

\documentclass{slides}

\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}


\usepackage{amsmath, amssymb, amscd, color,  epsfig}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Топология, первый курс, второй семестр\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother


   \setlength\paperheight {9in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}



\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Топология, лекция 3: \\[3mm]Компакты в
  метрических пространствах }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 18 февраля, 2008\\
Независимый Университет}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

{\bf \blue Компакты.}

{\bf \green Определение:}
Набор открытых подмножеств $\{U_\alpha\}$ в $M$
называется {\bf \blue покрытием $M$}, если $M = \bigcup_\alpha U_\alpha$.
{\bf \blue Подпокрытием} покрытия $\{U_\alpha\}$
называется такое подмножество $\{U_\alpha\}$,
которое тоже является покрытием.

{\bf \green Определение:}
Пространство $M$ называется {\bf\blue компактным},
если из любого покрытия $M$ можно выбрать конечное
подпокрытие.

{\bf \green Определение:}
Пространство $M$ называется {\bf\blue секвенциально компактным},
если любая последовательность точек $\{x_i\}$ в $M$
имеет сходящуюся подпоследовательность.

{\bf \red Теорема Гейне-Бореля: \purple
Метрическое пространство компактно тогда и только тогда,
когда оно секвенциально компактно.}

\newpage

{\blue \bf Липшицевы отображения}

{\bf \green Определение:} 
Пусть $(M_1, d_1)$ и $(M_2, d_2)$ - метрические
пространства, а $C>0$ - вещественное число. 
Отображение $f:\; M_1 \arrow M_2$ называется {\bf \blue
$C$-липшицевым} если для любых
$x, y\in M_1$, 
\[
d_2(f(x),f(y)) \leq C d_1 (x, y).
\]
{\bf \green Липшицевы отображения непрерывны.}

{\purple Расстояние $d_z(x) := d(z,x)$ 
до фиксированной точки $z\in M$ - 1-липшицева функция из
$M$ в $\R$.}

\newpage 



\begin{center}
\epsfig{file=Lipschitz.png,width=0.35\linewidth}\\
Rudolf Otto Sigismund Lipschitz \\
(1832 -- 1903)
\end{center}
\newpage

{\bf \blue Теорема Гейне-Бореля: доказательство.}

{\bf \blue Шаг 1.} Импликация <<компактность>> $\Rightarrow$ <<секвенциальная
компактность>> \\ {\bf \green очевидна.}

{\bf \blue Шаг 2.}   Любая
непрерывная функция {\bf \green достигает максимума и минимума}
на секвенциальном компакте. 

{\bf \blue Шаг 3.} 
Пусть ${\cal U}:= \{ U_\alpha\}$ - покрытие метрического
пространства $M$. Определим функцию
\begin{align*}
\rho_{\cal U}(x) := \sup_\rho \  &\{\rho \in \R \ \ |\ \ B_\rho(x) \text{\ \ содержится}\\
 \ &\ \ \  
\text{в одном из элементов покрытия ${\cal U}$}\}.
\end{align*}
{\bf \green Тогда $\rho_{\cal U}$ 1-липшицева.}
Значит {\bf \purple $\rho_{\cal U}$ принимает минимум на
каждом секвенциальном компакте.}

{\bf \blue Шаг 4.} {\bf \green Минимальное покрытие} -- покрытие,
не содержащее меньшего подпокрытия. {\bf \purple У каждого покрытия есть подпокрытие,
которое минимально.}

\newpage

{\bf \blue Теорема Гейне-Бореля: доказательство (окончание).}

{\bf \blue Шаг 5.} Пусть ${\cal U}= \{ U_\alpha\}$ -- минимальное
покрытие секвенциального компакта $М$, а $r>0$ -- минимум $\rho_{\cal U}$
на $M$. В каждом  $U_\alpha \in {\cal U}$, выберем
$x_\alpha \in U_{\alpha}$, не принадлежащий
никакому другому элементу покрытия. Тогда $d(x_\alpha, x_{\alpha'}) >r$.
Если $\{x_\alpha\}$ бесконечна, у нее нет сходящихся подпоследовательностей.
{\bf \green Теорема Гейне-Бореля доказана.}

\begin{center}
\epsfig{file=Borel.jpg,width=0.3\linewidth}\\
\'Emile Borel\\
(1871 -- 1956)
\end{center}


\newpage

{\bf \blue Топологические пространства.}

{ Феликс Хаусдорф, ``Grundz\"uge der Mengenlehre''}

{\bf \green Определение:}
Пусть $M$ - множество, а ${\cal U} \subset 2^M$
набор подмножеств, называемых {\bf\blue открытыми}. 
Тогда ${\cal U}$ {\bf \blue задает топологию}
на $M$, если 

 {\red \bf $\bullet$ Любое объединение открытых подмножеств открыто

 $\bullet$ Конечное пересечение открытых подмножеств открыто

$\bullet$ $M$ и пустое множество $\emptyset$ открыты.}

Такое $M$ называется {\bf \blue топологическим пространством}.

Примеры: { \purple дискретная топология}, {\purple кодискретная топология.}

\newpage

{\bf \blue Простейшие понятия топологии.}

{\bf \red Предел последовательности.}

{\bf \red Непрерывные отображения. Секвенциальная непрерывность.}

{\bf \red Замкнутое множество, замыкание.}

{\bf \red Компакт. Секвенциальный компакт.}

{\bf \purple Предостережение 1:} \\ Из секвенциальной
компактности не следует обычная. Из секвенциальной
непрерывности не следует обычная.


{\bf \purple Предостережение 2:} \\Теорема Гейне-Бореля требует
<<аксиомы выбора>>.


\newpage

\begin{center}
\epsfig{file=300px-Hausdorff_1913-1921.jpg,width=0.37\linewidth}\\
Felix Hausdorff \\
(1868 -- 1942) 
\end{center}

\newpage

{\bf \blue Расстояние Хаусдорфа}

{\bf \green Определение:}
Подмножество $Z\subset M$ называется
{\bf\blue  ограниченным}, если оно содержится в шаре $B_C(x)$.

{\bf \green Определение:}
{\bf\blue $\epsilon$-окрестность} $Z\subset M$ - объединение всех
$B_\epsilon(x)$, для $x\in Z$. Обозначим ее за $Z(\epsilon)$.

{\bf \green Определение:}
Пусть $Z_1, Z_2$ - замкнутые, ограниченные подмножества $M$.
Определим {\bf \blue расстояние Хаусдорфа}
$d_H(Z_1, Z_2)$ как инфимум всех $\epsilon$ таких, что
$Z_1\subset Z_2(\epsilon)$, $Z_2\subset Z_1(\epsilon)$

{\bf \green Утверждение:}
{\bf \red $d_H$ задает метрику на множестве замкнутых,
ограниченных подмножеств.}

\newpage

{\bf \Large \blue $\epsilon$-сети.}

{\bf \green Определение:}
Пусть $M$ - метрическое пространство, $\epsilon >0$.
Подмножество $V\subset M$ называется {\bf \blue
$\epsilon$-сетью}, если верно любое из следующих
равносильных утверждений.

{\green
$\bullet$ Для любой точки $m\in M$, есть
$v\in V$ такая, что $d(v,m) < \epsilon$.

 $\bullet$ $V(\epsilon) = M$

  $d_H(M,V) < \epsilon$}

{\bf \green Теорема}\\
Пусть $M$ - полное метрическое пространство.
{\bf \red $M$ компактно тогда и только тогда, когда
для каждого $\epsilon >0$ в $M$ есть конечная
$\epsilon$-сеть. }

\newpage

{\bf \blue Предел компактов в полном метрическом пространстве}


{\bf \green Теорема:}
Пусть $\{Z_i\}$ - последовательность компактных 
подмножеств в полном метрическом пространстве $M$.
Предположим, что $\{Z_i\}$ - последовательность Коши
в метрике Хаусдорфа, а $Z$ ее предел. {\red Тогда $Z$
тоже компактно.}

{\bf \green Доказательство:} Построим
в $Z$ конечную $3\epsilon$-сеть, для любого наперед заданного
значения $\epsilon$. 

{\bf \blue Шаг 1.} Пусть $x_0, ..., x_k$ - конечная
$\epsilon$-сеть в $Z_i$, а $d_H(Z, Z_i)<\epsilon$.
Возьмем в $Z$ точки $z_0, ..., z_k$ такие, что
$d(x_i, z_i)< \epsilon$ (они существуют, потому что
$d_H(Z, Z_i)<\epsilon$). 

Мы докажем, что $V:= \{z_i\}$
это $3\epsilon$-сеть.

{\bf \blue Шаг 2.} $V(\epsilon)$ содержит $\{x_0, ..., x_k\}$


{\bf \blue Шаг 3.} $V(2\epsilon)\supset V(\epsilon)(\epsilon)$ 
содержит $Z_i$.

{\bf \blue Шаг 4.} $V(3\epsilon)  \supset V(2\epsilon)(\epsilon)$
содержит $Z_i(\epsilon) \supset Z$. {\bf \red Мы доказали,
что $V$ -- это конечная $3\epsilon$-сеть.}


\newpage



\begin{center}
\epsfig{file=Gromov.jpg,width=0.4\linewidth}\\
Михаил Громов \\
(р. 23 декабря 1943)
\end{center}

\end{document}



