

\documentclass[11pt]{book}

\usepackage{amsmath, amssymb, amscd, russcorr, theorem, fancyhdr, epsfig}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}

\newcommand{\version}{version 3.1,\ \   02.05.2008}

\setlength{\headheight}{15pt}
\pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny ���, ����� 2008, ������
����, ������ 3-4} 
\cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version}
\rhead{{\small  ���� ���������}}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  equations                          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\@addtoreset{footnote}{section}
\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  listki-new.tex                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{\sf char}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
%        \writevedomost{\string\mc{\thezadacha} \string & \string & \string 
%        \\ \string \hline}
   }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
   \writevedomost{\string\mc{\thezadacha ##3}  \string & \string \grd \string & \string\grp
   \string \\ \string \hline}
    }}
\endgroup

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{zadacha}{������}[chapter]

\begingroup
\gdef\th@generic{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
     }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
    }}
\endgroup

\theoremstyle{generic}

\newtheorem{opredelenie}[zadacha]{�����������}
\newtheorem{ukazanie}[zadacha]{��������}
\newtheorem{zamechanie}[zadacha]{���������}

\renewcommand{\labelenumi}{\ralph{enumi}.}


\newcommand{\listok}[2]{%
\setcounter{page}{1}
\renewcommand{\@oddhead}{\hfil #2 \hfil}
\renewcommand{\@evenhead}{\hfil #2 \hfil}
\section*{#2}
\refstepcounter{section}
\setcounter{section}{#1}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% VEDOMOST GENERATION
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newwrite\Vedomost
%\immediate\openout\Vedomost = \jobname.vdm
%\newcommand{\writevedomost}[1]{\immediate\write\Vedomost{ #1 }}
\newcommand{\writevedomost}[1]{}

\def\grd{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\dtt}}\vphantom{666}}
\def\grp{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\pdp}}\vphantom{666}}

\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%   Chapter                         %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



  \renewcommand{\chapter}{%
     \secdef\ChapterNumbered\ChapterStarred}

  \def\ChapterNumbered[#1]#2{%
      \addcontentsline{toc}{chapter}{\thechapter. #1}
      \refstepcounter{chapter}
      {
\vspace{\baselineskip}
\chaptermark{#2}
          { {{\noindent\bf\huge \thechapter. \ #2\par}}}
      }
    \vspace{\baselineskip}
}

  \newcommand{\ChapterStarred}[1]{%
      \refstepcounter{chapter}
      \chaptermark{#1}%
      \vspace{\baselineskip}}

  \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{#1}}
                             



\newcommand{\������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ������ \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\�����}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ����� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\�������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ������� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ����������� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}

\def\�����{\hfill}
\def\��������{\noindent}
\def\��{\bf}
\def\��{\em}
\def\��{\it}
\def\������{\begin{zadacha}}
\def\��{\end{zadacha}}
\def\���������{\begin{zamechanie}}
\def\���{\end{zamechanie}}
\def\��������{\begin{ukazanie}}
\def\��{\end{ukazanie}}
\def\eu{\end{ukazanie}}
\def\�����������{\begin{opredelenie}}
\def\��{\end{opredelenie}}
\def\eo{\end{opredelenie}}
\def\goth{\mathfrak}
\def\����{\begin{enumerate}} 
\def\��{\end{enumerate}}
\def\ee{\end{enumerate}}
\def\����{\item $\bullet$ %
    \writevedomost{\string & \ralph{enumi} \string &\string & \string \\ \string \hline } }

\begin{document}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{chapter}{2}
\lhead{{\scriptsize  ���������, ������ 3}}
\chapter{���������, ������ 3: \\�������� � �����������\\ �������������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{������� �����-������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

����� $M$ -- ����������� ������������.
��������, ��� �������� ������������ $M$  --��� 
����������� ������ ����� �������� �����. 
����, ��� ����������� ������ ����� �������� �����������
�������.

\�����������
����� �������� ����������� $\{U_\alpha\}$ � $M$
���������� {\�� ��������� $M$}, ���� $M = \bigcup_\alpha U_\alpha$.
{\�� ������������} �������� $\{U_\alpha\}$
���������� ����� ������������ $\{U_\alpha\}$,
������� ���� �������� ���������.
\��

\�����������
������������ $M$ ���������� {\�� ����������},
���� �� ������ �������� $M$ ����� ������� ��������
�����������. 
\��


\�����������
������������ $M$ ���������� {\�� ������������� ����������},
���� ����� ������������������ ����� $\{x_i\}$ � $M$
����� ���������� ���������������������.
\��

\�����

\�������
(������� �����-������)\\
����������� ������������ ��������� ����� � ������ �����,
����� ��� ������������� ���������.

\�����

\noindent
{\�� ��������������}\\
������� �� ������� ������������ ��������������
������ �� �����.  ��������, ��� {\�� ������������}
����� $x\in M$ ���������� ����� �������� ���������,
���������� $x$. ����� $x$ �������� ���������� ������
������������������ $\{x_i\}$ ����� � ������ �����, ����� � �����
����������� $x$ ����������  �������  $\{x_i\}$. 
����� $\{x_i\}$ - ������������������,
�� ������� ���������� �����.

��� ������� $x\notin \{x_i\}$,
��������� ����������� $x$ �� �������� ���������
$\{x_i\}$. ����������� $U$ ���� ����� ������������ 
�������, � ��������� � ����������� $M \backslash \{ x_i\}$.
���� � ������� $x_i$ ����������� $U_i$, ������� �� ��������
������ ��������� $\{x_i\}$, ������� ��������
$\{U, U_i\}$, ������� �� �������� ��������� �����������.

�������������� ����������\footnote{���������� ���� ``�� �����������
$A$ ������� ����������� $B$" ���������� �����������.}
\[\text{
(�������������� ������������) $\Rightarrow$ (������� ������������)}
\]
����� ���������. 


\�����

\�����
����� $M$ - ������������� ���������� ����������� ������������,
� $f:\; M \arrow \R$ ����������� �������. ����� ��������
� ������� $f$ �� $M$ �������. ����� ����, ���� �����
$x$, $y$ �����, ���
\[
f(x) = \sup_{z\in M} f(z), \ \ \ \ f(y) = \inf_{z\in M} f(z).
\]
{\bf ��������������:} ����� $\{x_i\}$ ������������������
����� �����, ��� 
\[
\lim f(x_i) = \sup_{z\in M} f(z).
\]
�� �������������� ������������ �������, ��� $\{x_i\}$ 
�������� ���������� ��������������������� $\{x_i'\}$. ���������
�� ������ �� $x$. ��������� $f$ ����������, $f$ ��������� 
������� �������������������, � ������� $\lim f(x_i')= f(x)$.
�� ��������, ��� $f(x)= \sup_{z\in M} f(z)$.
�������������� ��� �������� ����������.
\endproof

\�����

� ����������� ��������� ������ ������� ��������� �������.

\����������� 
����� $(M_1, d_1)$ � $(M_2, d_2)$ - �����������
������������, � $C>0$ - ������������ �����. 
����������� $f:\; M_1 \arrow M_2$ ���������� {\��
$C$-����������} ($C$-Lipshitz map) ���� ��� �����
$x, y\in M_1$, ����� ����� �����������
\[
d_2(f(x),f(y)) \leq C d_1 (x, y).
\]
������� $f:\; M \arrow \R$
�� ����������� ������������ ����������
{\bf $C$-����������}, ���� ��� $C$-��������� ��� �����������
�� $M$ � $\R$ � ������� ��������.
�����������, ������� �������� �����������
��� ��\-���-\-�� ��������� $C$, ����������
{\�� �����������}, ��� {\�� ������������
�� �������} (Lipschitz continuous).
\��

��������� ����������� ���������� ����������� � �����
��������� ���������� �������� �������, ������� �������. 
����� ������, ��� ��� ���������� (��������).


\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\epsfig{file=Lipschitz.eps,width=0.5\linewidth}\\
Rudolf Otto Sigismund Lipschitz \\
(1832 -- 1903)
\end{center}
\end{figure}

���������� $d_z(x) := d(z,x)$ 
�� ������������� ����� $z\in M$ �������� ����� ��
�������� ���������� �������. �������������,
$|d_z(x) - d_z(y)| \leq d(x,y)$, ��� ������� �� �����������
������������ (�������� ���).

������ �������� $C$-���������� ������� ��������
���������������� ������� $f:\; R \arrow \R$,
� $|f'|\leq C$ (��������).


��������, ��� $B_\rho(x)$
���������� �������� ��� ������� $\rho$ � ������� � $x$.

\�����

\�����
����� $M$ - ����������� ������������, � ${\cal U}:= \{ U_\alpha\}$
��� ��������. 
���������� �������
\begin{align*}
\rho_{\cal U}(x) := \sup_\rho \  &\{\rho \in \R \ \ |\ \ B_\rho(x) \text{\ \ ����������}\\ \ &\ \ \  
\text{� ����� �� ��������� �������� ${\cal U}$}\}.
\end{align*}
����� $\rho_{\cal U}$ 1-���������.

\�����

\noindent
{\�� ��������������:} ����� $y\in M$ - �����, ���������
�� $x$ �� $\epsilon$, � $\rho_{\cal U}(x)> \rho_0$.
� ���� ������, �������� ��� $B_{\rho_0}(x)$ ������� ����������
� ����� �� ��������� �������� ${\cal U}$.
�� ����������� ������������ �������, ���
$B_{\rho_0-\epsilon}(y)\subset B_{\rho_0}(x)$
(��������). ������� 
\[ 
  \rho_{\cal U}(y)\geq \rho_{\cal U}(x) - d(x,y)
\]
��������� ����������� ����������� ��� ���� $(y,x)$, �������� 
\[
d(x,y) \geq |\rho_{\cal U}(y) - \rho_{\cal U}(x)|.
\]
\endproof

\hfill

��������� ������� ����� ����������� �������.


\�����������
 {\�� $\epsilon$-�����} � 
����������� ������������ $M$ ����������
����� ������������ $V \subset M$, ��� $M$
����� � ����������� ���� $\epsilon$-����� � �������� � $V$.
$\epsilon$-���� ���������� {\�� ��������},
���� $V$ �������. 
\��

����� ���������, ��� � ��������������
�������� ���� �������� $\epsilon$-����,
��� ������� $\epsilon >0$. �������������, 
���� ����� ���� ���, �������� �����������
������������������ ����� $\{x_i\}$ �����, ���
������� $x_i$ �� ����� � ����������� $\epsilon$-�����
� �������� �� ���� ����������. �� ����� ������������������
�� ����� ��������� ���������� ���������������������,
������ ��� $d(x_i, x_j)\geq \epsilon$ ��� ���� $i\neq j$.

\hfill

�������� � �������������� ������� �����-������.

����� $M$ - ������������� ���������� 
����������� ������������, � ${\cal U}:= \{ U_\alpha\}$
��������� ��������. ��� ��������������
�����-������, ����� ��������, ��� ${\cal U}$ �������.

���������� ������� 
$\rho_{\cal U}:\; M \arrow \R$, ������������ ����.
��������� ����������� ������� �� ��������������
�������� ��������� �������, � $\rho_{\cal U}$
�� ���� ������ ������������, ����� 
$\rho_{\cal U}\geq{\rho_{\min}} >0$.
��� ������, ��� ��� ������ ����� $x\in M$,
${\rho_{\min}}$-��� � ������� � $x$ ����������
� ����� �� ��������� �������� ${\cal U}$.

������� � $M$ �������� $\rho_{\min}$-���� $V$
� ����� $\{B_i\}$ - ���� � �������� � ������ $V$,
������� $\rho_{\min}$. �� ����������� $\rho_{\min}$,
������ �� ���� ����� ����������
� ��������� �������� $U_i$ �������� ${\cal U}$.
�� ��������
\[
M = \bigcup B_i \subset \bigcup U_i,
\]
� ������, $\{U_i\}$ -- �������� ����������� ${\cal U}$.
�� �������� ������� �����-������. \endproof

\hfill

�����������, ������� �����-������ �������������
���: ``������ ���������, ������������ ������������ � $\R^n$
���������''. ��������� �� �� ����������� ������������ 
�����������, ��������, ������������ � �������,
������������ ���������� ������������ (��� ��������
�� ``������������'') � �������� �������� � �����������.


\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\ \\ \ \\
\epsfig{file=Borel.eps,width=0.5\linewidth}\\
\'Emile Borel\\
(1871 -- 1956)
\end{center}
\end{figure}

����� ������ �������������� ������� �����-������ 
����������� ������� (1862), ��� ����������� ������ $\R$.
������ �������  ������ ������ ����� (Heinrich Eduard Heine, 1821-1881)
����������� �������������� (��� ����������� 
������) � 1872-� ����. � 1895-� ����
 ����� ������  �������, ��� ����� {\�� �������} ��������
����������, ������������� ������������ $\R^n$
����� �������� �����������. ��� ��������� ��������,
�������������� ���� �������� ����� ������ �����
��������� (Arthur Moritz Sch\"onflies, 1900) � 
������� (1898, ������������ � 1904). �� 
������������� ���������� ������� �����-������
�������� ``������� ������-������" (Th\'eor\`eme de
Borel-Lebesgue).




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{������������ �����������: \\������ ���������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


����������� ������������ ���� ���������� �����
� 1906-� ���� ��� �������� �������������� ������� 
����������� �������, �� �� ������������� ������ ������� ��������������� 
������������ � ������������� ����������� ��� � ������. 
����� � ����� ��������, ��� � ������������� ������� ����� ���������
�� �� �������������� ������, ��� � � ��������������
��������. ����� ��������, ��� ������ �����������
����������� ������ ������� ����������� ��� 
����������� ��������� � ������ �������.
� ������� ������ �� ���������������
������� ��� ������� ������ �����������, 
�� � ��������� ������� ������������ ������������ 
���� �� ������� �������������� ������ �� 1980-�.

� ����� XIX ����, �������������� �������
����������� ������ ������ ������. ��� �����������
������� ���������� � ��������� ���������, � ���
�������� ����������������� ������. 

\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\epsfig{file=300px-Hausdorff_1913-1921.eps,width=0.50\linewidth}\\
Felix Hausdorff \\
(1868 -- 1942) 
\end{center}
\end{figure}

� 1914-� ���� ������ �������� �����������  �����
``Grundz\"uge der Mengenlehre'' (������ ������ ��������).
�������� ���������� ����� � �����, ��������
��������� ������� ��������������� ������������,
������� ����������� ������� � ������� ������,
������������ � ����������� ���������, �����������
��� ��� ���������� ��������� ������ ������������
������� ����������� �������.

\�����

\noindent
��������, ��� $2^M$ ���������� ��������� ���� ����������� � $M$.

\�����������
����� $M$ - ���������, � ${\cal U} \subset 2^M$
����� �����������, ���������� {\�� ���������}. 
�� �������, ��� ${\cal U}$ {\�� ������ ���������}
�� $M$, ���� 
\begin{description}
\item[(i)] ����� ����������� �������� ����������� �������
\item[(ii)] �������� ����������� �������� ����������� �������
\item[(iii)] $M$ � ������ ��������� $\emptyset$ �������.
\end{description}
� ����� �������� $M$ ���������� {\�� �������������� �������������}.
\��

���������, ��� ���� ������� ���������� ���������
������ ���������� ��� ����������� �������� �������
��������� ��������: ������������ �����������,
�������, ���������, ����� ������������ � ��� �����.
��������� �� ���� � �������� � ��������� �������.

� ������ �������� XX ���� ���������� ������ ��������������
����������� ����������� ������� ��������������� ������,
� �������� ��������� �� ����� ��� ������� � ��������
����� (��� �������, ������ ������������) 
�������������� �����������. ��� ������������
�������� ``����� ���������" (point-set topology).
� arxiv.org ``����� ���������" ��������� ���������
��������� math.GN; ��� ����� ���������� ��� ������
�� �����-������ ���, �������� {\tt \scriptsize http://arxiv.org/list/math.GN/07} . 

�� �������: ���� ��� ���������� ������ ����� ����������.

\�����

������� �� ������������ ������ ��������� �� ���
(�������� ��������� ����� ���������� ��� �����������
�������� �����). �������������� ������������,
������� ���������� ����� �������, ���������� 
{\�� �����������}. ������ �� ��� �������, �������
����� � ����������� �������������, ����� � �����
��������.

� ���������, ������� �������� �����-������
(�������������� �������������� ������������ � �������).
����� ������� �������������� ������������� �
�������������� �������������: ���� ���� ����������� 
��������� ������� ������������������� (��� ���������� 
``�������������� �������������"), ��������
��������� ��������� �� ����������� ������.
�� ������� ������������� (�������� ��������
�������� ������) ����� ������� ��������������,
�� �� ��������.

� ����� �������� �������� ����� �������
``������� ������������� {\�� �������} ��������������."
``���� ������������� ������� �������" ������ 
``�� ������� ������������� ����� ������� ������".


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{���������� ���������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

����� $M$ -- ����������� ������������.
��������, ��� ������������ $Z\subset M$ ����������
{\�� ���������}, ���� ��� ���������� �������, �
{\�� ������������}, ���� ��� ���������� � ���� $B_C(x)$,
��� ������-�� $C>0$.

���������� �� ����� �� ��������� ������������ ���:
\[
d(x, Z) = \inf_{z\in Z} d(x, z).
\]
��� �����������, 1-��������� ������� �� $M$.
��� ���������� $Z\subset M$, $d(x, Z)=0$ ����� � ������
�����, ����� $x \in Z$ (��������). 

��� ���� ���������, ������������ 
����������� $Z_1, Z_2$ � �����������
������������ $M$, ��������� {\bf ���������� ���������}
$d_H(X,Y)$ ��������
\[
  d_H(Z_1, Z_2):= \max \left( \sup_{x\in Z_1} d(x, Z_2), 
 \sup_{x\in Z_2} d(x, Z_1)\right).
\]
\�����������
$d_H$ ������ ������� �� ��������� ���� 
���������, ������������ ����������� $M$.

\�����

\��������
{\�� ��������������:} 
�������� $\sup_{x\in Z_1} d(x, Z_2)$
�������, ������ ��� $Z_1$ � $Z_2$ ���������� � ���������
���� $B_C(z)$, � ���������� ����� ������� $B_C(z)$
���������� $2C$ (��������). ���� ���� �������� ����� ����,
��� ������, ��� ��� ����� $Z_1$ ����� � $Z_2$ � ��������;
��� ���������� ��������������� �������. ��������������
��������. �������� �������� ����������� ������������.

��� ������������ $Z\subset M$, � $\epsilon> 0$, 
��������� $Z(\epsilon)$ ({\bf $\epsilon$-����������� $Z$}) 
��� ����������� ���� $\epsilon$-����� � ������� � $z\in Z$. �����������
���������� ��������� ����� ���������� ���:
\[
  d(Z_1, Z_2):= \inf_\epsilon \ \left \{ \epsilon \in \R\ \  | \ \
  Z_1\subset Z_2(\epsilon), Z_2 \subset Z_1(\epsilon)\right\}.
\]
``���������� ��������� �� $Z_1$ �� $Z_2$ ���� ������� ����
$\epsilon$ �����, ��� $Z_1$ ����� � $\epsilon$-�����������
$Z_2$, � $Z_2$ - � $\epsilon$-����������� $Z_1$".

����� ������, ��� 
\begin{equation}\label{_epsilon_okr_Equation_}
Z(\epsilon)(\epsilon') \subset Z(\epsilon+\epsilon').
\end{equation}

���� $d_H(Z_1, Z_2) < \epsilon$ � $d_H(Z_2, Z_3) < \epsilon'$,
�� $Z_1$ ����� � $\epsilon$-����������� $Z_2$, � $Z_2$ � 
$\epsilon'$-����������� $Z_3$. �� 
$Z_2\subset Z_3(\epsilon')$, �����������  
������������ � \eqref{_epsilon_okr_Equation_} �������
$Z_2(\epsilon) \subset Z_3(\epsilon'+ \epsilon)$.
��������: \[ Z_1\subset Z_2(\epsilon)\subset Z_3(\epsilon'+ \epsilon).\]
��� �� ����� ��������, ����������� � $Z_3$, $Z_2$ � $Z_1$,
���� \[ Z_1\subset Z_2(\epsilon)\subset Z_3(\epsilon'+ \epsilon)\]
������� �� $d_H(Z_1, Z_2) < \epsilon$ � $d_H(Z_2, Z_3) < \epsilon'$
������� $d_H(Z_1, Z_3)< \epsilon'+ \epsilon$. ��� � ����
����������� ������������ ��� $d_H$. �� ��������,
��� ���������� ��������� - �������. \endproof


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{$\epsilon$-����}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

������ ������� �������� ������������ ����� ��������,
���������������� �������� $\epsilon$-����.


��������, ��� {\�� $\epsilon$-�����} � 
����������� ������������ $M$ ����������
����� ������������ $V \subset M$, ��� $M$
����� � ����������� ���� $\epsilon$-����� � �������� � $V$.
$\epsilon$-���� ���������� {\�� ��������},
���� $V$ �������. 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\���������
����� $M$ - ����������� ������������, �
$\epsilon >0$ - ������������ �����.
������������ $V\subset M$ ���������� {\��
$\epsilon$-�����}, ���� ����� ����� �� ���������
������������ ����������� (�������� ��������������)
\begin{description}
\item[(i)] $V(\epsilon) \supset M$
\item[(ii)] $d_H(M,V) < \epsilon$
\item(iii)] $V$ - ��� $\epsilon$-����.
\end{description}
\���

\�����


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\�����������
����� $M$ - ������ ����������� ������������.
����� $M$ ��������� ����� � ������ �����, �����
��� ������� $\epsilon >0$ � $M$ �������� ��������
$\epsilon$-����. 

\�����

\��������
{\�� ��������������:} \\
������� �������� $\epsilon$-���� � ������
�������� $M$ ��������. ������� � ��������
�������� $M$ ��������� ���� $\epsilon$-�����.
� ���� ���� �������� ����������� $\{ B_\epsilon(x_i)\}$.
�� �����������, ��������� $\{x_i\}$ �������� ��������
$\epsilon$-����.

�����, ��������, � $M$ �������� ��������
$2^{-N}$-����, ��� ������ $N$.
������� ������������ 
������������������ $\{x_i\}$,
� ����� $V_1$ - �������� $2^{0}$-����.
����� ����������� ��������� ���������
$\{x_i\}$ ����� � ��������� $2^{0}$-����.
������� �� $\{x_i\}$ ���, ������� ��� �� �����. 
�������� � �������� $2^{-1}$-����,
� ������� �� $\{x_i\}$ ��� ��������, �������
�� ����� � ��������� $2^{-1}$-����, ����� 
�������. �������� ��� �� ��� ���� $i$:
�� $i$-� ���� ������� ��  $\{x_i\}$ ��� 
��������, �� ������� � ���������  $2^{-i}$-����,
����� ������ $i$. ���� ������� ���������������:
������� �� $N$-�� ����, ��� �������� ������������������
������ �� $N$-�� ������� � �� ��������. 
���������� ����� ������� ������������������ ��������,
������������������� ���� (��������), � ������ -- ��������. \endproof




\hfill

� �������������� ������� �����-������ �
������ 4 ��� ����������� ��������� ������� ���������.
�������, ��� ����� ���������� ������������
������������ ������������ �������� � ����������
(��������). � ������, ������� ��������� ����������
�� ���������� �������������.

\�����

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\����������� \label{_predel_compa_Utverzhdenie_}
����� $\{Z_i\}$ - ������������������ ���������� 
����������� � ������ ����������� ������������ $M$.
�����������, ��� $\{Z_i\}$ - ������������������ ����
� ������� ���������, � $Z$ �� ������. ����� $Z$
���� ���������.

\�����

\��������
{\�� ��������������:} \\
��������� $Z$ ��������� ������������ $M$, ��� �����.
��� �������������� ������������ $Z$, �� ��������
� $Z$ �������� $3\epsilon$-����, ��� ������ ������� ���������
�������� $\epsilon$. ������� ��������
$\epsilon$-���� $x_0, ..., x_k$ � $Z_i$, ��� $d_H(Z_i, Z) <\epsilon$,
� ����� $z_1, ..., z_k$ ����� � $Z$ �����, ���
$d(z_i, x_i)< \epsilon$ (����� ����� ����������,
������ ��� $d_H(Z_i, Z) <\epsilon$).
��������� �� $V$ ��������� $\{x_0, ..., x_k\}$.
����� $V(\epsilon)$ ��������  $x_0, ..., x_k$.
�� ����������� $\epsilon$-����, �� ����� �������,
��� $V(2\epsilon)$ �������� $Z_i$. � ���� �����
$d_H(Z_i, Z) <\epsilon$, $Z_i(\epsilon) \supset Z$,
� ������, $V(3\epsilon)\supset Z$
�� ��������, ��� $V$ ���� $3\epsilon$-����.
\endproof

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{������������ �����������: \\
���������� �������-���������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

� 1920-� ����, ����� ��������� ������ �������
� ������ �. �. ������ (���� ��������, � ���������),
�. �. ����������� � �� �����, � ������ ������� �����������
(Kazimierz Kuratowski), ������� ������� (Alfred Tarski)
� ������ ���������� (Wac\l aw Sierpi\'nski). 
����� �������, �� ������������ {\�� �������� ����������}:
�����, ����� �������������� ������������ ����������
�� ����������� ���������� �������. �������� ����� ��� ������������ 
��������� ����, � ������������ ��������������
(��� ��������������� �������) ����������� �� ����������.

� ���������������� ��������� ����� ������� 
��������� ��������� ������������ (�����������
�����������, �������� ������������ $\R^n$, � � 
��������, ������� � ������ ����������� ���������, � 
������ ������� �� �����). ����� ������ �������������� 
���������������� �������� ����������� �� ��������������.

������������� ����������� ���� ������ 
�. �. ������������ � ��� �����,
����� ������� �������� �������� ������ ������, ������ 
�. �. �������.



\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\epsfig{file=Gromov.eps,width=0.5\linewidth}\\
������ ������ \\
(�. 23 ������� 1943)
\end{center}
\end{figure}


������ ��������� ������� �� ��������� ���� ����������
����������� �����������. ����� $Z_1, Z_2$ - ����������
����������� ������������, ������������� ���������
� ������ ����������� ������������ $M$ (����� ��������
���������� �� ������� �������). ���������� �������
$\inf d_H(Z_1, Z_2)$ ��� ���� ����� ��������. 
�������� �����������, ����� ��������, ��� ���
������������� �������.

� ����� �������� ����� �������� � ���������� � �������
����������� ����������� ("������ �������-���������"). 
��� ���� ��������� ����������
�������� � ��������� � ���������������� ���������.
�������� ������� ������ ����������� ���������
����������� � �������, �������� ��������-����������;
�� ����� ������� ������� ����� ������ �����������
�� �������������� ���������� ������������.

� 2000-� ���� ��������� ����������� �����������
�������� �������������� ������. ������ ��������
�������� ���������������-��������������� ���������
("������ �����"), �������� ���������� ������� ���������
�������� ���������� ������� ����� ���������. ���������
���������, ��� � ���������� ������� 
������������, �� ������� ��� ����������,
���������� �� ������������ ���������
����������� �������������. ���������, 
��� ��� ���������� ����������� ������������ 
�������� �������� ������. ������� �� ����
������ ����� � ������� �� �������, ��������� ����� 
������� ������� ������������, � ��������� ��
��� �������� ������ �����, �������
� ������� ������������, ��� ����
����� ��������. ����� ������������ (``� ����������
��������� �����") ���� ����� ����������������. 
����� ������� ��������� ������� �������� ��������,
� ������� ������������� ����������
������������.

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\lhead{{\scriptsize  ���������, ������ 4}}
\chapter{���������, ������ 4: \\ ���������� �������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{������������ � ���������� ��������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

����� $M$ ����������� ������������,
� $\gamma:\; [0,\alpha] \arrow M$ - ����������� �����������
�� �������. ����� �����������
���������� {\�� ����� �� $\gamma(0)$ � $\gamma(\alpha)$},
� $\gamma(0)$ � $\gamma(\alpha)$ - {\�� �������} � {\�� ������} ����
$\gamma$, � ����� ��� {\�� �������}.

���������� ��������� ������� $[0,\alpha]$ � �����������
������� ����������, 
\[  [0,\alpha]= [0,�_1] \cup [x_1, x_2] \cup ... \cup [x_{n-1}, \alpha].
\]
��� �������� ��������� $x_0:= 0, x_n := \alpha$.
�����
\[
L_\gamma(x_1, ... x_{n-1})= \sum_{i=0}^{n-1} d(x_i, x_{i+1}).
\] 
\�����������
{\�� ������} ���� $\gamma$ ���������� ��������
\[ L(\gamma):=\sup_{x_1, ..., x_{n-1}}L_\gamma(x_1, ... x_{n-1}),
\]
������ �� ���� ���������� �������.
\��

�������, ����� �������� ����� ���� �����
�������������, �� ��� $C$-��������� ���� $\gamma:\; [0,\alpha] \arrow M$
����� $\gamma$ �� ����������� $C\alpha$
(��������). ����� ����, ��� $L(\gamma)\geq d(x,y)$,
��� $x,y$ - ����� ���� $\gamma$ (�������� ��� �� 
����������� ������������).

�����������, ��� ��� ����� ����� $x,y$ ������������
������������ $M$, �������� ���� $\gamma$ 
�������� �����, ����������� $x$ � $y$.
����� ������, ��� � ����� ������ �������
$L(\gamma)$ (``����� ����������� ���� �� $x$ �� $y$") 
�� ���� ����� ����� ������ ������� �� $M$ (��������). 
����� ������� ���������� {\bf ���������� ��������}
(``intrinsic metric").

\hfill

���������� ������� ���������� ��������� ���������.

\�����


{\�� ������� �����-������:}\\
����� $M$ - ������������ � ���������� ��������.
��� ����� ����� $x, y \in M$, � ������ ��������������
$r < d(x,y)$, �����
\[
d(y, B_r(x)) = d(x,y) -r.
\]
������� ��� ���������.

\�����

�������, ��� ����������� $d(y, B_r(x)) \geq d(x,y) -r$
����� ����� � ������������ ����������� ������������,
� ������� �� ����������� ������������ (��������). ������� ���
�������������� ������� �����-������ ����� �������� 
����������� $d(y, B_r(x)) \leq d(x,y) -r$.

����� $\gamma:\; [0, 1]\arrow M$ -- ����
�� $x$ � $y$, ����� $d(x,y)+\epsilon$. ����� ����
����������, ������ ��� ������� ����������. �� �����������
$L(\gamma)$ ����, ��� 
\begin{equation}\label{_d_gamma_bound_Equation_}
d(x, z) + d(z,y) \leq d(x,y)+\epsilon.
\end{equation}
��� ������ $z$ � ������ $\gamma$ (��������).

���������� ������� $d_\gamma:\; [0,1] \arrow \R$,
$d_\gamma(t):=d(x, \gamma(t))$. 
��������� $d_\gamma$
����������, � $d_\gamma(0)=0, d_\gamma(1) = d(x,y)+\epsilon$,
������ ����� ������� $[0, d(x,y)+\epsilon]$
����� ��������. ������� $t_0$ �����, ���
$d_\gamma(t_0)= r-\epsilon$. ����� $z:=\gamma(t_0)$
����� � ���� $B_r(x)$. � ���� \eqref{_d_gamma_bound_Equation_}, 
�����
\[ 
  d(y, z) \leq d(x,y) +\epsilon - d(x, z) = 
  d(x,y)+\epsilon- d_\gamma(t_0) = d(x,y)-r+2\epsilon.
\]
������� $d(y, B_r(x)) \leq d(x,y)-r+2\epsilon$,
��� ������ $\epsilon >0$. 
�� �������� ������� �����-������. \endproof

\�����

�������, ��� �� ����� ����������� ������������,
��������������� ������� �����-������, ��������
���������� ��������. ����� ������, ��� �������
������������ ����������� ����������� �� �������
� ������������ ����� ���, ����� ��� ������������
����� � ������� �������� ������������� 
������� �����-������ (�������� ���).


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{�������� ���������� \\����������� ������������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

��������, ��� {\�� ��������� �����������}
� ����������� ������������ ���������� ������������
����������� �������� �����, � {\�� ���������� �����������} - �� 
����������. 

����� $M$ - ����������� ������������, $x\in M$ �����, $r>0$
������������ �����. ���������
\[
  \bar B_r(x):= \{ y\in M \ \ | \ \  d(x, y) \leq r\} 
\]
���������� {\�� ��������� ����� ������� $r$ � ������� � $x$}.
��� ��������� ��������. �������������, ��� ������
����� $y\notin \bar B_r(x)$, $d(x,y) > r$,
� �������� ��� $B_\epsilon(y)$ �� ������������ �
$\bar B_r(x)$ ��� ������ $\epsilon \leq d(x,y) -r$
(�������� ��� �� ����������� ������������). 

��������, ��� {\�� ����������} ��������� $Z$ ����������
��������� ���������� ����� ���� �������������������,
������� � $Z$. ����� ������, ��� ��������� ���������
�������� (��������). 

������ ������, ��������� ��������� ����
$B_r(x)$ �� ����� ���������� ���� $\bar B_r(x)$. ������� � ��������
$M$ ������������ � �������� $d(x,y)=1$ ��� ���� $x\neq y$;
����� �������� ��� $B_1(x)$ ��� ����� $x$, � ��������� ��� --
��� $M$.

���� $M$ ������������� ������� �����-������, ��
��������� $B_r(x)$ - ��� $\bar B_r(x)$.
�������������, ������� ����� ����� 
$y\in \bar B_r(x)$.
�� ������� �����-������ ����� �������, ���
$d(y, B_r(x))=0$ (�������� ���). �� ����� ���������
������������������ ����� $B_r(x)$ ��������
� $y$, � ������, $y$ ����� � ��������� $B_r(x)$.

\�����������
����������� ������������ $M$ ���������� {\�� ��������
����������}, ���� ��� ������ ����� $x\in M$ ��������
����� $r>0$ �����, ��� ��������� ��� $\bar B_r(x)$
���������.
\��

\�����

��������, ��� {\�� ������������ �������������}
������������\\ ������������ ���������� ������������,
������� ���������� � �����-�� ���� $B_C(x)$.

\hfill

\�������
\label{_H_R_1_Theorem_}
(������� �����-������, ����� 1)
����� $M$ - �������� ���������� ����������� 
������������ � �������� �����-������. ����� ���������
����������� �����������:
\begin{description}
\item[(i)] $�$ �����
\item[(ii)] ����� ���������, ������������
������������ $M$ ���������.
\end{description}


\��������
{\�� ��������������:}\\
��������� (ii) $\Rightarrow$ (i) ������ ��������.
�������������, ����� ������������������ ���� $\{x_i\}$ ����������
� ��������� ����, ������� ��������� �� ������� (ii),
������ $\{x_i\}$ ��������.

�������� ��������, ��� � ������ 
�������� ���������� ����������� ������������ � ��������
�����-������ ����� ���������, ������������
������������ ���������.

\�����

\��������
{\�� ��� 1.}\\
��������� ��������� ������������ �������� ���������
(��������), ��� ����������� ������� �����-������ 
���������� ��������, ��� ����� ��������� ��� � $M$
���������. 

\�����

\��������
{\�� ��� 2.}\\
���������� ������� $\rho:\; M \arrow \R$,
\[
\rho(x):= \sup_\rho\{\rho\in \R \ \ |\ \ \bar B_\rho(x)\ \ \text{���������}\}.
\]
���� $\rho$ ���������� � ����� ����� $x$, ��� ������,
��� ����� ��������� ��� � ������� � $x$ ���������.
�� ����� ����� �������, ��� ��� ��������� ���� � $M$
��������� (�������� ���). ������� ����� �������,
��� ������� $\rho$ ����� �������.

����� ������, ��� $\rho$ 1-���������, � �������������
����������. �������������, 
$\bar B_{\rho-d(x,y)}(y)\subset\bar B_\rho(x)$
(�������� ��� �� ����������� ������������). 
������� $|\rho(x) - \rho(y)| \leq d(x,y)$.

\�����

\��������
{\�� ��� 3.}\\
������� ������, ��� ��������� ��� $\bar B_{\rho(x)}(x)$
���������. � ������, ��� ����� ���� � �� ���,
���� � ����������� $\rho(x)$ ������������ ��������,
������� �� ����� ����������� ������� ���� ��, ���
$\bar B_r(x)$ ��������� ��� ���� $r< {\rho(x)}$.

�� ������� �����-������ ��������
$B_r(x)(\epsilon) = B_{r+\epsilon}(x)$,
��� $Z(\epsilon)$ ���������� �����������
����� �������� $\epsilon$-����� � �������� � $Z$.
��� ��������� ��������� ���������� ��������� ����� ������
$\bar B_r(x)$ � $\bar B_{r+\epsilon}(x)$:
\[
  d_H(\bar B_r(x),\bar  B_{r+\epsilon}(x))=\epsilon.
\]
�� ����� ��������, ���
��� ������ ������������������ $\{r_i\}$, ���������� � $r$,
������������������ ��������� ����� $\bar B_{r_i}(x)$
�������� ������������������� ���� (� ������ �������
���������), � �������� � $\bar B_r(x)$. 

������� ������������������ $r_i< \rho(x)$, ���������� � $\rho(x)$.\\
��������� ��� $\bar B_{\rho(x)}(x)$ ����������
��� ������ ������������������ ���� $\bar B_{r_i}(x)$
���������� �����. �� �����������, �����������
� ���������� ������ � ������� $\epsilon$-�����,
����� ������ ������ ���������. 

\�����

\��������
{\�� ��� 4.}\\
���������������� ������������� $\bar B_{\rho(x)}(x)$,
�� �������, ��� ��� \\$\bar B_{\rho(x)+\epsilon}(x)$
��������� ��� ���������� ������ $\epsilon >0$.
����� ������� �� ������ � ������������.

���������� ����������� ������� $\rho$ �� 
$\bar B_{\rho(x)}(x)$. ��������� $\rho$
���������� � ������������, � ��� $\bar B_{\rho(x)}(x)$
���������, \[ \rho\restrict {\bar B_{\rho(x)}(x)} \geq 2\epsilon >0,\]
��� ������-�� �������������� $\epsilon\in \R$.
������� ������ ��������� $2\epsilon$-��� � ������� � 
$z\in \bar B_{\rho(x)}(x)$ ���������.

����� $V$ -- �������� $\epsilon$-���� � 
$\bar B_{\rho(x)}(x)$. ����� 
$\bar B_{\rho(x)}(x)\subset V(\epsilon)$, �
\[
\bar B_{\rho(x)}(x)(\epsilon) \subset
V(\epsilon)(\epsilon)= V(2\epsilon).
\]
�� ��������, ��� ��� $\bar B_{\rho(x)+\epsilon}(x)$
����� � ����������� ��������� $2\epsilon$-����� � 
�������� � ������ $V$. ��� ���� ���������, � 
��������� �������� ����������� ��������� ��������� (�������� ���),
$\bar B_{\rho(x)+\epsilon}(x)$ �������� ��������� �������������
��������. ������, $\rho(x)$ -- �� �������� ���� 
$\rho$, ��� ������� $\bar B_\rho(x)$ ���������:
�� ������ � ������������. ������� \ref{_H_R_1_Theorem_}
��������. \endproof



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{������������� � ����������� ������������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\�����������
����� $M$ - ����������� ������������ � ����������
��������. ����������� ����������� $\gamma:\; [0,\alpha]\arrow M$
���������� {\�� ����������}, ���� ��� ����� ����� 
$d(\gamma(0), \gamma(\alpha))$. 
\��


����� ������� ���������� - ����� ����������.
�������������, ���� $\gamma(t_1), \gamma(t_2)$
����� ��������� ����� $\gamma'$, ����� ��������, ���
$\gamma$, ����� $\gamma(0), \gamma(\alpha)$
����� ��������� �����, ������ �� 0 �� $t_1$
�� $\gamma$, �� $t_1$ �� $t_2$ �� $\gamma'$
� �� $t_2$ �� $\alpha$ �� $\gamma$; ���� ����
�����, ��������, ������ ���������.

\�����

��������, ��� �������������� ����������� �����������
���������� ����������� �������, �������� �����������
� �������� - ���� ����������.

���� $\phi:\; [0,\alpha] \arrow [0,\alpha]$ -- ������������,
� $\gamma$ - ���� �� $x$ � $y$, ���������� 
$\phi \circ\gamma$ - ���� ���� �� $x$ � $y$.
� ����� ��������, $\phi \circ\gamma$ 
���������� {\�� �����������������} ���� $\gamma$.
����� ������, ��� ����� ���� �� �������� ���
��� ���������������� (��������). �������
���������������� ���������� - ����� ����������.

����, ������� �������� ����������� ����������������,
���������� {\�� �������������� � ��������� �� ����������������},
� ����� ���� � ������ ��������������� - {\�� ���������������}.

\�����������
����� $\gamma:\; [0,\alpha]\arrow M$ - ����������,
����������� $x$ � $y$, ������ $d(\gamma(x), \gamma(y))= |x-y|$
��� ����� $x,y$. ����� ���������� ���������� {\�� ����������
�������������}, � ��������������� �������������� -
{\�� ������������� ���������������}. 
��������, ���������� ������������� ������
�������������� �������� $[0,\alpha]\arrow M$.
\��


\�����

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\�����������
\label{_geode_sushche_Utverzhdenie_}
����� $\gamma:\; [0,\alpha]\arrow M$ - ����������,
����������� $x$ � $y$, ������ $d(x,y)=\alpha$.
����� � $\gamma$ ���������� �������������
��������������. 

\�����

\��������
{\�� ��������������:}
����������� \ref{_geode_sushche_Utverzhdenie_} 
����� ������� �� ������� ���������� �����������.
����������� ���� �������������,
������� ���� �� ������ � ���������� ���������. �����
$\gamma(t)$ - ���������� �������������. �������
������ $t$ ����������, ������� ������������ ��� �������;
���������� ���������� (��������� ��� �� �� �������,
� �� ��������� "���������� �� ������") �
�������� ���������� �������������.

��� �������������� ����������� \ref{_geode_sushche_Utverzhdenie_},
��� ����������� ��������� ��������������� ���������.

\�����

\�����
����� $M\stackrel\phi\arrow N$ - ����������� �����������. �����
����� ����������� ������������ $Z$ - �������.

\�����

\��������
{\�� ��������������:} ������� �������� $\phi(Z)$
��������� ��������������; ��� �������� ���� ��������
�������� $Z$, � ��� ����� ������� �������� �����������
� ���� ������������.
\endproof

\hfill

���� $M$ ���������, �� ����� ����������� �������
�� $M$ � $N$ �������� ��������������. ����� � ����
���������, ���������� ���������, ��� ����� ���������
��������� �������� ��������; � ���� ������������, 
��� ������������ ����, ��� ����� ���������� ���������
�������. �� ����� �������� ��� ����������� �����������
������ ���������, ������ ����� ��������� ����������� 
�������.

\�����

�������� � �������������� ����������� \ref{_geode_sushche_Utverzhdenie_}.
���������� ����������� $\phi:\; [0,\alpha]\arrow [0,\alpha]$,
$\phi(t)= d(x, \gamma(t))$. ��� ����������� ����������,
������ ��� ������� $d_x(y) = d(x,y)$ ����������
(��� ���������; ��������� ���). ��������� ������
������� ���������� - ����������, ��� ���������:
�������������, $d(x, \gamma(t))$ ����� ����� ����
$\gamma\restrict{[0,t]}$, � ������ ��� �������
��������� ����������. �����������, ����������
����������� �� �������� � ������� - ������������,
��� �� ������ ��� ��������. ������� 
$\gamma' =\phi^{-1}\circ\gamma$ �������� �����������������
$\gamma$. ��� $t\in [0,\alpha]$,
\[ 
   d(x, \gamma(\phi^{-1}(t)))=\phi(\phi^{-1}(t))=t,
\]
� ������, $\gamma'$ -- �������������. 

�������� �����-������ ���������� �����������
� ������������ ������������� ���������� ������������ �
�������� ���������� ������������ � ���������� ��������
(������� \ref{_H_R_1_Theorem_}). ����� ��������
�����-������ ���������� ����������� � ������� ������������� 
� ������, �������� ���������� ������������ � ����������
��������.

\�����

\�������
\label{_H_R_2_Theorem_}
(������� �����-������, ����� 2)
����� $M$ - �������� ����������, ������ ����������� ������������
� �������� �����-������, � $x_0, x_1\in M$ ������������ �����,
� $d(x_0, x_1)=\alpha$. ����� ���������� ���������� �������������
$\gamma:\; [0,\alpha]\arrow M$, ����������� $x_0$ � $x_1$.
� ���������, $M$ �������� ������������� � ���������� ��������.

\�����

\��������
{\�� ��������������:} 
� ���� ������� �����-������, $d(x_0, \bar B_{\alpha/2}(x_1))=\alpha/2$.
������� $d_{x_0}(y):= d(x_o,y)$ ����������, � ��� $\bar B_{\alpha/2}(x_1)$
��������� �� ��� ���������� ������� �����-������. �������
� $\bar B_{\alpha/2}(x_1)$ ���� ����� $x_{\frac 1 2}$ �����, ���
$d(�_0, �_{\frac 1 2}) = d(�_{\frac 1 2}, x_1)= \alpha/2$.
����������� �������, ����������� � ���� $�_0, �_{\frac 1 2}$,
����������, ��� �������� ����� $x_{\frac 14}$ �����, ���
$d(�_0, �_{\frac 1 4}) = d(�_{\frac 1 4}, x_{\frac 1 2})=\alpha/4$.
�������� ��� �� �������������, �� ������� ���
������� ������������� ����� $\lambda =
\frac{n}{2^k}$,\footnote{����� ������������ �����
���������� {\�� �������-�������������}.}
$0\leq \lambda\leq 1$ ����� $x_\lambda\in M$, ������
$d(x_\lambda, x_{\lambda'})= |\lambda-\lambda'|\alpha$.
��� ������ �������������� ����������� �� ���������
����� ���� $\lambda\alpha$ ($\lambda$ �������-������������)
�� ������� $[0, \alpha]$ � $M$. ��������� $M$ �����,
����� ���������� ��� ����������� �� �����������
����������. ������� �������������� �����������
�� ������� $[0, \alpha]$ � $M$. ��� � ���� 
���������� �������������. �� �������� 
������� \ref{_H_R_2_Theorem_}.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{�������, ������������, ����������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

������������ � ���������� �������� �������� �
������� ������ ����� � 1930-� ����. ���� ������
��������� ��������� ������������, � ���������,
��� ������ ��������� ����������, ����������
�� ������� (������������� �������������,
��������� ������������ � ��� �����) �����
���������, � ��������� �������� ����� 
���������� � ��������� ������������.




\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\epsfig{file=Hopf.eps,width=0.5\linewidth}\\
Heinz Hopf \\
(1894-1971)
\end{center}
\end{figure}

������������ ���� �������������� ������������, ��������
(� ��\-���\-������ ������ �����) ������������ $\R^n$.
����� ������������� ���������� {\�� �������},
������������ ���� ���� -- {\�� �������} �� ������������.
� ������ ������� ������� ����������� �������� �� 
����� ����� � ������������ � � ������ �����;
��� ��� ����������� �� �������� ����������� � $\R^n$ 
� �������� ������������ � $\R^n$. ���� ��� ��� �������
(���������� ����������������), ������������ ����������
{\�� �������}. ������� ������������ ����������
{\�� ���������}, ���� � ������ ����������� ������������
������ ������� (������������ ������������ ���������
������������). ���������� ��� ������� �� �������� ����, 
����� �������� ���������� ����� �������� ����;
���������� ����� ������� $x,y$ �������� ������������
������������ ��� ������� ����� �� ���� ������� 
����� �� $x$ � $y$. ��� ������� �� ���������� ����������,
� $\R^n$ �������� �������� ���������. ����� 
�������, ���������� ���� ������� ����� ��������� 
� ��������� �������������.

� ��������� 20-30 ��� �������� ����������
� ��������� (�������������� �������� ��������, 
���������� ����������� � ��������-�������) ���������� 
�� ��������� ���������, �� ���� ��������� ���������
������������.

���� � ��� ������ ����� ����� (Willi Rinow, 1907-1979) ��������
������� �����-������ � 1931-� ����, ��� ���������
������������. �� ��������� ��� �������� ���������� �����������
����������� ����������� ������� ���-�������
(Stephan Cohn-Vossen, 1902-1936).

�� ��������� ��������� ���� �������� ����������
����������, �� ������� ����� ���������� �������������.
����� ��� ���� ������� ������ ������� ``������ �����",
� ``����������� ������������" ������ �����.
��������� ����������� � ���������� �������� ��������,
�� ������� �����, � �������, � � ����������� ����� 
�. �. ������������ (�. ������, 
�. ���������, �. ������, �. ������). 

��� ��������� ������ ����������, ������� ����� ��������� ��������.

\begin{itemize}

\item ������, ��., {\em ������ �����},  �.: ���, 1965 �.

\item �����, �., {\em ������������ ���������}, �.: �����, 1990.

\item ������ �.�., ������ �.�., ������ �.�.,
{\em ���� ����������� ���������}, ������:
������������ "�������� ������������ ������������," 
2004.

\item ������ �. {\�� ��������������� ������},
������: �������� ������������ ������������, 2002, 160 ���.

\item ������ �. {\em ���� � �������������� �����
��������}, ������: ��� "���������� � ����������� 
��������", 2000, 128 ���.

\item Gromov M. {\em Metric structures for 
Riemannian and non-Riemannian spaces,}
Progress in Math., 152, Birkh\"auser  (1999).

\item ����� �. ����������, �. ��������� � ������ ������� ��
�������� �. ���������\\
{\tt http://www.math.psu.edu/petrunin/papers/papers.html}

\end{itemize}

\end{document}



