
\documentclass[11pt]{book}

\usepackage{amsmath, amssymb, amscd, russcorr, theorem, %
fancyhdr, epsfig}
\usepackage[matrix,arrow]{xy}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\triangle}{\vartriangle}

\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   27.04.2008}

\setlength{\headheight}{15pt}
\pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny ���, ����� 2008, ������
����, ������ 17-18} 
\cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version}
\rhead{{\small  ���� ���������}}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  equations                          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\@addtoreset{footnote}{section}
\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  listki-new.tex                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Aut{\operatorname{\sf Aut}}
\def\Spec{\operatorname{\sf Spec}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{{\operatorname{\sf Id}}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\ev{\operatorname{\sf ev}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}
\newcommand{\Ob}{\operatorname{{\cal O}b}}
\newcommand{\Mor}{\operatorname{{\cal M}or}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Set}{\operatorname{Set}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{\sf char}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
%        \writevedomost{\string\mc{\thezadacha} \string & \string & \string 
%        \\ \string \hline}
   }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
   \writevedomost{\string\mc{\thezadacha ##3}  \string & \string \grd \string & \string\grp
   \string \\ \string \hline}
    }}
\endgroup

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{zadacha}{������}[chapter]

\begingroup
\gdef\th@generic{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
     }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
    }}
\endgroup

\theoremstyle{generic}

\newtheorem{opredelenie}[zadacha]{�����������}
\newtheorem{ukazanie}[zadacha]{��������}
\newtheorem{zamechanie}[zadacha]{���������}

\renewcommand{\labelenumi}{\ralph{enumi}.}


\newcommand{\listok}[2]{%
\setcounter{page}{1}
\renewcommand{\@oddhead}{\hfil #2 \hfil}
\renewcommand{\@evenhead}{\hfil #2 \hfil}
\section*{#2}
\refstepcounter{section}
\setcounter{section}{#1}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% VEDOMOST GENERATION
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newwrite\Vedomost
%\immediate\openout\Vedomost = \jobname.vdm
%\newcommand{\writevedomost}[1]{\immediate\write\Vedomost{ #1 }}
\newcommand{\writevedomost}[1]{}

\def\grd{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\dtt}}\vphantom{666}}
\def\grp{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\pdp}}\vphantom{666}}

\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%   Chapter                         %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



  \renewcommand{\chapter}{%
     \secdef\ChapterNumbered\ChapterStarred}

  \def\ChapterNumbered[#1]#2{%
      \addcontentsline{toc}{chapter}{\thechapter. #1}
      \refstepcounter{chapter}
      {
\vspace{\baselineskip}
\chaptermark{#2}
          { {{\noindent\bf\huge \thechapter. \ #2\par}}}
      }
    \vspace{\baselineskip}
}

  \newcommand{\ChapterStarred}[1]{%
      \refstepcounter{chapter}
      \chaptermark{#1}%
      \vspace{\baselineskip}}

  \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{#1}}
                             



\newcommand{\������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ������ \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\�����}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ����� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\�������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ������� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ����������� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ��������� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}

\def\�����{\hfill}
\def\��������{\noindent}
\def\��{\bf}
\def\��{\em}
\def\��{\it}
\def\������{\begin{zadacha}}
\def\��{\end{zadacha}}
\def\���������{\begin{zamechanie}}
\def\���{\end{zamechanie}}
\def\��������{\begin{ukazanie}}
\def\��{\end{ukazanie}}
\def\eu{\end{ukazanie}}
\def\�����������{\begin{opredelenie}}
\def\��{\end{opredelenie}}
\def\eo{\end{opredelenie}}
\def\goth{\mathfrak}
\def\����{\begin{enumerate}} 
\def\��{\end{enumerate}}
\def\ee{\end{enumerate}}
\def\����{\item $\bullet$ %
    \writevedomost{\string & \ralph{enumi} \string &\string & \string \\ \string \hline } }

\begin{document}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{chapter}{16}
\lhead{{\scriptsize  ���������, ������ 17: �������
    ��������--��� ������� }}
\chapter{���������, ������ 17: \\���������
������ � �������\\
    ��������--��� �������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{��������������� ������ � ������������� ��������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

������ � ������� ��� ����� ��������� �������
������, ������� ����������� �������.

�������� ������������ $M$ �������� ���������. �������
���� ��������� -- ��������, � �������� -- �����������
$\psi:\; \tilde M \arrow \tilde M'$, ������������� �
��������� � $M$:
\[
\xymatrix{
\tilde M\ar[r]^\psi\ar[rd]^{\pi} & \tilde M'\ar[d]^{\pi'}\\
& M}
\]
����� $\tilde M  \arrow M$ -- ��������,
������ $M$ � $\tilde M$ ������, �������� ������� ������,
� $\tilde M$ ����������, �� ���� ����� �����������
��������������� ������. �������, ��������������� 
������ $\pi_1(\tilde M,m)$ ������� �� ������ ����� 
$m$,  �� $\pi_1(\tilde M,m_1)$ ��������� $\pi_1(\tilde M,m_2)$,
���� $m_1$ � $m_2$ ����� � ����� ���������� �������� ���������
(��� �������� �� ������� ������). 

����� �������� ���������� {\�� �������������}.

��������� $\tilde M$ ����������, ��� �������� ��������� �����.
� ����� ����, ����� $\tilde M' \stackrel \pi\arrow \tilde M$ --
������� ��������, � $x\in \tilde M$ -- ����� �����.
������������ $\tilde M'$ �������� ������� ������ �
������� ������, � ������ ������.
����� $y_1, y_2\in \pi^{-1}(x)$ -- ����� �����, �
$\gamma$ -- ����, ������� �� ���������. ����� ����� ����
$\pi(\gamma)$ -- ����� � $\tilde M$, ������ �� $x$ � $x$,
�� ����� ����� ������ ����������, ��������� $\pi_1(\tilde M, x)=0$.
���� $\gamma$ �������� ��������� ����� $\pi(\gamma)$,
� ���� ����� $\pi(\gamma)$ ����������, $\gamma$ -- ���� �����
(��� ���� �������� � ���������� ������). ������� 
$y_1=y_2$, � $\pi^{-1}(x)$  ������� �� ������ ��������.
������������� $\tilde M'\cong \tilde M$, � ��� �������� $\tilde M$
������������.

% � ������� ��������� ���� �������� � ���������!

����� $M_1, M_2$ -- �������������� ������������, ����������
������������ ������������� $\psi_1, \psi_2$ � $M$.
��������, ��� {\�� ����������� �������������}
$M_1$ �� $M_2$ ��� $M$ ����������
������������ $M_1\times_M M_2$, ���������
�� ���� ��� $(m_1, m_2)\in M_1\times M_2$, �����, 
��� $\psi_1(m_1)=\psi_2(m_2)$. �� ������������� 
$M_1\times_M M_2$ ��� ������������ � $M_1\times M_2$,
� �������������� ����������.

��������� �� $\Psi:\; M_1\times M_2\arrow M\times M$
����������� 
\[ 
  \Psi(m_1, m_2)  =(\psi_1(m_1),\psi_2(m_2)).
\]
����� ������, ��� $M_1\times_M M_2= \Psi^{-1}(\Delta)$,
��� $\Delta\subset M\times M$ -- ���������.
�������, ��� $M$ �����������,
����������� ������������ -- ��������� ������������
� $M_1\times M_2$.

�� ���������� ������ ���� ��������, ���
������������ �������� -- ����� ��������.

�������� � �������������� �������� $\tilde M \arrow M$.
����� �������� $\tilde M$ ������������. 
���������� $\tilde M \times_M \tilde M$ ��� �������� $\tilde M$,
� ��������� $\tilde M \times_M \tilde M\arrow \tilde M$,
����������� $(m_1, m_2)$ � $m_1$. 

��������, ��� �������� ���������� {\�� ��������� �����}, ����
$\tilde M \times_M \tilde M\arrow\tilde M$  ������������. 
� ���� ������������� $\tilde M$, 
$\tilde M \times_M \tilde M$
������������, � $\tilde M$ -- �������� �����.

��������� $\tilde M$ �������� ������,
����� ��� �������� �������� ������. ��������
������� ������������ ������� �� ���������� �����������
����� ��������� ���������. ��������� ��� ����������
��������� $\tilde M \times_M \tilde M$ ��������
�������� ���������� $\tilde M$, ��� ��� ���������.

�� ��������, ���
�������� ������ �� ��������� ��������� � $\tilde M \times_M \tilde M$
� $\tilde M$ -- ������������, ��� �� ������� ���������,
��� �� �������. �������������, ������ �� ���� ���������
�������� �������� ������������ �������� $\tilde M$ ��� $M$.
�������������, ����� $X$ -- ����� ����������, �����
�������� �� ������ � ������ �������� $\sigma_1, \sigma_2:\; X \arrow \tilde M$
��� �������������, � $X$ -- ������ �������������
$\sigma_1^{-1} \circ \sigma_2$ (��������� ���).

�� �������������� �������, ��� ������ �����
$(x,y) \in \tilde M \times_M \tilde M$ �����������
������� ������������ $\psi\in \Aut[\tilde M: M]$,
��� $\Aut[\tilde M: M]$ -- ������ �������������
�������� $\tilde M$ ��� $M$ (��� ��� ����������
{\�� ������� ����� �������� $\tilde M$}).

��������� �������� $\tilde M \arrow M$ �� $\pi$.
��� ������� $m\in M$, � ����� ���� �����
$x, y \in \pi^{-1}(m)$, �������� ����������� $\nu$, �������
�������� $\Gamma_\nu$ ����������� ����� $(x,y)\in \tilde M \times_M\tilde M$. 
� ���� ����, ��� $\nu$ ��������� $x \in \tilde M$
� $\sigma_2(\sigma_1^{-1}(x,y))$, ����� $\nu(x)=y$
(��������� ���).

�� ��������, ��� $\Aut[\tilde M: M]$ ����������� ���������
�� ��������� $\pi^{-1}(m)$. ��������� 
$\tilde M\times_M\tilde M$ -- ����������� ����������������
�������� ���������, �� $\nu_1(x)=\nu_2(y)$ �������
$\nu_1=\nu_2$. �������������, $G:=\Aut[\tilde M: M]$
��������� �� $\pi^{-1}(m)$ ����������� � ��������.
������� $M = \tilde M/G$, ������ �������� $G$ ��
$\tilde M$ ��������.

����� $g\in \Aut[\tilde M: M]$ -- ������� ������ �����
�������������� ��������, ����������� $x\in \tilde M$ � $g(x)$,
��� $x\in \pi^{-1}(m)$.
���������� ���� $\gamma$, ����������� $x$ � $g(x)$.
����� ���� -- ������������, � ��������� �� ���������,
��������� $\tilde M$ ���������� (�������� ���).
����� $\gamma \circ\pi:\; [0,1] \arrow M$ --
��� �����. ��������� �� ����� � $\pi_1(M,m)$
�� $\gamma_g$. ��������� ���� $\gamma$ ������������
� ��������� �� ���������, $\gamma_g$
������� ������ �� $x$ � $g$. �� ���� ����� $\Aut[\tilde M: M]$
��������� �� $\pi^{-1}(m)$ �����������, ��� ������
��������� ����, ����������� $x, g(x)$, � ����, �����������
$y, g(y)$, ��� �� $y$ ����� ����� ����� ����� � $\pi^{-1}(m)$.
�������������, $\gamma_g\in \pi_1(M,m)$
�� ������� �� ������ $x$, � ����������
������������ ������������� $g\in Aut[\tilde M: M]$.
�� �������� ����������� $Aut[\tilde M: M]\arrow \pi_1(M,m)$.

���� $g_1, g_2\in Aut[\tilde M: M]$,
������ $g_1$ ��������� $x$ � $y$, � $g_2$ ��������� $y$ �
$z$, �� $g_1g_2$ ��������� $x$ � $z$. ������������
����� $\gamma_{g_1}\gamma_{g_2}$ ���������� ��� 
$\pi(\gamma\gamma')$, ��� $\gamma$ -- ����
�� $x$ � $y$, � $\gamma'$ -- ���� �� $y$ � $z$.
�������������, $\gamma_{g_1}\gamma_{g_2}=\gamma_{g_1g_2}$,
� ����������� ���� ����������� 
$Aut[\tilde M: M]\arrow \pi_1(M,m)$ -- ����������� �����.

� ������� ������ �� ���������, ��� ��� ����������
(���������). �� �������� ��������� �������.

\�����

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\�������
����� $\tilde M  \arrow M$ -- ������������� ��������,
������ $M$ � $\tilde M$ ������, �������� ������� ������,
� $\tilde M$ ����������. ���������� ������ ����� ����� ��������,
$G=Aut[\tilde M: M]$. ����� $M = \tilde M /G$, ������
��������������� ������ $M$ ��������� $G$.

\endproof


\���������
��� ������� ��������� ��������� $\pi_1(M,m)$ ��� 
�����������, ���������� ��� ������ $\tilde M/G$
������������ $\tilde M$ �� ������ $G$, �����������
�� $\tilde M$ ������ ��������.
�� ���������� ��������, ��� ���������������
������ ���������� $S^1$ ����� $\Z$. �������������,
$S^1= \R /\Z$, �� $\pi_1(\R)=\{1\}$, ��� ��� $\R$
����������. ����������� �������� ����������, ���
$\pi_1(T^n)=\Z^n$, ��� $T^n=\R^n /\Z^n$ -- $n$-������ ���.
\���

\���������
����� $\tilde M_1 \arrow M_1$, $\tilde M_2\arrow M_2$ --
������������� ��������, $\pi_1(�_i)=G_i$. 
��������� $\tilde M_1\times \tilde M_2$ 
���������� (��������� ���) � ��������� $M_1\times M_2$
(���������), ��� �������� ������������� ���������
$M_1\times M_2$. ������� 
$\tilde M_1\times \tilde M_2/G_1\times G_2=M_1\times M_2$,
� $\pi_1(M_1\times M_2)=G_1\times G_2$. �� ��������,
��� ��������������� ������ ������������ ���� 
����������� -- ��� ������������ ���������������
����� ���� �����������.
\���

\���������
���� ���� ����� ��������, � �� ��������� ����������: �����������
����������� �� ������ ������������ $X$ � $M_1\times M_2$ --
���� ����������� �� $X$ � $M_1$ � �� $X$ � $M_2$.
������� �� �� ����� ����� ��� ������ � ��� ������� ���������
������.
\���



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{��������� �������� � ��������������� ������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\Rep}{\operatorname{{\cal R}ep}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{{\cal C}ov}}
\newcommand{\Sets}{\operatorname{{\cal S}ets}}

����� $G$ -- ������, � $\Rep(G, \Sets)$ -- ���������,
������� ������� -- ��������� � ��������� $G$, � ��������
-- ����������� ��������, ����������� � ��������� $G$.
��� ��������� ���������� {\�� ���������� �������� �
��������� $G$}. 

�����������, ��� $G= Aut[\tilde M: M]$,
��� $[\tilde M: M]$ -- ������������� �������� $M$.
��� ������� ��������� $S$ � ��������� $G$, ����������
������������ $\tilde M \times S$, ��� $G$ ��������� �� 
������� $g(m,s) = (g(m), g(s))$ (����� �������� ����������
{\�� ������������}). ���� ���������� ��������� �� $S$,
����� �������, ��� $\tilde M \times S$ -- ��������������
������������. ��������� �������� $G$ �� $\tilde M \times S$ 
������ �������� (��������� ���), ������ 
$(\tilde M \times S)/G$ -- ����������� ��������������
������������. 

\���������
����� ������, ��� $(\tilde M \times S)/G$
�������� ��������� $M$. � ����� ����,
�������� �� $M$, $\tilde M$ ��������
����������� ���������, ���������� $M \times G$,
��� $G$ ��������������� ��� ��������������
������������ � ���������� ����������. � ����� ������,
$(\tilde M \times S)/G$ ��������� $M \times X$,
�������������, ����������� ��������
$(\tilde M \times S)/G\stackrel {\pi_X} \arrow M$ -- ��������.
��� ������ ����� $m \in M$, ��������� $\pi_x^{-1}(m)$
�������� �������� �� $(G\times X)/G=X$.
\���

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\�������\label{_mnozh_w_dejstv_nakry_Teorema_}
����� $\tilde M \arrow M$ -- �������������
��������, � $G$ -- ��� ������ �����, 
$G=Aut[\tilde M: M]$. ���������� ������� 
 \[ \Rep(G, \Sets)\stackrel \Psi\arrow \Cov(M)\]
�� $\Rep(G, \Sets)$ � ��������� $\Cov(M)$ �������� $M$,
����������� ����. ����� $\Psi$ -- ��������������� ���������.

\�����

\��������
{\�� ��������������:} ������� ����� $m \in M$.
�������� ������� \[ \Cov(M)\arrow \Rep(G, \Sets)\] ��������
������ ������. ����� $M' \stackrel \sigma \arrow M$ --
�������� $M$, � $S_{M'}:=\sigma^{-1}(m)$ -- ���
���� ��� $m$. �� ��������� $S_{M'}$ ������ ��������
$\pi_1(M)$, ��������� �������. ����� $x \in S_{M'}$ --
����� �����, � $g\in G$ -- ������� ��������������� ������.
������� ����� $\gamma_g\in \Omega(M,m)$, ��������������
$g$, � ����� $\tilde \gamma_g$ -- �� �������� � $m'$,
� ��������� ������ � $x$. ����� �������� ����������
� �����������, ��� �������� � ���������� ������,
� �������� ����� $\tilde \gamma_g(1)$ ����������
������������ $x$ � $g$. ����� �������, ������
$g\in G$ ������ ����������� �� $S_{M'}$ � $S_{M'}$ 
����� ������, ��� ������������ ���� ������ �������������
���������� �����������, ������, $x \arrow \tilde \gamma_g(1)$ 
������ �������� $G$ �� $S_{M'}$. ��� �������� ��������,
�������� ����� ��������� � �������� �����, �������������,
$M' \arrow S_{M'}$ ������ �������  
$\Cov(M)\stackrel \Phi\arrow \Rep(G,\Sets)$.

���������� $\Psi \circ\Phi$ ��������� ���������
� ��������� $G$ � �� �� ����� ���������, ��� ���� �� �����������.

����� ���������, ��� ���������� $\Phi \circ\Psi$ ��������� ��������
� ������������� ���, ���������� ��������� ��� �� �������
���������. �� ������� �������� ����� ��� $\tilde M/G'$,
��� �������� $G'\subset G$ (��� ����������� ����������
"�������� ������� ������ ����� ��� ��������", � ���
�������� � ������� ������). ����������
�������� $\Phi$ � $M/G'$ ����, ��������, ���������
$\Phi(\tilde M/G')=G/G'$ � ������������ ��������� $G$.
�� ����������,
\[ 
  \Psi(G/G') = (\tilde M \times G/G')/G= \tilde M/G'
\]
(��������� ���). ������, ������� $\Phi \circ\Psi$ ������������
��������������. \endproof


\���������
������ �������� ��������� �������������� ���������
����� ���������� ����� ��������������:
\[
M' = \coprod_i \tilde M/G_i
\]
� ������������ ������ �������� ����� ���������
���������
\[
S = \coprod_i G/G_i
\]
� ������������ ��������� $G$. ��� ������ ���������������
��������� �������� � ��������� �������� � ��������� $G$ ���� �����
����. �������� ��������������, ��� ��� �� �� �����
��������������� ���������, ��� ���� ��������� ����.
\���


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{��� ������������ ��������������� ������ �� 
��������� ��������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\���������
����� $G$ -- ������, � $\cac=\Rep(G, \Sets)$ -- ���������
�������� � ��������� $G$. ����������  $G$
��� ������ $\cac$, �� ���� ��������� � ���������
$G$, ������������ �������� $(g, x)\arrow gx$. 
����� ��� �������� �� $G$ � ���� ��������,
� ������ $\Aut(G)=\Mor(G,G)$ ��������� $G$. � ����� ����,
����� $\nu\in \Mor(G, G)$ ��������� $1$ � $x$.
����� $\nu(g1) = g(\nu(x))= gx$. ����� �������,
��������, ���������, � ����������  $\nu_x\nu_y$ ����� $\nu_{xy}$.
\���


\�����
����� $\bar G \in \Ob(\cac)$
-- ������ $\Rep(G, \Sets)$, ������� �������� ����������
����������
\begin{description}
\item[(i)] ��� �������� �� $\bar G$ � ���� �������� �������������
\item[(ii)] ��� ������ $X\in \Ob(\cac)$, ���������
$\Mor(\bar G, X)$ �������.
\end{description}
����� $\bar G$ ��������� $G$ ��� ������ $\cac$.

\hfill

\noindent
{\bf ��������������. ��� 1:} ��� ������� $\cac$ ��������
������������ ���������������� ����� �������� $G$.
������ ����� ������ ����� ��� $G/G'$, ��� $G'$ -- ������������
�����. ������������� �������� �� ������
$G/G_1$ � $G/G_2$ ��������, ������ ����
$G_2\supset G_1$ (��������� ���).

\hfill

\noindent
{\bf ��� 2:} ��������� $\Mor(\bar G, X)$ ������ 
�������, $\bar G$ -- ����������� ����� ���� $G/G_i$,
����� ������� ���� �� ���� ��������� $G$.


\hfill

\noindent
{\bf ��� 3:} ����� $\bar G$ �������� ��� ������ $X_1,
X_2$, ������ $X_1$ ��������� $G$. ���������� ������� �� $\bar G$
� ����, ������������� �� ���� �������, �����  $X_1$, �
������������ $X_1$ � $X_2= G /G'$ (����� ������� ����������
� ���� ���� 1). ����� ������� �� ���������, ������, 
�� �� ����� ���� ������������.



\hfill

\noindent
{\bf ��� 4:} �� ��������, ��� $\bar G$ ������� �� ����� ������
(��� 3), ������ ��� ������ ��������� $G$ (��� 2).
��� ����������, ��� $\bar G$ ��������� $G$. \endproof

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\���������\label{_vosst_G_iz_Rep_Zamechanie_}
�� ���������� ���� ����� �������, ��� ������ $G$ ����������
����������������� �� ��������� $\Rep(G, \Sets)$: ����
��������� $\Rep(G_1, \Sets)$, $\Rep(G_2, \Sets)$
������������, �� ������ $G_1, G_2$ ���������.
\���


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{��������� ������ � ��������� ������������ �����}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

����� $G, H$ -- ������. ���������� ��������� $\overline{G*H}$,
��������� �� ������������������� (����) ����
$g_1h_1g_2h_2...g_nh_n$, ��� $g_i\in G$, $h_i\in H$.
���������� ����������� ���������������, �����������
\begin{equation}\label{_sokra1_v_gru_Equation_}
g_1h_1g_2h_2...g_i h_i g_{i+n}h_{i+n} ... g_nh_n \sim 
g_1h_1g_2h_2... g_i  g_{i+n} g_nh_n
\end{equation}
���� $h_i=1$, � 
\begin{equation}\label{_sokra2_v_gru_Equation_}
g_1h_1g_2h_2...g_i h_i g_{i+n}h_{i+n} ... g_nh_n \sim 
g_1h_1g_2h_2... g_i h_ih_{i+n} g_{i+2}...   g_nh_n
\end{equation}
���� $g_{i+n}=1$. ����� �������, � ������ �����
��� ��������� ���� $g_1 1 g_2$ ����� �������� ��
$g_1g_2$, � $h_1 1 h_2$  �� $h_1h_2$.
��������� ������� ��������������� ������������ $G*H$.
����� ����� ��������:
\[
g_1h_1g_2h_2...g_nh_n \cdot
g'_1h'_1g'_2h'_2...g'_{n'}h'_{n'}:=g_1h_1g_2h_2...g_nh_ng'_1h'_1g'_2h'_2...g'_{n'}h'_{n'}.
\]
����� ���������, ��������, ������������.
�� \eqref{_sokra1_v_gru_Equation_} � \eqref{_sokra2_v_gru_Equation_}
���������� �������, ��� 
\[ 
  g_1h_1g_2h_2...g_nh_nh_n^{-1}
  g_n^{-1}... h_2^{-1}g_2^{-1}h_1^{-1}g_1^{-1}=1,
\]
������, $G*H$ ��� ������.

\�����������
������ $G*H$ ���������� {\�� ��������� �������������},
��� �� {\�� ����������}, ��� �� {\�� ���������������} �����
$G$ � $H$.
\��

\������
���������, ��� ��� ������������ ������������:
\[
(F*G)*H=F*(G*H).
\]
\��

\���������
����������� ������� ������������ ��������� ������������
������������� ������ ����� $\{G_\alpha\}$, $\alpha\in I$.
����� ��������� $\overline{\coprod_\alpha G_\alpha}$ ������� ��
 ���� ���� $g_1g_2g_3...g_n$, ������������ �� ���� 
$g_i\in G_\alpha$.
���������� ����������� ���������������, �����������
\[
g_1g_2...g_ig_{i+1}g_{i+2}...g_n\sim g_1g_2...g_ig_{i+2}...g_n
\]
���� $g_{i+1}=1$ (����� �������� �� ����� ����� $g_{i+1}$, ����
$g_{i+1}$ ����� 1), � 
\[
g_1g_2...g_{i-1}g_ig_{i+1}g_{i+2}...g_n\sim 
g_1g_2...g_{i-1}(g_ig_{i+1})g_{i+2}...g_n
\]
���� $g_i, g_{i+1}\in G_\alpha$
(����� ������������� ��������������� ������ 
����� $g_i, g_{i+1}$ � $(g_ig_{i+1})$, ����
��� ��� ����������� ����� � ��� �� ������
$G_\alpha$. ������������ � �������� �������
� 
\[ 
\coprod_\alpha G_\alpha := \overline{\coprod_\alpha
G_\alpha}/\sim
\]
������������ ��� �� ����� ��������, ��� � ��� 
 $G*H$; ����������� �������� ����������,
��� ��� ������ (�������� ���). ���������,
��� ��� ����������� ��� ���� ������������
���� $G*H$. 
\���

\�����������
������������ ����� ������� ������ $\coprod_\alpha G_\alpha$ 
����������  {\�� ��������� �������������},
��� �� {\�� ����������}, ��� �� {\�� ���������������}
������ $\{G_\alpha\}$.
\��

\�����������
��������������
$\Z * \Z * \Z * ... *\Z$ ($n$ ���) ���������� 
{\�� ��������� ������� �� $n$ ����������}. 
�������������� ����
$\coprod_\alpha G_\alpha,$ ��� ��� $G_\alpha\cong \Z$,
���������� {\�� ��������� �������}.
\��




\���������
����� ������, ��� ������������ ����������� ������ 
����������� � ��������� ������������,
$G_0 \arrow \coprod_\alpha G_\alpha$, 
$g_0 \arrow g_0$ �������� ��������� (�������� ���).
\���




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{������������ ��������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

����� $\cac$ -- ���������, � $A\in \Ob(\cac)$
��������� ������. ��������� {\�� ���-�������} 
$h_A:\; \cac \arrow \Sets$ ��������
$h_A(X) = \Mor(A,X)$.

����� $F:\; \cac \arrow \Sets$ --
������� �� $\cac$ � ���������. ��������, ��� $F$
���������� {\�� ������������}, ���� $F$ ������������
���-�������� $h_A$ ��� ������-�� �������
$A\in \Ob(\cac)$. � ���� ��������, $A$ ����������
{\�� �������������� ��������} ��� �������� $F$.

\�����������
����� $\cac, \cac'$ -- ���������, � $F_1, F_2:\; \cac\arrow \cac'$
�������� �� $\cac$ � $\cac'$. {\�� ������������
������������� ���������} 
\[ \Phi:\; F_1\arrow F_2\]
�������� ���. ��� ������� $X\in \Ob(\cac)$, 
����� ������� \[ \Phi_X\in \Mor(F_1(X), F_2(X),\] 
����� �������, ��� ��������� ��������� ������������ ��� ������
$\lambda\in \Mor(X,Y)$:
\[
\begin{CD}
F_1(X) @>{F_1(\lambda)}>> F_1(Y)\\
@V{\Phi_X}VV @VV{\Phi_Y}V\\
F_2(X) @>{F_2(\lambda)}>> F_2(Y)
\end{CD}
\]
�������, ��� ������� �������
������������ ������������� ��������� �������� ���������������
���������, ������������ � ������ 14.
\��

���� $\Phi:\; h_A \arrow F$ -- ������������ �������������
��������� �� $\cac$ � ���������, $\Phi$ ����������
������������ ��������� $\Phi(\Id_A) \in F(A)$. ��� �����
������ �� ��������� ������������� ���������:
\[
\begin{CD}
\Mor(A,A) @>{f \mapsto f\circ\lambda}>> \Mor(A,B)\\
@V{\Phi_A} VV @VV{\Phi_B}V\\
F(A) @>{F(\lambda)}>> F(B)
\end{CD}
\]
��� $\lambda\in \Mor(A,B)$ -- ����� �������.
������� ������� ��������� $\Id_A$ � $\lambda$. 
�� ��������������� ���� ��������� ��������, ��� 
\[ \Phi_B(\lambda)=F(\lambda)(\Phi_A(\Id_A)),
\]
������, ����������� $\Phi_B:\; \Mor(A,B)\arrow  F(B)$
������� ������������ ��������� $\Phi_A(\Id_A)\in \Mor(A,A)$.
�� �������� ��������� �������� �����

\�����

\�����
(����� ������, Yoneda lemma) 
����� $\cac$ -- ���������, $A\in \Ob(\cac)$ �� ������,
$h_A:\; \cac \arrow \Sets$  -- ���-�������, � $F:\; \cac \arrow \Sets$
��� �������. ����� ��������� ������������ �������������
�������� $h_A$ � $F$ ��������� � $F(A)$.

\endproof

\hfill

��������  $F:\; \cac \arrow \Sets$ ���� ��������
���������: ������� ���� ��������� -- ��������
$F:\; \cac \arrow \Sets$, � �������� -- ������������
��������������. �� ����� ������ ���������� �������, ���
$\Mor(h_A, h_B) = \Mor(B,A)$. �� �������� �����
�����������.

\�����

\�����������
����� $\cac$ -- ���������, � ${\cal F}$ -- ���������
������������ ��������� $F:\; \cac \arrow \Sets$,
� ����������, ������� �������� �������������
���������������� ���������. ����� ���������������� 
������� $A \arrow h_A$
������ ��������������� ��������� $\cac\arrow {\cal F}^\circ$.

\endproof

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\���������\label{_predstavlya_edinstv_Zamechanie_}
� ���������, ������ ���������, �������������� ��������
�������, ������������ ���� ��������� ���������� �
��������� �� �����������.
\���

�� �������� ����� ������ � ���������������
��������� ��� ������������ ���������, �� �� �� �����
����� � ��� ���������������� ���������, � �������
������������� �������� $h_A(X) =\Mor(A,X)$ �� 
���������������� $h^\circ_A(X) = \Mor(X,A)$.

\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\epsfig{file=yoneda-nobuo.eps,width=0.52\linewidth}\\
{Nobuo Yoneda\\
(1930-1996)}
\end{center}
\end{figure}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{����� ������: �������, ���������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


����� ������ ��� ��������� ������ ������ (Shokichi Iyanaga,
1906-2006) � ������������ �����. � ������ 1950-� ������� ���������
������������� �� ������, � ������, ��� ���������, 
����������� ���  � �������� �����������.
�������� �����������, ������ ���������� ����������
����� � ���������� � ��������. � ������ ������� ����� �����,
��������� ����� � ����� (��������� ��� ����������
������ �������), � � 1954-� ���� ������ ������ � ����� � 
����������. � ������ ������ ���� ������� ������ � 
���������  ��� ������ (������� � ���� ����� ��� �� ���, �
����� �� �������; ��� ��������� �������������
� ������ ����������� ������). ��� ������������
���� ������, ��� ���� ������ �����, ������� 
�� ����� �� ������ �� �������, ������ ������.

����� ���������� �����, ������ �������� �������������
����� $Ext^*$ � �������� ���������� �������, ���
������� ������ ����������� �������������� �������.

����� ����������� � ������ ������ �� ��������� 
�����������. � ������ 1960-� �� ��������������� 
������������� �������, ��� ������� ������ ������, 
� ��� ����� �� �������  ����� ����� 68, � ����� 
�������� ���������� ������������ ���� ���� �����������
������������ ����� � ������������ �����.

���������, ��� ����� ������ ������ ������ � �����������
���� ������������ ����, ��� �� ������ ��������� � ������������
������� ��������� ������������� ������ ���������������
����������������.

������ ������, ������ ��� ����������� 
���� ������ (������������ ������ ������), 
�������� ������� (���������� ����� ��������
������ �������������� � ����������� ���������),
������� ������� (����������� ������ ����������
������� � ������ ������ ������ �����)
� ������ ��������, �������������� 
"������� ��������".

������ ��� �������� ������ ������ (1875-1960), 
������� ��� ��������� ������ ���������. ������ 
��� ������� �������� ���������, ��������� ������ 
���������������� ���������� �� ���� �������� ����������.
������ ��������� ������� �����, � � 1898 ���� ��������
��������������� ����������� ����.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{������������ � �������������� � ���������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


��������� ������ ����� ���������������� ���������
���������.

\�����

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\�����������\label{_universa_copro_Utverzhdenie_}
����� 
$G$, $H$ -- ������, $G*H$ �� ��������� ������������,
� $G \stackrel \iota \hookrightarrow G*H$, 
$H\stackrel \iota \hookrightarrow G*H$ -- ������������
��������. ����� ������ ���� ������������� $G\stackrel \phi\arrow P$,
$H\stackrel \psi\arrow P$ � ������ $P$ ������������  
�� ������������ $G*H\stackrel {\phi*\psi}\arrow P$ ����� �������, ���
��������� ��������� ������������:
\[
\xymatrix @R12mm @C15mm {
G\ar[rd]^\iota\ar[rdd]_\phi &&  H\ar[ld]_\iota\ar[ldd]^\psi\\
& G*H \ar[d]^{\phi*\psi}&\\
&P&}
\]
����� ����, ����������� $\phi*\psi$
������������ ������������� $\psi$ � $\psi$
����������.

\�����

\��������
{\�� ��������������:} ����� $\phi*\psi$ ���������
����� ���� $g_1h_1g_2h_2...g_nh_n $ � 
$\phi(g_1)\psi(h_1)\phi(g_2)\psi(h_2)...\phi(g_n)\psi(h_n)$.
��������� ��� ����������� ��������� ������������� �����
� �������������, � ������������ ���� � ������������,
��� �������� �������������. �������������� ������ $\phi*\psi$
��������, ������ ��� ������ $G*H$ ��������� �������� $G$ � $H$.
\endproof

\���������
����������� \ref{_universa_copro_Utverzhdenie_}
���������� {\�� ������������� \\��������� ��������������}. 
��� ����� ����� � �������� ����������� $G*H$. �������������,
� ���� �������������� ��������,
$G*H$ �������� �������������� �������� ��� 
�������� $P \arrow \Mor(G,P)\times \Mor(H,P)$
�� ����� � ���������, � ����� ������ ������������
(��������� \ref{_predstavlya_edinstv_Zamechanie_}).
\���

\���������
������������
� �������������� ����� ���������� �� ����� ���������:
������������ �������� $A, B \in \Ob(\cac)$ -- ������,
�������������� ������� \[ X \arrow \Mor(X,A) \times \Mor(X,B),\]
� �������������� �������� $A, B \in \Ob(\cac)$ --
������, �������������� ������� \[ X\arrow \Mor(A,X) \times \Mor(B,X).\]
����������� ������� ������������ ������������ �
�������������� ������ ������ ��������. ������������
� �������������� �� ������ ����������, �� ����������
���������� � ��������� �� �����������, ��� ������� 
�� ����� ������ (��������� \ref{_predstavlya_edinstv_Zamechanie_}).
\���

\���������
� ����������� ��������� ��������� (������, ���������,
�������������� ������������, ��������� ������������), 
����������� ������������ ����������� � ���������� 
������������, ����������� ���� (��������� ���).
\���

\���������
� ��������� �������������� �����������,
�������������� -- ��� ��������� �����;
� ��������� ��������, �������������� --
���������������� �����������, � � ���������
��������� �����������, �������������� --
��� ������ ����� �����������. ��������� ���.
\���

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{������� ��������� ������ � ��������������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

��������� ������ ������ �������� ��������� ������� 
��� ����, ������ ������.
��� ���� � 1882-� ���� ������ ��� ����������� ����������� ������
� ��� ������� �������������� ������������� ��������������� ���������
������������ (��������� ������������), ������� �� �������
� 1888 ����. 


\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\epsfig{file=von-Dyck.eps,width=0.47\linewidth}\\
{Walther Franz Anton von Dyck\\
(1856-1934)}
\end{center}
\end{figure}
��� ����� ������������ ������� ������ (����������
��������� ������ ��������� ��������� ������������).
� ��� �� ����� ������ 1882-�� ����, � ������� ��
��������� ������, ��� ���� ������� �������� �� 
��, ��� ��������� ������� ������ �������� 
� ��������� ������ �����������; ��� � ���� 
��������� ������. ��� ��� ���� ��� ���������� 
��������� ����� ����� � ����������
� ����� ������ �������� ����� �������.

�������� "��������� ������"
����������� ����� �������� (Jacob Nielsen), �������� ����������,
������� ����� ���� (Max Dehn),
������� � 1924-� ���� 
�������, ��� ����� ��������� �������-�����������
��������� ������ ��������. 

���������� ����������� ���������� ������������
��� �������, ��������������� �������
\[ X\arrow \Mor(A,X) \times \Mor(B,X),\]
����������� �������� ��� �����
������� � ������ "Groups, categories and duality"
(1948), ����� ���������� ������������� ���������
 ������� �����  (�������������) �������.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{������� ��������--��� �������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\�������
(������� ��������--��� �������, "Seifert-van Kampen Theorem")
����� $M=X\cup Y$ -- ����������� ��������������
����������� $X$ � $Y$, ������ $X,Y$ �������� 
�������, �������� �����������, ��������� � $M$ � �������,
� $X \cap Y$ ������ � ����������.
����� $\pi_1(M)$ ��������� ����������
������������ $\pi_1(X) * \pi_1(Y)$.

\hfill

\noindent
{\bf ��������������. ��� 1:}
��������� $\Rep(G*H, \Sets)$ ������������ ��������� $\cac$
��������, �� ������� ������ �������� $G$ � $H$ (�������,
����� �� �������������). ������� �� $\Rep(G*H, \Sets)$
� $\cac$ ��������� $S$ � �� �� ����� ��������� $S$, ���
�������� $G$ � $H$ ������������ �� �������� $G \hookrightarrow G*H$,
$H \hookrightarrow G*H$. �������� ������� ������������
�� ����, ��� ��� ������� ��������� $I$ � ��������� $G$ � $H$
������ ������������ $G, H \arrow \Sigma_I$, ��� $\Sigma_I$ --
������ ���������� ����������� �� $I$ � $I$. � ���� ��������������
�������� $G*H$, ����� ������������ ���������� ������������ �� ������������
$G*H \arrow \Sigma_I$. ��� ������ ������� �� $\cac$ � $\Rep(G*H, \Sets)$,
��������, �������� ���������.

\hfill

\noindent
{\bf ��� 2:} � ���� ��������� \ref{_vosst_G_iz_Rep_Zamechanie_},
������ $G$ ���������� �������� ����� ���������� $\Rep(G, \Sets)$.
������� ��� ����������� $\pi_1(M)\cong \pi_1(X) * \pi_1(Y)$,
���������� ���������, ��� ��������� �������� $M$
������������ $\Rep(\pi_1(X) * \pi_1(Y), \Sets)$.
� ���� ����������� ����, ��� ��������� ������������
��������� $\cac$ �������� � ��������� $\pi_1(X)$ � $\pi_1(Y)$.
����� �������, ������� ��������--��� ������� ����� ��������,
���� �� �������, ��� ��������� $\Cov(M)$ �������� $M$ ������������ $\cac$.



\hfill

\noindent
{\bf ��� 3:} ������� �� $\Cov(M)$ � $\cac$ ���������
������ ��������. ����� $\tilde M\stackrel\sigma\arrow M$ -- �������� $M$.
��������������� �������� 
\[ \tilde X = \sigma^{-1}(X)\arrow X, \ \ 
\tilde Y = \sigma^{-1}(Y)\arrow Y
\] ���������� {\��
������������� $\tilde M$ �� $X$ � $Y$}. ��� ������ �����
$m \in  X\cap Y$, �������� $\sigma^{-1}(m)\subset \tilde X$
������� ��������� $\pi_1(X)$ 
(������� \ref{_mnozh_w_dejstv_nakry_Teorema_}).
�������� $\sigma^{-1}(m)\subset \tilde Y$
������� ��������� $\pi_1(Y)$, �� ��� �� ����� �������.
�� ��������, ��� $\tilde M \arrow \sigma^{-1}(m)$
������ ������� $\Cov(M) \stackrel \Psi\arrow \cac$.
�������� ��������, ��� ��� ���������������.

\hfill

\noindent
{\bf ��� 4:} ����� $S \in \Ob(\cac)$ -- ���������
� ��������� $\pi_1(X)$ � $\pi_1(Y)$,
� $\tilde X\stackrel {\sigma_X} \arrow X$,
$\tilde Y\stackrel {\sigma_Y} \arrow Y$ -- ���������������
��������, ������������ � ���� ���������������
��������� �������� � ��������� �������� � ���������
��������������� ������ (�������
\ref{_mnozh_w_dejstv_nakry_Teorema_}). 
��������� $X\cap Y$ ������, �������� ������ 
� ����������, 
\[ 
  \sigma^{-1}_X(X\cap Y)= \sigma^{-1}_Y(X\cap Y)= X\cap Y\times S,
\]
 ��� $S$ -- ��������� ������� ��������� $\tilde S$.
����� $x \in \tilde X, y\in \tilde Y$,
������ $x\in \sigma^{-1}_X(X\cap Y)$
����� $y\in \sigma^{-1}_Y(X\cap Y)$
��� ���� ��������������. � ����� ������
�� ������� $x\sim y$. ����� 
$\tilde M= \tilde X \coprod \tilde Y/\sim$ -- ������
�� ��������� ���������������, �������������
����� ��������. ����� ������, ��� ������������
�������� $\sigma:\; \tilde M \arrow M$ -- ��������
(��������� ���). �������������, �������� $\sigma$ �������,
������ ��� $M$ ���������� ��� ������ $X \coprod Y$ ��
��������� ���������������\footnote{��� ��������������
����� ����������� ����������� $X$ � $Y$ � $M$.} 
\[ m\sim m' \Leftrightarrow m\in X, m'\in Y, \text{\ \
  $m=m'$ � $X\cap Y$,}
\]
 � ��������
$\sigma^{-1}(U)$ �� ���������� ����������� $U \times S$,
���� $\sigma_X$, $\sigma_Y$ ������������ 
��� $U\cap X$, $U\cap Y$.

�� ��������� ������� �� $\cac$ � $\Cov(M)$.
����� ������, ��� ���� ������� ������� $\Psi$
(��������� ���). ������� $\Psi$ -- ��� ���������������
���������. 

�� ��������, ��� ��������� $\Cov(M)$ ��������
$M$ ������������ ��������� $\cac$ �������� � ���������
$\pi_1(X)$ � $\pi_1(Y)$. �� ���� 1 ���� ��������, ���
$\cac$ ������������ ��������� $\Rep(\pi_1(X) * \pi_1(Y), \Sets)$.  � ����
������� \ref{_mnozh_w_dejstv_nakry_Teorema_},
$\Cov(M)$ ������������ $\Rep(\pi_1(M), \Sets)$.
��������� ��������� \ref{_vosst_G_iz_Rep_Zamechanie_},
�� ������� �� ��������������� ���������
\[ \Rep(\pi_1(X) * \pi_1(Y), \Sets) \sim \Rep(\pi_1(M), \Sets)\]
 ���������� �����
\[ \pi_1(X) * \pi_1(Y)\cong \pi_1(M).\] \endproof

\���������
���� $M= \bigcup M_i$, ������ ��� ���������
����������� $M_{i_1}\cap M_{i_2} \cap ...$
����������, �� 
$\pi_1(M) \cong \pi_1(M_1) * \pi_1(M_2) *...$
��� ��������� ������ $M_i$ ��� ����� ��������
��������� �� ������� ��������--��� �������,
��������� ���������������� ��������������.
��� ������������ ������, ����������� �������� ��
�������. �������, ����� ������, ��� ��������������,
����������� ����, �������� ��� ������ �����
$M_i$, ����� ������������ ���������� �����������.
��������� ��� ��������������.
\���



\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\epsfig{file=Van_Kampen.eps,width=0.47\linewidth}\\
{ Egbert Rudolf van Kampen\\
(1908-1942)}
\end{center}
\end{figure}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{�������, ���������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

������� ��������--��� ������� ���� �������� ��� �������� 1933-�
����, � ����� ����� ��������, ��� ������� ����. ��� ������
�������� ��������������� ������ ����������� ���� 
�������������� �����������, �� ����������� ���������
� ������������� �� �����������. ��������, ��������
����������������, � ����� �������� �� ��������, 
������ ��� ���� ����������� $X$ � $Y$ ��������,
�� ���������, ���� ��������� ����������
�����.

����������� ����� ������
�� ���� ��������� ������� ���������� {\�� ����������������
���������}. {\�� ����������} ���������� ���������,
��� �������� ������� -- �����������. ����� $M$ -- ��������������
������������. {\�� ��������������� ����������} $M$
���������� ���������, ������� ������� -- ����� $M$,
� �������� �� $x$ � $y$ -- ������ ��������� ����� 
�� $x$ � $y$. ���������� ��������� �������������
�������� ��������� �����. ��������������� ��������
�������� ��� ���������� � ��������������� ������,
�� �� ������� ��������������� ������ ������� �����.
��������� �� ����� ������ ������ ���:

\�����

{\�� ...���� �������� �������� � ��������������� �������,
�� ����������� � �������������, � ���������� ������ ���
  ���� � ���������, ��� ����� ������ ���������
  �����������, ����� ����� �������� ������ �����������
� ������������� ����� �������� ������ �������
  ������������ � ����� ����� ������� �����, ���������
���������� -- ���� ������� ������������� ���������
� �������������� ��������� ����������, � �� �����.
����� �����, ����������� ������� �����, � ��������
�������� � ����� ������, ���������� ��������� ���������
� ���������� ���������, �������� �������������� ��������,
������� � ����������� ���� ���������� � �����������,
������� ����� � �� �������� ��������, ������ ���
��� ��������, ��� ������� ������ ��� �� ��������,
� �������� ������� ������ ����, ����� ��������� ��.
� ����� �� ���� ��������� ����� ��� �����, � ���������
���� ��� �������, ����� ������������ �����������
������������ ������ ����� ���� �������� ������
� �������� ��������� ���������... }

\�����

������� ��������--��� ������� ����� �������������� 
��������� �������. ����� $U$ � $V$ -- ��������������
������������. ����� ��������������� ��������
$U\cup V$ -- ��� ����������� �������������� ���������������
���������� $U$ � $V$ (������ � ��������� ����������).
� ����� ��������, �������������� ������� ��������--��� ������� 
���������� ����������� �����, ��� ��������������
�� ����� ������ ������, ����������� ����.

�� �������� �������� ������ (Ronald
Brown)\footnote{\tt\small http://www.bangor.ac.uk/$\tilde\ $mas010/topgpds.html}
�������� ��� ������ ������ ��������� � ����������
��������� � �����������, ������� ����� ��������������� 
���������� ��������� � ���������.



������� ��������--��� ������� �������� ����� ��������
"������� ��� �������". ������ ��� ������ (1908-1942)
������� ����������� � �����������, �� � 1931-� ����
����� � �������, ��� ����������� � ������� ��������. 
������� ������� ��������� ��������������� ������
���������� � �������������� ������, � ���������
� ��� �������� ������� ������. ������� ��������--��� �������
���������� ��� �������� ������� ����� ��������������.

��� ������ ��� ���������� (�� ������� ����������� 
�� 21-� ���� �����), � ���� ������ �������, �� ����.

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\lhead{{\scriptsize  ���������, ������ 18: ���������������
������ �����}}
\chapter{���������, ������ 18: \\���������������
������ ����� \\ � ������� ��������-�������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{��������������� ������ ������ �����������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\�����������
{\�� ������} ���������� ����� ������ � ����� �����,
������ ������� ����� ������������� ��� �������
(��������, ����������), ������� ���������� ��� {\��
�������}, ��� {\�� ������ � �������}, ������
������ ������� �������� ������ ���� �� ������ �� �����.
���� ���� ������ ������������� ���� � ��
�� �������, ��� ����� ���������� {\�� ��������},
� ������� -- {\�� ����� ��������} �����.
���� ���������� {\�� ��������}, ���� �����
��� ����� � ������ �������.
\��

\���������
����������� ����� ����� �������������:
���� ��� ��������� (������ $V$ � ����� $E$), � �����������
$E \arrow V \times V$ �� ��������� ����� � ��������� ���
������.  �� ���
����, ���� �������� � ������ �����-�� ��������������
��������, ������� ������������ ���� ���� ��� ������������ 
��������, ����������� ����� ���������� ����� -- ������.
��� ����������� ������������� ����� �������������,
������� ������� {\�� ��������������� ������������ �����}.
\���

\�����������
����� $\Gamma$ -- ����, � $S$ -- ��������� ��� �����.
���������� $S$ ��� ������������ � ���������� ����������,
� ����� $X:= S \times [0,1]$ -- ��������� �����������
$S$ ����� �������. � ���� ������ $s \times \{1\}$ � $s \times \{0\}$ --
����� $X$, ��������������� ������ ��� ����� �������.
���� � ����� $s_1$ � � ����� $s_2$ ������� ����� �����, �������
$x_1\sim x_2$, ��� $x_i= s_i \times \{1\}$ ��� $x_i= s_i \times \{0\}$
-- ��������������� ����� $X$. {\�� ��������������
������������� �����} ���������� ������������������
$X/\sim$ �� ������ ����������� ���������������.
\��

\������
��������, ��� �������������� ������������ ����� ������
����������� � �������� ������� ������.
\��

\���������
������������� �������������,
�� ����� ���������� ���� � ��� ��������������
������������ ����� � ��� �� ������.
\���

\�����������
���� ���������� {\�� �������}, ���� ��� ��������������
������������ ������.
\��


\begin{figure}[ht]
\begin{center}\ \\
\epsfig{file=buket.eps,width=0.4\linewidth}\\
{\small ����� ������� �����������}
\end{center}
\end{figure}

\�����������
����� $\Gamma$ -- ������� ����, � �������� ���� �����
���� ������� � $|I|$ �����. ��� �������������� ������������ ����������
{\�� ������� $|I|$ �����������}. ��� ����� ��� �������
��������� �� ���������� (��������, ������������ �����)
�����������.
\��

����� ��������� ��������������� ������ �����, �����
����� ��������������� �������� ��������--��� �������.
����� $X$ -- ����� �����������, � $X_1, X_2, ...$ -- ������������
��� ����������. ����������� ����� ���� ��������� $X_i$ -- ������������
������� �����, � ���, ��������, ����������. ��������, ���
$\pi_1(X) = \pi_1(X_1) * \pi_1(X_2) * = \Z *\Z * \Z* ...$.
�� �������� ����� �������.

\�����

\�������
��������������� ������ ������ ����������� ��������.

\endproof


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{�������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\�����������
�������� ������� ���� ���������� {\�� �������� �������}, ����
� ���� $n$ ������ � $n-1$ �����.
\��


\begin{figure}[ht]
\begin{center}\ \\
\epsfig{file=derevo.eps,width=0.3\linewidth}\\
{\small ������ � 22 ��������� � 21 ������}
\end{center}
\end{figure}


��������, ��� �������������� ������������
$X$ ���������� {\�� �������������� ���������}
$Y \supset X$, ���� ������ ����������� �����������
$Y \stackrel j \arrow X$, ������������� �� $X \subset Y$,
������ $j$ ��������� �������������� ����������� $\Id_Y$
�� $Y$ � ����.

�������������� ������������ $X$ � $Y$ ����������
{\�� ������������� ��������������},
���� ������ ����������� ����������� $X \stackrel \phi \arrow Y$
� $Y \stackrel \psi\arrow X$, ������ ����������
$\psi\circ \phi$ � $\phi \circ \psi$ ���������
�������������.

�������� �������� (��. ������ 15), ��� ����� ������������
������������� ������������ ������ ���������������
��������, � ��������������� ������ �������������
������������� ����������� ���������.

\�����������
����� $\Gamma$ -- ����, �
 $\Gamma'$ -- ����, ��������� ����� � ������ ��������
�������� �������������� � ���������
����� � ������ $\Gamma$, ������ �����
������������� ����� � $\Gamma$ � $\Gamma'$ �� ��.
  ����� $\Gamma'$
���������� {\bf  ���������} $\Gamma$.
\��

\��������� 
����� $\Gamma'$ -- ������� ����� $\Gamma$.
����� ������, ��� �������������� ������������ $\Gamma'$ --
��������� ������������ � �������������� ������������
$\Gamma$.
\���

\�����������
{\�� �����������} ������� ����� -- ���������� �����, 
�� 1 �� $\infty$, ������� � ��� ���������. ������� ����������� 1
������ � �� ������ ���������� {\�� �������}.
\��


\begin{figure}[ht]
\begin{center}\ \\
\epsfig{file=vybrosili.eps,width=0.65\linewidth}\\ \  \\
{\small ����, ���������� ������������ �������� �����}
\end{center}
\end{figure}

\�����
����� $\Gamma'\subset \Gamma$ -- �������, ����������
�� $\Gamma$ ������������� �������� ����� $l$ � ����� �������
(��. �������). ����� $\Gamma'$ ��������
�������������� ��������� $\Gamma$.

\�����

\��������
{\�� ��������������:}
����� $s$ -- ������ (�����������) ����� ����� $l$.
���������� ����������� $\psi:\; \Gamma\arrow \Gamma'$
����������� $l$ � $s$,
� ������������� �� $\Gamma'$. ��������, ���
����������. ����� ���������, ��� ��� ���������,
�������� ��������� �� $\psi$ � $\Id_\Gamma$. �����������,
��� $0$ �� $l$ ������������� $s$, � 1 ������������� ��������� �������.
����� $\psi_t$ ��������� ������������ �� $\Gamma'$,
� ��������� $\lambda\in [0,1]=l$ � $t\lambda \in l$.
����� ������, ��� $\psi_t$ ����������,
$\psi_0=\psi$, � $\psi_1=\Id_\Gamma$.
������� $\Gamma'$ -- �������������� �������.
\endproof

\���������
�� ���� �����, �� ��������, ��� ����� ���� 
������������� ������������ ������ ��������,
����������� ������������ �������� �����.
\���

\�����������
�������� ������ ���������� (�.�. ������������� ������������ �����).

\�����

\��������
{\�� ��������������:}
������������� ���������. ����� $\Gamma$ -- ������ ��
$n+1$ ������ � $n$ �����. ��������� ����������� ������
������� $\geq 1$, � ������ ������, ��� �����, 
�������� ������� � ������������ 1 (��������� ���). 
��������������� ����� -- �������. ��������� �� $\Gamma'$ ����,
���������� ��� �������������. � ����� ����� $n$ ������ �
$n-1$ �����, ������, ��� ������. � ���� ����������
�����, $\Gamma$ ������������� ������������ $\Gamma'$,
� � ���� ������������� ��������, $\Gamma'$
����������. \endproof

\�����������
������� ���� ���������� {\�� �������}, ����
����� ��� ��������, ������� ������� ��������
�������� �������.
\��

\������
����� $\Gamma$ -- ����, ������� �������� -- ��������
������������������ ����������� �����, � ����� ���������
����� ������������������ $A$ � $An$, ��� $An$ ��������
�� $A$ ����������� $n$. ��������, ��� $\Gamma$ -- ���
������.

\�����

\�����������
����� $\Gamma$ -- ������. ����� $\Gamma$ ����������.

\�����

\��������
{\�� ��������������. ��� 0:} �������, ��� ��� ����� 
���� ����� $x, y$ � $\Gamma$, ����������� ������ $[x,y]$,
����� ����� �����������. �������������, �����
� $\Gamma$ ��� �� ������� � ��������� $x,y$ � �����
�������, ������������ ��� �������, �� ����� ���� �����
2 �������, 2 �����, � �� ����� ���� �������.
������� ����������� $[x,y]$ ��� �������� ������ $x, y$
���������� ������ �����.


\�����

\��������
{\�� ��� 1:}
����� $\gamma\in \Omega(\Gamma, m)$
-- ����� � $\Gamma$, � $v_1, v_2, v_3, ...$ -- ���������
������� �����, ������� ��������������� ������� $\gamma$. ����� 
$0\leq t_1 < t_2 < t_2 < ... \leq 1$ -- ������������������ �����
�����, ��� $\gamma(v_i) = t_i$. ��������� ������������������
$\{t_i\}$ ���������, ��� �������� � ������� $t$,
�� ����� \[ \gamma(\lim t_i) = \gamma(t) = \lim v_i, \]
� ���� ������������� $\gamma$. ��� ��������, ������
���� ������������������ $v_i$ �������. 

\�����

\��������
{\�� ��� 2:}
����� ������,
��� ����, ������ �� ������ �� ������� $x$ � �������
$y$, �� ������ �� � ����� ������ �������, ���������
����, ������� �� ����� $[x,y]$. � � ����� ����,
����� $\Gamma_{x,y}$ -- ����, ��������� �� ����
����� $\Gamma$ � ������ � $x$ � � $y$.
��������� $\Gamma$ ��� ������, $\Gamma_{x,y}$ -- ����
������, � ��� ��� �����, ����� $[x,y]$, �������.
������� $[x,y]$ -- �������������� �������
$\Gamma_{x,y}$. ���� ���������� $\gamma$ � ����������,
������� ����, ������ �� ����� $[x,y]$, � ����������
$\gamma$.


\�����

\��������
{\�� ��� 3:} �� ��������, ��� ����� ����� �� $\Gamma$
������������� ������������ �����, ������� �������
������� $v_1, v_2, v_3, ..., v_n$ �� ������
$[v_1, v_2]$, $[v_2, v_3]$, ...
������, ����� ����� ��������� �����, ������� 
������� �������� ������� $\Gamma$. �� ��������,
������� �������� $\Gamma$ ����������, ������,
��� ����� ����� ���� ����������.
\endproof

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{�������������� �����}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\�����������
��������, ������� ���� $\Gamma$ ����������
{\�� ��������������}, ���� � ���� $n$ ������
� $n$ �����. 
\��

\���������
����� $\Gamma$ -- ������� ���� ��� ������� ������,
������� $n$ ����� � $m$ ������.
��������� ������ ����� ��������� ��� �������,
� � ������ ������� �������������� ��� �������
��� �����, ����� $n \geq m$, ������ ���������
����� �����, ������ ���� ��� ������� $\Gamma$
����� ����������� 2.
\���

�� �������� ��������� �����


\�����

\�����
����� $\Gamma$ -- �������� ��������������
���� ��� ������� ������. ����� ��� ������� $\Gamma$
�������������. ����� ����, $\Gamma$ ����������� ����������.


\�����

\��������
{\�� ��������������:} ������������� ���������.
����� $\Gamma$ -- �������������� ���� ��� 
������� ������, � $s$ -- ��� �������,
� ������� ��������� ����� $[x,s]$ � $[s,y]$.
����� ������, ��� $\Gamma$ ����������� �����,
����������� �� $\Gamma$ ������������ ������� $s$
� ������� ����� $[x,s]$ � $[s,y]$ �� $[x,y]$
(��. ��������).


\begin{figure}[ht]
\begin{center}\ \\
\epsfig{file=unicycle-simple.eps,width=0.65\linewidth}\\ 
{\small �������������� ����  ��� ������� ����� 
�� $n$ �����, $n$ ������  �����������  ��������������� �����
��  $n-1$ �����, $n-1$ ������}
\end{center}
\end{figure}


���������������� ���������, �������, ���
$\Gamma$ ����������� ��������������� �����
� ����� �������� � ����� ������, �� ����
����������. \endproof

\�����

\���������
����� $\Gamma$ -- �������� �������������� ����. ����� $\Gamma$
������������� ��������������� ����������.

\�����

\��������
{\�� ��������������:} ����� $\Gamma'$ ������� �� $\Gamma$
������������ �������� �����. ����� $\Gamma'$ �������� ��������������
��������� $\Gamma$, ������, ������������� ������������ $\Gamma$.
����� ���������� ������� �����, ���� ��� �� ��������,
������� �������������� ����, ������������ ����������.
\endproof

\���������
����������� �������� ����������, ���  ������� ����,
� ��������  $n$ ������
� $n+k$ �����, ������������� ������������ ������
$k+1$ �����������.
\���

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\�����������\label{_uniciklicheskij_odno_rebro_Utverzhdenie_}
����� $\Gamma_1$ -- ������, ����������
�� ����� $\Gamma$ ������������ ������
�����. �����������, ��� $\Gamma$ -- �� ������.
����� $\pi_1(\Gamma) = \Z$.

\�����

\��������
{\�� ��������������:} ��������� $\Gamma$ -- �� ������,
� $\Gamma$ ���������� �������� ������� $\Gamma_1$, � ��������
$n$ ������ � $n+k$ �����, $k\geq 0$.
��������� ����������� ������ ����� $l$ ����������
$\Gamma_1$ � ������, $k=0$, � ���� $\Gamma_1$ -- ��������������. 
����� $\Gamma\backslash l$,
$\Gamma_1 \backslash l$ -- �����, ����������
�� $\Gamma$, $\Gamma_1$ ������������ $l$.
����� $\Gamma$ ������� ������������ $\Gamma_1$
� $\Gamma\backslash l$, ������ �� �����������
$\Gamma_1 \backslash l$ �������� �������,
�������������, ����������. �������� ������� ��������--��� �������,
�������, ��� $\pi_1(\Gamma) = \pi_1(\Gamma_1) * \pi_1(\Gamma\backslash l)$.
��������� $\Gamma\backslash l$ ������, ��� ����������, ������,
$\pi_1(\Gamma) = \pi_1(\Gamma_1)=\Z$. \endproof

\�����������
����� �������� ������� ���� $\Gamma$ {\�� ��������������},
���� $\pi_1(\Gamma)=\Z$. 
\��

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{��������������� ������ �����}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\�����������
����� $\Gamma$ -- ������� ����. {\�� �������}
$\Gamma$ �������� ������������ ������� $\Gamma'\subset \Gamma$,
������� �������� �������.
\��

\���������
����� {\�� ������������} � ���� ����������� ���� �������� ���:
��� ���������� ������ ����� �� $\Gamma \backslash \Gamma'$
� $\Gamma'$, �� ��������� ���� �������.
�������� ����� �����, ����� ���������, ��� � ������� ����� ����
����� (��������� ���).
\���




\�������
����� $\Gamma$ -- ������� 
����. ����� ������ $\pi_1(\Gamma)$ ��������.

\�����

{\�� ��������������. ��� 1:}
����� $\Gamma'\subset \Gamma$ -- ����� $\Gamma$,
���������� �� $\Gamma$ ������������ ����� $l_\alpha$,
������������������� ��������� 
$\alpha\in I$, � $\Gamma_{l_\alpha}$ -- �����������
$\Gamma'$ � $l_\alpha$. � ���� �����������
\ref{_uniciklicheskij_odno_rebro_Utverzhdenie_},
$\pi_1(\Gamma_{l_\alpha})=\Z$.

\�����

{\��  ��� 2:} $\Gamma= \bigcup_{\alpha\in I} \Gamma_{l_\alpha}$, ������
����������� $\Gamma_{l_\alpha}\cap \Gamma_{l_{\alpha'}}$
��� ����� $\alpha \neq\alpha'$ ����� $\Gamma'$,
�������������, ����������. �������� �������
��������--��� �������, ��������
\[
\pi_1(\Gamma) = \coprod_{\alpha\in
I}\pi_1(\Gamma_{l_\alpha}) = \coprod_{\alpha\in
I} \Z.
\]
\endproof

\���������
��������� �������� ���� $\Gamma$ �������������
������������ ������ ����, ����������� $\pi_1(\Gamma)$
��� ��������� ����� ���������� ������� �� ��������
��������������� ������ ������ ����, ������������ ����.
\���

�� ������������ ���� �������� ��������������� ������ �����
�������� ��������� ������ �������.

\�����

\�������
(������� ��������-�������, "Nielsen-Schreier theorem")
����� $F$ -- ��������� ������, � $G\subset F$ -- ��
���������. ����� $G$ ��������.

\�����

{\�� ��������������:} ������
$F$ ����� �������� ��� ��������������� ������ ������������
$M$, ������������� ������ �����������. ����� $\tilde M$ --
������������� �������� $M$, ���������� ������������
��������� $F$, � $M_G= \tilde M/G$ ��� ������ �� $G$.
����� ������, ��� $M_G$ ��� ���� (��������� ���). 
��������� $\tilde M \arrow M_G$ -- ������������� ��������,
$\pi_1(M_G) =G$. ������ $G$ -- ��������������� ������
�����, � ����� ������ �������� �� ���������� �������.
\endproof





\end{document}



