

\documentclass{slides}

\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}


\usepackage{amsmath, amssymb, amscd, color,  epsfig}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Топология, первый курс, второй семестр\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother


   \setlength\paperheight {9in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}



\begin{document}

\setcounter{page}{0}

\ \newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Топология, лекция 4: \\[3mm]Пространства с
внутренней метрикой}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 25 февраля, 2008\\
Независимый Университет}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

{\bf \blue Пути в метрическом пространстве.}

{\bf \green Определение:}
Пусть $M$ метрическое пространство,
а $\gamma:\; [0,\alpha] \arrow M$ - непрерывное
отображение. Тогда $\gamma$ называется 
{\bf \blue путем из $\gamma(0)$ в $\gamma(\alpha)$},
а $\gamma(0)$ и $\gamma(\alpha)$ - {\bf \blue началом} 
и {\bf\blue концом}.

Рассмотрим разбиение отрезка $[0,\alpha]$ в объединение
меньших отрезочков, $[0,\alpha]= [0,х_1] \cup [x_1, x_2] \cup ... \cup [x_{n-1}, \alpha].$
Обозначим $x_0:= 0, x_n := \alpha$. Пусть
\[
L_\gamma(x_1, ... x_{n-1})= \sum_{i=0}^{n-1} d(x_i, x_{i+1}).
\] 
{\bf \green Определение:}
{\bf \blue Длиной пути} $\gamma$ называется супремум
\[ L(\gamma):=\sup_{x_1, ..., x_{n-1}}L_\gamma(x_1, ... x_{n-1}),
\]
{\red взятый по всем разбиениям отрезка.} 

{\bf \green Замечание:} $L(\gamma)\leq d(\gamma(0), \gamma(\alpha))$.

{\purple Для $C$-липшицева пути $\gamma:\; [0,\alpha] \arrow M$
длина $\gamma$ не превосходит $C\alpha$.}

\newpage

{\bf \blue Внутренняя метрика}

Пусть $M$ - метрическое пространство такое, что
любые две точки могут быть соединены путем конечной длины.
Тогда 
\[ d_{inner}(x,y):= 
  \inf_\gamma \{ L(\gamma) \ \ |\ \ \text{\ $\gamma$ соединяет
  $x$ и $y$}\}
\]
{\bf \red это метрика.}

{\bf \green Определение:} Такая метрика называется {\bf \blue
внутренней метрикой на $M$}. {\bf \blue Пространство с внутренней
метрикой} -- такое пространство $(M,d)$, что $d_{inner}=d$.

{\bf \red Замечание:} Если $d_{inner}$ определена, то
$(M, d_{inner})$ - пространство с внутренней метрикой,
потому что
\[
  L^{inner}(\gamma) = L(\gamma):
\]
{\purple оба числа получены супремумом по одному и тому же
множеству разбиений пути в отрезки.}

\newpage


{\bf \blue Условие Хопфа-Ринова.}

{\bf \green Утверждение:}
Пусть $M$ - пространство с внутренней метрикой.
Для любых точек $x, y \in M$, и любого положительного
$r < d(x,y)$, имеем
\[
d(y, B_r(x)) = d(x,y) -r.
\]
Это равенство называется {\bf \blue условие Хопфа-Ринова}.

{\bf \red Доказательство:} \\Пусть
 $\gamma:\; [0, 1]\arrow M$ -- путь
из $x$ в $y$, длины $d(x,y)+\epsilon$.
{\green Тогда имеем \[ d(x, z) + d(z,y) \leq
 d(x,y)+\epsilon,  \ \ \ \ (*)\]}
по определению $L(\gamma)$. 

Возьмем $t_0$ такой, что 
$d(x, z) = r-\epsilon$, для $z=\gamma(t_0)$. 
Получаем из (*):
\[
d(z, y) \leq d(x,y) -r + 2\epsilon.
\]
{\bf \red Условие Хопфа-Ринова доказано}.

{\bf \green Замечание:} \\В $\Q$ условие Хопфа-Ринова
выполняется, а метрика не внутренняя.

\newpage

{\bf \blue Локально компактные метрические пространства}

{\bf \green Определение}
\[
  \bar B_r(x):= \{ y\in M \ \ | \ \  d(x, y) \leq r\} 
\]
называется {\bf\blue замкнутый шар}.

{\bf \red Свойства замкнутого шара:}

1. {\bf \purple Он замкнут.}

2. Если выполнено условие Хопфа-Ринова, то \\ {\bf \purple $\bar B_r(x)$ --
   замыкание $B_r(x)$}.

{\bf \green Определение:}\\ Метрическое пространство 
называется {\bf\blue локально компактным}, если для
каждого $x\in M$ найдется $r>0$ такое, что шар
 $\bar B_r(x)$ компактен.


{\red \bf Предостережение.}\\
{Не любое полное метрическое пространство локально компактно.}

\newpage

{\bf\blue Теорема Хопфа-Ринова (часть 1).}

{\bf \green Теорема:}
Пусть $M$ - локально компактное метрическое 
пространство с условием Хопфа-Ринова. Тогда
 следующие утверждения равносильны:

1. {\bf \blue  $M$ полно.}

2. {\bf \blue Любое замкнутое, ограниченное
подмножество $M$  компактно.}

{\bf \red Замечание:} Из условия 2 сразу следует полнота.

Докажем теорему.

{\bf \green Шаг 1.} Достаточно доказать, что любой замкнутый шар в $M$
компактен. { \purple Предположим, что есть некомпактный замкнутый шар.}

{\bf \green Шаг 2.} 
Рассмотрим функцию $\rho:\; M \arrow \R$,
\[
\rho(x):= \sup_\rho\{\rho\in \R \ \ |\ \ \bar B_\rho(x)\ \ \text{компактен}\}.
\]
{ \purple Она конечна и 1-липшицева,} значит непрерывна.

\newpage 

{\bf\blue Теорема Хопфа-Ринова, часть 1 (продолжение).}

{\bf \green Шаг 3.} 
Шар $Z:=\bar B_{\rho(x)}(x)$ является пределом компактов
в смысле метрики Громова-Хаусдорфа. { \purple Поэтому он
компактен.} Пусть $3\epsilon$ -- минимум функции $\rho$ на $Z$.

{\bf \green Шаг 4.} 
Возьмем в $Z$ конечную $\epsilon$-сеть $V=\{x_i\}$. Поскольку
$V(\epsilon)= Z$, имеем 
\[  
  V(2\epsilon) = Z(\epsilon) = \bar
  B_{\rho(x)+\epsilon}(x).
\]
Поэтому шар $B_{\rho(x)+\epsilon}(x)$ лежит в конечном
объединении компактных шаров $\bar B_{3\epsilon}(x_i)$ 
$\Rightarrow$ {\purple $B_{\rho(x)+\epsilon}(x)$ компактен. }

{\bf \red Мы доказали Хопфа-Ринова, часть 1.}

\newpage

{\bf \blue Геодезические в метрическом пространстве}

{\bf \green Определение:}
Непрерывное отображение $\gamma:\; [0,\alpha]\arrow M$
называется {\bf \blue кратчайшей}, если его длина равна 
$d(\gamma(0), \gamma(\alpha))$.

{\bf \purple Любой отрезок кратчайшей - снова кратчайшая.}

{\bf \green Определение:}
Если $\phi:\; [0,\alpha] \arrow [0,\alpha]$ -- гомеоморфизм,
а $\gamma$ - путь из $x$ в $y$, композиция 
$\phi \circ\gamma$ - тоже путь из $x$ в $y$.
Такой путь называется {\bf\blue  репараметризацией $\gamma$}.

{\bf \red Параметризация $\gamma$} --  выбор пути в классе
путей, эквивалентных с точностью до репараметризации.

{\bf \green Определение:}
Пусть $\gamma:\; [0,\alpha]\arrow M$ - кратчайшая,
соединяющая $x$ и $y$, причем \[ d(\gamma(x), \gamma(y))= |x-y|.\]
Такая кратчайшая называется {\bf \blue кратчайшей
геодезической}, а соответствующая параметризация -
{\bf\blue геодезической параметризацией}. 

\newpage


{\bf \blue Существование геодезической параметризации.}

{\bf \green Утверждение:}
Пусть $\gamma:\; [0,\alpha]\arrow M$ - кратчайшая,
соединяющая $x$ и $y$, причем $d(x,y)=\alpha$.
{\bf \blue Тогда у $\gamma$ существует геодезическая
параметризация. }

{\red\bf Эвристический аргумент.}
{\small Представьте себе велосипедиста,
который едет по дороге с переменной скоростью. Пусть
$\gamma(t)$ - координата велосипедиста. Возьмем
вместо $t$ расстояние, которое велосипедист уже проехал.}

{\bf \purple Шаг 1.} {\bf \green Лемма:}\\
{\purple Непрерывная биекция из отрезка в отрезок -- это гомеоморфизм.}

{\bf \purple Шаг 2.} 
Рассмотрим отображение \[ \phi:\; [0,\alpha]\arrow
[0,\alpha],\ \ \ \phi(t)= d(x, \gamma(t)).\] {\purple  Оно непрерывно.}

{\bf \purple Шаг 3.} Оно монотоно растет (каждый отрезок
кратчайшей - кратчайшая). Следовательно, биективно, а
поэтому {\purple $\phi$ --  гомеоморфизм.}

{\bf \purple Шаг 4.} {\purple$\gamma' =\phi^{-1}\circ\gamma$ - геодезическая
параметризация. }

\newpage

{\bf \blue Tеорема Хопфа-Ринова, часть 2. }


Отметим, что
{\red геодезическая кратчайшая задается изометрическим
вложением из отрезка в $M$.}


{\bf \green Теорема.}
Пусть $M$ - локально компактное, полное метрическое пространство
с условием Хопфа-Ринова, а $x_0, x_1\in M$ произвольные точки,
с $d(x_0, x_1)=\alpha$. Тогда существует кратчайшая
геодезическая, соединяющая $x_0$ и $x_1$.
В частности, $M$ является пространством с внутренней метрикой.

{\bf \green Доказательство.}
В силу компактности,
в шаре $\bar B_{\alpha/2}(x_1)$ есть точка $x_{1/2}$ такая, что
\[ d(x_0, x_{1/2}) = d(x_{1/2}, x_1)= \alpha/2.\]
Воспользовавшись индукцией, для 
каждого двоично-рационального числа 
$\lambda = \frac{n}{2^k}$ в $[0,1]$ найдем 
точку $x_{\lambda}$, такую, что
\[d(x_{\lambda}, x_\mu)=\alpha|\lambda-\mu|.\]
Мы получили {\purple изометрическое вложение множества двоично-рациональных
чисел в $M$}. {\bf \red Продолжим на пополнение, получим геодезическую.}

\newpage


\begin{center}
\epsfig{file=Hopf.jpg,width=0.35\linewidth}\\
Heinz Hopf \\
(1894-1971)
\end{center}

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Топология, лекция 5: \\[3mm] основы общей топологии}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 25 февраля, 2008\\
Независимый Университет}
\end{center}

\newpage

{\bf \blue Топологические пространства.}

{ Феликс Хаусдорф, ``Grundz\"uge der Mengenlehre''}

{\bf \green Определение:}
Пусть $M$ - множество, а ${\cal U} \subset 2^M$
набор подмножеств, называемых {\bf\blue открытыми}. 
Тогда ${\cal U}$ {\bf \blue задает топологию}
на $M$, если 

 {\red \bf $\bullet$ Любое объединение открытых подмножеств открыто

 $\bullet$ Конечное пересечение открытых подмножеств открыто

$\bullet$ $M$ и пустое множество $\emptyset$ открыты.}

Такое $M$ называется {\bf \blue топологическим пространством}.

{\bf \green Определение:}
{\bf \blue Замкнутым множеством} называется множество, 
дополнение которого открыто.

{\bf \purple Замечание:}
Mожно было бы выбрать аксиомы, 
основанные на замкнутости. {\purple (i) ``пересечение любого количества
замкнутых множеств замкнуто'', (ii) ``объединение
конечного числа замкнутых множеств замкнуто",
(iii) ``$M$ и пустое множество $\emptyset$ замкнуты".}

\newpage

{\bf \blue Простейшие понятия топологии.}


{\bf \green Определение:}
{\bf \blue Окрестностью} подмножества $Z\subset M$ называется
любое открытое множество, содержащее $Z$. {\bf \blue Замыканием}
подмножества $Z\subset M$ называется пересечение
всех замкнутых подмножеств, содержащих $Z$.

{\bf \green Определение:}
Подмножество $M$ называется {\bf \blue  всюду плотным},
если замыкание его совпадает с $М$. Оно называется
{\bf \blue  нигде не плотным}, если его замыкание
не содержит непустых открытых подмножеств $M$.

{\bf \green Определение:}
Отображение $\phi:\; M \arrow N$ называется
{\bf \blue  непрерывным}, если прообраз любого открытого множества открыт.

{\bf \green Определение:}
{\bf \blue  Пределом} $\{x_i\}$
называется такая точка $x\in M$, что в любой окрестности
$x$ содержатся почти все элементы $\{x_i\}$.

{\bf \red Предостережение:} Предел может быть не единственным.

{\bf \green Определение:}
{\bf \blue  Базой топологии}  на $M$ называется
набор ${\cal U}\subset 2^M$ подмножеств $M$,
состоящий из открытых множеств, и такой,
что любое открытое подмножество $M$ получено
из элементов ${\cal U}$ взятием
объединений и конечных пересечений.

\newpage

{\bf \blue Аксиома Хаусдорфа}

{\bf \green Определение:}
Топологическое пространство $M$ называется {\bf \blue 
отделимым}, или {\bf \blue  Хаусдорфовым},
если любые две точки $x\neq y \in M$ имеют
непересекающиеся окрестности $U\ni x, V \ni y$.

{\bf \red Замечание:} В хаусдорфовом топологическом
пространстве предел последовательности единственен.

\def\Spec{\operatorname{\sf Spec}}

{\bf \red Пример.}\\
Пусть $R$ - кольцо, $\Spec(R)$ - множество
его простых идеалов, a $f \in R$ -- любой элемент. 
Обозначим за $A_f$ подмножество в  $\Spec(R)$,
состоящее из всех идеалов, которые не содержат $f$.
Рассмотрим на $\Spec(R)$ топологию, где
база открытых множеств состоит из $A_f$, для
всех $f\in R$. Эта топология называется 
{\bf \blue  топологией Зариского}, а $\Spec(R)$ -
{\bf \blue  спектром} кольца.

{\bf \purple Пространство $\Spec(\Z)$
с топологией Зариского нехаусдорфово.}

\newpage

\begin{center}
\epsfig{file=Oscar_Zariski.jpg,width=0.35\linewidth}\\
Oscar Zariski \\
(1899 -- 1986)
\end{center}

\newpage

{\bf \blue Аксиомы Хаусдорфа}

{\bf \green [$T_0$] (Аксиома Колмогорова)} Для любых двух точек $x\neq y \in M$, 
у одной есть окрестность, не содержащая другую точку.

{\bf \green [$T_1$] (Аксиома Фреше)}
Для любых двух точек $x\neq y \in M$, 
у $x$ есть окрестность, не содержащая $y$.
{\green Равносильная формулировка: все точки $M$ являются
замкнутыми множествами.}

{\bf \green [$T_2$] (Аксиома Хаусдорфа)}
У любых двух точек $x\neq y \in M$
есть непересекающиеся окрестности.

{\bf \green  [$T_{2\frac 1 2}$] (аксиома Урысона)}
У любых двух точек $x\neq y \in M$
есть окрестности, замыкания которых не пересекаются.

\newpage

{\bf \blue Аксиомы Хаусдорфа (продолжение)}

{\bf \green [$T_3$]} В $M$ выполняется аксиома $T_0$.
К тому же, для любого замкнутого множества
$Z\subset M$, и любой точки $x\notin Z$,
у $Z$ и $x$ есть непересекающиеся окрестности.

{\bf \green [$T_4$]} В $M$ выполняется аксиома $T_1$.
К тому же, любые два непересекающихся замкнутых
подмножества $M$ имеют непересекающиеся окрестности.

{\bf \green [$T_5$]} В любом подмножестве $M$, взятом с 
индуцированной топологией, выполняется
аксиома $T_4$.

{\bf \green [$T_6$]} В $M$ выполняется аксиома $T_4$.
К тому же, каждое замкнутое множество можно
получить как счетное пересечение открытых.

{\bf \red Замечание:}\\ 
{\purple \bf В любом метрическом пространстве $M$ выполняется
$T_6$}.

\newpage

{\bf \blue Аксиомы счетности}

{\bf \green Определение:}
Пусть $M$ - топологическое пространство, а $x\in M$ - точка.
Набор окрестностей $\{U_\alpha\ni x\}$ называется
{\bf \blue базой окрестностей в точке}, если каждая
окрестность $x$ содержит какой-то элемент $\{U_\alpha\}$.

{\bf \green Определение:}
Топологическое пространство {\bf \blue  обладает счетной базой в точке},
если у каждой точки есть счетная база окрестностей.
Это условие также называется {\bf \blue  первой аксиомой счетности}

{\bf \red Замечание:} \\
Для пространств со счетной базой окрестностей в точке,
секвенциальная непрерывность равносильна обычной.

{\bf \green Определение:}
Топологическое пространство {\bf \blue  обладает счетной базой},
если у него есть счетная база открытых множеств.
Это условие также называется {\bf \blue  второй аксиомой
счетности}.

{\bf \red Утверждение:}\\
Пространство со счетной базой в точке
содержит плотное, счетное подмножество тогда и только 
тогда, когда у него есть счетная база.




\end{document}



