

\documentclass{slides}

\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}


\usepackage{amsmath, amssymb, amscd, color,  epsfig}
\usepackage[matrix,arrow]{xy}


\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{#1}\right.}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\newcommand{\cac}{{\cal C}}
\newcommand{\Ob}{\operatorname{{\cal O}b}}
\newcommand{\Mor}{\operatorname{{\cal M}or}}

\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Aut{\operatorname{\sf Aut}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Spec{\operatorname{Spec}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}
\def\goth{\mathfrak}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Топология, первый курс, второй семестр\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother


   \setlength\paperheight {9in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}



\begin{document}

\setcounter{page}{0}

 
\ \newpage



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Топология, лекция 17: \\Свободные
группы и теорема\\
    Зейферта--ван Кампена[3mm] }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ \\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 28 апреля, 2008\\
Независимый Университет}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
{\bf \blue Универсальное накрытие (повторение)}

{\bf \green Замечание:} {\bf \red
Накрытия пространства $M$ образуют категорию.} Объекты
этой категории -- накрытия, а морфизмы -- отображения
$\psi:\; \tilde M \arrow \tilde M'$, коммутирующие с
проекцией в $M$:
\[
\xymatrix{
\tilde M\ar[r]^\psi\ar[rd]^{\pi} & \tilde M'\ar[d]^{\pi'}\\
& M}
\]

{\bf\green Определение:}
Пусть $\tilde M  \arrow M$ -- накрытие,
причем $M$ и $\tilde M$ связны, локально линейно связны,
и $\tilde M$ односвязно, то есть имеет тривиальную
фундаментальную группу. Тогда $[\tilde M:M]$
называется {\bf\blue универсальным накрытием}.

{\bf \green Замечание:} {\bf \red
Поскольку $\tilde M$ односвязно, любое накрытие 
$\tilde M' \stackrel \pi\arrow \tilde M$ расщепляется.}
Пусть $y_1, y_2\in \pi^{-1}(x)$ -- любые точки, а
$\gamma$ -- путь, который их соединяет. {\bf \purple Образ этого пути
$\pi(\gamma)$ -- петля в $\tilde M$, идущая из $x$ в $x$,}
но такая петля всегда стягиваема, поскольку $\pi_1(\tilde M, x)=0$.
Путь $\gamma$ является поднятием петли $\pi(\gamma)$,
и коль скоро $\pi(\gamma)$ стягиваема, $\gamma$ -- тоже
петля.  {\bf \purple Поэтому $y_1=y_2$, и $\pi^{-1}(x)$  состоит из одного элемента.}

\newpage

\begin{center}\ \\
\epsfig{file=../TOP16/helix-final.png,width=0.7\linewidth}\\
{\small Поднятие отображения $X\stackrel \psi \arrow M$ на накрытие}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
 
{\bf \blue Накрытие Галуа (повторение)}


{\bf\green Определение:}
Пусть $M_1, M_2$ -- топологические пространства, снабженные
непрерывными отображениями $\psi_1, \psi_2$ в $M$.
Напомним, что {\bf\blue  расслоенным произведением}
$M_1$ на $M_2$ над $M$ называется
подмножество $M_1\times_M M_2$, состоящее
из всех пар $(m_1, m_2)\in M_1\times M_2$, таких, 
что $\psi_1(m_1)=\psi_2(m_2)$. Мы рассматриваем 
$M_1\times_M M_2$ как подмножество в $M_1\times M_2$,
с индуцированной топологией.

{\bf\green Замечание:}
Обозначим за $\Psi:\; M_1\times M_2\arrow M\times M$
отображение $\Psi(m_1, m_2)  =(\psi_1(m_1),\psi_2(m_2)).$
Легко видеть, что $M_1\times_M M_2= \Psi^{-1}(\Delta)$,
где $\Delta\subset M\times M$ -- диагональ.
Поэтому, для $M$ хаусдорфова,
{\bf \purple расслоенное произведение -- замкнутое подмножество
в $M_1\times M_2$.}


{\bf\green Определение:}
Произведение накрытий $\tilde M \times_M \tilde M$ -- снова накрытие $M$.
{\bf \purple Легко видеть, что проекция $\tilde M \times_M \tilde M$ на $\tilde M$ --
тоже накрытие.} Напомним, что накрытие $[\tilde M:M]$ 
называется {\bf\blue  накрытием Галуа}, если
$\tilde M \times_M \tilde M$ расщепляется как накрытие
$\tilde M$.

{\bf\green Замечание:} Пусть $[\tilde M:M]$ -- универсальное накрытие.
{\bf \red Тогда $\tilde M \times_M \tilde M$
расщепляется, и $\tilde M$ -- накрытие Галуа.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
 
{\bf \blue Группа Галуа накрытия (повторение)}

{\bf\green Замечание:}  
Пусть $[\tilde M:M]$ -- универсальное накрытие.
Поскольку $\tilde M$ локально связно,
любое его накрытие локально связно. Локально
связное пространство состоит из несвязного объединения
своих компонент связности. {\bf \purple Поскольку все компоненты
связности $\tilde M \times_M \tilde M$ являются
связными накрытиями $\tilde M$, они ему изоморфны.}

{\bf\green Утверждение:} Мы получили, что
проекция каждой из компонент связности в $\tilde M \times_M \tilde M$
в $\tilde M$ -- гомеоморфизм, что по первому аргументу,
что по второму. {\bf \red Следовательно, каждая из этих компонент
является графиком автоморфизма накрытия $\tilde M$ над $M$.}

{\bf \green Доказательство:}  Пусть $X$ -- такая компонента, тогда
проекции на первый и второй аргумент $\sigma_1, \sigma_2:\; X \arrow \tilde M$
это гомеоморфизм. {\bf \purple В этом случае, $X$ -- это график автоморфизма
$\sigma_1^{-1} \circ \sigma_2:\; \tilde M \arrow \tilde M$.}

{\bf \green Определение:} Группа $\Aut[\tilde M: M]$ автоморфизмов
накрытия $\tilde M$ над $M$ называется {\bf \blue группой Галуа накрытия}.

\newpage
 
{\bf \blue Действие группы Галуа (повторение)}

{\bf\green Замечание:} Пусть $\pi:\; \tilde M\arrow  M$ -- 
накрытие Галуа. Мы только что получили, что 
{\bf \red $\tilde M \times_M \tilde M$ -- объединение графиков $\nu$,
для всех $\nu \in \Aut[\tilde M: M]$.}

{\bf\green Следствие:} Для каждого $m\in M$, и любой пары точек
$x, y \in \pi^{-1}(m)$, найдется автоморфизм $\nu$, графику
которого $\Gamma_\nu$ принадлежит точка $(x,y)\in \tilde M \times_M\tilde M$. 
В силу того, что $\nu$ переводит $x \in \tilde M$
в $\sigma_2(\sigma_1^{-1}(x,y))$, имеем $\nu(x)=y$

{\bf\green Замечание:}
Мы получили, что {\bf \red  $G=\Aut[\tilde M: M]$ транзитивно действует
на множестве $\pi^{-1}(m)$.} Поэтому $M = \tilde M /G$.

 Пусть теперь $[\tilde M:M]$ -- универсальное
накрытие, а $g\in \Aut[\tilde M: M]$  переводит 
$x\in \tilde M$ в $g(x)$.
Рассмотрим путь $\gamma$, соединяющий $x$ и $g(x)$.
Такой путь -- единственный, с точностью до гомотопии,
поскольку $\tilde M$ односвязно. Поскольку 
$\Aut[\tilde M: M]$ действует на $\pi^{-1}(m)$
транзитивно, класс гомотопии $\pi(\gamma)$ в 
$\pi_1(M)$ определен однозначно. {\bf \purple Это задает
гомоморфизм $G \arrow \pi_1(M, \pi(x))$. }

{\bf\green Утверждение:} {\bf \red  Этот  
гомоморфизм является изоморфизмом.}


\newpage
 
{\bf \blue Группа Галуа фундаментального накрытия 
(повторение)}

{\bf \green Теорема:} Пусть $\tilde M  \arrow M$ -- универсальное накрытие,
причем $M$ и $\tilde M$ связны, локально линейно связны,
и $\tilde M$ односвязно. Рассмотрим группу Галуа этого накрытия,
$G=Aut[\tilde M: M]$. {\bf \red Тогда $M = \tilde M /G$, причем
фундаментальная группа $M$ изоморфна $G$.}

{\bf \green Пример:}
Мы немедленно получаем, что {\bf \purple фундаментальная
группа окружности $S^1$ равна $\Z$.} Действительно,
$S^1= \R /\Z$, но $\pi_1(\R)=\{1\}$, так как $\R$
стягиваемо. Аналогичный аргумент показывает, что
$\pi_1(T^n)=\Z^n$, где $T^n=\R^n /\Z^n$ -- $n$-мерный тор.


{\bf \green Пример:} Пусть $G$ -- группа верхнетреугольных
матриц, а $G_\Z$ -- группа верхнетреугольных матриц
с целочисленными коэффициентами. Тогда $\pi_1(G/G_\Z)\cong G_\Z$.

{\bf \green Пример:} $\pi_1(\R P^n)= \Z/2\Z$, $n\geq 2$.


\newcommand{\Rep}{\operatorname{{\cal R}ep}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{{\cal C}ov}}
\newcommand{\Sets}{\operatorname{{\cal S}ets}}

\newpage
 
{\bf \blue Категория множеств с
действием группы }
 
{\bf \green Определение:}
Пусть $G$ -- группа, а $\Rep(G, \Sets)$ -- категория,
объекты которой -- множества с действием $G$, а морфизмы
-- отображения множеств, совместимые с действием $G$.
Эта категория называется {\bf\blue  категорией множеств с
действием $G$}. 

{\bf \green Конструкция функтора $\Rep(G, \Sets)\arrow \Cov(M)$.}\\
Предположим, что $G= Aut[\tilde M: M]$,
где $[\tilde M: M]$ -- универсальное накрытие $M$.
Для каждого множества $S$ с действием $G$, рассмотрим
произведение $\tilde M \times S$, где $G$ действует по 
формуле $g(m,s) = (g(m), g(s))$. Взяв дискретную топологию на $S$,
можно считать, что $\tilde M \times S$ -- топологическое
пространство, a $(\tilde M \times S)/G$ снабжено топологией фактора.

{\bf \green Утверждение:}  {\bf \red 
Это задает функтор $\Rep(G, \Sets)\stackrel \Psi\arrow \Cov(M)$
в категорию $\Cov(M)$ накрытий $М$.}

\newpage
 
{\bf \blue Категория накрытий}
 
{\bf \green Теорема:} {\bf \blue $\Rep(G, \Sets)\stackrel \Psi\arrow \Cov(M)$
это эквивалентность категорий.}

{\bf \green Доказательство:} Возьмем точку $m \in M$.
Пусть $M' \stackrel \sigma \arrow M$ --
накрытие $M$, а $S_{M'}:=\sigma^{-1}(m)$ -- его 
слой над $m$. Пусть $x \in S_{M'}$ --
любая точка, а $g\in G$ -- элемент фундаментальной группы.
Возьмем петлю $\gamma_g\in \Omega(M,m)$, представляющую
$g$, и пусть $\tilde \gamma_g$ -- ее поднятие в $m'$,
с начальной точкой в $x$. Поскольку конечная точка 
$\tilde \gamma_g(1)$ однозначно определяется $x$ и $g$,
отображение $g,x \arrow \gamma_g(1)$ корректно определено.
{\bf \blue Таким образом задается действие $G$ на $S_{M'}$.}

{\bf \red
Полученное соответствие $M' \arrow S_{M'}$ задает функтор
из $\Cov(M)$ в $\Rep(G, \Sets)$, обратный $\Psi$.}

Докажем это.

{\bf \green Шаг 1:} 
{\bf \purple Композиция $\Psi \circ\Phi$ переводит множество
с действием $G$ в то же самое множество, что ясно из определения.}

\newpage
 
{\bf \blue Категория накрытий (продолжение)}
 

{\bf \green Шаг 2:} 
Чтобы убедиться, что композиция $\Phi \circ\Psi$ переводит накрытие
в эквивалентное ему, {\bf \purple достаточно проверить это на связных
накрытиях.} Связные накрытия имеют вид $\tilde M/G'$,
для подгрупп $G'\subset G$ ("основная теорема теории 
Галуа для накрытий").  

{\bf \green Шаг 3:}
Применение функтора $\Phi$ к $M/G'$ дает множество
$\Phi(\tilde M/G')=G/G'$, а 
$\Psi(G/G') = (\tilde M \times G/G')/G= \tilde M/G'$.

{\bf \purple Значит, функтор $\Phi \circ\Psi$ эквивалентен
тождественному.} {\bf \red Мы доказали, что 
категории $\Rep(G, \Sets)$, $Cov(M)$
эквивалентны.}

{\bf \green Замечание.}
{\bf \red Каждое накрытие изоморфно факторнакрытию несвязной
суммы нескольких копий универсального:
$M' = \coprod_i \tilde M/G_i$}

В соответствие такому накрытию можно поставить
множество $S = \coprod_i G/G_i$
с естественным действием $G$. Это задает эквивалентность\\
$\Cov(M)\arrow \Rep(G, \Sets)$  чуть более
явно.

\newpage
 
{\bf \blue Как восстановить фундаментальную группу \\по 
категории накрытий}
 
{\bf \green Утверждение.} \\
Пусть $G$ -- группа, а $\Rep(G, \Sets)$ -- категория
множеств с действием $G$. Рассмотрим  $G$
как объект $\Rep(G, \Sets)$, то есть множество с действием
$G$, определенным формулой $(g, x)\arrow gx$. 
{\bf \red Тогда все морфизмы из $G$ в себя обратимы,
и группа $\Aut(G)=\Mor(G,G)$ изоморфна $G$.}

{\bf \green Доказательство:} \\ 
Пусть $\nu_x\in \Mor(G, G)$ переводит $1$ в $x$.
Тогда $\nu_x(g1) = g(\nu_x(1))= gx$. {\bf \purple Такой морфизм,
очевидно, биективен, а композиция  $\nu_x\nu_y$ равна $\nu_{xy}$.}

{\bf \green Теорема.} \\ {\bf \red Группа $G$ однозначно
восстанавливается по категории $\Rep(G, \Sets)$:} если
категории $\Rep(G_1, \Sets)$, $\Rep(G_2, \Sets)$
эквивалентны, то группы $G_1, G_2$ изоморфны.

\newpage
 
{\bf \blue Как восстановить фундаментальную группу \\по 
категории накрытий (продолжение)}
 


{\bf \green Лемма.}\\ 
  Пусть $\bar G \in \Ob(\Rep(G, \Sets))$
-- объект $\Rep(G, \Sets)$, который обладает следующими
свойствами.

{ \green\bf
 1. Все морфизмы из $\bar G$ в себя являются изоморфизмами.

2. Для любого $X\in \Ob(\Rep(G, \Sets))$, множество
$\Mor(\bar G, X)$ непусто.}


{\bf \red Тогда $\bar G$ изоморфен $G$ как объект $\Rep(G, \Sets)$.}

{\bf \green Замечание:} Из этой леммы сразу следует, что
группу $G$ можно однозначно восстановить по категории $\Rep(G, \Sets)$.

{\bf \green Доказательство леммы. \\ Шаг 1:}
Все объекты $\Rep(G, \Sets)$ получены
объединением непересекающихся орбит действия $G$.
Каждая такая орбита имеет вид $G/G'$, где $G'$ -- стабилизатор
точки. {\bf \purple Нетривиальные морфизмы между орбитами
$G/G_1$ и $G/G_2$ возможны, только если
$G_2\supset G_1$.}

\newpage
 
{\bf \blue Как восстановить фундаментальную группу \\по 
категории накрытий (доказательство леммы)}
 
{\bf \green Шаг 2:} Поскольку $\Mor(\bar G, X)$ всегда 
непусто, {\bf \purple $\bar G$ -- объединение орбит вида $G/G_i$,
среди которых хотя бы одна изоморфна $G$.}

{\bf \green Шаг 3:} Пусть $\bar G$ содержит две орбиты $X_1,
X_2$, причем $X_1$ изоморфна $G$. Рассмотрим морфизм из $\bar G$
в себя, тождественный на всех орбитах, кроме  $X_1$, и
отображающий $X_1$ в $X_2= G /G'$ (такой морфизм существует
в силу Шага 1).  Такой морфизм не биективен, значит, 
он не может быть изоморфизмом.

{\bf \green Шаг 4:}
{\bf \purple Мы получили, что $\bar G$ состоит из одной орбиты
(шаг 3), причем эта орбита изоморфна $G$ (шаг 2).}
 {\bf \red Это доказывает, что $\bar G$ изоморфно $G$.}

\newpage
 
{\bf \blue Свободное произведение групп}
 

Пусть $\{G_\alpha\}= \{G_1, G_2, ...\} $ -- набор групп. Рассмотрим множество,
состоящее из последовательностей (слов) вида
$g_1g_2g_3...g_n$, составленных из букв 
$g_i\in G_\alpha$.

Пусть $G_1 * G_2 * G_3 * ...$ получено из этого множества факторизацией
по соотношениям вида
\[
g_1g_2...g_ig_{i+1}g_{i+2}...g_n\sim g_1g_2...g_ig_{i+2}...g_n
\]
если $g_{i+1}=1$ \\ {\bf \green (можно выкинуть из слова букву $g_{i+1}$, если
$g_{i+1}$ равно 1),} и 
\[
g_1g_2...g_{i-1}g_ig_{i+1}g_{i+2}...g_n\sim 
g_1g_2...g_{i-1}(g_ig_{i+1})g_{i+2}...g_n
\]
если $g_i, g_{i+1}\in G_\alpha$
{\bf \green (можно сгруппировать последовательно идущие 
буквы $g_i, g_{i+1}$ в $(g_ig_{i+1})$, если
они обе принадлежат одной и той же группе
$G_\alpha$).}

\newpage

{\bf \blue Свободная группа}
 

Элементы $G_1 * G_2 * G_3 * ...$  можно умножать:
$g_1g_2...g_n \cdot
g'_1g'_2...g'_{n'}:=g_1g_2...g_ng'_1g'_2...g'_{n'}.$\\
{\bf \purple Такое умножение, очевидно, ассоциативно.}

Легко видеть, что $  g_1g_2...g_n
  g_n^{-1}... g_2^{-1}g_1^{-1}=1.$\\
{\bf \red Значит, $G_1 * G_2 * G_3 * ...$ это группа.}

{\bf \green Определение:}
Группа $\coprod_\alpha G_\alpha =G_1 * G_2 * G_3 * ...$ 
называется {\bf\blue  свободным произведением},
или же {\bf\blue  амальгамой}, или же {\bf\blue  копроизведением} групп
$\{G_\alpha\}= \{G_1, G_2, ...\} $

{\bf \green Замечание:}
Легко видеть, что естественное отображение любого 
сомножителя в свободное произведение,
$G_0 \arrow \coprod_\alpha G_\alpha$, 
$g_0 \arrow g_0$ является вложением.

{\bf \green Определение:} Копроизведение
$\Z * \Z * \Z * ... *\Z$ ($n$ раз) называется 
{\bf\blue  свободной группой от $n$ образующих}. 
Копроизведение вида
$\coprod_\alpha G_\alpha,$ где все $G_\alpha\cong \Z$,
называется {\bf\blue  свободной группой}.


\newpage

{\bf \blue Универсальное свойство свободного произведения}
 

{\bf \green Универсальное свойство свободного произведения:}\\
Пусть $G$, $H$ -- группы, $G*H$ их свободное произведение,
а $G \stackrel \iota \hookrightarrow G*H$, 
$H\stackrel \iota \hookrightarrow G*H$ -- естественные
вложения. {\bf \red Тогда каждая пара гомоморфизмов $G\stackrel \phi\arrow P$,
$H\stackrel \psi\arrow P$ в группу $P$ продолжается  
до гомоморфизма $G*H\stackrel {\phi*\psi}\arrow P$ таким образом, что
следующая диаграмма коммутативна:}
\[
\xymatrix @R16mm @C25mm {
G\ar[rd]^\iota\ar[rdd]_\phi &&  H\ar[ld]_\iota\ar[ldd]^\psi\\
& G*H \ar[d]^{\phi*\psi}&\\
&P&}
\]
Более того, гомоморфизм $\phi*\psi$
определяется отображениями $\psi$ и $\psi$
однозначно.

{\bf \green Доказательство:}  $\phi*\psi(g_1h_1g_2h_2...g_nh_n)=\phi(g_1)\psi(h_1)\phi(g_2)\psi(h_2)...\phi(g_n)\psi(h_n).$

{\bf \green Замечание:} 
{\bf \purple Универсальное свойство свободного произведения 
можно взять в качестве определения $G*H$.}

\newpage


\begin{center}
\epsfig{file=von-Dyck.jpg,width=0.37\linewidth}\\
{Walther Franz Anton von Dyck\\
(1856-1934)}
\end{center}


\newpage

{\bf \blue Теорема Зейферта--ван Кампена}

{\bf \green Теорема Зейферта--ван Кампена.} \\
Пусть $M=X\cup Y$ -- объединение топологических
пространств $X$ и $Y$, причем $X,Y$ локально 
связные, локально односвязные, замкнутые в $M$ и связные,
а $X \cap Y$ связно и односвязно.
Тогда $\pi_1(M)$ изоморфно свободному
произведению $\pi_1(X) * \pi_1(Y)$.


{\bf \green Доказательство. Шаг 1:}
{\bf \purple Категория $\Rep(G*H, \Sets)$ эквивалентна категории $\cac$
множеств, на которых задано действие $G$ и $H$} (априори,
никак не согласованное). Функтор из $\Rep(G*H, \Sets)$
в $\cac$ переводит $S$ в то же самое множество $S$, где
действие $G$ и $H$ определяется из вложений $G \hookrightarrow G*H$,
$H \hookrightarrow G*H$. Обратный функтор определяется
из того, что для каждого множества $I$ с действием $G$ и $H$
заданы гомоморфизмы $G, H \arrow \Sigma_I$, где $\Sigma_I$ --
группа биективных отображений из $I$ в $I$. В силу универсального
свойства $G*H$, такие гомоморфизмы однозначно продолжаются до гомоморфизма
$G*H \arrow \Sigma_I$. 

\newpage

{\bf \blue Теорема Зейферта--ван Кампена (продолжение)}

{\bf \green  Шаг 2:}
Группа $G$ однозначно задается своей категорией $\Rep(G, \Sets)$.
Поэтому для изоморфизма $\pi_1(M)\cong \pi_1(X) * \pi_1(Y)$,
достаточно убедиться, что категория накрытий $M$
эквивалентна $\Rep(\pi_1(X) * \pi_1(Y), \Sets)$.
В силу предыдущего шага, эта категория эквивалентна
категории $\cac$ множеств с действием $\pi_1(X)$ и $\pi_1(Y)$.
{\bf \purple Таким образом, теорема Зейферта--ван Кампена будет доказана,
если мы докажем, что категория $\Cov(M)$ накрытий $M$ эквивалентна $\cac$.
}

{\bf \green  Шаг 3:} Пусть $\tilde M\stackrel\sigma\arrow M$ -- накрытие $M$.
Соответствующие накрытия $\tilde X = \sigma^{-1}(X)\arrow X,$
$\tilde Y = \sigma^{-1}(Y)\arrow Y$ называются {\bf\blue 
ограничениями $\tilde M$ на $X$ и $Y$}.  Для каждой точки
$m \in  X\cap Y$, прообраз $\sigma^{-1}(m)\subset \tilde X$
наделен действием $\pi_1(X)$ 
Прообраз $\sigma^{-1}(m)\subset \tilde Y$
наделен действием $\pi_1(Y)$, по той же самой причине.
{\bf \purple Мы получили, что $\tilde M \arrow \sigma^{-1}(m)$
задает функтор $\Cov(M) \stackrel \Psi\arrow \cac$.}
Осталось доказать, что это эквивалентность.

\newpage

{\bf \blue Теорема Зейферта--ван Кампена (окончание)}

{\bf \green  Шаг 4:} Пусть $S \in \Ob(\cac)$ -- множество
с действием $\pi_1(X)$ и $\pi_1(Y)$,
а $\tilde X\stackrel {\sigma_X} \arrow X$,
$\tilde Y\stackrel {\sigma_Y} \arrow Y$ -- соответствующие
накрытия. Поскольку $X\cap Y$ связно, локально связно 
и односвязно, 
\[ 
  \sigma^{-1}_X(X\cap Y)= \sigma^{-1}_Y(X\cap Y)= X\cap Y\times S,
\]
 где $S$ -- множество связных компонент $\tilde S$.
Пусть $x \in \tilde X, y\in \tilde Y$,
причем $x\in \sigma^{-1}_X(X\cap Y)$
равен $y\in \sigma^{-1}_Y(X\cap Y)$
при этом отождествлении. В таком случае
мы напишем $x\sim y$. Пусть 
$\tilde M= \tilde X \coprod \tilde Y/\sim$ -- фактор
по отношению эквивалентности, определенному
таким способом. Прообраз
$\sigma^{-1}(U)$ по построению гомеоморфен $U \times S$,
если $\sigma_X$, $\sigma_Y$ расщепляется 
над $U\cap X$, $U\cap Y$. {\bf \purple Поэтому $\tilde M$ -- накрытие.}
{\bf \red Мы построили функтор из $\cac$ в $\Cov(M)$, который обратен
$\Cov(M) \stackrel \Psi\arrow \cac$.}

Мы доказали, что категория $\Cov(M)$ накрытий
$M$ эквивалентна категории $\cac$ множеств с действием
$\pi_1(X)$ и $\pi_1(Y)$. На шаге 1 было доказано, что
$\cac$ эквивалентна категории $\Rep(\pi_1(X) * \pi_1(Y), \Sets)$. 
С другой стороны, $\Cov(M)$ эквивалентна $\Rep(\pi_1(M), \Sets)$.
{\bf \red Значит, группы $\pi_1(X) * \pi_1(Y)$ и $\pi_1(M)$ изоморфны.}

\newpage

{\bf \blue Теорема Зейферта--ван Кампена (обобщение)}


{\bf \green Замечание.} \\
В аналогичных предположениях,
если $M= \bigcup M_i$, причем все частичные
пересечения $M_{i_1}\cap M_{i_2} \cap ...$
односвязны, имеем $\pi_1(M) \cong \pi_1(M_1) * \pi_1(M_2) *...$
Это доказывается точно так же.

\begin{center}
\epsfig{file=Van_Kampen.jpg,width=0.29\linewidth}\\
{ Egbert Rudolf van Kampen\\
(1908-1942)}
\end{center}


\newpage






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Топология, лекция 18: \\ Фундаментальная
группа графа \\ и теорема Нильсена-Шрайера\\[3mm] }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ \\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 28 апреля, 2008\\
Независимый Университет}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

{\bf \blue Топологическое пространство графа}


{\bf \green Определение:} 
{\bf\blue  Графом} называется набор вершин и набор ребер,
причем каждому ребру соответствует две вершины
(возможно, одинаковые), которые называются его {\bf\blue 
концами}, или {\bf\blue  концом и началом}, причем
каждая вершина является концом хотя бы одного из ребер.
Если двум ребрам соответствует одна и та
же вершина, эти ребра называются {\bf\blue  смежными},
а вершина -- {\bf\blue  общей вершиной} ребер.
Граф называется {\bf\blue  конечным}, если число
его ребер и вершин конечно.

{\bf \green Замечание:} С каждым графом ассоциировано топологическое
пространство: набор отрезков, соединяющих набор 
отмеченных точек -- вершин.


{\bf \green Определение:} Пусть $\Gamma$ -- граф, а $S$ -- множество его ребер.
Рассмотрим $S$ как пространство с дискретной топологией,
и пусть $X:= S \times [0,1]$ -- несвязное объединение
$S$ копий отрезка. В этом случае $x= s \times \{1\}$ или $x= s \times \{0\}$ --
точки $X$, соответствующая началу или концу отрезка.
Если у ребра $s_1$ и у ребра $s_2$ имеется общий конец, напишем
$x_1\sim x_2$, где $x_i= s_i \times \{1\}$ или $x_i= s_i \times \{1\}$
соответствующие точки $X$. {\bf\blue  Топологическим
пространством графа} называется факторпространство
$X/\sim$ по такому соотношению эквивалентности.

\newpage

{\bf \blue Букет окружностей}


{\bf \green Определение:}
Пусть $\Gamma$ -- связный граф, у которого есть всего
одна вершина и $|I|$ ребер. Его топологическое пространство называется
{\bf\blue  букетом $|I|$ окружностей}. Оно имеет вид ромашки
сделанной из нескольких (возможно, бесконечного числа)
окружностей.
\begin{center}
\epsfig{file=buket.png,width=0.25\linewidth}\\
{\small Букет четырех окружностей}
\end{center}
Из  теоремы Зейферта--ван Кампена немедленно получаем

{\bf \green Теорема:}
{\bf \red Фундаментальная группа букета окружностей свободна.}

\newpage

{\bf \blue Гомотопическая эквивалентность и ретракты}

{\bf \green Определение:}
Напомним, что топологическое пространство
$X$ называется {\bf\blue  деформационным ретрактом}
$Y \supset X$, если задано непрерывное отображение
$Y \stackrel j \arrow X$, тождественное на $X \subset Y$,
причем $j$ гомотопно тождественному отображению $\Id_Y$
из $Y$ в себя.

{\bf \green Определение:}
Напомним, что топологические пространства $X$ и $Y$ называются
{\bf\blue  гомотопически эквивалентными},
если заданы непрерывные отображения $X \stackrel \phi \arrow Y$
и $Y \stackrel \psi\arrow X$, причем композиции
$\psi\circ \phi$ и $\phi \circ \psi$ гомотопны
тождественным.

{\bf \green Замечание:} {\bf \red Любое пространство
гомотопически эквивалентно своему деформационному
ретракту, а фундаментальные группы гомотопически
эквивалентных пространств изоморфны.}


\newpage

{\bf \blue Конечные деревья}


{\bf \green Определение:} Граф называется {\bf\blue
связным}, если его топологическое пространство связно.
Конечный связный граф называется {\bf\blue  конечным деревом}, если
у него $n$ вершин и $n-1$ ребер.
\begin{center}
\epsfig{file=derevo.png,width=0.30\linewidth}\\
{\small Дерево с 22 вершинами и 21 ребром}
\end{center}

\newpage

{\bf \blue Подграфы}

{\bf \green Определение:} Пусть $\Gamma$ -- граф, а
 $\Gamma'$ -- граф, множества ребер и вершин которого
являются подмножествами в множестве
ребер и вершин $\Gamma$, причем концы
сответсвующих ребер в $\Gamma$ и $\Gamma'$ те же.
  Тогда $\Gamma'$
называется {\bf\blue  подграфом} $\Gamma$.

{\bf \green Определение:}
{\bf\blue  Валентность} вершины графа -- количество ребер, 
которые с ней соединены. Вершина валентности 1
вместе с ее ребром называется {\bf\blue  висячей}.

{\bf \green Лемма:}
Пусть $\Gamma'\subset \Gamma$ -- подграф, полученный
из $\Gamma$ выбрасыванием висячего ребра $l$ и одной вершины. 
{\bf \red Тогда $\Gamma'$ является
деформационным ретрактом $\Gamma$.}

\begin{center}
\epsfig{file=vybrosili.png,width=0.32\linewidth}
\end{center}

\newpage

{\bf \blue Выбрасывание висячего ребра}


{\bf \green Доказательство:} 
Пусть $s$ -- второй (невыкинутый) конец ребра $l$.
Рассмотрим отображение $\psi:\; \Gamma\arrow \Gamma'$,
переводящее $l$ в $s$, и тождественное на $\Gamma'$.
Пусть $\psi_t$ действует тождественно на $\Gamma'$,
и переводит $\lambda\in [0,1]=l$ в $t\lambda \in l$.
{\bf \purple Легко видеть, что $\psi_t$ непрерывно,
$\psi_0=\psi$, а $\psi_1=\Id_\Gamma$.}
Поэтому $\Gamma'$ -- деформационный ретракт.

{\bf \green Утверждение:} 
{\bf \red Конечное дерево стягиваемо} \\(т.е. гомотопически эквивалентно точке).

{\bf \green  Доказательство:} Поскольку валентность каждой
вершины $\geq 1$, а вершин больше, чем ребер, 
найдется вершина с валентностью 1. Выкинем ее,
получим дерево, гомотопически эквивалентное исходному,
воспользуемся индукцией.


\newpage

{\bf \blue Деревья}


{\bf \green Определение:}
Связный граф называется {\bf\blue  деревом}, если
любой его конечный, связный подграф является
конечным деревом.

{\bf \green Утверждение:} 
Пусть $\Gamma$ -- дерево. Тогда $\Gamma$ односвязно.

{\bf \green Доказательство. Шаг 1:} 
{\bf \purple  Путь, идущий по дереву из вершины $x$ в вершину
$y$, не заходя ни в какую другую вершину, гомотопен
пути, идущему по ребру $[x,y]$.} В самом деле,
пусть $\Gamma_{x,y}$ -- граф, состоящий из всех
ребер $\Gamma$ с концом в $x$ и в $y$.
Поскольку $\Gamma$ это дерево, $\Gamma_{x,y}$ -- тоже
дерево, и все его ребра, кроме $[x,y]$, висячие.
Поэтому $[x,y]$ -- деформационный ретракт
$\Gamma_{x,y}$. Взяв композицию $\gamma$ с ретракцией,
получим путь, идущий по ребру $[x,y]$, и гомотопный
$\gamma$.

{\bf \green Шаг 2:} Мы получили, что любая петля в $\Gamma$
гомотопически эквивалентна петле, которая обходит
вершин $v_1, v_2, v_3, ..., v_n$ по ребрам
$[v_1, v_2]$, $[v_2, v_3]$, ...
{\bf \purple  Значит, любая петля гомотопна петле, которая 
обходит конечный подграф $\Gamma' \subset \Gamma$.} {\bf \red Но конечные,
связные подграфы $\Gamma$ стягиваемы, значит,
все такие петли тоже стягиваемы.}


\newpage

{\bf \blue Конечные унициклические графы}


{\bf \green Определение:}
Конечный, связный граф называется 
{\bf\blue  унициклическим}, если у него $n$ вершин
и $n$ ребер.

{\bf \green Замечание:}
Пусть $\Gamma$ -- связный граф без висячих вершин,
имеющий $n$ ребер и $m$ вершин.
Поскольку каждое ребро соединяет две вершины,
и к каждой вершине присоединяются как минимум
два ребра, имеем $n \geq m$, причем равенство
имеет место, только если все вершины $\Gamma$
имеют валентность 2.


{\bf \green Следствие:}
Пусть $\Gamma$ -- конечный унициклический
граф без висячих вершин. Тогда все вершины $\Gamma$
двухвалентные. Более того, {\bf \red $\Gamma$ гомеоморфен окружности.}

{\bf \green Доказательство:} 
Пусть $s$ -- вершина,
к которой примыкают ребра $[x,s]$ и $[s,y]$.
{\bf \purple Легко видеть, что $\Gamma$ гомеоморфен графу,
полученному из $\Gamma$ выкидыванием вершины $s$
и заменой ребер $[x,s]$ и $[s,y]$ на $[x,y]$.}

Воспользовавшись индукцией, получим, что
$\Gamma$ гомеоморфен унициклическому графу
с одной вершиной и одним ребром, то есть
окружности.

\newpage

{\bf \blue Конечные унициклические графы (продолжение)}

\begin{center}
\epsfig{file=unicycle-simple.png,width=0.30\linewidth}\\ 
{\small Унициклический граф  без висячих ребер 
из $n$ ребер, $n$ вершин  гомеоморфен  унициклическому графу
из  $n-1$ ребер, $n-1$ вершин}
\end{center}

{\bf \green Следствие:}
{\bf \red Пусть $\Gamma$ -- конечный унициклический граф. Тогда $\Gamma$
гомотопически эквивалентентен окружности.}

{\bf \green Доказательство:} Пусть $\Gamma'$ получен из $\Gamma$
выкидыванием висячего ребра. Тогда $\Gamma'$ является деформационным
ретрактом $\Gamma$, значит, гомотопический эквивалентен $\Gamma$.
Будем выкидывать висячие ребра, пока они не кончатся,
получим унициклический граф без висячих ребер, 
гомеоморфный окружности.

{\bf \green Замечание:} 
Аналогичный аргумент доказывает, что {\bf \red любой связный граф,
у которого  $n$ вершин
и $n+k$ ребер, гомотопически эквивалентен букету
$k+1$ окружностей.} В частности, фундаментальная
группа конечного графа всегда свободна.

\newpage

{\bf \blue Бесконечные унициклические графы}

{\bf \blue Утверждение:} 
Пусть $\Gamma_1$ -- дерево, полученное
из графа $\Gamma$ выкидыванием одного
ребра. Предположим, что $\Gamma$ -- не дерево.
{\bf \red Тогда $\pi_1(\Gamma) = \Z$.}

{\bf \green Доказательство. Шаг 1:}
Поскольку $\Gamma$ -- не дерево,
в $\Gamma$ содержится конечный подграф $\Gamma_1$, у которого
$n$ вершин и $n+k$ ребер, $k\geq 0$.
Поскольку выкидывание одного ребра $l$ превращает
$\Gamma_1$ в дерево, $k=0$, и {\bf \purple 
граф $\Gamma_1$ -- унициклический. }

{\bf \green  Шаг 2:}
Пусть $\Gamma\backslash l$, $\Gamma_1 \backslash l$ -- графы, полученные
из $\Gamma$, $\Gamma_1$ выкидыванием $l$. 
Тогда $\Gamma$ получен объединением $\Gamma_1$
и $\Gamma\backslash l$, причем их пересечение
$\Gamma_1 \backslash l$ является деревом,
следовательно, односвязно.

{\bf \purple Применив теорему Зейферта--ван Кампена,
получим, что \\ $\pi_1(\Gamma) = \pi_1(\Gamma_1) * \pi_1(\Gamma\backslash l)$.
}

{\bf \green  Шаг 3:} 
Поскольку $\Gamma\backslash l$ дерево, оно односвязно, значит,\\
$\pi_1(\Gamma) = \pi_1(\Gamma_1)=\Z$.


\newpage

{\bf \blue Остов графа}


{\bf \green  Определение:}
Пусть $\Gamma$ -- связный граф. {\bf\blue  Остовом}
$\Gamma$ называют максимальный подграф $\Gamma'\subset \Gamma$,
который является деревом.

{\bf \green  Замечание:}
Слово {\bf\blue  максимальный} в этом определении надо понимать так:
при добавлении любого ребра к $\Gamma'$, он перестает быть деревом.
Применив лемму Цорна, {\bf \red легко убедиться, что у каждого графа есть
остов.}


{\bf \green  Теорема:} Пусть $\Gamma$ -- связный 
граф. {\bf \red Тогда группа $\pi_1(\Gamma)$ свободна.}


{\bf \green Доказательство. \\Шаг 1:}
Пусть $\Gamma'\subset \Gamma$ -- остов $\Gamma$,
полученный из $\Gamma$ выкидыванием ребер $l_\alpha$, 
$\alpha\in I$, а $\Gamma_{l_\alpha}$ -- объединение
$\Gamma'$ и $l_\alpha$. {\bf \purple
Тогда $\pi_1(\Gamma_{l_\alpha})=\Z$.}

{\bf \green Шаг 2:}Применяя теорему
Зейферта--ван Кампена, получаем
\[
\pi_1(\Gamma) = \coprod_{\alpha\in
I}\pi_1(\Gamma_{l_\alpha}) = \coprod_{\alpha\in
I} \Z.
\]

\newpage

{\bf \blue Теорема Нильсена-Шрайера}


{\bf \green Теорема Нильсена-Шрайера:}
{\bf \red Пусть $F$ -- свободная группа, а $G\subset F$ -- ее
подгруппа. Тогда $G$ свободна.}

{\bf \green Доказательство:} Группу
$F$ можно получить как фундаментальную группу пространства
$M$, гомеоморфного букету окружностей. Пусть $\tilde M$ --
универсальное накрытие $M$, снабженное естественным
действием $F$, а $M_G= \tilde M/G$ -- его фактор по $G$.
Легко видеть, что $M_G$ это граф (проверьте это). 
Поскольку $\tilde M \arrow M_G$ -- универсальное накрытие,
$\pi_1(M_G) =G$. {\bf \purple Значит $G$ -- фундаментальная группа
графа, а такая группа свободна.}


 \end{document}



