

\documentclass{slides}

\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}


\usepackage{amsmath, amssymb, amscd, color,  epsfig}
\usepackage[matrix,arrow]{xy}


\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{#1}\right.}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\newcommand{\cac}{{\cal C}}
\newcommand{\Ob}{\operatorname{{\cal O}b}}
\newcommand{\Mor}{\operatorname{{\cal M}or}}

\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Aut{\operatorname{\sf Aut}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Spec{\operatorname{Spec}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}
\def\goth{\mathfrak}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Топология, первый курс, второй семестр\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother


   \setlength\paperheight {9in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}



\begin{document}

\setcounter{page}{0}

\ \newpage



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Топология, лекция 16: \\[3mm] Накрытия Галуа}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 21 апреля, 2008\\
Независимый Университет}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
{\bf \blue Действие группы на пространстве}


{\bf\green Определение:} 
Пусть задано множество $M$. 
 Напомним, что группа $G$ {\bf\blue действует на множестве $M$},
если задан гомоморфизм из $G$ в группу биекций $\operatorname{Bij}(M,M)$.

{\bf\green Определение:} 
Пусть $M$ -- топологическое пространство, а $G$ -- группа.
Мы говорим, что $G$  {\bf\blue непрерывно действует на $M$}, если
$G$ действует на $M$, причем для любого $g\in G$, отображение
$m \arrow gm$ непрерывно. 

{\bf\green Определение:} 
В такой ситуации, {\bf\blue орбитой} точки $x\in M$ называется
множество всех точек, которые можно получить из $x$ действием $G$.

\newpage
{\bf \blue Факторпространство}

{\bf\green Определение:} 
Пусть $M$ -- топологическое пространство, а $\sim$ --
отношение эквивалентности. Подмножество $U \subset
M/\sim$ множества классов $M/\sim$ называется
{\bf\blue открытым}, если его прообраз в $M$ открыт.
Это определяет топологию на $M/\sim$, которое
называется {\bf\blue факторпостранством} по соотношению
эквивалентности $\sim$.

{\bf\red Предостережение:} Факторпространство может быть
нехаусдорфово, даже если $M$ хаусдорфово.


{\bf\green Определение:}
Пусть $G$ -- группа, действующая на топологическом
пространстве $M$. {\bf\blue Факторпространством} по действию
группы называется пространство классов эквивалентности
$M/\sim$, где $x\sim y$, если $x$ и $y$ лежат в одной
орбите $G$. Также факторпространство называют
{\bf\blue пространство орбит действия $G$}.

{\bf\green Замечание:}
Пусть $G$ - группа, действующая на топологическом
пространстве $M$. Тогда {\purple  естественная проекция
$M\stackrel \pi \arrow M/G$ является открытым
отображением.}


\newpage
{\bf \blue Этальные отображения и накрытия}

{\bf\green Определение:}\\
Пусть $M$, $\tilde M$ -- 
топологические пространства, а $\pi:\; \tilde M \arrow M$
непрерывное отображение. $\pi$ называется {\bf\blue этальным},
если у каждой точки $\tilde x\in \tilde M$ есть окрестность
$\tilde U \ni \tilde x$ такая, что 
$\pi\restrict {\tilde U}:\; \tilde U \arrow \pi(\tilde U)$
-- 
это гомеоморфизм.

{\bf\green Определение:} Отображение $\pi:\; \tilde M
\arrow M$ называется {\bf\blue накрытием}, если
у каждой точки $x\in M$, есть окрестность
$U\ni x$ такая, что $\pi^{-1}(U)$ гомеоморфно $U \times S$,
где $S$ -- топологическое пространство с дискретной топологией,
а отображение $\pi\restrict{\pi^{-1}(U)}:\; \pi^{-1}(U)\arrow U$
при таком изоморфизме совпадает с проекцией $U \times
S\arrow U$. {\bf\blue Базой накрытия} называется 
$M$, а его {\bf\blue слоем} над точкой $x$ -- прообраз 
$\pi^{-1}(x)$.


{\bf\green Замечание:} {\bf\red Любое накрытие этально.}


{\bf\green Замечание:} Пусть $U\subset X$ - открытое подмножество,
которое не является замкнутым. {\bf\red Отображение вложения
$j:\; U \arrow X$ этально, но не является накрытием.}

{\bf\green Пример:} Естественная проекция 
$\R \arrow S^1=\R / {2 \pi \Z}$ является накрытием. 

\newpage

{\bf \blue Вполне разрывное действие группы}

{\bf\green Определение:}
Пусть $G$ -- группа, действующая на топологическом
пространстве $M$. Говорится, что действие $G$ {\bf\blue вполне разрывно},
если у каждой точки $x\in M$ есть окрестность $U$ такая,
что $U \cap gU= \emptyset$ для любого $g\in G$ такого, что
$g(x) \neq x$. 

{\bf\green Утверждение:}
Пусть  $G$ -- группа, вполне разрывно действующая на
топологическом пространстве $M$.
{\bf \red Тогда  проекция
$M \stackrel \pi \arrow M/G$ является накрытием.}

{\bf\green Доказательство:}
Пусть $U \cap gU= \emptyset$ для любого $g\in G$ такого, что
$g(x) \neq x$. Поскольку $M \stackrel \pi \arrow M/G$
открыто, биекция $\pi:\; U \arrow \pi(U)$ -- гомеоморфизм.
Поскольку $\pi^{-1}(\pi(U))$ -- объединение непересекающихся
открытых множеств вида $gU$, где $g\in G$,
{\bf \purple отображение $\pi:\; U \arrow \pi(U)$ --
накрытие.}

{\bf \green Замечание:} Обратное тоже верно:
{\bf \red если $M \stackrel \pi \arrow M/G$ -- накрытие, то 
действие $G$ вполне разрывно.}

{\bf \green Пример:} Действие $\Z^n$ на $\R^n$ вполне разрывно.
Факторпространством по этому действию является $n$-мерный тор.

\newpage

{\bf \blue Морфизмы накрытий}

{\bf\green Определение:}
Пусть $\tilde M\stackrel \pi \arrow M$, 
$\tilde M'\stackrel {\pi'} \arrow M$ -- накрытия $M$.
Непрерывное отображение $\psi:\; \tilde M \arrow \tilde M'$
называется {\bf\blue морфизмом накрытий}, если
$\psi \circ \pi'=\pi$. 

{\bf \green Замечание:} Соотношения наподобие 
$\psi \circ \pi'=\pi$ изображают
посредством диаграмм вида
\[
\label{_commu_morf_nakr_Equation_}
\xymatrix @C20mm @R15mm {
\tilde M\ar[r]^\psi\ar[rd]^{\pi} & \tilde M'\ar[d]^{\pi'}\\
& M}
\]
в вершинах которой стоят объекты категории,
а стрелочки обозначают морфизмы.
Говорится, что эта диаграмма {\bf\blue коммутативна},
если морфизм, полученный композицией стрелочек,
идущих из одного объекта в другой, не зависит от выбора
пути по стрелочкам.

{\bf\green Определение:}\\
{\bf \blue Множество морфизмов из $\tilde M$ в $\tilde M'$
обозначается  $\Mor(\tilde M, \tilde M')$.}
Когда надо подчеркнуть зависимость от $M$,
пишут $\Mor_M(\tilde M, \tilde M')$.


\newpage

{\bf \blue Тривиальные накрытия}


{\bf \green Замечание:}
{\bf \red Накрытия пространства $M$ образуют категорию.} Объекты
этой категории -- накрытия $M$, а морфизмы определены
выше. 

{\bf\green Определение:}
Пусть $\tilde M \stackrel \pi \arrow M$ -- накрытие.
Мы говорим, что оно {\bf\blue расщепляется}, если 
$\tilde M = M \times V$, где $V$ -- множество
с дискретной топологией, и это разложение
совместимо с проекцией в $M$. Расщепляющееся
накрытие также называют {\bf\blue тривиальным}.

{\bf\green Определение:}
Пусть $\tilde M \stackrel \pi \arrow M$ -- накрытие.
Если $U \subset M$ -- открытое подмножество, то
$\pi\restrict{\pi^{-1}(U)} \pi^{-1}(U)\arrow U$ --
тоже накрытие. Оно называется
{\bf\blue ограничением накрытия $\pi$ на $U$}.
Ограничение накрытия $\pi$ на достаточно
малое открытое множество $U \subset M$ тривиально, по 
определению накрытия. Это свойство часто выражают,
говоря, что накрытие {\bf\blue локально тривиально}.


{\bf \green Замечание:}
Пусть $M$ связно, а $\tilde M \arrow M$ -- тривиальное накрытие
$M$. Тогда $\tilde M = M \times S$, где $S$ -- множество
связных компонент $\tilde M$. В частности, 
{\bf \red все связные компоненты $\tilde M$ проектируются
на $M$ гомеоморфно.}

\newpage

{\bf \blue Локально связные пространства}

{\bf\green Определение:}
Топологическое пространство $M$ называется
{\bf\blue локально связным}, если у каждой точки $x\in M$ есть
связная окрестность


{\bf \green Утверждение:}
Пусть $\psi:\; \tilde M \arrow \tilde M'$ -- морфизм
накрытий $M$, причем $M$ локально связно. 
{\bf \red Тогда $\psi$ это накрытие $\tilde M'$. }

{\bf \green Доказательство. Шаг 1:} Это утверждение локально по $M$,
значит, {\bf \purple можно предположить, что $M$ связно,
а накрытия $\tilde M$ и $\tilde M'$ расщепляются.}

{\bf \green  Шаг 2:} В такой ситуации,
 $\tilde M = M \times S$, $\tilde M'= M \times S'$,
a $\psi(m, s) = (m, \psi_S(s))$, где $\psi_S$ --
отображение, индуцированое $\psi$ на множестве 
компонент связности $\tilde M$ и $\tilde M'$.

{\bf \green  Шаг 3:}
{\bf \red Отображение $\psi(m, s) = (m, \psi_S(s))$
является тривиальным накрытием на каждой
связной компоненте $\tilde M'$. }



\newpage

{\bf \blue Этально односвязные пространства}

{\bf\green Определение:}
Связное топологическое пространство $M$ называется
{\bf\blue этально односвязным}, если любое накрытие 
$M$ расщепляется.

{\bf\green Теорема:}
{\bf \red Любое выпуклое, замкнутое подмножество $M \subset\R^n$
этально односвязно.}


{\bf \green Доказательство. Шаг 1:} 
Пусть  $\tilde M \stackrel\pi \arrow M$ -- накрытие. 
Поскольку $M$ локально связно, $\tilde M$
тоже локально связно. Значит, $\tilde M$ -- несвязное
объединение своих компонент связности. 
Для доказательства этальной односвязности $M$
достаточно убедиться, что каждая из компонент связности
$\tilde M$ является тривиальным накрытием. {\bf \purple Поэтому
можно считать, что $\tilde M$ связно.}

{\bf \green Шаг 2:} 
Поскольку $\tilde M$ связно, а $M$
локально линейно связно, {\bf \purple $\tilde M$ 
линейно связно.} В самом деле,
$\tilde M$ локально линейно связно, значит,
все его компоненты линейной связности 
открыты. 

\newpage


{\bf \blue Выпуклые подмножества $\R^n$
этально односвязны}

{\bf \green Шаг 3:} 
Рассмотрим $M$ как метрическое пространство,
с евклидовой метрикой, индуцированной из $\R^n$.
Любые две точки $x, y\in \tilde M$ можно соединить
путем $\gamma:\; [a,b] \arrow \tilde M,$ 
потому что $\tilde M$ линейно связно.
{\bf \blue Определим длину пути $l(\gamma)$
как длину его образа $\gamma_\pi:= \gamma\circ \pi$ в $M$.}

{\bf \green Шаг 4:}
Если две точки $\gamma(t), \gamma(t+\epsilon)$
содержатся в окрестности $U\subset \tilde M$, которая
гомеоморфно проектируется на выпуклое подмножество
$U\subset M$, можно заменить участок $(\gamma(t), \gamma(t+\epsilon))$
пути $\gamma$ на прообраз отрезка, соединяющего точки
$\pi(\gamma(t)), \pi(\gamma(t+\epsilon))$.
По определению накрытия, $\gamma$ покрывается
такими открытыми множествами целиком
Поскольку $\gamma([a,b])$
компактен, его можно покрыть конечным набором
таких открытых множеств. Заменив каждый
сегмент $(\gamma(t), \gamma(t+\epsilon))$
на прямолинейный, как указано выше, {\bf \purple мы 
получим путь $\gamma$, который проектируется
в ломаную $\gamma_\pi:\; [a,b] \arrow M$.}

\newpage 

{\bf \blue Выпуклые подмножества $\R^n$
этально односвязны (продолжение)}


{\bf \green Шаг 5:} Следовательно, {\bf \purple любые две точки $\tilde M$
можно соединить путем конечной длины.} {\bf \blue Определим метрику
на $\tilde M$ по формуле
\[
\tilde d(x,y) = \inf_\gamma l(\gamma),
\]}
где инфимум берется по всем путям, соединяющим
$x$ и $y$.

{\bf \green Шаг 6:}
{\bf \purple Метрика $\tilde d$ 
согласована с исходной топологией на $\tilde M$.}


{\bf \green Шаг 7:} {\bf \purple 
Докажем, что $(\tilde M, \tilde d)$ полно.}
Поскольку
$\tilde d(x, y) \geq d(\pi(x), \pi(y))$,
 для любой последовательности Коши
$\{x_i\}$ в $\tilde M$, ее образ $\{\pi(x_i)\}$ --
последовательность Коши.  Поскольку $M$ полно,
$\{\pi(x_i)\}$ сходится к точке $\underline x\in M$.
Поэтому почти все члены последовательности 
$\{x_i\}$ содержатся в $\pi^{-1}(U)$, для
любой окрестности $U \ni x$. Выберем
$U$ таким образом, что  $\bar U$ компактно,
а $\pi^{-1}(\bar U)$ -- объединение
непересекающихся связных компактов,
гомеоморфных и изометричных $\bar U$. Компоненты
$\pi^{-1}(\bar U)$ компактны и не пересекаются,
значит, отстоят друг от друга на положительное
расстояние. Поэтому почти все элементы последовательности
Коши $\{x_i\}$
содержатся в одной из связных
компонент $\bar U_0$. Поскольку $\bar U_0$ изометрична
$\bar U$ и компактна, $\{x_i\}$ сходится.

\newpage 

{\bf \blue Выпуклые подмножества $\R^n$
этально односвязны (окончание)}


{\bf \green Шаг 8:}
По построению, метрика в  $\tilde M$ является
внутренней (вычисляется как длина путей),
а значит, удовлетворяет условию Хопфа-Ринова.
Также это пространство полно 
и локально компактно. {\bf \purple По теореме Хопфа-Ринова, 
расстояние в $\tilde M$ реализуется геодезическими.}

{\bf \green Шаг 9:} Для близких $x,y\in \tilde M$, 
$\tilde d(x,y) = d(\pi(x), \pi(y))$, потому что
$\pi$  этально. {\bf \purple  Поэтому $\pi$ переводит геодезическую,
соединяющую $x$ и $y$, в отрезок.}

{\bf \green Шаг 10:} {\bf \purple Геодезические
в $\tilde M$ проектируются в отрезки прямой.}
Следовательно, $\pi:\; (\tilde M, \tilde d) 
\arrow(M, d)$ -- изометрия. {\bf \red Мы доказали,
что $\pi$ это гомеоморфизм.}

{\bf \green Следствие:}
{\bf \red Отрезок, квадрат, шар этально односвязны. }


\newpage 

{\bf \blue Расслоенные произведения}


{\bf \green Определение:}
Пусть $X\stackrel \psi \arrow M$,
$\tilde M \stackrel \pi\arrow M$ --
непрерывные отображения. Рассмотрим подмножество
$\tilde X \subset  X \times \tilde M$,
состоящее из всех пар $(x, \tilde m)$
таких, что $\psi(x) = \pi(\tilde m)$,
с топологией, индуцированной с $X \times \tilde M$.
Это пространство называется
{\bf\blue расслоенным произведением}
$X$ и $\tilde M$, и обозначается
$X \times_M \tilde M$.


{\bf \green Лемма:}
Пусть $\tilde M \stackrel \pi\arrow M$ -- накрытие,
а $X\stackrel \psi \arrow M$ -- непрерывное отображение.
{\bf \red Тогда расслоенное произведение $X \times_M \tilde M$ --
накрытие $X$.}

{\bf \green Доказательство:}
Обозначим за $\pi_X$ проекцию из $\tilde X$ на $X$.
В окрестности $U \ni \psi(x)$, расслоение
$\pi$ расщепляется: $\pi^{-1}(U) = U \times S$.
{\bf \purple Поэтому в $U_X:= \psi^{-1}(U)$, имеем
$\pi_X^{-1}(U_X) = U_X\times S$.}

{\bf \green Определение:}
В такой ситуации, $X \times_M \tilde M\arrow X$
называется {\bf\blue индуцированным накрытием $X$}.



\newpage 

{\bf \blue Поднятие накрытия}

{\bf \green Определение:}
Пусть $\tilde M \stackrel \pi\arrow M$ -- накрытие,
а $X\stackrel \psi \arrow M$ -- непрерывное отображение.
Отображение $X \stackrel{\tilde \psi}\arrow \tilde M$ называется
{\bf\blue поднятием} $\psi$, если следующая диаграмма коммутативна
\[
\xymatrix @C25mm @R15mm{
& \tilde M\ar[d]^\pi \\ 
X \ar[ru]^{\tilde \psi}\ar[r]^{\psi} & M}
\]
{\bf \green Теорема:}
Пусть $\tilde M \stackrel \pi\arrow M$ -- накрытие,
а $X\stackrel \psi \arrow M$ -- непрерывное отображение.
Предположим, что $X$ этально односвязно. {\bf \red Тогда
существует поднятие $X \stackrel{\tilde \psi}\arrow \tilde M$.}
Более того, для любой точки $x\in X$ и любой точки 
$\tilde x \in \pi^{-1}(\psi(x))$, существует и единственно
поднятие $X \stackrel{\tilde \psi}\arrow \tilde M$
такое, что $\tilde \psi(x) = \tilde x$.


{\bf \green Доказательство:} 
Поскольку индуцированое накрытие $\pi_X:\; \tilde X\arrow X$ 
расщепляется, имеем $\tilde X = X \times S$. 
{\bf \purple Для каждой из компонент связности $X \subset \tilde X$, естественная
проекция $\tilde X \arrow \tilde M$ задает
поднятие $\tilde \psi:\;  X \arrow \tilde M$.}
См. картинку.

\newpage 

\begin{center}\ \\
\epsfig{file=helix-final.png,width=0.7\linewidth}\\
{\small Поднятие отображения $X\stackrel \psi \arrow M$ на накрытие}
\end{center}


\newpage 

{\bf \blue Накрытия и пути}


{\bf \green Определение:}
Пусть $(M,m)$ -- отмеченное пространство, $(\tilde M, \tilde m)$ --
его накрытие, а $\gamma\in \Omega(M,m)$ -- петля. Поскольку отрезок
односвязен, отображение $\gamma:\; [0,1] \arrow M$ поднимается
единственным образом до пути
$\tilde \gamma:\; [0,1] \arrow \tilde M$, причем
$\tilde \gamma(0) = \tilde m$. Такой путь
называется {\bf\blue поднятием петли $\gamma$ на 
накрытие}.

{\bf \green Утверждение:}
Пусть  $(M,m)$ -- отмеченное пространство, $(\tilde M,\tilde m)$ --
его накрытие, $\gamma, \gamma'\in \Omega(M,m)$ --
гомотопные петли, а $\tilde \gamma$, $\tilde \gamma'$
-- их поднятия. {\bf \red Тогда $\tilde\gamma(1) =\tilde\gamma'(1)$.}


{\bf \green Доказательство:} 
Пусть $h:\; [0,1]\times [0,1]\arrow M$ --
отображение из квадрата, которое осуществляет гомотопию
$\gamma$ и $\gamma'$. По определению,
$h$ переводит две противоположные стороны квадрата
в $\gamma$ и $\gamma'$, а две другие -- в $m$.
Поскольку квадрат односвязен, $h$ поднимается
до $\tilde h:\; [0,1]\times [0,1]\arrow \tilde M$,
таким образом, что $(0,0)$ переходит в $\tilde m$.
На двух сторонах квадрата $h$ постоянное, но поднятие
тривиального пути, очевидно, тривиально. Поэтому
на этих двух сторонах $\tilde h$ тоже постоянное.
Значит, 
\[ \tilde \gamma(1)=\tilde h(1,0)=\tilde h(1,1) 
   = \tilde \gamma'(1).
\] 


\newpage 

{\bf \blue Фундаментальная группа и накрытия}


{\bf \green Определение:} Отмеченное пространстви
$(M,m)$ называется {\bf \blue односвязным},
если $\pi_1(M,m)=\{1\}$.

{\bf \green Утверждение:}
Пусть $(M,m)$ -- связное и локально линейно связное
односвязное отмеченное пространство.
{\bf \red Тогда $M$ этально односвязно.}



{\bf \green Доказательство. Шаг 1:} 
Рассмотрим связное накрытие $\tilde M \stackrel \pi \arrow M$.
 Пусть $x_1, x_2 \in \pi^{-1}(x)$. Поскольку $\tilde M$
локально линейно связно и связно, оно линейно
связно, а значит, {\bf \purple точки $x_1, x_2$ можно соединить
путем $\tilde \gamma$.}

{\bf \green Шаг 2:} 
 Рассмотрим путь
$\gamma:= \tilde\gamma\circ \pi$.
Этот путь гомотопен тривиальному, 
потому что $\pi_1(M,m)=\{1\}$. 
{\bf \purple Поднятие тривиального пути тривиально,
а значит, оба его конца совпадают. }
{\bf \red Поэтому $x_1=x_2$.}


{\bf \green Замечание:}
Обратное утверждение тоже верно, хотя и в более
ограничительных предположениях.


\newpage 

{\bf \blue Фундаментальная группа $\pi_1(M,m)$:
зависимость от $m$ }

Пусть $x, y\in M$,
а $\xi$ -- путь из $x$ в $y$. 
Для каждой петли $\gamma\in \Omega(M,y)$,
рассмотрим путь $\xi \gamma\xi^{-1}$, определенный
по формуле 
\[
\xi \gamma\xi^{-1}(\lambda) = \begin{cases} 
\xi(3\lambda), & \ \ \text{если} \ \ 0\leq\lambda\leq 1/3\\
\gamma(3\lambda-1), &\ \ \text{если} \ \ 1/3\leq\lambda\leq 2/3,\\
\xi(3-\lambda), &\ \ \text{если} \ \ 2/3\leq\lambda\leq 1.
\end{cases}
\]
{\bf \purple (проходим из $x$ в $y$ по $\xi$, обходим $y$ по $\gamma$,}
и возвращаемся в $x$ в обратную сторону по $\xi$).
Легко видеть, что $\xi \gamma\gamma'\xi^{-1}$ 
гомотопно $\xi \gamma\xi^{-1}\xi\gamma'\xi^{-1}$.


{\bf \green Замечание:}
Мы получили, что {\bf \red группа $\pi_1(M,y)$ изоморфна $\pi_1(M,x)$. }

{\bf \green Замечание:} Нетрудно убедиться, что {\bf \red
этот изоморфизм зависит
от выбора пути $\gamma$.}

\newpage 

{\bf \blue Накрытие неодносвязного пространства }


{\bf \green Утверждение:}
Пусть $(M,m)$ -- отмеченное пространство,
которое связно и локально линейно связно.
Предположим, что у $M$ есть база топологии,
состоящая из множеств $U$ с $\pi_1(U,x)=\{1\}$,
и $M$ этально односвязно. {\bf \red Тогда $\pi_1(M,m)=\{1\}$.}


{\bf \green Доказательство. Шаг 1:}
Обозначим за $\pi_1(m,x)$ множество гомотопических
классов путей из $m$ в $x$. {\bf \purple Тот же аргумент, что и выше,
позволяет построить биекцию между $\pi_1(m,x)$ и
$\pi_1(M,m)$.}

{\bf \green  Шаг 2:} Пусть $U \subset M$ -- односвязное
подмножество, $x\in U$ -- точка, а $\gamma$ --
-- какой-то путь из $m$ в $x$. Обозначим за ${\cal U}_\gamma$ множество
всех пар $(y, \gamma' \in \pi_1(m,y))$,
где $y\in U$,  $\pi_1(U)=\{1\}$, и существует путь
$\nu$ из $y$ в $x$, целиком лежащий
в $U$ и такой, что $\gamma'\nu\gamma^{-1}$
гомотопно нулю. {\bf \purple Поскольку все пути из $x$ в $y$, лежащие
в $U$, гомотопны, естественная
проекция из ${\cal U}_\gamma$ в $U$ -- гомеоморфизм.}

\newpage 

{\bf \blue Накрытие неодносвязного пространства (продолжение) }

{\bf \green  Шаг 3:} Пусть $\tilde M$ -- множество всех пар 
$(x, \gamma \in \pi_1(m,x))$, с топологией,
база которой задана множествами вида
${\cal U}_\gamma$. Легко видеть, что
пересечение таких множеств имеет такой
же вид, и поэтому ${\cal U}_\gamma$ задает
топологию на $\tilde M$. Естественная
проекция $\tilde M \arrow M$ этальна
по построению, а поскольку
$\pi^{-1}(U)$ -- объединение
${\cal U}_\gamma$ для всех гомотопических
классов путей из $m$ в $x\in U$, 
{\bf \purple $\tilde M$ -- это накрытие $M$.}



{\bf \green  Шаг 4:} Наконец, пусть 
$\gamma \in \pi_1(M,m)$ класс, негомотопный нулю, пусть
$\tilde \gamma$ -- его поднятие в $\tilde M$,
такое, что $\gamma(0)$ соответствует паре $(m, \gamma_0)$,
где $\gamma_m$ -- тривиальный путь. 
Тогда $\gamma(1)$ соответствует паре $(m, \gamma)$,
значит, {\bf \red накрытие $\tilde M \arrow M$ нетривиально.}

{\bf \green  Замечание:} 
В предположениях доказанного выше утверждения,
этальная односвязность эквивалентна обычной.

{\bf \green Замечание:}  {\bf \red Построенное таким образом накрытие
$\tilde M \arrow M$ односвязно,} потому что поднятие
нетривиального класса $\gamma \in \pi_1(M,m)$ 
никогда не является петлей в $\tilde M$.

\newpage 

{\bf \blue Произведение накрытий }

{\bf \green Определение:}
Пусть $\tilde M\stackrel {\pi} \arrow M, \tilde M'\stackrel {\pi'} \arrow M$ 
-- накрытия $M$. Рассмотрим расслоенное произведение
$\tilde M \times_M \tilde M'\subset \tilde M \times \tilde M'$, состоящее
из всех $(x,y)\in \tilde M \times \tilde M'$, таких,
что $\pi(x) = \pi'(y)$. Тогда $\tilde M \times_M \tilde M'$
называется {\bf\blue произведением накрытий}.


{\bf \green  Замечание:}
{\bf \red Произведение
$\tilde M \times_M \tilde M'$ является накрытием $M$.}
В самом деле, локально по $M$, $\tilde M$ изоморфно
$S\times M$, $\tilde M'$ изоморфно $S' \times M$,
следовательно, $\tilde M \times_M \tilde M'$ изоморфно
$S\times S' \times M$.

{\bf \green  Замечание:} Для любого накрытия $M_1$ над $M$,
\[ 
\Mor(M_1, \tilde M \times_M \tilde M')= \Mor(M_1, \tilde M)
 \times \Mor(M_1, \tilde M').
\]
{\bf \green Определение:}
Пусть $\phi:\; M_1\arrow M_2$ -- морфизм накрытий $M$.
Рассмотрим подмножество $\Gamma_\phi \subset M_1\times_M M_2$,
состоящее из всех пар вида $(x, \phi(x))$.
Это подмножество называется {\bf\blue графиком} морфизма $M$.


{\bf \blue Мы будем обозначать накрытиe $\tilde M \arrow
M$ как $[\tilde M: M]$.}

\newpage 

{\bf \blue Связные накрытия}


{\bf \green Определение:}
Пусть $[\tilde M: M]$ -- накрытие.
Оно называется {\bf\blue связным}, если 
$M$ и $\tilde M$ связны и локально связны.

{\bf \green Утверждение:}
Пусть $[\tilde M: M]$ -- накрытие, причем
$M$ связно и локально связно. {\bf \red Тогда 
$\tilde M$ является несвязным объединением
своих компонент связности $\tilde M_i$. 
Более того, каждая из компонент $\tilde M_i$
является связным накрытием $M$.}


{\bf \green Доказательство. Шаг 1:}
Поскольку $M$ локально связно, а
$\tilde M$ локально гомеоморфно $M$,
оно тоже локально связно. Поэтому
любая связная компонента $\tilde M$
открыта. {\bf \purple Значит, 
$\tilde M$ -- несвязное объединение
своих компонент связности.}

{\bf \green  Шаг 2:}
Пусть  $U\subset M$ -- связное
открытое подмножество, над которым
$\tilde M$ расщепляется. Тогда 
$\pi^{-1}(U)$ -- несвязное
объединение нескольких копий $U$.
Каждая из этих копий целиком лежит
в одной из связных компонент $\tilde M_i$,
следовательно, $\tilde M_i \cap \pi^{-1}(U)$
тоже несвязное объединение копий $U$.
{\bf \red Поэтому $\tilde M_i$ -- накрытие.}

\newpage 

{\bf \blue Графики морфизмов связных накрытий}


{\bf \green Следствие:}
Пусть $[\tilde M:M]$ -- связное накрытие.
Тогда график любого морфизма $\phi\in \Mor(\tilde M,
\tilde M)$ -- связная компонента в $\tilde M \times_M \tilde M$.
Связная компонента $\tilde M'\subset\tilde M \times_M \tilde M$ является
графиком морфизма  $\phi\in \Mor(\tilde M, \tilde M)$
тогда и только тогда, когда проекция $\tilde M'$ на первую
компоненту задает изоморфизм $\tilde M' \arrow \tilde M$.


{\bf \green Доказательство. Шаг 1:}
Если $\tilde M'$ -- график, он открытозамкнут в
$\tilde M \times_M \tilde M$ (это локальное
утверждение, а локально $\tilde M'$ -- объединение
нескольких компонент $\tilde M \times_M \tilde M$).
{\bf \purple Поэтому он является связной компонентой.}


{\bf \green  Шаг 2:} Любая
связная компонента $\tilde M' \subset 
\tilde M \times_M \tilde M$  является накрытием $M$, как
мы уже доказали. Если $\tilde M'$ гомеоморфно проектируется 
на $\tilde M$, проекция на вторую компоненту
задает морфизм накрытий из $\tilde M \cong \tilde M'$
на $\tilde M$. {\bf \purple  По построению, $\tilde M'$
является графиком этого морфизма.}


\newpage 

{\bf \blue Накрытия Галуа}

{\bf \green Замечание:} {\bf \red Из этого следует, что
\[
\Mor_{\tilde M}(\tilde M, \tilde M\times_M \tilde M) =
\Mor_M(\tilde M, \tilde M).
\]}
Действительно,  морфизмы $\Mor_{\tilde M}(\tilde M, \tilde M\times_M \tilde M)$
взаимно однозначно соответствуют компонентам $\tilde M\times_M \tilde M$,
которые изоморфно проектируются на $\tilde M$, а это то же
самое, что графики морфизма.


{\bf \green Определение:} Пусть $[\tilde M: M ]$ -- связное накрытие.
Оно называется {\bf\blue накрытием Галуа}, если накрытие
$\tilde M \times_M \tilde M \arrow \tilde M$
расщепляется. 

{\bf \green Замечание:} Поскольку
$\Mor_{\tilde M}(\tilde M, \tilde M\times_M \tilde M) =
\Mor_M(\tilde M, \tilde M),$
{\bf \purple   $[\tilde M: M ]$ 
является накрытием Галуа
тогда и только тогда, когда $\tilde M \times_M \tilde M$
-- объединение графиков морфизмов $\nu \in \Mor_M(\tilde M, \tilde
M)$.}  

{\bf \green Замечание:} 
Накрытие {\bf \purple  $[\tilde M: M ]$ 
является накрытием Галуа
когда каждая пара $(x, y) \in \tilde M\times_M \tilde M$
принадлежит графику морфизма $\nu$.}


\newpage 

{\bf \blue Действие группы автоморфизмов накрытия}


{\bf \green Определение:}
Пусть $G$ -- группа, действующая на множестве $M$.
Действие группы называется {\bf\blue свободным}, если
для любого неединичного $g\in G$ и любого $m \in M$,
имеем $gm\neq m$.
Действие группы называется {\bf\blue транзитивным},
если $M$ состоит из одной орбиты.

{\bf \green Замечание:} 
В силу вышесказанного, {\bf \purple  $[\tilde M: M ]$ 
является накрытием Галуа тогда и только тогда, когда
группа автоморфизмов $\Aut[\tilde M :M]$
действует транзитивно на слоях $[\tilde M: M ]$.}


{\bf \green Замечание:} 
Пусть $[\tilde M:M]$ -- связное накрытие.
{\bf \red Тогда $\Aut [\tilde M:M]$ свободно действует на
$M$.} Действительно, пусть $g\in \Aut [\tilde M:M]$ --
элемент, сохраняющий $x\in M$. Тогда график 
$\Gamma_g$ пересекается с графиком тождественного
отображения. Но поскольку график автоморфизма
является связной компонентой 
$\tilde M\times_M \tilde M$, они совпадают.

{\bf \green Определение:}
Пусть $[\tilde M:M]$ -- накрытие Галуа.
Тогда группа автоморфизмов $\Aut [\tilde M:M]$
называется {\bf\blue группой Галуа накрытия}.



\newpage 

{\bf \blue Теория Галуа для накрытий}


{\bf \green Лемма (очевидная):} 
Пусть $W_1\arrow W_2 \arrow W_2$ -- 
накрытия, причем $W_1\arrow W_2$ инъективно, а $W_3$ связно,
$[W_2:W_3]$ расщепляется. {\bf \red Тогда $W_1:W_3$ тоже расщепляется.}


{\bf \green Утверждение:}
Пусть $M_1 \arrow M_2 \arrow M_3$ -- накрытия, причем
$[M_1:M_3]$ -- накрытие Галуа. {\bf \red Тогда
$[M_1:M_2]$ -- тоже накрытие Галуа.}


{\bf \green Доказательство.}
Рассмотрим последовательность накрытий 
\[ M_1\times_{M_2}M_1 \arrow M_1\times_{M_3}M_1 \arrow M_1.\]
Накрытие $M_1\times_{M_3}M_1 \arrow M_1$ расщепляется,
потому что $[M_1:M_3]$ накрытие Галуа, а естественное
вложение $M_1\times_{M_2}M_1 \arrow M_1\times_{M_3}M_1$
инъективно. Применив Лемму, получаем, 
что $M_1\times_{M_2}M_1 \arrow M_1$ расщепляется.


{\bf \green Замечание:}
Пусть $[\tilde M:M]$ -- накрытие Галуа, а
$G=\Aut[\tilde M:M]$ -- его группа Галуа.
Отметим, что $G$ вполне разрывно действует
на $\tilde M$, и поэтому {\bf \red для
любой подгруппы $G'\subset G$, определено
факторпространство $\tilde M/G'$, которое
тоже является накрытием.}


\newpage 

{\bf \blue Основная теорема теории Галуа}


{\bf \green Определение:}
Пусть $[\tilde M:M]$ -- связное накрытие.
{\bf\blue Факторнакрытием} $[\tilde M:M]$ называется
накрытие $[\tilde M':M]$ такое,
что задан сюрьективный
морфизм накрытий $\tilde M\arrow \tilde M'$.

{\bf \green Основная теорема теории Галуа для накрытий:}
Пусть $[\tilde M:M]$ -- накрытие Галуа,
$G=\Aut[\tilde M:M]$ -- его группа Галуа,
а $G'\subset G$ -- любая подгруппа.
{\bf \red Тогда $\tilde M/G'$ -- накрытие $M$.
Более того, любое факторнакрытие 
$[\tilde M:M]$ получается таким образом.}

{\bf \green Доказательство.} Пусть $[\tilde M':M]$ -- 
факторнакрытие $[\tilde M:M]$. Тогда
$[\tilde M:\tilde M']$ -- тоже накрытие Галуа,
а значит, $\tilde M' = \tilde M/G'$, где
$G'\subset G$ -- группа автоморфизмов $\tilde M$ над $\tilde M'$.

\newpage

{\bf \blue Этальная фундаментальная группа}


{\bf \green Определение:}
Пусть $[\tilde M:M]$ -- связное накрытие.
Оно называется {\bf\blue этальным универсальным накрытием},
если $\tilde M$ этально односвязно.


{\bf \green Замечание:}
Универсальное накрытие является накрытием Галуа.
Действительно, {\bf \purple раз $\tilde M$ этально односвязно, то 
$\tilde M \times_M \tilde M$ расщепляется над $\tilde M$.}

{\bf \green Замечание:}
Универсальное накрытие 
единственно с точностью до изоморфизма. Действительно,
пусть $\tilde M$, $\tilde M'$ -- два
универсальных накрытия. Поскольку {\bf \purple $\tilde M$
и $\tilde M'$ этально односвязны, любая связная компонента их
произведения $\tilde M \times_M \tilde M'$ расщепляется
над $\tilde M$ и над $\tilde M'$, значит, является
графиком изоморфизма.}


{\bf \green Определение:}
Пусть $\tilde M \stackrel
\pi\arrow M$ -- универсальное накрытие. 
Группа Галуа $\Aut[\tilde M:M]$ называется {\bf\blue этальной фундаментальной
группой пространства $M$}. 

\newpage

{\bf \green Утверждение:}
Пусть $(M,m)$ -- отмеченное пространство,
которое связно и локально линейно связно.
Предположим, что у $M$ есть база топологии,
состоящая из множеств $U$ с $\pi_1(U,x)=\{1\}$. 
{\bf \red Тогда фундаментальная группа $(M,m)$ 
изоморфна этальной фундаментальной группе.}


\begin{center}
\epsfig{file=Grothendieck-hippie.png,width=0.45\linewidth}\\
{Alexander Grothendieck \\
(род. 28 марта 1928)}
\end{center}


\end{document}



