
\documentclass[11pt]{book}

\usepackage{amsmath, amssymb, amscd, russcorr, theorem, %
fancyhdr, epsfig}
\usepackage[matrix,arrow]{xy}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\triangle}{\vartriangle}

\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   02.05.2008}

\setlength{\headheight}{15pt}
\pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny ���, ����� 2008, ������
����, ������ 16} 
\cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version}
\rhead{{\small  ���� ���������}}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  equations                          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\@addtoreset{footnote}{section}
\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  listki-new.tex                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Aut{\operatorname{\sf Aut}}
\def\Spec{\operatorname{\sf Spec}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{{\operatorname{\sf Id}}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\ev{\operatorname{\sf ev}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}
\newcommand{\Ob}{\operatorname{{\cal O}b}}
\newcommand{\Mor}{\operatorname{{\cal M}or}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Set}{\operatorname{Set}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{\sf char}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
%        \writevedomost{\string\mc{\thezadacha} \string & \string & \string 
%        \\ \string \hline}
   }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
   \writevedomost{\string\mc{\thezadacha ##3}  \string & \string \grd \string & \string\grp
   \string \\ \string \hline}
    }}
\endgroup

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{zadacha}{������}[chapter]

\begingroup
\gdef\th@generic{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
     }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
    }}
\endgroup

\theoremstyle{generic}

\newtheorem{opredelenie}[zadacha]{�����������}
\newtheorem{ukazanie}[zadacha]{��������}
\newtheorem{zamechanie}[zadacha]{���������}

\renewcommand{\labelenumi}{\ralph{enumi}.}


\newcommand{\listok}[2]{%
\setcounter{page}{1}
\renewcommand{\@oddhead}{\hfil #2 \hfil}
\renewcommand{\@evenhead}{\hfil #2 \hfil}
\section*{#2}
\refstepcounter{section}
\setcounter{section}{#1}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% VEDOMOST GENERATION
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newwrite\Vedomost
%\immediate\openout\Vedomost = \jobname.vdm
%\newcommand{\writevedomost}[1]{\immediate\write\Vedomost{ #1 }}
\newcommand{\writevedomost}[1]{}

\def\grd{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\dtt}}\vphantom{666}}
\def\grp{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\pdp}}\vphantom{666}}

\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%   Chapter                         %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



  \renewcommand{\chapter}{%
     \secdef\ChapterNumbered\ChapterStarred}

  \def\ChapterNumbered[#1]#2{%
      \addcontentsline{toc}{chapter}{\thechapter. #1}
      \refstepcounter{chapter}
      {
\vspace{\baselineskip}
\chaptermark{#2}
          { {{\noindent\bf\huge \thechapter. \ #2\par}}}
      }
    \vspace{\baselineskip}
}

  \newcommand{\ChapterStarred}[1]{%
      \refstepcounter{chapter}
      \chaptermark{#1}%
      \vspace{\baselineskip}}

  \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{#1}}
                             



\newcommand{\������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ������ \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\�����}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ����� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\�������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ������� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ����������� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ��������� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}

\def\�����{\hfill}
\def\��������{\noindent}
\def\��{\bf}
\def\��{\em}
\def\��{\it}
\def\������{\begin{zadacha}}
\def\��{\end{zadacha}}
\def\���������{\begin{zamechanie}}
\def\���{\end{zamechanie}}
\def\��������{\begin{ukazanie}}
\def\��{\end{ukazanie}}
\def\eu{\end{ukazanie}}
\def\�����������{\begin{opredelenie}}
\def\��{\end{opredelenie}}
\def\eo{\end{opredelenie}}
\def\goth{\mathfrak}
\def\����{\begin{enumerate}} 
\def\��{\end{enumerate}}
\def\ee{\end{enumerate}}
\def\����{\item $\bullet$ %
    \writevedomost{\string & \ralph{enumi} \string &\string & \string \\ \string \hline } }

\begin{document}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{chapter}{15}
\lhead{{\scriptsize  ���������, ������ 16: �������� �����}}
\chapter{���������, ������ 16:\\ �������� �����}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{������������������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\�����������
����� $M$ -- �������������� ������������, � $\sim$ --
��������� ���������������. ������������ $U \subset
M/\sim$ ��������� ������� $M/\sim$ ����������
{\�� ��������}, ���� ��� �������� � $M$ ������.
���������, ��� ��� ���������� ��������� 
�� $M/\sim$. ����� ��������� ����������
{\�� ����������������}, � ������������
$M/\sim$ -- {\�� ������������������.}
\��

\�����������
����� ������ ��������� $M$. ����� ������, ��� ���������
������� $\operatorname{Bij}(M,M)$ �� $M$ � $M$ �������� ������ � ���������
����������. ��������, ��� ������ $G$ {\�� ��������� �� ��������� $�$},
���� ����� ����������� �� $G$ � ������ ������� $\operatorname{Bij}(M,M)$.
����� ������, ��� ������� $g\in G$, $m\in M$, ������ �����
$g(m)$, ��� ���� $g(g_1(m))= gg_1(M)$, ��� ����� $g,
g_1\in G$.
\��


\�����������
� ����� ��������, {\�� �������} ����� $x\in M$ ����������
���������
\[
Gx := \{ y\in M \ | y = gx, g\in G\}
\]
���� �����, ������� ����� �������� �� $x$ ��������� $G$.
\��


\�����������
����� $M$ -- �������������� ������������, � $G$ -- ������.
�� �������, ��� $G$ {\�� ��������� �� �������������� ������������
$M$}, ��� $G$ {\�� ���������� ��������� �� $M$}, ����
$G$ ��������� �� $M$, ������ ��� ������ $g\in G$, �����������
$m \arrow gm$ ����������. 
\��

\���������
����������� ������� ������������ �������� ������ $G$
�� ������� ��������� $\cac$. {\�� ��������� ������} �� $X\in \Ob(\cac)$
���������� ����������� $G \arrow \Mor(X,X)$ �����, ���
������������ ��������� ������ ��������� � ����������
���������.
\���

\�����������
����� $G$ -- ������, ����������� �� ��������������
������������ $M$. {\�� �������������������} �� ��������
������ ���������� ������������ ������� ���������������
$M/\sim$, ��� $x\sim y$, ���� $x$ � $y$ ����� � �����
������ $G$. ����� ������������������ ��������
{\�� ������������ ����� �������� $G$}.
\��

\������
����� $M$ �����������, � $G$ -- ������, ����������
����������� �� $M$. ������ �� ������������������
$M/G$ �����������?
\��

\���������\label{_quotie_otkry_Zamechanie_}
����� $G$ - ������, ����������� �� ��������������
������������ $M$. ����� ������������ ��������
$M\stackrel \pi \arrow M/G$ �������� ��������
������������. � ����� ����, ����� $U$ -- �������� ���������,
� $GU$ -- ����������� ���� ����� ���� $gu$,
$g\in U$, $u\in U$. ����� $GU$ -- ����������� 
�������� �������� ���� $gU$, � ��� �������. ��������� 
$\pi^{-1}(\pi(U))= GU$, ����� $\pi(U)$ ������ � $M/G$.
\���



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{��������� ��������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\�����������
����� $M$, $\tilde M$ -- 
�������������� ������������, � $\pi:\; \tilde M \arrow M$
����������� �����������. $\pi$ ���������� {\�� ��������},
���� � ������ ����� $\tilde x\in \tilde M$ ���� �����������
$\tilde U \ni \tilde x$ �����, ��� 
\[ \pi\restrict {\tilde U}:\; \tilde U \arrow \pi(\tilde U) 
\]
��� ������������. 
��� ����������� ���������� {\�� ���������}, ����
� ������ ����� $x\in M$, ���� �����������
$U\ni x$ �����, ��� $\pi^{-1}(U)$ ����������� $U \times S$,
��� $S$ -- �������������� ������������ � ���������� ����������,
� ����������� $\pi\restrict{\pi^{-1}(U)}:\; \pi^{-1}(U)\arrow U$
��� ����� ����������� ��������� � ��������� $U \times
S\arrow U$. {\�� ����� ��������} ���������� 
$M$, � ��� {\�� �����} ��� ������ $x$ -- �������� 
$\pi^{-1}(x)$.
\��

\���������
����� ������, ��� ����� �������� ������� (��������� ���).
\���

\���������
����� $U\subset X$ - �������� ������������,
������� �� �������� ���������. ����������� ��������
$j:\; U \arrow X$ �������, �� �� �������� ��������� (���������).
\���

\������
����� $M$ -- ������, � $\pi:\; \tilde M \arrow M$ --
��������. ��������, ��� ���� $\pi^{-1}(x)$ ����������
$\pi^{-1}(y)$, ��� ����� $x, y \in M$.
\��


\������
����������� ���������� $S^1$ � ���������� ����� $\R / {2
\pi \Z}$. ������������ �������� $\R \arrow S^1$ ��������
��������� (��������). �������� $\R^n$ �� ��� $T^n = \R^n/\Z^n$
����� �������� ��������� (�������� ���). 

\�����������
����� $G$ -- ������, ����������� �� ��������������
������������ $M$. ���������, ��� �������� $G$ {\�� ������ ��������},
���� � ������ ����� $x\in M$ ���� ����������� $U$ �����,
��� $U \cap gU= \emptyset$ ��� ������ $g\in G$ ������, ���
$g$ ��������� �� ������������ � ����������� $U$. 
\��

\�����������
�����  $G$ -- ������, ������ �������� ����������� ��
�������������� ������������ $M$.
�����  ��������
$M \stackrel \pi \arrow M/G$ �������� ���������.

\�����

\��������
{\�� ��������������:} ����� $x\in M$ -- ����� �����,
� $U \ni x$ -- �����������, ��������������� $U \cap gU= \emptyset$ 
��� ������ $g\in G$ ������, ��� $g(x) \neq x$. ���������
$\pi$ �������, $\underline U:=\pi(U)$ -- ����������� $\pi(x)$.
������������ �������� $\pi:\; U \arrow \underline U$
�� ���������� ��������� � ����������. ��������� ������ 
�������� ������������ $\underline{U_1}\subset \underline U$ ����������
��� ����� ��������� ������������ ���� $GU_1$, ��� $U_1 \subset U$ 
(��������� \ref{_quotie_otkry_Zamechanie_}),  $\pi:\; U \arrow \underline U$
������������. ������� �������� $M \stackrel \pi \arrow M/G$ �������.
��������� $\pi^{-1}(\underline U)$ -- ����������� ����������������
�������� �������� ���� $gU$, ��� $g\in G$, ��� ��������
�������� ���������.\endproof

\hfill

\������
������� ������ ���������� �������� ������ �� 
�������������� ������������ ��������� ����
($\R \arrow S^1$, $\R^n \arrow T^n$). ��������
�������� ����� ��������� ������.

\������
����� $M$ -- ������ ����������������� ������
(������, � ������� �� ��������� 1, ���� ��������� 0),
� $\Gamma$ -- ���������  ����������������� ������
� ������ ��������������. ��������, ��� $\Gamma$ -- ������.
���������� �������� $\Gamma$ �� $M$ �� �������
$\gamma(m) = \gamma\cdot m$, ��� $\cdot$ ����������
��������� ������. ��������, ��� ��� ��������
������ ��������. 
\��

\�����������
����� $\tilde M\stackrel \pi \arrow M$, 
$\tilde M'\stackrel {\pi'} \arrow M$ -- �������� $M$.
����������� ����������� $\psi:\; \tilde M \arrow \tilde M'$
���������� {\�� ��������� ��������}, ����
$\psi \circ \pi'=\pi$. 
\��

����������� ��������� $\psi \circ \pi'=\pi$ ����� ����������
����������� ��������
\begin{equation}\label{_commu_morf_nakr_Equation_}
\xymatrix{
\tilde M\ar[r]^\psi\ar[rd]^{\pi} & \tilde M'\ar[d]^{\pi'}\\
& M}
\end{equation}
� �������� ������� ����� ������� ���������,
� ��������� ���������� ��������.
���������, ��� ��� ��������� {\�� ������������},
���� �������, ���������� ����������� ���������,
������ �� ������ ������� � ������, �� ������� �� ������
���� �� ����������.

� ���������, ��������� \eqref{_commu_morf_nakr_Equation_}
������������ ����� � ������ �����, ����� 
$\psi \circ \pi'=\pi$. 


\���������
�������� ������������ $M$ �������� ���������. �������
���� ��������� -- �������� $M$, � �������� ����������
����. ��������������� ���������� ��������� � �������������
�������������� �������� �������� (��������� ���).
\���

\���������
��������� ��������� �� $\tilde M$ � $\tilde M'$
������������ $\Mor(\tilde M, \tilde M')$.
����� ���� ����������� ����������� �� $M$,
����� \[ \Mor_M(\tilde M, \tilde M')\]
(�������� "��������� ��������� $\tilde M$ � $\tilde M'$
��� $M$).
\���

\�����������
����� $\tilde M \stackrel \pi \arrow M$ -- ��������.
�� �������, ��� ��� {\�� ������������}, ���� 
$\tilde M = M \times V$, ��� $V$ -- ���������
� ���������� ����������, � ��� ����������
���������� � ��������� � $M$. ��������������
�������� ����� �������� {\�� �����������}.
\��

\����������� 
����� $\tilde M \stackrel \pi \arrow M$ -- ��������.
���� $U \subset M$ -- �������� ������������, ��
$\pi\restrict{\pi^{-1}(U)} \pi^{-1}(U)\arrow U$ --
���� �������� (���������). ��� ����������
{\�� ������������ �������� $\pi$ �� $U$}.
����������� �������� $\pi$ �� ����������
����� �������� ��������� $U \subset M$ ����������, �� 
����������� ��������. ��� �������� ����� ��������,
������, ��� �������� {\�� �������� ����������},
� ����� ��������, ��� ����������� ����������
��� ����������� �� $M$ -- �������, ���
��� {\�� �������� ���������� �� ����},
��� {\�� �������� ���������� �� $M$}.
\��

\���������
����� $M$ ������, � $\tilde M \arrow M$ -- ����������� ��������
$M$. ����� $\tilde M = M \times S$, ��� $S$ -- ���������
������� ��������� $\tilde M$. � ���������, 
��� ������� ���������� $\tilde M$ �������������
�� $M$ �����������.
\���

\���������\label{_morfizm_rasshche_Zamechanie_}
����� $M$ ������, � $\psi:\; \tilde M \arrow \tilde M'$ --
������� ����������� �������� $M$. ����� 
$\tilde M = M \times S$, � $\tilde M'= M \times S'$,
��� $S$, $S'$ -- ��������� ������� ���������
$\tilde M$, $\tilde M'$.
����� ������� ���������� $\tilde M$ 
������, �������������, ����� ������� � �������
���������� $\tilde M'$. ����� $\psi_S:\; S \arrow S'$
-- �����������, �������������� $\psi$ �� ������� �����������.
�����
\[
\psi(m, s) = (m, \psi_S(s)).
\]
(���������).
\���


\�����������
����� $M$ -- �������������� ������������. $M$ ����������
{\�� �������� �������}, ���� � $M$ ����
���� ������� ������������, � {\�� �������� ������� 
�������}, ���� � $M$ ���� ���� �������
������� ������������.
\��

\���������
�������, ��� �� ��������� �� �������
��������� ���������, � �� �������� ���������
�� ������� ��������� �������� ���������. 
� ������ �������, �������� ������� �������
������� ������������ ������� ������
(��. �������������� ����� \ref{_lok_lin_sv_nakry_Lemma_} ����).
\���


\�����������
����� $\psi:\; \tilde M \arrow \tilde M'$ -- �������
�������� $M$, ������ $M$ �������� ������. 
����� $\psi$ ��� ��������  $\tilde M'$. 


\�����

\��������
{\�� ��������������:} ��� ����������� �������� �� $M$,
������, ����� ������������, ��� $M$ ������,
� �������� $\tilde M$ � $\tilde M'$ ������������.
� ���� ��������� \ref{_morfizm_rasshche_Zamechanie_}, 
$\tilde M = M \times S$, $\tilde M'= M \times S'$,
a $\psi(m, s) = (m, \psi_S(s))$, ��� $\psi_S$ --
�����������, ������������� $\psi$ �� ��������� 
��������� ��������� $\tilde M$ � $\tilde M'$.
�� ����������� $\psi(m, s) = (m, \psi_S(s))$
�������� ����������� ��������� �� ������
������� ���������� $\tilde M'$. ������� 
$\psi$ -- �������� ����������� �������� 
$\tilde M'$ (���������). 
\endproof



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{����������� ������������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\�����������
������� �������������� ������������ $M$ ����������
{\�� ������� �����������}, ���� ����� �������� $M$ ������������.
\��


������������ ��� ����������� ���������
������� �����.

\�����


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\�����\label{_lok_lin_sv_nakry_Lemma_}
����� $\tilde M \arrow M$ - ��������, ������
$M$ �������� ������� ������, � $\tilde M$ ������.
����� $\tilde M$ ������� ������.


\�����

\�������� 
{\�� ��������������:}
��������� $M$ �������� ������� ������,
$\tilde M$ ���� �������� ������� ������.
 �����������
���� ������� ������� ��������, ���������� �����
$x\in \tilde M$, ������� � $\tilde M$, � ����
��������� �������� ��������� $\tilde M$.
��� ������ ��������� $\tilde M$ � ����������
�������� ���������, ������� �������.
� ��������� $\tilde M$ ������, 
����� ���������� ����� ����.
\endproof

\hfill


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\�������
����� ��������, ��������� ������������ � $\R^n$
������� ����������.

\�����

\�������� 
{\�� ��������������.} {\�� ��� 1:}
����� $M$ -- ��������, ��������� ������������
$\R^n$, � $\tilde M \stackrel\pi \arrow M$ -- ��������. 
��������� $M$ �������� ������ (�������� ���), $\tilde M$
�������� ������. ������� $\tilde M$ -- ���������
����������� ����� ��������� ���������. 
��� �������������� �������� ������������� $M$
���������� ���������, ��� ������
�� ���� ��������� ��������� ��������
����������� ��������� $M$. �������
����� �������, ��� $\tilde M$ ������.

\�����

\��������
{\�� ��� 2:} 
��������� $\tilde M$ ������, � $M$
������� ������ (��������), $\tilde M$ 
������� ������, � ���� ����� \ref{_lok_lin_sv_nakry_Lemma_}.

\�����


\��������
{\�� ��� 3:}
���������� $M$ ��� ����������� ������������,
� ���������� ��������, �������������� �� $\R^n$.
����� ��� ����� $x, y\in \tilde M$ ����� ���������
����� \[ \gamma:\; [a,b] \arrow \tilde M,\] ������ ��� $\tilde M$ ������� ������.
��������� ����� ���� $l(\gamma)$
��� ����� ��� ������ $\gamma_\pi:= \gamma\circ \pi$ � $M$.
���� ��� ����� $\gamma(t), \gamma(t+\epsilon)$
���������� � ����������� $U\subset \tilde M$, �������
����������� ������������� �� �������� ������������
$U\subset M$, ����� �������� ������� $(\gamma(t), \gamma(t+\epsilon))$
���� $\gamma$ �� �������� �������, ������������ �����
$\pi(\gamma(t)), \pi(\gamma(t+\epsilon))$.
�� ����������� ��������, $\gamma$ �����������
������ ��������� ����������� �������
(��������� ���). ��������� $\gamma([a,b])$
���������, ��� ����� ������� �������� �������
����� �������� ��������. ������� ������
������� $(\gamma(t), \gamma(t+\epsilon))$
�� �������������, ��� ������� ����, �� 
������� ���� $\gamma$, ������� �������������
� ������� $\gamma_\pi:\; [a,b] \arrow M$.
�������������, ����� ��� ����� ����� ���������
����� �������� �����. ��������� �������
�� $\tilde M$ �� �������
\[
\tilde d(x,y) = \inf_\gamma l(\gamma),
\]
��� ������� ������� �� ���� �����, �����������
$x$ � $y$. ����� ������, ��� ��� �������
������ �� $\tilde M$ ������� (��������).


\�����


\��������
{\�� ��� 4:} ������� $\tilde d$ ������ �� ������������
$\tilde M$ ���������, � ������� ��������� ������������
����� $x\in \tilde M$ ����� ������� ����������
��������� $\pi^{-1}(U)$, ��� $U\ni \pi(x)$ --
����������� $\pi(x)$. �������������, $\tilde d$
����������� � �������� ���������� �� $\tilde M$.

\�����


\��������
{\�� ��� 5:}
�������, ��� $\tilde M$ � ����� �������� �����.
 ����� ������, ��� 
$\tilde d(x, y) \geq d(\pi(x), \pi(y))$ (��������).
������� ��� ����� ������������������ ����
$\{x_i\}$ � $\tilde M$, �� ����� $\{\pi(x_i)\}$ --
������������������ ����. ��������� $M$ �����,
$\{\pi(x_i)\}$ �������� � ����� $\underline x\in M$.
������� ����� ��� ����� ������������������ 
$\{x_i\}$ ���������� � $\pi^{-1}(U)$, ���
����� ����������� $U \ni x$. ��� �����������
��������, ����� �������, ��� $U$ �������
������������, �������������, 
��������� $\bar U$ ���������.
������ $U$ ���������� �����, ����� �������,
��� $\pi^{-1}(\bar U)$ -- �����������
���������������� ��������� (��������� ���������
 $\pi^{-1}(\bar U)$), ������������
$\bar U$. ��� ���������� ���������
������� ���� �� ����� �� �������������
����������, � ������,
����� ��� �������� ������������������
���� $\{x_i\}$
���������� � ����� �� �������
���������  (��������). ��������� ���
������� ���������� �� $U_0$.
�� ����������, $U_0$ �������������
������������� �� $U$.
�������������, $\{x_i\}$ ��������
� $\pi^{-1}(\underline x)\cap U_0$.
������� $\tilde M$ ��������.

\�����

\��������
{\�� ��� 6:}
�� ����������, ������� � $\tilde M$ ��������
���������� (����������� ��� ����� �����),
� ������, ������������� ������� �����-������.
����� ��� ������������ ����� (��� 5)
� �������� ��������� (��� ��������
����������� $\R^n$). �� ������� �����-������, 
���������� � $\tilde M$ ����������� ��������������,
�� ���� ��� ����� $x, y \in \tilde M$, $\tilde d(x,y)=a$, ����
�������������� �������� $[0,a]\stackrel \gamma\arrow
\tilde M$.


\�����

\��������
{\�� ��� 7:} ����� $x\in \tilde M$.
����� $x$ ���������� � $U\subset \tilde M$,
������� ������������� ����������� � $\pi(U)$.
������� $U$ �� ����������� ��������, ����� �������,
��� $\pi(U)$ ������� (�������� ���). 
��� ����� $y\in U$, �����
$\tilde d (x,y)= d(\pi(x), \pi(y))$, ������
��� ����� ��������� $\pi(x), \pi(y)$ ��������,
� ����� ������� ���� ������� � $\tilde M$,
���������������� ���, ��� $U\arrow \pi(U)$ 
-- ������������. ������� �������������
� $\tilde M$ ������������� � ������� ������.
�������������, $\pi:\; (\tilde M, \tilde d) 
\arrow(M, d)$ -- ���������. �� ��������,
��� $\pi$ ��� ������������.
\endproof

\�����

\���������
�������, �������, ��� ������� ����������. 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{�������� ��������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\�����������
����� $\tilde M \stackrel \pi\arrow M$ -- ��������,
� $X\stackrel \psi \arrow M$ -- ����������� �����������.
����������� $X \stackrel{\tilde \psi}\arrow \tilde M$ ����������
{\�� ���������} $\psi$, ���� ��������� ��������� ������������
\[
\xymatrix{
& \tilde M\ar[d]^\pi \\ 
X \ar[ru]^{\tilde \psi}\ar[r]^{\psi} & M}
\]
\��

\�����������
����� $X\stackrel \psi \arrow M$,
$\tilde M \stackrel \pi\arrow M$ --
����������� �����������. ���������� ������������
$\tilde X \subset  X \times \tilde M$,
��������� �� ���� ��� $(x, \tilde m)$
�����, ��� $\psi(x) = \pi(\tilde m)$,
� ����������, �������������� � $X \times \tilde M$.
��� ������������ ����������
{\�� ����������� �������������}
$X$ � $\tilde M$, � ������������
$X \times_M \tilde M$.
\��

\������
����� $M$ �����������. ���������, ��� $X \times_M \tilde M$ --
��������� ������������ � $X \times \tilde M$.
\��


����� $\tilde M \stackrel \pi\arrow M$ -- ��������,
� $X\stackrel \psi \arrow M$ -- ����������� �����������.
����� $\tilde X$ -- ����������� ������������ 
$X$ � $\tilde M$ ��� $M$.
��������� �� $\pi_X$ �������� �� $\tilde X$ �� $X$.
� ����������� $U \ni \psi(x)$, ����������
$\pi$ ������������: $\pi^{-1}(U) = U \times S$.
������� � $U_X:= \psi^{-1}(U)$, �����
$\pi_X^{-1}(U_X) = U_X\times S$ (��������� ���).
������, ��� ��������. �� �������� ��������� �������
�����

\�����

\�����
����� $\tilde M \stackrel \pi\arrow M$ -- ��������,
� $X\stackrel \psi \arrow M$ -- ����������� �����������.
����� ����������� ������������ $X \times_M \tilde M$ --
�������� $X$.

\�����������
� ����� ��������, $X \times_M \tilde M\arrow X$
���������� {\�� �������������� ��������� $X$}.
\��

��������� ������� ������, �� �������. �� �������������� ������
�������� �� �����������, ����������� ����.


% set terminal postscript eps lw 3 butt "Helvetica" 22
% set output "helix.eps"
% set parametric
% set size ratio -1
% set ticslevel 0
% set xrange [-1.5:1.5]
% set yrange [-1.5:1.5]
% set zrange [0:25] 
% unset border
% unset xtics
% unset ytics
% unset ztics
% set terminal png size 1200,800
% set output "helix.png"
%splot [t=0:10*pi] cos(t),sin(t),0 title "" lw 4
%replot cos(t),sin(t),t title "" lw 3

\begin{figure}[ht]
\begin{center}\ \\
\epsfig{file=helix-final.eps,width=0.8\linewidth}\\
{\small �������� ����������� $X\stackrel \psi \arrow M$ �� ��������}
\end{center}
\end{figure}


\�����

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\�������\label{_podnya_sushche_Teorema_}
����� $\tilde M \stackrel \pi\arrow M$ -- ��������,
� $X\stackrel \psi \arrow M$ -- ����������� �����������.
�����������, ��� $X$ ������� ����������. �����
���������� �������� $X \stackrel{\tilde \psi}\arrow \tilde M$.
����� ����, ��� ����� ����� $x\in X$ � ����� ����� 
$\tilde x \in \pi^{-1}(\psi(x))$, ���������� � �����������
�������� $X \stackrel{\tilde \psi}\arrow \tilde M$
�����, ��� $\tilde \psi(x) = \tilde x$.

\�����

\�������� 
{\�� ��������������:} ����� $\pi_X:\; \tilde X\arrow X$ -- ��������������
��������. ��������� ��� ������������, ����� $\tilde X = X \times S$.
��� ������ �� ��������� ��������� $X \subset \tilde X$, ������������
�������� $\tilde X \arrow \tilde M$ ������
�������� $\tilde \psi:\;  X \arrow \tilde M$.
������ �� ����� �������� ������������ �������
������������ ������� ���������� ���������,
�� ��� ���������� ��������������� ������� ���������
$\pi^{-1}(\psi(x))$: ������ �� ��������� �������� ����� 
���� �� ����� ����� ���������. \endproof


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{�������� � ����}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\��������� 
����� $(M,m)$ -- ���������� ������������, $(\tilde M, \tilde m)$ --
��� ��������, � $\gamma\in \Omega(M,m)$ -- �����. ��������� �������
����������, ����������� $\gamma:\; [0,1] \arrow M$ �����������
������������ ������� �� ����
$\tilde \gamma:\; [0,1] \arrow \tilde M$, ������
$\tilde \gamma(0) = \tilde m$. ����� ����
���������� {\�� ��������� ����� $\gamma$ �� 
��������}. �������, ��� $\tilde \gamma$ --
��� �� �����: ����� $\tilde \gamma(0)$ ����� ����
�� ����� $\tilde \gamma(1)$.
\���


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\�����������\label{_podnya_puti_gomoto_Utverzhdenie_}
�����  $(M,m)$ -- ���������� ������������, \[(\tilde M,
\tilde m)\arrow (M,m)\] --
��� ��������, $\gamma, \gamma'\in \Omega(M,m)$ --
���������� �����, � $\tilde \gamma$, $\tilde \gamma'$
-- �� ��������. ����� $\tilde\gamma(1) =\tilde\gamma'(1)$.

\�����

\��������
{\�� ��������������:} ����� $h:\; [0,1]\times [0,1]\arrow M$ --
����������� �� ��������, ������� ������������ ���������
$\gamma$ � $\gamma'$. �� �����������,
$h$ ��������� ��� ��������������� ������� ��������
� $\gamma$ � $\gamma'$, � ��� ������ -- � $m$.
��������� ������� ����������, $h$ �����������
�� $\tilde h:\; [0,1]\times [0,1]\arrow \tilde M$,
����� �������, ��� $(0,0)$ ��������� � $\tilde m$.
�� ���� �������� �������� $h$ ����������, �� ��������
������������ ����, ��������, ����������. �������
�� ���� ���� �������� $\tilde h$ ���� ����������.
������, 
\[ \tilde \gamma(1)=\tilde h(1,0)=\tilde h(1,1) 
   = \tilde \gamma'(1).
\] 
\endproof

\�����

\���������
����� $(M,m)$ -- ������� � �������� ������� �������
���������� ������������, ������� 
����� ����������� ��������������� ������.
����� $M$ ������� ����������.

\�����

\��������
{\�� ��������������:} 
���������� �������� $\tilde M \stackrel \pi \arrow M$.
���������� ��������, ��� $\tilde M$ ����������,
���� ��� ������. �����
$x_1, x_2 \in \pi^{-1}(x)$. ��������� $\tilde M$
�������� ������� ������ � ������, ��� �������
������, � ������, ����� $x_1, x_2$ ����� ���������
����� $\tilde \gamma$. ���������� ����
$\gamma:= \tilde\gamma\circ \pi$.
���� ���� ��������� ������������, 
������ ��� $\pi_1(M,m)=\{1\}$. 
�������� ������������ ���� ����������,
� ������, ��� ��� ����� ���������.
� ���� ����������� \ref{_podnya_puti_gomoto_Utverzhdenie_},
�� �� ����� � ��� $\gamma$, ������, $x_1=x_2$.
\endproof

\�����

�������� ����������� ���� �����, ���� � � �����
��������������� ��������������.

��� �������������� ����� �������
�������, ��� ������� $\pi_1(M,m)$
�� ����� $m\in M$. ����� $x, y\in M$,
� $\xi$ -- ���� �� $x$ � $y$. 
��� ������ ����� $\gamma\in \Omega(M,y)$,
���������� ���� $\xi \gamma\xi^{-1}$, ������������
�� ������� 
\[
\xi \gamma\xi^{-1}(\lambda) = \begin{cases} 
\xi(3\lambda), & \ \ \text{����} \ \ 0\leq\lambda\leq 1/3\\
\gamma(3\lambda-1), &\ \ \text{����} \ \ 1/3\leq\lambda\leq 2/3,\\
\xi(3-\lambda), &\ \ \text{����} \ \ 2/3\leq\lambda\leq 1.
\end{cases}
\]
(�������� �� $x$ � $y$ �� $\xi$, ������� $y$ �� $\gamma$,
� ������������ � $x$ � �������� ������� �� $\xi$).
����� ������, ��� $\xi \gamma\gamma'\xi^{-1}$ 
��������� $\xi \gamma\xi^{-1}\xi\gamma'\xi^{-1}$ 
(��������). ������� $\gamma \arrow \xi \gamma\xi^{-1}$
������ ����������� ����� \[ \pi_1(M,y) \arrow \pi_1(M,x).\]
���� �����������, ��������, ������� (��������), � �������������
������ $\pi_1(M,y)$ ��������� $\pi_1(M,x)$. 
�������� ���������, ��� ���� ���������� �������
�� ������ ���� $\gamma$.

��������� �� $\pi_1(m,x)$ ��������� ��������������
������� ����� �� $m$ � $x$. ��� �� ��������, ��� � ����,
��������� ��������� ������� ����� $\pi_1(m,x)$ �
$\pi_1(M,m)$.


����� $(M,m)$ -- ���������� ������������,
������� � �������� ������� �������.
�����������, ��� � $M$ ���� ���� ���������,
��������� �� �������� $U$ � $\pi_1(U)=\{1\}$.
����������� ����� $U$, ��� ����� $x$, �
����� $\gamma$ -- ���� �� $m$ � $x$.
��������� �� ${\cal U}_\gamma$ ���������
���� ��� $(y, \gamma' \in \pi_1(m,y))$,
��� $y\in U$, � ���������� ����
$\nu$ �� $y$ � $x$, ������� �������
� $U$ � �����, ��� $\gamma'\nu\gamma^{-1}$
��������� ���� (������������ ����).
��������� ��� ���� �� $x$ � $y$, �������
� $U$, ���������, ������������
�������� �� ${\cal U}_\gamma$ � $U$ -- ������������
(��������� ���).

����� $\tilde M$ -- ��������� ���� ��� 
$(x, \gamma \in \pi_1(m,x))$, � ����������,
���� ������� ������ ����������� ����
${\cal U}_\gamma$. ����� ������, ���
����������� ����� �������� ����� �����
�� ���, � ������� ${\cal U}_\gamma$ ������
��������� �� $\tilde M$. ������������
�������� $\tilde M \arrow M$ �������
�� ����������, � ���������
$\pi^{-1}(U)$ -- �����������
${\cal U}_\gamma$ ��� ���� ��������������
������� ����� �� $m$ � $x\in U$,
$\pi$ ��� ��������.

�������, ����� 
$\gamma \in \pi_1(M,m)$ �����, ������������ ����, �����
$\tilde \gamma$ -- ��� �������� � $\tilde M$,
�����, ��� $\gamma(0)$ ������������� ���� $(m, \gamma_0)$,
��� $\gamma_m$ -- ����������� ����. 
����� $\gamma(1)$ ������������� ���� $(m, \gamma)$,
������, �������� $\tilde M \arrow M$ ������������.

�� �������� ��������� �����������

\�����

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\�����������\label{_pi_1_odnosvyazno_Utverzhdenie_}
����� $(M,m)$ -- ���������� ������������,
������� ������ � �������� ������� ������.
�����������, ��� � $M$ ���� ���� ���������,
��������� �� �������� $U$ � $\pi_1(U)=\{1\}$,
� $M$ ������� ����������. ����� $\pi_1(M,m)=\{1\}$.

\endproof

\�����

\���������
�����������, ������������� $M$ �������� $\pi_1(M,m)=\{1\}$.
� ����������� ���� �� ��������� ������������� ���������� ������ ���.
� �������������� ����������� \ref{_pi_1_odnosvyazno_Utverzhdenie_},
$\pi_1(M,m)=\{1\}$ ����� � ������ �����, ����� ����� ��������
$M$ ������������, ������, � ���� �������� ��������
�������������
����������� �������.
\���

\���������
����� $\pi_1(M, m)\neq \{1\}$. �������� $\tilde M$,
������� �������� � �������������� ����������� 
\ref{_pi_1_odnosvyazno_Utverzhdenie_}, �����
��������� ����, ��������� ���������
�� ������������ �����, ������� �� 
���������� � ������ 11. ����� $\tilde \Omega(M,m)$ -- ������������
���� ����� � ��������� ������ $m$. �����������,
��� � ������� ���� $\gamma \in \Omega(M,m)$, �������� �� $m$ � $x$,
���� ����������� � ��������� �� $\tilde \Omega(M,m)$
�����, ��� ��� �� ����� ��������� $\gamma$ � ������
����� �� $m$ � $x$. � �������������� \ref{_pi_1_odnosvyazno_Utverzhdenie_}
��� ����� (��������). ��������� $\gamma \sim \gamma'$, ����
$\gamma, \gamma'$ -- ���������� ���� �� $m$ � $x$.
��������� �� $\tilde M$ ������������������ $\tilde \Omega(M,m)$ 
�� ����� ��������� ���������������. ������������
�������� $\tilde M \arrow M$, ����������� $\gamma$ 
� $x=\gamma(1)$, �������� ���������, � ������������
�������� $\tilde M$, ������������ ���� (���������).
�� �� ����� ������������ ���� �����������.
\���




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{������������ ��������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\�����������
����� $\tilde M\stackrel {\pi} \arrow M, \tilde M'\stackrel {\pi'} \arrow M$ 
-- �������� $M$. ���������� ����������� ������������
$\tilde M \times_M \tilde M'\subset \tilde M \times \tilde M'$, ���������
�� ���� $(x,y)\in \tilde M \times \tilde M'$, �����,
��� $\pi(x) = \pi'(y)$. ����� $\tilde M \times_M \tilde M'$
���������� {\�� ������������� ��������}.
\��

\��������� 
������������
$\tilde M \times_M \tilde M'$ �������� ��������� $M$.
� ����� ����, �������� �� $M$, $\tilde M$ ���������
$S\times M$, $\tilde M'$ ��������� $S' \times M$,
�������������, $\tilde M \times_M \tilde M'$ ���������
$S\times S' \times M$.
\��� 

\��������� 
����� ������, ��� ��� ������ �������� $M_1$ ��� $M$,
\[ 
\Mor(M_1, \tilde M \times_M \tilde M')= \Mor(M_1, \tilde M)
 \times \Mor(M_1, \tilde M').
\]
\���

\�����������
����� $\phi:\; M_1\arrow M_2$ -- ������� �������� $M$.
���������� ������������ $\Gamma_\phi \subset M_1\times_M M_2$,
��������� �� ���� ��� ���� $(x, \phi(x))$.
��� ������������ ���������� {\�� ��������} �������� $M$.
\��

\���������
�������� ������� $\Gamma_\phi$ �� $M_1$ -- ������������
(�������� ���). ������� $\Gamma_\phi$ -- �������� $M$.
��������� �������� �� $M$ ������ $\Gamma_\phi$ -- �����������
���������� ����� $M$, �� �������������� � $M_1\times_M M_2$.
\���


����� $\tilde M \arrow M$ -- ��������.
���� ����������� �������� � ������� �����,
�� ����� ���������� ��� ��� $[\tilde M: M]$.

\�����������
����� $[\tilde M: M]$ -- ��������.
��� ���������� {\�� �������}, ���� 
$M$ � $\tilde M$ ������ � �������� ������.
\��

\�����������
����� $[\tilde M: M]$ -- ��������, ������
$M$ ������ � �������� ������. ����� 
$\tilde M$ �������� ��������� ������������
����� ��������� ��������� $\tilde M_i$. 
����� ����, ������ �� ��������� $\tilde M_i$
�������� ������� ��������� $M$.

\�����

\��������
{\�� ��������������:} 
��������� $M$ �������� ������, �
$\tilde M$ �������� ����������� $M$,
��� ���� �������� ������. �������
����� ������� ���������� $\tilde M$
������� (�������� ���). ������, 
$\tilde M$ -- ��������� �����������
����� ��������� ���������.
����� ������ $U\subset M$ -- �������
�������� ������������, ��� �������
$\tilde M$ ������������. ����� 
$\pi^{-1}(U)$ -- ���������
����������� ���������� ����� $U$.
������ �� ���� ����� ������� �����
� ����� �� ������� ��������� $\tilde M_i$,
�������������, $\tilde M_i \cap \pi^{-1}(U)$
���� ��������� ����������� ����� $U$.
������� $\tilde M_i$ -- ��������.
\endproof

\�����


\���������
����� $[\tilde M:M]$ -- ������� ��������.
����� ������ ������ �������� $\phi\in \Mor(\tilde M,
\tilde M)$ -- ������� ���������� � $\tilde M \times_M \tilde M$.
������� ���������� $\tilde M'\subset\tilde M \times_M \tilde M$ ��������
�������� ��������  $\phi\in \Mor(\tilde M, \tilde M)$
����� � ������ �����, ����� �������� $\tilde M'$ �� ������
���������� ������ ���������� $\tilde M' \arrow \tilde M$.

\�����

\��������
{\�� ��������������:} 
���� $\tilde M'$ -- ������, �� �������������� �
$\tilde M \times_M \tilde M$ (��� ���������
�����������, � �������� $\tilde M'$ -- �����������
���������� ��������� $\tilde M \times_M \tilde M$).
������� �� �������� ������� �����������.

�������� ���� �����, ������ ��� �����
������� ���������� �������� ���������,
� ���� $\tilde M'$ ����������� ������������� 
�� $\tilde M$, �������� �� ������ ����������
������ ������� �������� �� $\tilde M \cong \tilde M'$
�� $\tilde M$. �� ����������, $\tilde M'$
�������� �������� ����� ��������.
\endproof

\�����


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\���������\label{_Mor_is_prod_avtom_Zamechanie_}
����� $[\tilde M:M]$ -- ������� ��������.
���������� $\tilde M \times_M \tilde M$ ��� ��������
$\tilde M$ ������������ �������� �� ������ ����������.
����� 
\[
\Mor_{\tilde M}(\tilde M, \tilde M\times_M \tilde M) =
\Mor_M(\tilde M, \tilde M).
\]
� ����� ����, �������� $\Mor_{\tilde M}(\tilde M, \tilde M\times_M \tilde M)$
������� ���������� ������������� ����������� $\tilde M\times_M \tilde M$,
������� ��������� ������������� �� $\tilde M$, �� � ����
����������� ��������� ��� �� �� �����, ��� ��������
�� $\tilde M$ � ����.
\���


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{�������� ����� � ������ �����}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\�����������
����� $[\tilde M: M ]$ -- ������� ��������.
��� ���������� {\�� ��������� �����}, ����
$\tilde M \times_M \tilde M \arrow \tilde M$
������������. 
\��

\���������
�������, ��� 
\[
\Mor_{\tilde M}(\tilde M, \tilde M\times_M \tilde M) =
\Mor_M(\tilde M, \tilde M).
\]
(��������� \ref{_Mor_is_prod_avtom_Zamechanie_}).
������� $[\tilde M: M ]$ 
�������� ��������� �����
����� � ������ �����,
����� ������ ���� $(x, y) \in \tilde M\times_M \tilde M$
����������� ������� �������� $\nu$. �� �����������
���������, ������ $\Gamma_\nu$ �������������
��������� �� ��� ����������� $\tilde M$,
������, $\nu$ ��� ����������.
\���

�� ����� ��������� ����� �������� ���������
�������� �����������.

\�����

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\�����������\label{_Gal_nakr_aut_Utverzhdenie_}
����� $\tilde M \stackrel\pi \arrow M$ -- ������� ��������.
����� ��������� ����������� �����������.
\begin{description}
\item[(i)] $[\tilde M: M ]$ -- �������� �����
\item[(ii)] ��� ����� ����� $x, y \in \tilde M$,
�����, ��� $\pi(x)=\pi(y)$, ����������
����������� $\tilde M$, ����������� $x$ � $y$.
\end{description}
\endproof

\�����������
����� $G$ -- ������, ����������� �� ��������� $M$.
�������� ������ ���������� {\�� ���������}, ����
��� ������ ������������ $g\in G$ � ������ $m \in M$,
����� $gm\neq m$.
�������� ������ ���������� {\�� ������������},
���� $M$ ������� �� ����� ������.
\��

\���������
����� $[\tilde M:M]$ -- ������� ��������.
��������� �� $\Aut [\tilde M:M]$
������ ������������� $\tilde M$ ��� $M$.
����� $\Aut [\tilde M:M]$ �������� ��������� ��
$M$. �������������, ����� $g\in \Aut [\tilde M:M]$ --
�������, ����������� $x\in M$. ����� ������ 
$\Gamma_g$ ������������ � �������� ��������������
����������� $\Gamma_\Id$. �� ��������� ������ ������������
�������� ������� ����������� 
$\tilde M\times_M \tilde M$, ��� ���������:\[ \Gamma_g=\Gamma_\Id.\]
\���

��������, ��� {\�� �����} ��������
$\pi:\; \tilde M \arrow M$ ����������
��������� $\pi^{-1}(x)$, ��� $x\in M$.

��������� ����������� ���������� �������
�� ����������� \ref{_Gal_nakr_aut_Utverzhdenie_}
(��������� ���). 

\�����

\�����������
������� �������� $[\tilde M:M]$ �������� ���������
����� ����� � ������ �����, ����� ��������
$\Aut [\tilde M:M]$ �� ����� ����  $[\tilde M:M]$
�����������.

\endproof

\�����������
����� $[\tilde M:M]$ -- �������� �����.
����� ������ ������������� $\Aut [\tilde M:M]$
���������� {\�� ������� ����� ��������}.
\��


\���������
����� ������ ������ ��������� �������� ������ $G$
�� �������, �������� ������� �������������� ������������
$\tilde M$. ����� $[\tilde M: \tilde M/G]$ -- ��������
�����. �������� ���� �����: ����� �������� �����
����� ��� $[\tilde M: \tilde M/G]$, ��� $G$ -- ������
����� $[\tilde M: M]$ (�������� ���).
\���





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{������ ����� ��� ��������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

��������� ����� ������ �������� (�������� ��).

\�����

\�����
����� $W_1\arrow W_2 \arrow W_2$ -- 
��������, ������ $W_1\arrow W_2$ ����������, �
$[W_2:W_3]$ ������������. ����� $W_1:W_3$ ���� ������������.

\�����

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\�����������\label{_M_1:M_2_Galua_Utverzhdenie_}
����� $M_1 \arrow M_2 \arrow M_3$ -- ��������, ������
$[M_1:M_3]$ -- �������� �����. �����
$[M_1:M_2]$ -- ���� �������� �����.

\�����

\��������
{\�� ��������������:} ���������� ������������������ �������� 
\[ M_1\times_{M_2}M_1 \arrow M_1\times_{M_3}M_1 \arrow M_1.\]
�������� $M_1\times_{M_3}M_1 \arrow M_1$ ������������,
������ ��� $[M_1:M_3]$ �������� �����, � ������������
�������� $M_1\times_{M_2}M_1 \arrow M_1\times_{M_3}M_1$
���������� �� ���������� (���������). � ���� ����������
�����, �� ����� �������, ��� $M_1\times_{M_2}M_1 \arrow M_1$
������������. \endproof

\�����


\�����������
����� $M_1 \arrow M_2 \arrow M_3$ -- ��������, ������
$[M_1:M_2]$ -- �������� �����, � 
$[M_2:M_3]$ -- �������� �����.
����� $[M_1:M_3]$ -- ���� �������� �����.

\�����


\��������
{\�� ��������������:} ���������� ����������
\[
M_1\times_{M_3}M_1= M_1\times_{M_2}(M_2 \times_{M_3} �_2)\times_{M_2}�_1.
\]
� ���� ����, ��� $[M_2:M_3]$ -- �������� �����,
����� $M_2 \times_{M_3} �_2=\coprod_{\alpha\in I} M_2$,
��� ������-�� ������ �������� $I$, � �������
�����
\begin{align*}
M_1\times_{M_3}M_1 =& 
M_1\times_{M_2}(M_2 \times_{M_3} �_2)\times_{M_2}�_1 \\= & 
M_1\times_{M_2} \left(\coprod_{\alpha\in I} M_2\right)
\times_{M_2}�_1 = \coprod_{\alpha\in I} M_1\times_{M_2}�_1.
\end{align*}
��������� ��������� ���� ��������� ����� ����������
����� $M_1$. ������� $[M_1\times_{M_3}M_1:M_1]$
������������.
\endproof

\���������
����� $[\tilde M:M]$ -- �������� �����, �
$G=\Aut[\tilde M:M]$ -- ��� ������ �����.
�������, ��� $G$ ������ �������� ���������
�� $\tilde M$ (��������� ���), � ������� ���
����� ��������� $G'\subset G$, ����������
������������������ $\tilde M/G'$, �������
���� �������� ���������.
\���

\�����������
����� $[\tilde M:M]$ -- ������� ��������.
{\�� ���������������} $[\tilde M:M]$ ����������
�������� $[\tilde M':M]$ �����,
��� ����� ������������
������� �������� $\tilde M\arrow \tilde M'$.
\��


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\�������
(�������� ������� ������ �����) \\
����� $[\tilde M:M]$ -- �������� �����,
$G=\Aut[\tilde M:M]$ -- ��� ������ �����,
� $G'\subset G$ -- ����� ���������.
����� $\tilde M/G'$ -- �������� $M$.
����� ����, ����� �������������� 
$[\tilde M:M]$ ���������� ����� �������.


\�����

\��������
{\�� ��������������:} ����� $[\tilde M':M]$ -- 
�������������� $[\tilde M:M]$.
����� $ \tilde M\arrow \tilde M'\arrow M$ ������������������
��������, ������ $[\tilde M:M]$ -- �������� �����, ������,
$[\tilde M:\tilde M']$ -- ���� �������� �����
(����������� \ref{_M_1:M_2_Galua_Utverzhdenie_}). 
������� $\tilde M' = \tilde M/G'$, ���
$G'$ -- ������ ������������� $\tilde M$ ��� $\tilde M'$.
��������� ������ ����� ����������� ��������
������������� $\tilde M$ ��� $M$,
$G'$ -- ��������� $\Aut[\tilde M:M]$.
�� �������� �������-�����������
������������ ����� ����������������
� ����������� ������ �����. 
\endproof


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{������������� ��������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\�����������
����� $[\tilde M:M]$ -- ������� ��������.
��� ���������� {\�� �������� ������������� ���������},
���� $\tilde M$ ������� ����������.
\��

\���������
������������� �������� �������� ��������� �����.
�������������, ��� $\tilde M$ ������� ����������, �� 
$\tilde M \times_M \tilde M$ ������������ ��� $\tilde M$.
\���

\���������
������������� �������� 
����������� � ��������� �� �����������. �������������,
����� $\tilde M$, $\tilde M'$ -- ���
������������� ��������. ��������� $\tilde M$
� $\tilde M'$ ������� ����������, ����� ������� ���������� ��
������������ $\tilde M \times_M \tilde M'$ ������������
��� $\tilde M$ � ��� $\tilde M'$, ������, ��������
�������� �����������.
\���

\�����������
�������� ������� �������������� ������������ $M$ ����������
{\�� �������� ������� �����������}, ���� � ������ �����
���� �������, ������� ����������� �����������.
\��


\�����������
����� $\{M_\alpha\stackrel{\pi_\alpha}\arrow M\}$ -- ����� �������� 
�������� ������� ������������ ������������ $M$. ����
��� ��� �������� ������������, 
$M_\alpha = S_\alpha \times M$, ���������
$\prod_M M_\alpha$ ��� $M \times \prod S_\alpha$.
� ����� ������, ������� � ������������ ������������ 
$\prod M_\alpha$ ������������, ���������
�� ����� $\prod x_\alpha$ � $\pi_\alpha(s_\alpha) =x$,
� ������ �� ��� ���������, ���� � ��������
���� �������� ������������ � $U \times \prod S_\alpha$,
��� $U\subset M$ - �������� ���������, ��� ���
$M_\alpha$ ������������ � ����� ��� 
$\pi_\alpha^{-1} (U) = U \times S_\alpha$.
\��

\���������
�������, ��� ������������ ��������
�� �������� ����������� �������������
� ������ ��������. � ����� ����,
������������ �������� ��������
��������� �� ����������� �������, ������,
����� �� ���� ��������� (��������� ������,
����� ������������ ���������� �������� �����������).
\���

� �������������� ������������� ��������������
�������� ��� ����������� ��������� �����

\�����

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\�����
����� $[\tilde M: M]$ -- ������� ��������. 
����� $\tilde M$ -- �������������� �������� �����.

\�����

\��������
{\�� ��������������:} 
�� ����� ������� �������� ����� $[M_G:M]$ ��� ����������
������������ $\prod_M M_\alpha$, ��� ��� $M_\alpha$ ��������� $\tilde M$.

\�����

\��������
{\�� ��� 1:} ����� $M_G \times_{\tilde M} \tilde M$ ������������
��� �������� $M_G$. ����� $M_G$ -- ��� �������� �����. � ����� ����,
$M_G$ ��� ���������� � $\prod_M M_\alpha$, �� ���
$M_G \times_{\tilde M} \tilde M$ ������������ ��� $M_G$,
�� � $M_G \times_{\tilde M} \prod_M M_\alpha$ ������������
��� $M_G$. ������������� $M_G \times_{\tilde M} M_G$ ������������
��� $M_G$. 


\�����

\��������
{\�� ��� 2:} ����� $x_1 \in M_G$ ��������� �����,
� $x$ -- �� ����� � $M$. �����������, ��� 
��� ������� $y\in \tilde M$ � ���� ��� $x$,
���������� ������� �������� $\phi\in \Mor(M_G, \tilde M)$,
 ����������� $x_1$ � $y$. ����� ���� �������� 
$M_G \times \tilde M \arrow M_G$ ����������
� ����������� �������� ���� ���������
$\Mor_M(M_G, \tilde M)$. �������
����������� ���� ����� ��������
����� $M_G \times_{\tilde M} \tilde M$,
� ������, $M_G \times_{\tilde M} \tilde M$ ������������
��� $M_G$.

\�����

\��������
{\�� ��� 3:} ������� ������������
\[ \prod_M M_\alpha,\ \  \alpha \in F_x,\] 
������������������ �����
������� ���� $F_x$ ��� $x$, � ����� $M_G$ -- ����������,
������� �������� ����� $x_1 = \prod_{y\in F_x} y$.
��������� �� $\pi_y$ �������� $\prod_M M_\alpha$
�� ����������, ��������������� $y\in F_x$.
����� $\pi_y(x_1) =y$. �������������, 
��� ����� ����� $y\in \tilde M$ � ���� ��� $x$,
���������� ������� ��������, �����������
$x_1$ � $y$. � ���� ���� 2, �� ����� �������,
��� $M_G \times_{\tilde M} \tilde M$ ������������
��� $M_G$, � � ���� ���� 1 - ��� $M_G$ ���
���������� �����. \endproof 

\�����


������������� �������� $M$ �������� ��� ������������
�������� ����� $\prod_M M_\alpha$, ��� $M_\alpha$ ���������
��� ������ ����������� �������� �����. 
���� ��� ������������ ����� �����, ����� �������
���������, ��� ������ ����������� �������� �����
$M$ �������� ���������. ������� �������� $[\tilde M: M]$
�������� ������� �������� ${\goth S}=\{ U_\beta \subset M\}$,
��� �������� $\tilde M$ ������������, ���� 
��� $U_\beta \times S_\beta$, � ������������ 
$S_\beta\cong S_\gamma$ ��� ����� ��������������
$U_\beta, U_\gamma\in {\goth S}$. 
��������� $\tilde M$ ������, ������, �����������
������ �������������, ��������� �� $S_\beta$
�����������. ������� �������� 
$S_\beta$ �� ����� ���� ������ $\N \times |\goth S|$ (���������),
� ������, �������� $S_\beta$ ���������� $\N \times 2^{|M|}$.
��������� �������� ��������� ������� �����������
�������� ����� ���������� ��������� ���������
���� ��������� �� $S_\beta\times M$,  ��� ��������
�� ������ $2^{2^{|�|\times \N \times 2^{|M|}}}$
(��������� ���). � ���� ����� ��� ��������
����������, ������ ����������� �������� �����
$M$ �������� ���������.

\�����

\�������
����� $M$ -- �������, �������� ������� �����������
�������������� ������������, � $M_G$ --
������� ���������� � $\prod_M M_\alpha$, ��� $M_\alpha$ ���������
��� ������ ����������� �������� ����� $M$.
����� $M_G$ -- ������������� �������� $M$.


\�����

\��������
{\�� ��������������.} {\bf ��� 1:}
����� $[M_1:M]$ -- �������� �����, � $M_G'$ --
������������ �������� ����� $M$ �� ���� �������
����������� ��������, ����� $M_1$.
����� 
\[ \prod_M M_\alpha\times_M M_1 = M_G'\times_M
M_1\times_M M_1
\]
��������� $M_1\times_M M_1$ -- ��������� ����� ����������
����� $M_1$, \[ \prod_M M_\alpha\times_M M_1\] -- ���������
����� ���������� ����� $\prod_M M_\alpha$.
�������������, \[ \prod_M M_\alpha\times_M M_1\]
������������ ��� ������ ������� �����������
$\prod_M M_\alpha$, � ������, ��������
\[ M_G \times_M M_1\arrow M_G \] ���� ������������.
��� ������ ��������
$[M_1:M_G]$, ������������ 
$M_G \times_{M_G}M_1$ �������� 
������������ (������� �������� ��������) � $M_G \times_M M_1$:
\[ M_G \times_{M_G}M_1\hookrightarrow
   M_G \times_M M_1,
\] 
������, ��� ���� ������������. ������� ����� ��������
����� $M_1$ ������������ ��� $M_G$.

\�����

\�������� {\bf ��� 2:}
����� $M_2$ -- ����� �������� $M_G$
(�� ����������� �������� �����). � ����
���������� �����, $M_2$ ��������
��������������� �������� �����
 $[M_1:M_G]$, ������� ������������.
������� $M_2$ ���� ������������ (��������).
\endproof



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{�������� ��������������� ������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


����� $M$ �������� ������� ������, $\tilde M \stackrel
\pi\arrow M$ -- ������������� ��������, � $x\in M$.
��� ������� ���� $\gamma \in \Omega(M,x)$,
���������� �������� $\tilde \gamma$ � $\tilde M$.
��������� $\Aut[\tilde M:M]$ ��������� �����������
�� $\pi^{-1}(x)$, ������ $\Aut[\tilde M:M]$
��������� ����������� �� ��������� ��������
$\gamma$. ���������� ������� $g_\gamma \in \Aut[\tilde M:M]$,
������� ��������� $\tilde\gamma(0)$ � $\tilde \gamma(1)$.
��������� �������� $\Aut[\tilde M:M]$  �����������
�� ��������� �������� ���� $\gamma$, ������� 
$g_\gamma$ �� ������� �� ������ ��������.
�� ��������� ����������� $\pi_1(M,x) \arrow \Aut[\tilde M:M]$.

����� $\gamma, \gamma'\in  \in \Omega(M,x)$ --
����, � $\tilde \gamma$, $\tilde \gamma'$ -- ��
��������, ������ $\tilde \gamma$ ���������
$y_1$ � $y_2$, � $\tilde \gamma'$ ���������
$y_2$ � $y_3$. ��������, $\gamma\gamma'$ �����������
�� ����, ������� ��������� $y_1$ � $y_3$.
������� ����������� ����������� 
$\pi_1(M,x) \arrow \Aut[\tilde M:M]$ -- �����������.
���� $\pi_1(\tilde M,y_1)=\{1\}$,
����� ��������� ���� $\gamma \in \Omega(M,x)$
���������� �������� ������ ������ $y_2$
�������� $\tilde\gamma$, ���� $\tilde\gamma(0)=y_1$.
��������� $\Aut[\tilde M:M]$ ��������� ��������
� ����������� �� $\pi^{-1}(x)$, � ����� �������� 
$\pi_1(M,x) \arrow \Aut[\tilde M:M]$ -- �������.

\�����������
����� $\tilde M \stackrel
\pi\arrow M$ -- ������������� ��������. \\
������ ����� $\Aut[\tilde M:M]$ ���������� {\�� �������� ���������������
������� ������������ $M$}. 
\��

\���������
� �������� ����������� \ref{_pi_1_odnosvyazno_Utverzhdenie_},
$\pi_1(\tilde M,y_1)=\{1\}$, � ������ $\Aut[\tilde M:M]$ �����
$\pi_1(M,x)$. � ���� �������� �������� ���������������
������ ����� �������.
\���

� ���� �������� ������� ������ �����,
�������� $[M_1:M]$ ���������� �������������
���������� �������� ��������������� ������.


\������
���������, ��� �������� $[M_1:M]$
�������� ��������� ����� ����� � ������ �����, �����
��������������� ��� ��������� $\Aut[\tilde M:M]$ ���������.
\��



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{�������, ���������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

��������������� ������ ������� ��������� � �����������
������ � 1851 ����.
 ����� ������������� ������������ �����������
(���������� ����������������) ������� � ����������� �������.
����� ���������, ��� ����������� ������� ���������� ������������
����� ������ ����, ������� �� ������������ � ����������
�� �������, �� ��� ����������� ����� �������� �� 
������ ����. ������� ����������� ������� �� �� ��������,
����� �������� ����, ����� ����������� �������
���� ����������. ����� ������� � ����������
��������� �������� ����������� (������������
������������ ����������� 2), ��������
� ��������������� ������.

\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\epsfig{file=Riemann.eps,width=0.42\linewidth}\\
{Georg Friedrich Bernhard Riemann\\
(1826 - 1866)}
\end{center}
\end{figure}

������� � 1860-� �����, ��������� ���������
������������ ������ ������� ������, ������ � ������ 
������ ����������. ��������������� ������ ���� ����������
(��� ���������, � �������� �����������) ��������, 
� �������� � 1895-� ���� ��������� �� ������, � 
������������ ���������, ��� ��� ������.

����� ��������������� ������ � ���������� 
�������������� �� ������ ������, �� ����
���������� ��������������� ������ � ��������
�������� ����������� ����������, ������� 
��������, ��� ������� ��������������
���������� � �������������� ��������.

��������� � ������� ����, ��������� � 1961-� ����
����������� ������������ "Rev\^etements \'etales et 
groupe fondamental" (SGA1), ������ � ����� SGA
(S\'eminaire de g\'eom\'etrie alg\'ebrique), ���
���������� ��������������� ������ ��������������
�������� � �������� ��������. ���������, ���
���� ��������������� ���������� �������� ��������, 
����� ���������� �������� ��������������� ������ � ��������� 
����� �������� ������� � ���������. ���������,
��� � ������, �������� �����������, ������� �������
��������������� ������ �������� ������
����� ��������������� ��������� ����.

\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\epsfig{file=Grothendieck-hippie.eps,width=0.75\linewidth}\\
{Alexander Grothendieck \\
(���. 28 ����� 1928)}
\end{center}
\end{figure}

���������� ��������, ����� ���� ������ � 
��������������� ������ �������� �� ��������,
�����. ���������� ������������ $\C\backslash \{x_1, ... x_n\}$
($\C$ ��� ��������� ������ �����). �����
$B \subset A$ -- �������� ������������ $\C$.
����� ������, ��� ������������ ����������� 
\[ \pi_1(\C \backslash A)\arrow \pi_1(\C \backslash B)\] --
��������� (�������� ���).  ���������� ������
$\pi_1(\C \backslash A)$ �� ���������������
�������� ������������� $A\subset \C$. ��������� ������, ����������
������ ����� ��������������� ���������
$\C(t)$. �������� ��� ��������, ����
���������������� (����� �� �������)
�������������� ����������
���� ������������ ������� ��� ��������
$\C\backslash \{x_1, ... x_n\}$.


� ��������� � SGA1 ��������� "���� �����
�������� ������ ��������������� �����
� �������������� ��������� � ����� ������ ���������,
�������� ���������� ��������������� ������
���������� �������� ��� ���������������
������������ (� ������� ������ �����) 
�, ��������, ��� ������ ����� ����� � 
�������� ����." ��� ������ ���� � ����
���������, ����� �������� "������ 
��������������� ����� � ����� ������ ���������",
� SGA1 �� ����������.


������ ��� ���� SGA ���� ����������� � \LaTeX � 
����������� �������������� ��������� 
� �������� � arxiv.org:
{\tiny http://arxiv.org/abs/math/0206203} (SGA1)
� {\tiny http://arxiv.org/abs/math/0511279} (SGA2).

����� ����������� ��������� ������ �������� ��������,
�������� ����������� � �������� ��������������� ������
���� � ������ ����� "�������� �����������", �� ��� ������
������� �������� ������ �������������� ���������.

����������� �������� �������� ��� �� �� �����
� ����� �. �. �������� "����������� �������������� ������������. 
"�����" ������, ���, ����. ����., �. 35.


\end{document}



