$ --
множество простых
идеалов в $R$, снабженное {\bf\blue топологией Зариского}.

Напомним, что база открытых множеств в топологии
Зариского состоит из множеств 
\[
  A_f:= \{{\goth m}\in \Spec(R) \ | \ f \notin {\goth m}\},
\]
где  $f \in R$ -- какой-то элемент $R$. Пространство
$\Spec(R)$ называется {\bf\blue  спектром}, или
{\bf\blue  пространством Зариского} кольца $R$.

Пространство Зариского для $\Z$ (и для большинства колец)
не хаусдорфово.

{\bf \green Лемма:} $R$ -- кольцо, а $\Spec(R)$ --
его пространство Зариского. {\bf \red Тогда $\Spec(R)$
компактно.}

Пусть $M = \bigcup_\alpha A_{f_\alpha}$ -- покрытие
$M=\Spec(R)$ элементами базы. Для доказательства Леммы 
{\bf \purple достаточно убедиться,
что в $\bigcup_\alpha A_{f_\alpha}$ найдется конечное
подпокрытие. }

\newpage
{\bf \blue Пространство Зариского компактно (доказательство)}


{\bf \green Шаг 1.}
Пусть $I$ - идеал, порожденный всеми $f_\alpha$, где 
$M = \bigcup_\alpha A_{f_\alpha}$ -- покрытие.
Очевидно,
\[
M = \bigcup_\alpha A_{f_\alpha}  \ \  \Leftrightarrow \ \ \emptyset 
= \bigcap_\alpha V_{f_\alpha},
\]
где $V_{f}:= M \backslash A_{f}$ множество всех идеалов,
содержащих $f$. {\bf \purple  Поэтому никакой
простой идеал не содержит всех $f_\alpha$. }

{\bf \green Шаг 2.}\\
Значит, $I$ не содержится
в максимальном идеале, и поэтому $1\in I$. 
{\bf \purple Тогда $1$ выражается в виде линейной комбинации конечного
числа $f_\alpha$:
\[
1 = \sum_{i=1}^n \lambda_i f_i, \ \lambda_i \in R.
\]}

{\bf \green Шаг 3.}\\
Из этого следует, что {\bf \purple никакой простой идеал не содержит
$\{f_i\}$,} то есть $\emptyset = \bigcap_{i=1}^n V_{f_i},$
а поэтому $M=\bigcup_{i=1}^n A_{f_i}$. {\bf \red Значит,
$\Spec(R)$ компактно.} 


\newpage
{\bf \blue Спектр булева кольца}

{\bf \green Определение:}
Напомним, что {\bf \blue вполне несвязное топологическое
пространство} -- пространство, не имеющее связных
подмножеств. {\bf \blue Открытозамкнутое подмножество} --
подмножество, которое открыто и замкнуто. {\bf \purple Нетрудно видеть,
что хаусдорфово пространство, имеющее базу из 
открытозамкнутых подмножеств, вполне несвязно.}


{\bf \green Замечание:}\\
{\bf \red Для любого $f$ в булевом кольце $R$, имеем
$\Spec(R)= A_f \coprod A_{1-f}$.}
Действительно,  $f\notin {\goth m}$
равносильно $(1-f)\in {\goth m}$, потому что
$R/{\goth m}= {\Bbb F}_2$.

{\bf \green Замечание:}\\
Из этого немедленно вытекает, что
все множества $A_f$ открытозамкнуты, и
значит, {\bf \red для булева кольца $R$,
 $\Spec(R)$ вполне несвязно.}

{\bf \green Замечание:}\\
Также из этого следует, что {\bf \red пространство $\Spec(R)$
хаусдорфово.} В самом деле, любые два идеала ${\goth m}$,
${\goth m}_1$ отличаются на $f\in A$. Это значит, что
один из этих идеалов содержится в $A_f$, а другой в
$A_{1-f}$ -- непересекающиеся открытые множества.

\newpage

{\bf \blue Категории (напоминание) }

\newcommand{\cac}{{\cal C}}
\newcommand{\Ob}{\operatorname{{\cal O}b}}
\newcommand{\Mor}{\operatorname{{\cal M}or}}

{\bf \green Определение:}\\
Напомним, что {\bf\blue  категорией} $\cac$ называется набор
объектов $\Ob(\cac)$, таких, что для каждой пары
$X, Y \in \Ob(\cac)$ задано множество $\Mor(X,Y)$
{\bf\blue  морфизмов из $X$ в $Y$}. На морфизмах задано
отображение композиции
\[
\Mor(X,Y)\times \Mor(Y,Z) \arrow \Mor(X,Z),
\]
которое ассоциативно. В каждом множестве
$\Mor(X,X)$ выделен {\bf\blue  тождественный морфизм}
$\Id_X$, причем композиция любого морфизма $\phi$
с тождественным равна $\phi$.

{\bf \green Примеры категорий:}\\
{\bf \purple Категория множеств} \\(морфизмы --
произвольные отображения), \\{\bf \purple категория линейных пространств} \\
(морфизмы -- линейные отображения), \\{\bf \purple  категории колец,
полей, групп}\\ (морфизмы -- гомоморфизмы),\\ {\bf \purple категория
топологических пространств}\\ (морфизмы -- непрерывные
отображения).

\newpage

{\bf \blue Функторы (напоминание) }


{\bf \green Определение:}\\
Напомним, что {\bf\blue ковариантный функтор} из категории $\cac_1$ в
$\cac_2$ задается отображением $F:\; \Ob(\cac_1) \arrow \Ob(\cac_2)$
и отображениями  \[ F:\; \Mor(X,Y) \arrow \Mor(F(X), F(Y)),\]
определенными для любых $X, Y\in \Ob(\cac_1)$,
переводящими $\Id_x$ в $\Id_{F(X)}$ и 
согласованными с взятием композиций.

{\bf \green Определение:}
Напомним, что {\bf\blue контравариантный функтор} из категории $\cac_1$ в
$\cac_2$ задается отображением $F:\; \Ob(\cac_1) \arrow \Ob(\cac_2)$
и отображениями $F:\; \Mor(X,Y) \arrow \Mor(F(Y), F(X)),$
переводящими $\Id_x$ в $\Id_{F(X)}$ и 
согласованными с взятием композиций.

\newpage
{\bf \blue Пространство Стоуна булева кольца}

{\bf \green Замечание:}
Мы доказали, что $\Spec(R)$ для любого булева кольца --
хаусдорфово, компактное, вполне несвязное топологическое
пространство. Оно называется {\bf \blue пространство Стоуна}
булева кольца. 

{\bf \green Замечание:}
Легко видеть, что гомоморфизм колец $\phi:\; R \arrow R_1$
задает непрерывное отображение спектров $\Spec(R_1) \arrow \Spec(R)$
(прообраз идеала -- снова идеал). Таким образом, 
{\bf \purple соответствие $R \arrow \Spec(R)$  задает контравариантный
функтор из категории булевых колец в категорию
пространств Стоуна}.

{\bf \green Теорема Стоуна о представимости
булевой алгебры:} \\{\bf \red Это -- эквивалентность категорий.}

Рассмотрим функтор из категории пространств Стоуна в
категорию булевых колец: $M\arrow C(M, {\Bbb
F}_2)$, где $C(M, {\Bbb F}_2)$ -- пространство непрерывных функций на $M$ 
со значениями в ${\Bbb F}_2 = \{0,1\}$. {\bf \red Для доказательства
теоремы Стоуна надо убедиться, что эти функторы взаимно обратны.}


\newpage
{\bf \blue Спектр кольца непрерывных функций}

{\bf \green Утверждение:} \\
Любое пространство Стоуна 
(хаусдорфово, компактное, вполне несвязное топологическое
пространство) $M$ гомеоморфно $\Spec(R)$, где 
$R=C(M, {\Bbb F}_2)$ -- пространство непрерывных функций на $M$ 
со значениями в ${\Bbb F}_2 = \{0,1\}$.

{\bf \green Лемма:}
Пусть $M$ -- пространство Стоуна, а $R= C(M, {\Bbb F}_2)$. 
Пусть ${\goth m}\subsetneqq R$ -- некоторый идеал.
Тогда все функции $f\in {\goth m}$ имеют общий 
нуль в $M$ (точку, где все эти функции зануляются). 


{\bf \green Доказательство.} {\bf \green Шаг 1:}\\
 Если у ${\goth m}$ нет общего нуля, то 
$M = \bigcup_{f\in {\goth m}}f^{-1}(1).$
Мы получили открытое покрытие $M$. Поскольку
$M$ компактно, из него можно выбрать конечное подпокрытие.
{\bf \purple Поэтому есть конечный набор $f_1, ..., f_n \in {\goth m}$
такой, что $M = \bigcup_{i=1}^n f_i^{-1}(1)$.}

\newpage

{\bf \blue Общие нули идеала в кольце функций}

{\bf \green Шаг 2:} 
Kаждый элемент $f\in R$ имеет вид $\chi_U$, где $U =
f^{-1}(1)$ открытозамкнуто,
а $\chi_U$ -- характеристическая функция $U$. 
Поэтому {\bf \purple есть такой набор открытозамкнутых множеств $U_i$
с $\chi_{U_i}\in {\goth m}$, что $M = \bigcup_{i=1}^n U_i$.}

{\bf \green Шаг 3:} 
$\chi_{U\cup V} = \chi_U + \chi_V + \chi_U
\chi_V$. Пусть теперь $W = \bigcup_{i=1}^n U_i$.
Воспользовавшись индукцией, получим, что {\bf \purple $\chi_{W} =
P(\chi_{U_1}, \chi_{U_2}, ... )$, где $P$ - полином 
без свободного члена.}

{\bf \green Шаг 4:} Мы получили, что 
$1 = \chi_M = P(\chi_{U_1}, \chi_{U_2}, ... ) = P(f_1, f_2, ...)$.
Поэтому 1 лежит в идеале ${\goth m}$. Противоречие!
{\bf \red Значит, у ${\goth m}$ есть общий нуль.}

{\bf \green Замечание:}\\ Аналогичное утверждение
верно в кольце полиномов $\C[x_1,..., x_n]$:
любой идеал ${\goth m}\subsetneqq \C[x_1,..., x_n]$
имеет общий нуль в $\C^n$. Это утверждение называется
{\bf \green "теорема Гильберта о нулях".} Для $n=1$, из теоремы
Гильберта следует, что любой полином имеет
корень (Основная Теорема Алгебры).

\newpage

{\bf \blue Общие нули идеала в кольце функций}

{\bf \green Лемма:}
Пусть $M$ -- пространство Стоуна, а $R= C(M, {\Bbb
F}_2)$. Пусть ${\goth m}\subset R$ -- максимальный идеал.
Тогда {\bf \red у функций $f\in {\goth m}$ есть единственный общий
нуль (точка, где они все зануляются).}


{\bf \green Доказательство.} Существование нуля уже
доказано, осталось доказать единственность.

{\bf \green Шаг 1:} 
Пусть  есть две несовпадающие точки $x_1\neq x_2 \in M$ такие,
что все $f\in {\goth m}$ зануляются в $x_1$ и $x_2$.
Поскольку непрерывные функции
на $M$ разделяют точки, {\bf \purple гомоморфизм 
\[
R \stackrel{\psi}\arrow {\Bbb F}_2 \oplus {\Bbb F}_2,\ \ \psi(f) = (f(x_1), f(x_2))
\]
сюрьективен.} В самом деле, для какой-то $f$, 
$f(x)=0$, $f(y)=1$, значит, множество $\{ 1,0, f, 1-f\}$
сюрьективно отображается на ${\Bbb F}_2 \oplus {\Bbb F}_2$.



{\bf \green Шаг 2:} $\psi({\goth m})=0$, поскольку
все элементы ${\goth m}$ зануляются в $x_1$, $x_2$. Мы
получили  сюрьективный гомоморфизм 
$\psi:\; R/{\goth m}\arrow {\Bbb F}_2 \oplus {\Bbb F}_2$.
Это невозможно, поскольку $R/{\goth m}={\Bbb F}_2$.
{\bf \red Значит, общий нуль ${\goth m}$ единственный.}

\newpage

{\bf \blue Общие нули идеала в кольце функций}

Мы получили биекцию $M\stackrel \Psi \arrow \Spec(R)$: максимальные
идеалы в $R= C(M, {\Bbb F}_2)$ взаимно однозначно
соответствуют точкам $m\in M$. База открытых
множеств в $\Spec(R)$ порождена множествами
вида $A_f= f^{-1}(1)$, которые открыты в $M$.
Поэтому $\Psi$ непрерывно. Непрерывная
биекция из компакта -- гомеоморфизм. {\bf \red Мы доказали,
что $M$ гомеоморфно $\Spec(R)$.}

Чтобы доказать взаимную обратность функторов
$M \arrow C(M, {\Bbb F}_2)$ и \\ $R\arrow \Spec(R)$,
{\bf \purple осталось убедиться, что кольцо непрерывных ${\Bbb
F}_2$-значных функций на $\Spec(R)$ изоморфно $R$.}
Поскольку каждый неединичный элемент $R$ содержится в 
максимальном идеале, гомоморфизм
$R \stackrel \Phi \arrow C(\Spec(R), {\Bbb F}_2)$,
переводящий $f$ в его значение $f({\goth m})\in R/{\goth m}={\Bbb F}_2$
является вложением колец. 

Непрерывные функции на $\Spec(R)$ порождены
как кольцо характеристическими функциями открытых
подмножеств $A_f$, потому что такие 
функции образуют базу открытых подмножеств.
{\bf \purple Следовательно, $\Phi$ сюрьективно.}
{\bf \blue Мы доказали теорему Стоуна об эквивалентности
категории булевых алгебр категории пространств Стоуна.}

\newpage


\begin{center}
\epsfig{file=Stone.jpg,width=0.35\linewidth}\\
{Marshall Harvey Stone\\
(1903 - 1989)}
\end{center}


\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Топология, лекция 15: \\[3mm] Фундаментальная группа}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 4 апреля, 2008\\
Независимый Университет}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

{\bf \blue Гомотопные отображения}

{\bf \green Определение:}
Пусть $f_0, f_1:\; X \arrow Y$ -- непрерывные отображения.
{\bf\blue  Гомотопией} $f_0$ в $f_1$ называется непрерывное
отображение $f:\; X \times [0,1] \arrow Y$ такое,
что $f\restrict{X \times \{0\}}=f_0$, $f\restrict{X \times \{1\}}=f_1$.

{\bf \green Замечание:} 
Гомотопные отображения - отображения, которые можно непрерывно
продеформировать одно в другое. 

{\bf \green Определение:} Пусть $f_0$, $f_1$ принадлежат какому-то выделенному
классу отображений. Говорится, что $f:\; X \times [0,1] \arrow Y$
{\bf\blue  гомотопия в классе ${\cal A}$}, если для любого $t$,
отображение $f_t:=f\restrict{X \times \{t\}}:\; X \arrow Y$
принадлежит классу ${\cal A}$.


{\bf \green Пример:}
Пусть $f_0, f_1$ непрерывные отображения
из отрезка $[a, b]$ в отрезок $[c, d]$, причем
$f_i(a) = a'$, $f_i(b)=b'$. {\bf \red Тогда $f_0$ гомотопно
$f_1$ в классе отображений, переводящих $a$ в $a'$,
$b$ в $b'$.}

{\bf \green Доказательство:}\\
Следующее отображение осуществляет искомую гомотопию:\\
$f:\; [a, b]\times [0,1]  \arrow [c,d],\ \ \ 
f(x, t) = t f_1(x) + (1-t) f_0(x)$


\newpage


{\bf \blue Свойства гомотопии}

{\bf \green Утверждение:}
Пусть $f_0, f_1:\; X \arrow Y$ -- гомотопные отображения,
а $g:\; P\arrow X$, $h:\; Y \arrow Z$ - непрерывные
отображения. {\bf \red Тогда $f_0 \circ h$ гомотопно $f_1 \circ h$,
а $g \circ f_0$ гомотопно $g \circ f_1$.}

{\bf \green Доказательство:}
Гомотопию $f_0 \circ h$ в $f_1 \circ h$
строим как композицию $f\circ h:\; X \times [0,1] \arrow Z$.
 Гомотопию 
$g \circ f_0$ в $g \circ f_1$ получим, взяв композицию
$g\times \Id_{[0,1]}:\; P \times [0,1] \arrow X \times [0,1]$
и $f:\; X \times [0,1] \arrow Y$.


В дальнейшем, нам потребуется следующая

{\bf \green Лемма:}  {\bf \red Отображение $\phi:\; A \arrow B$
топологических пространств
непрерывно, если для каждого $Z\subset A$, образ
$\phi(\bar Z)$ замыкания $Z$ лежит в замыкании $\overline{\phi(Z)}$}.

{\bf \green Доказательство:} Пусть $X\subset B$
замкнут. Для непрерывности $f$ достаточно доказать, 
$f^{-1}(X)$ замкнут. Пусть это не так, а $z\in A$ -- точка
замыкания, не лежащая в $f^{-1}(X)$. Тогда $f(z)$ лежит в
замыкании $f(f^{-1}(X))=X$, но поскольку $X$ замкнуто,
$f(z)\in X$. Противоречие! Значит, $f$ непрерывно.

\newpage

{\bf \blue Транзитивность гомотопии}


{\bf \green Утверждение:} {\bf \red 
Пусть $f_0, f_1, f_2:\; X \arrow Y$ -- непрерывные
отображения, причем $f_0$ гомотопно $f_1$, а $f_1$
гомотопно $f_2$. Тогда $f_0$ гомотопно $f_2$.}

{\bf \green Доказательство:}
Пусть $\tilde f:\; X \times [0,1] \arrow Y$ -- гомотопия $f_0$ в $f_1$,
а $\tilde{\tilde f}:\; X \times [1,2] \arrow Y$ -- гомотопия $f_1$ в $f_2$.
Рассмотрим отображение $f:\; X \times [0,1] \arrow Y$
\[
f(x, \lambda) = \begin{cases} 
\tilde f(2\lambda), & \ \ \text{если} \ \ \lambda\leq \frac 1 2\\
\tilde{\tilde f}(2\lambda), &\ \ \text{если} \ \ \lambda\geq \frac 1 2\\
\end{cases}
\]
(мы склеиваем гомотопию $f_0$ с $f_1$ и гомотопию $f_1$ с $f_2$
по $f_1$).
Если $f$ непрерывно, оно, очевидно, является гомотопией
$f_0$ в $f_2$. {\bf \purple Поэтому для доказательства гомотопности $f_0$ и $f_2$
 достаточно убедиться, что $f$ непрерывно.}

Пусть $Z \subset X \times [0,1]$ -- некоторое подмножество,
причем $ Z_1= Z \cap  X \times [0,1/2]\ \ \text{и} \ \  
Z_2= Z \cap  X \times [1/2,1]. $
Легко видеть, что
$\bar Z = \bar Z_1 \cup \bar Z_2$, соответственно
$f(\bar Z ) \subset f(\bar Z_1) \cup f (\bar Z_2) 
\subset \overline{f (Z_1)} \cup \overline{f(Z_2)}$
{\bf \purple Поэтому $f$ непрерывно.} 
{\bf \red Мы доказали, что $f_0$ и $f_2$ гомотопны.}

\newpage

{\bf \blue Классы гомотопической эквивалентности}

{\bf \green Замечание:} 
Предыдущее утверждение означает, что гомотопии
можно "склеивать" между собой: приклеив
гомотопию из $f_0$ в $f_1$ к гомотопии $f_1$ в $f_2$,
мы получим гомотопию $f_0$ в $f_2$. Первое отображение
непрерывно деформируется во второе, второе в третье,
и взяв эти две деформации одну за другой, мы получаем,
что первое можно непрерывно продеформировать в третье.

{\bf \green Определение:}\\
{\bf \red Мы доказали, что отношение ``$f$ гомотопно $g$" транзитивно.}
Оно также рефлексивно и симметрично.
Множество классов эквивалентности отображений
$f:\; X \arrow Y$  с точностью
до гомотопии
называется {\bf\blue  множество классов гомотопической
эквивалентности отображений}, или же {\bf\blue  множество
гомотопических классов отображений}.

\newpage

{\bf \blue Отмеченные пространства}

{\bf \green Определение:}
Пара $\bigg(\text{топологическое пространство $M$, точка
$m\in M$}\bigg)$
называется {\bf\blue  отмеченным пространством}, обозначается
$(M,m)$. Отмеченное пространство это топологическое
пространство, в котором выбрана точка.

{\bf \green Определение:}
{\bf\blue  Непрерывное отображение отмеченных пространств}
$\phi:\; (X,x) \arrow (Y,y)$  -- непрерывное отображение
из $X$ в $Y$, которое переводит $x$ в $y$. 
Во избежание путаницы, непрерывные отображения
отмеченных пространств называются {\bf\blue  морфизмами
отмеченных пространств}.

{\bf \green Замечание:} Легко видеть, что {\bf\red отмеченные 
пространства образуют категорию:} композиция
морфизмов -- снова морфизм, композиция очевидно
ассоциативнa, а тождественное
отображение $\Id_{(X,x)}:\; (X,x) \arrow (X,x)$
является морфизмом отмеченных пространств.

\newpage

{\bf \blue Пространство петель}


{\bf \green Определение:}
Пусть $M$ -- топологическое пространство.
Напомним, что {\bf\blue  путем из $x\in M$ в $y\in M$}
называется непрерывное отображение 
$\gamma:\; [a,b] \arrow M$
из отрезка $[a,b]$ в $M$ такое, что
$\gamma(a) =x$, $\gamma(b)=y$.

{\bf \green Определение:}
Пусть $(M,m)$ -- отмеченное
топологическое пространство.
Рассмотрим множество путей $\gamma:\; [0,1] \arrow M$
из $m$ в $m$. Такие пути называются
{\bf\blue  петлями в $M$}. Множество всех
петель обозначается $\Omega(M,m)$.

{\bf \green Замечание:}
Если $M$ -- метрическое пространство,
на $\Omega(M,m)$ вводится $\sup$-\-ме\-т\-ри\-ка,
заданная формулой
\[
d(\gamma, \gamma') = \sup_{t\in [0,1]} d(\gamma(t), \gamma'(t)).
\] 
Пространство $\Omega(M,m)$ называется
{\bf\blue  пространством петель} для $M$.
Если $M$ метризуемо и локально компактно,
топология на $\Omega(M,m)$ не зависит 
от выбора метрики на $M$ (Лекция 11). В такой ситуации
мы рассматриваем пространство петель 
$\Omega(M,m)$ как топологическое пространство.

\newpage

{\bf \blue Петли с точностью до гомотопической эквивалентности}

{\bf \green Определение:}
Пусть $f_0, f_1:\; (X,x) \arrow (Y,y)$ --
морфизмы отмеченных пространств.
{\bf\blue  Гомотопией морфизма $f_0$ к $f_1$} называется
отображение $f:\; X \times [0,1] \arrow Y$
такое, что $f(x, t) =y$ для любого $t\in [0,1]$.

{\bf \green Замечание:}
Рассмотрим окружность $S^1$ с отмеченной точкой.
Легко видеть, что любой путь $\gamma:\; [0,1] \arrow M$ из $m$ в $m$
задает морфизм $(S^1, 0) \arrow (M,m)$, и это соответствие
взаимно однозначно. В дальнейшем, {\bf \purple мы будем рассматривать
$\Omega(M,m)$ как множество морфизмов отмеченных пространств
$(S^1, 0) \arrow (M,m)$.}

Пусть $(M,m)$ -- отмеченное топологическое пространство.
В силу транзитивности гомотопии,
гомотопия задает отношение эквивалентности на 
множестве всех морфизмов $(S^1, 0) \arrow (M,m)$,
или, что то же самое, путей из $m$ в $m$.
{\bf \blue Множество классов гомотопической эквивалентности 
путей из $m$ в $m$ обозначается $\pi_1(M,m)$.}


\newpage

{\bf \blue Произведение петель}

Пусть $(M,m)$ -- отмеченное топологическое пространство.
Если $\gamma, \gamma':\; [0,1] \arrow M$ --
два пути из $m$ в $m$, обозначим за
$\widetilde{\gamma\gamma'}:\; [0,2]\arrow M$
путь, который получен по формуле
\[
\widetilde{\gamma\gamma'}(\lambda) = \begin{cases} 
\gamma(\lambda), & \ \ \text{если} \ \ \lambda\leq 1\\
\gamma'(\lambda-1), &\ \ \text{если} \ \ \lambda\geq 1.
\end{cases}
\]
Непрерывность этого пути следует из того же аргумента,
что и выше (отображение $f:\; X \arrow Y$ непрерывно, если замыкание 
образа любого $Z\subset X$ содержит образ замыкания $Z$)

Определим {\bf \blue произведение $\gamma\gamma'$ формулой
$\gamma\gamma'(\lambda) = \widetilde{\gamma\gamma'}(2\lambda)$.}

{\bf \green Лемма:} 
{\bf \red Определенная выше операция на $\Omega(M,m)$
переводит гомотопные пути в гомотопные:} если
$\gamma_0$ гомотопен $\gamma_1$, а 
$\gamma_0'$ гомотопен $\gamma_1'$, то
$\gamma_0\gamma_0'$ гомотопен $\gamma_1\gamma_1'$.

\newpage

{\bf \blue Гомотопии и произведение петель}

{\bf \green Доказательство:} 
Пусть $\gamma:\; [0,1]\times [0,1] \arrow M, \ \ 
\gamma':\; [0,1]\times [0,1] \arrow M$ 
-- гомотопии, соединяющие $\gamma_0$ и $\gamma_1$, а также
$\gamma_0'$ и $\gamma_1'$. Гомотопии путей это отображения
из квадрата в $M$, а то, что концы пути остаются в $m$,
означает, что две стороны квадрата идут в $m$
(остальные две стороны идут в $\gamma_0$, $\gamma_1$
для первого квадрата, $\gamma_0'$, $\gamma_1'$ для второго).

Рассмотрим гомотопию между $\widetilde{\gamma_0\gamma_0'}$
и $\widetilde{\gamma_1\gamma_1'}$, полученную по формуле
\[
\widetilde{\gamma\gamma'}(\lambda, t) = \begin{cases} 
\gamma(\lambda,t), & \ \ \text{если} \ \ \lambda\leq 1\\
\gamma'(\lambda-1,t), &\ \ \text{если} \ \ \lambda\geq 1.
\end{cases}
\]
Вышеприведенный аргумент
(отображение $f:\; X \arrow Y$ непрерывно, если замыкание 
образа любого $Z\subset X$ содержит образ замыкания $Z$)
доказывает, что {\bf \purple это отображение непрерывно,  значит,
осуществляет гомотопию $\widetilde{\gamma_0\gamma_0'}$
и $\widetilde{\gamma_1\gamma_1'}$.} 

{\bf \red Гомотопия 
$\gamma_0\gamma_0'$ и $\gamma_1\gamma_1'$
получается из этого,} поскольку {\bf \purple 
$\gamma_0\gamma_0'$ и $\gamma_1\gamma_1'$
получены из $\widetilde{\gamma_0\gamma_0'}$
и $\widetilde{\gamma_1\gamma_1'}$ репараметризацией.}


\newpage

{\bf \blue Фундаментальная группа}

Из этой леммы следует, что {\bf \purple произведение
$\gamma, \gamma' \arrow \gamma\gamma'$ --
корректно определенная операция на множестве
$\pi_1(M,m)$ классов гомотопической 
эквивалентности петель.}

{\bf \green Теорема:} {\bf \red Определенная выше операция 
$\pi_1(M,m) \times \pi_1(M,m)\arrow \pi_1(M,m)$
задает структуру группы на $\pi_1(M)$.}

{\bf\green  Доказательство:} Нужно проверить выполнение групповых
аксиом. 

Роль единицы $\iota :\; [0,1]\arrow M$ в $\pi_1(M,m)$
играет отображение $[0,1]$ в точку $m\in M$. Эта петля
называется {\bf\blue  тривиальной}.
Обозначим за $\phi_0:\; [0,1]\arrow [0,1]$
отображение $t \arrow \max(0, 2t-1)$, за 
$\phi_1:\; [0,1]\arrow [0,1]$ отображение
$t \arrow \min(1, 2t)$. 


Обозначим за $\phi_0:\; [0,1]\arrow [0,1]$
отображение $t \arrow \max(0, 2t-1)$, за 
$\phi_1:\; [0,1]\arrow [0,1]$ отображение
$t \arrow \min(1, 2t)$. 

\newpage 

{\bf \blue Фундаментальная группа: существование единицы}

\begin{center}
\begin{minipage}{.45\linewidth}
\begin{center}\epsfig{file=phi_0.png,width=0.9\linewidth}\\ 
{\small График функции $\phi_0(t)$} \end{center}\end{minipage}
\begin{minipage}{.45\linewidth}
\begin{center}\epsfig{file=phi_1.png,width=0.9\linewidth}\\ 
{\small График функции $\phi_1(t)$} \end{center}\end{minipage}
\end{center}


Легко видеть, что $\gamma\iota= \phi_0 \circ\gamma$, а
$\iota\gamma= \phi_1 \circ\gamma$. 
Функции $\phi_1$ и $\phi_2$ гомотопны друг другу и тождественному
отображению $x\arrow x$ в классе функций, сохраняющих
$0$ и $1$. {\bf \red Kомпозиция уважает гомотопию, следовательно,
путь $\gamma\iota$ гомотопен $\iota\gamma$ и гомотопен
$\gamma$.}

\newpage 

{\bf \blue Фундаментальная группа: обратный элемент}

Обратный элемент $\gamma^{-1}$ к пути $\gamma$
строится так: $\gamma^{-1}(t) = \gamma(1-t)$.
Рассмотрим функцию $\Phi:\; [0,1]\arrow [0,1]$,
$\Phi(t)= \min(2t, 2-2t)$,

\begin{center}\epsfig{file=Phi.png,width=0.4\linewidth}\\ 
{\small График функции $\Phi(t)$} \end{center}

Легко видеть, что $\gamma\gamma^{-1}=\Phi\circ\gamma$.
Поскольку $\Phi$ гомотопен отображению $t\arrow 0$
в классе функций, переводящих 0 и 1 в 0, 
путь $\gamma\gamma^{-1}=\Phi\circ\gamma$ гомотопен тривиальному.

\newpage 

{\bf \blue Фундаментальная группа: обратный элемент (иллюстрация)}


Эту гомотопию можно увидеть  из следующей картинки.

\begin{center}\epsfig{file=styagivaem.png,width=0.95\linewidth}\\ 
{\small Стягивание петли $\gamma\gamma^{-1}$ в точку} \end{center}

\newpage 

{\bf \blue Фундаментальная группа: ассоциативность}

Пусть $\gamma_0$, $\gamma_1$, $\gamma_2$ три
пути из $m$ в $m$, а $\widetilde{\gamma_0\gamma_1\gamma_2}:\; [0,3]\arrow M$ --
петля, определенная формулой
\[
\widetilde{\gamma_0\gamma_1\gamma_2}(\lambda) = \begin{cases} 
\gamma_0(\lambda), & \ \ \text{если} \ \ 0\leq\lambda\leq 1\\
\gamma_1(\lambda-1), &\ \ \text{если} \ \ 1\leq\lambda\leq 2,\\
\gamma_2(\lambda-2), &\ \ \text{если} \ \ 2\leq\lambda\leq 3.
\end{cases}
\]
Рассмотрим кусочно-линейные
функции $\psi_1, \psi_2:\; [0,1]\arrow [0,3]$
\[
\psi_1(t) = \max\left(2 t, 4 \left(t-1/4\right)\right), 
\ \ \psi_2(t) = \min\left(4 t, 2\left(t+1/2 \right)\right)
\]
графики которых составлены из двух прямолинейных отрезков. У $\psi_1$ 
первый отрезок соединяет (0,0) и (1/2,1), второй отрезок
соединяет (1/2,1) и (1,3). У $\psi_2$ первый отрезок 
соединяет (0,0) и (1/2,2), второй отрезок соединяет
 (1/2,2) и (1,3).


\newpage 

{\bf \blue Фундаментальная группа: ассоциативность (продолжение)}


\begin{center}
\begin{minipage}{.35\linewidth}
\begin{center}\epsfig{file=psi_1.png,width=0.45\linewidth}\\ 
{ График функции $\psi_1(t)$} \end{center}\end{minipage}
\begin{minipage}{.35\linewidth}
\begin{center}\epsfig{file=psi_2.png,width=0.45\linewidth}\\ 
{ График функции $\phi_2(t)$} \end{center}\end{minipage}
\end{center}

Легко видеть, что 
$\gamma_0(\gamma_1\gamma_2)=
\psi_1\circ
\widetilde{\gamma_0\gamma_1\gamma_2}(\lambda)$,
и $(\gamma_0\gamma_1)\gamma_2=
\psi_2\circ
\widetilde{\gamma_0\gamma_1\gamma_2}(\lambda)$
Поскольку $\psi_1$ и $\psi_2$ гомотопны,
из этого следует, что гомотопны петли
$\gamma_0(\gamma_1\gamma_2)$ и
$(\gamma_0\gamma_1)\gamma_2$.
{\bf \red Мы доказали, что $\pi_1(M, m)$ это группа.}

\newpage

{\bf \blue Фундаментальная группа}

{\bf \green Определение:}
Группа $\pi_1(M, m)$, определенная выше, называется
{\bf\blue  фундаментальной группой} топологического
пространства $(М, m)$.

{\bf \green Замечание:} 
Пусть $(X,x)\stackrel f\arrow (Y,y)$ -- морфизм отмеченных
пространств. Для любого пути $\gamma\in \Omega(X,x)$,
композиция $\gamma\circ f$ задает путь в $(Y,y)$.
Пользуясь тем. что композиция $f$ с гомотопными отображениями
гомотопна,
мы получаем, что $\gamma \arrow \gamma\circ f$ определяет
отображение на классах эквивалентности петель
$\pi_1(X,x) \arrow \pi_1(Y,y)$. 
Из конструкции этого отображения сразу ясно,
что это гомоморфизм групп. Отображение
фундаментальных групп, индуцированное $f$, часто
обозначается той же самой буквой.

{\bf \green Замечание:}
Взятие фундаментальной группы {\bf\red определяет
функтор из категории отмеченных пространств
в категорию групп.}

{\bf \green Замечание:}\\
{\bf\purple Пусть $f_0, f_1:\; (X,x) \arrow (Y,y)$ - гомотопные отображения.
Тогда соответствующие гомоморфизмы фундаментальных
групп совпадают.}


\newpage

{\bf \blue Стягиваемые пространства}

{\bf \green Определение:}
Пусть $(X,x)$ -- отмеченное топологическое
пространство. Рассмотрим отображение
$\iota_x:\; X \arrow X$, переводящее все точки
$X$ в $x$. Пространство $X$ называется
{\bf\blue  стягиваемым}, если $\iota_x$ гомотопно
тождественному отображению $\Id_X$.

{\bf \green Пример:} 
Пусть $(X,x)$ -- подмножество $\R^n$.
Это подмножество называется {\bf\blue  звездчатым}, если
для любой точки $x'\in X$, отрезок
$[x,x']$ целиком лежит в $X$. 
Рассмотрим отображение $X \times [0,1] \stackrel \Psi \arrow X,$
переводящее $(x',t)$ в $x - t(x-x')$.
Легко видеть, что $\Psi$ это гомотопия
$\Id_X$ и $\iota_x$ (докажите это).
Мы получили, что {\bf \blue любое звездчатое подмножество
стягиваемо.}

{\bf \green Замечание:}
Пусть $(X,x)$ -- стягиваемое пространство.
Легко видеть, что отображение
$\iota_x:\; X \arrow X$ задает
тривиальный гомоморфизм $\pi_1(X,x) \stackrel{\iota_x}\arrow \pi_1(X,x)$
(все элементы группы $\pi_1(X,x)$ переходят в 1).
Поскольку отображение $\iota_x$ гомотопно тождественному,
а гомотопные отображения топологических
пространств индуцируют одинаковые отображения
фундаментальных групп, {\bf \purple тождественное отображение
$\pi_1(X,x)\stackrel {\Id} \arrow \pi_1(X,x)$
равно отобраажению, переводящему все элементы в 1.}
Поэтому {\bf \red $\pi_1(X,x) = \{1\}$, для любого стягиваемого
пространства $X$.}




\end{document}



