

\documentclass[11pt]{book}

\usepackage{amsmath, amssymb, amscd, russcorr, theorem, fancyhdr, epsfig}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   02.03.2008}

\setlength{\headheight}{15pt}
\pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny НМУ, весна 2008, первый
курс, лекция 6} 
\cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version}
\rhead{{\small  Миша Вербицкий}}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  equations                          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\@addtoreset{footnote}{section}
\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  listki-new.tex                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Spec{\operatorname{\sf Spec}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{\sf char}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
%        \writevedomost{\string\mc{\thezadacha} \string & \string & \string 
%        \\ \string \hline}
   }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
   \writevedomost{\string\mc{\thezadacha ##3}  \string & \string \grd \string & \string\grp
   \string \\ \string \hline}
    }}
\endgroup

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{zadacha}{Задача}[chapter]

\begingroup
\gdef\th@generic{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
     }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
    }}
\endgroup

\theoremstyle{generic}

\newtheorem{opredelenie}[zadacha]{Определение}
\newtheorem{ukazanie}[zadacha]{Указание}
\newtheorem{zamechanie}[zadacha]{Замечание}

\renewcommand{\labelenumi}{\ralph{enumi}.}


\newcommand{\listok}[2]{%
\setcounter{page}{1}
\renewcommand{\@oddhead}{\hfil #2 \hfil}
\renewcommand{\@evenhead}{\hfil #2 \hfil}
\section*{#2}
\refstepcounter{section}
\setcounter{section}{#1}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% VEDOMOST GENERATION
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newwrite\Vedomost
%\immediate\openout\Vedomost = \jobname.vdm
%\newcommand{\writevedomost}[1]{\immediate\write\Vedomost{ #1 }}
\newcommand{\writevedomost}[1]{}

\def\grd{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\dtt}}\vphantom{666}}
\def\grp{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\pdp}}\vphantom{666}}

\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%   Chapter                         %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



  \renewcommand{\chapter}{%
     \secdef\ChapterNumbered\ChapterStarred}

  \def\ChapterNumbered[#1]#2{%
      \addcontentsline{toc}{chapter}{\thechapter. #1}
      \refstepcounter{chapter}
      {
\vspace{\baselineskip}
\chaptermark{#2}
          { {{\noindent\bf\huge \thechapter. \ #2\par}}}
      }
    \vspace{\baselineskip}
}

  \newcommand{\ChapterStarred}[1]{%
      \refstepcounter{chapter}
      \chaptermark{#1}%
      \vspace{\baselineskip}}

  \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{#1}}
                             



\newcommand{\пример}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Пример \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\лемма}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Лемма \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Теорема \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Утверждение \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}

\def\хфилл{\hfill}
\def\ноиндент{\noindent}
\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\задача{\begin{zadacha}}
\def\ез{\end{zadacha}}
\def\замечание{\begin{zamechanie}}
\def\еза{\end{zamechanie}}
\def\указание{\begin{ukazanie}}
\def\еу{\end{ukazanie}}
\def\eu{\end{ukazanie}}
\def\определение{\begin{opredelenie}}
\def\ео{\end{opredelenie}}
\def\eo{\end{opredelenie}}
\def\goth{\mathfrak}
\def\енум{\begin{enumerate}} 
\def\ее{\end{enumerate}}
\def\ee{\end{enumerate}}
\def\итем{\item $\bullet$ %
    \writevedomost{\string & \ralph{enumi} \string &\string & \string \\ \string \hline } }

\begin{document}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{chapter}{5}
\lhead{{\scriptsize  Топология, лекция 6}}
\chapter{Топология, лекция 6: \\Произведение пространств}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Свойства произведения}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $M$ -- топологическое пространство.
Напом\-ним, что {\бф базой топологии} на $M$ называется
такой набор открытых подмножеств $\{U_\alpha\}\subset
2^M$, что любое открытое множество получается как 
объединение элементов $U_\alpha$.
{\бф Предбазой топологии} на $M$ называется
такой набор открытых подмножеств $\{U_\alpha\}\subset
2^M$, что любое открытое множество получается как 
объединение (возможно, бесконечное) и 
конечное пересечение элементов из набора 
$\{U_\alpha\}$.
\ео

\замечание
Любой набор множеств $\{U_\alpha\}\subset
2^M$, такой, что \[ \bigcup_\alpha U_\alpha=M,\] является
предбазой некоторой топологии на $M$. Определим  топологию на $M$
таким образом, что открытые множества получаются
объединениями и конечными пересечениями элементов
$\{U_\alpha\}$. Проверьте, что это топология.
\еза

\замечание
По той же самой причине, базой некоторой топологии на $M$
является любой набор множеств $\{U_\alpha\}\subset
2^M$, который замкнут относительно конечных
пересечений\footnote{{\bf Замкнутость $\{U_\alpha\}$ относительно
конечных пересечений} означает, что для любого конечного
набора $U_1, ... U_k \in \{U_\alpha\}$,
пересечение $\bigcap_i U_i$ лежит в $\{U_\alpha\}$.}
и удовлетворяет $\bigcup_\alpha U_\alpha=M$ (проверьте).
\еза

Пусть $M, M'$ -- топологические пространства.
Пусть ${\cal U}\subset 2^{M\times M'}$ - набор подмножеств
$M\times M'$, состоящий из всех подмножеств
вида $U\times U'$, где $U\subset M$, $U'\subset M'$
открыты. Очевидно, ${\cal U}$ 
замкнуто относительно взятия конечных пересечений
(проверьте это). В силу вышеизложенного,
оно является базой топологии на $M\times M'$.

\определение
Рассмотрим $M\times M'$ с топологией, заданной базой
открытых множеств вида $U\times U'$, где $U\subset M$, $U'\subset M'$
открыты. Это топологическое пространство называется
{\бф произведением $M_1$ и $M_2$}.
\ео

\задача
Докажите, что произведение пространств,
удовлетворяющих первой (второй) аксиоме счетности,
снова удовлетворяет первой (второй) аксиоме счетности.
\ез


Напомним, что хаусдорфово топологическое пространство --
такое пространство, что любые две точки его имеют
непересекающиеся ок\-рес\-тности. 
Произведение хаусдорфовых топологических
пространств снова хаусдорфово. Действительно,
пусть $(x,x')$ и $(y, y')$ - две разные точки в $M\times M'$.
Тогда ибо $x\neq y$, либо  $x'\neq y'$. Предположим,
что верно первое. Возьмем непересекающиеся
окрестности $U, V$ у $x, y$, тогда открытые 
множества $U\times M'$, $V\times M'$ содержат
$(x,x')$ и $(y, y')$ и не пересекаются.

\определение
Отображение $M \arrow M\times M$, $x\stackrel \Delta \arrow (x,x)$
называется {\бф диагональным вложением}, а его
образ - {\бф диагональю}. Докажите, что $\Delta$ непрерывно.
\ео

\задача
Докажите, что пространство $M$ является
хаусдорфовым тогда и только тогда, когда 
диагональ -- замкнутое подмножество в $M \times M$.
\ез

Произведение нескольких топологических пространств
определяется индуктивно:
$(M_1\times M_2)\times M_3\times ...$.
Докажите, что результат не зависит от порядка
расстановки скобок. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Отображения в $M\times M'$}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Пусть на множестве $M$ заданы две топологии: ${\cal U}_1$
и ${\cal U}_2$. Говорится, что {\бф ${\cal U}_1$ слабее
  ${\cal U}_2$}, а {\bf ${\cal U}_2$ сильнее ${\cal U}_1$},
если тождественное отображение $(M, {\cal U}_2) \arrow (M,
{\cal U}_1)$
непрерывно.
\ео


Чем {\ем слабее} топология, тем {\ем больше} 
сходящихся последовательностей, {\ем меньше}
непрерывных функций и {\ем меньше} открытых множеств;
на каждом множестве, кодискретная топология -- самая слабая,
а дискретная -- самая сильная.

Очевидно, топология произведения -- слабейшая 
топология на $M\times M'$ такая, что проекции
$M\times M'\stackrel \pi\arrow M$, $M\times M'\stackrel {\pi'}\arrow M'$
непрерывны. Действительно, предбаза топологии
на $M\times M'$ порождена прообразами
открытых множеств при этих проекциях.

Топологию произведения можно охарактеризовать следующим
образом.

\хфилл

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\утверждение\label{_product_functiorial_Utverzhdenie_}
Пусть $M, M', X$ - топологические пространства,
a $M\times M'\stackrel \pi\arrow M$, $M\times M'\stackrel
{\pi'}\arrow M'$ --
отображения проекции.
Тогда отображение $X \stackrel \phi\arrow M\times M'$
непрерывно тогда и только тогда,
когда непрерывны композиции $\phi \circ \pi$, $\phi \circ\pi'$.
Это задает биекцию между множествами
\begin{equation}\label{_nepre_bie_Equation_}
 \left\{ \begin{minipage}{0.3\linewidth}
{пары непрерывных \\отображений \\ $X\stackrel \phi \arrow
M$, $X\stackrel {\phi'}\arrow M'$}\end{minipage} \right\} 
\leftrightarrow 
\left\{ \begin{minipage}{0.2\linewidth}{непрерывные\\отображения \\ $X\arrow M\times M'$}\end{minipage}\right\}
\end{equation}
{\бф Доказательство:}\\
Биекция \eqref{_nepre_bie_Equation_}
строится так: паре $(\phi, \phi')$ 
ставится в соответствие отображение
$x\stackrel \Phi \arrow (\phi(x), \phi'(x))$. 
Если $\Phi$ непрерывно, то $\phi$, $\phi'$
тоже непрерывны, потому что они получены
композицией $\Phi$ с проекцией. С другой стороны,
\[ 
  \Phi^{-1}(U\times U') = \phi^{-1}(U) \cap
  {\phi'}^{-1}(U')
\]
(проверьте это). Следовательно, $\Phi^{-1}(V)$
открыто для любого открытого $V\subset M\times M'$,
если $\phi, \phi'$ непрерывны.
\endproof

\hfill

Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- любое отображение.
{\бф График $f$} $\Gamma_f\subset X \times Y$ - множество всех пар
вида $(x, f(x))\in X\times Y$. Диагональ является
графиком тождественного отображения.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Произведение метрических пространств}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Обозначим, как и раньше, за $\R^{\geq 0}$
множество всех неотрицательных чисел.

\хфилл

\утверждение
Пусть $(M, d)$ и $(M', d')$ - метрические
пространства, а $\rho:\; (\R^{\geq 0})^2\arrow \R^{\geq 0}$ функция,
удовлетворяющая следующим  условиям: 
\begin{description}
\item[невырожденность:] $\rho(\lambda, \mu)=0$ $\Leftrightarrow$ $\lambda=\mu=0$
\item[субаддитивность:] $\rho(x+y) \leq \rho(x)+\rho(y)$
\item[монотонность:] $\rho (a, b)\geq \rho(a_1, b_1)$, если $a\geq a_1$,
а $b\geq b_1$.
\end{description}
Тогда
\[
d_\rho((x, x'), (y, y')):= \rho(d(x,y), d'(x',y'))
\]
задает метрику на $M\times M'$.

\хфилл

{\бф Доказательство:}
Симметричность $d_\rho$ следует прямо из определения,
а невырожденность -- из невырожденности $\rho$.
Неравенство треугольника выводится так:
\begin{align*}
d_\rho((x, x'), (z, z')) & = 
\rho(d(x,z), d'(x', z'))
\\ \ &\leq \rho(d(x,y)+ d(y,z), d'(x',y')+ d'(y',z'))\\ \ &\leq 
\rho(d(x,y), d'(x',y')) + \rho(d(y, z), d'(y',z'))\\ \ & = 
d_\rho((x, x'), (y, y'))+ d_\rho((y, y'), (z, z')).
\end{align*}
(первое неравенство следует из монотонности,
второе из субаддитивности). \endproof

\хфилл

Рассмотрим функцию $\rho_2(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$.
Эта функция монотонна, субаддитивна и невырождена
(проверьте), а поэтому задает метрику $d_{\rho_2}$
на произведении метрических пространств.
Такая метрика называется {\бф метрикой произведения}. 
Легко видеть, что $\R \times \R \times \R \times ...$
изометрично $\R^n$.

Вместо $\sqrt{x^2 + y^2}$ можно рассматривать
другие функции, например $\rho_\infty(x,y): = \max(x,y)$
и $\rho_1(x,y) := x+y$. Проверьте, что эти функции
тоже задают метрику на $M\times M'$.

\задача
Пусть $a, b \in \R^{\geq 0}$.
Докажите следующие неравенства.
\[
\sqrt{a^2+ b^2}\leq a+b \leq 2 \sqrt{a^2+ b^2}.
\]
\[
\max(a,b) \leq a+b \leq 2 \max(a,b).
\]
\ез

Из первого неравенства следует, что тождественное отображение
\begin{equation}\label{_id_onprod_Equation_}
(M\times M', d_{\rho_2}) \arrow (M\times M', d_{\rho_1})
\end{equation}
липшицево, и обратное ему тоже липшицево. Значит,
\eqref{_id_onprod_Equation_}
является гомеоморфизмом. Из второго неравенства
следует, что тождественное отображение
$(M\times M', d_{\rho_\infty}) \arrow (M\times M',
d_{\rho_1})$ тоже является гомеоморфизмом.

\задача[*]
Будет ли тождественное отображение
\[ (M\times M', d_{\rho_2}) \arrow (M\times M', d_{\rho})\]
липшицевым для любой функции
$\rho:\; (\R^{\geq 0})^2\arrow \R^{\geq 0}$,
которая монотонна, выпукла и невырождена?
Будет ли оно всегда гомеоморфизмом?
\ез

Из определения ясно, что открытые шары
в $(M\times M', d_{\rho_\infty})$ имеют вид
$B_r(x) \times B_r(x')$. Такие шары, очевидно,
открыты в топологии произведения, и поэтому тождественное
отображение \[ M\times M'\arrow (M\times M', d_{\rho_\infty})\]
является непрерывным. Обратное отображение
непрерывно в силу Ут\-вер\-ждения
\ref{_product_functiorial_Utverzhdenie_}, 
поскольку непрерывны проекции
$(M\times M', d_{\rho_\infty}) \arrow M$
и $(M\times M', d_{\rho_\infty}) \arrow M'$
(обе эти проекции липшицевы). 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Полуметрики и полунормы}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Пусть $d:\; M \times M \arrow \R^{\geq 0}$
функция, удовлетворяющая следующим условиям
\begin{description}
\item[Рефлексивность:] $d(x,x)=0$
\item[Симметричность:]\ \  $d(x,y)=d(y,x)$
\item[Неравенство треугольника:]\ \  $d(x,y) \leq d(x, z) + d(z,y)$
\end{description}
для любых точек $x,y,z\in M$.
Тогда $d$ называется {\бф полуметрикой} ("semimetric").
\ео

От определения метрики это отличается только
отсутствием условия невырожденности: $d(x,y)=0$
$\Rightarrow$ $x=y$.

Отметим, что условие $d(x,y)=0$ задает на $M$
отношение эквивалентности, что следует из неравенства
треугольника (проверьте). Более того, если $d(x,y)=0$,
то
\[
d(z,x) + d(x,y) \geq d(y,z), \ \ d(z,y) + d(y,x) \geq d(z,x),
\]
в силу неравенства треугольника. Первое неравенство дает
$d(z,x)  \geq d(y,z)$, а второе -- дает $d(z,x)  \leq d(y,z)$,
поскольку $d(x,y)=0$. Получаем, что $d$ корректно определена на 
множестве $\underline M$ классов эквивалентности по отношению $d(x,y)=0$.
Эта функция является метрикой (проверьте). Мы получили
следующее утверждение

\хфилл

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\утверждение\label{_metrika_iz_polumetriki_Utverzhdenie_}
каждое пространство $(M,d)$ с полуметрикой наделено сюрьективным
отображением $\pi:\; M \arrow \underline M$
в метрическое пространство $(\underline M, \underline d)$,
при этом 
\begin{equation}\label{_semimetric_Equation_}
d(x,y) = \underline d(\pi(x), \pi(y)).
\end{equation}
\endproof

\hfill

Начав с произвольного отображения 
$\pi:\; M \arrow \underline M$ из множества $M$ 
в метрическое пространство $(\underline M, \underline d)$,
определим на $M$ функцию $d$ по формуле
\eqref{_semimetric_Equation_}. Это будет полуметрика
(проверьте). Из Утверждения
\ref{_metrika_iz_polumetriki_Utverzhdenie_}
следует, что любая полуметрика получается таким образом.

В геометрии линейных пространств,
похожим образом определяются полунормы.


\определение
Пусть $V$ - векторное пространство над $\R$, а 
$\nu:\; V \arrow \R^{\geq 0}$ функция со значениями
в неотрицательных числах. Функция $\nu$ называется {\бф полунормой} на
$V$, если имеет место следующее 
\begin{description}
\item[Неравенство треугольника:] $\nu (v+v') \leq \nu(v) + \nu(v')$.
\item[Инвариантность относительно гомотетии:] \ \ 
$\nu(\lambda v) = |\lambda| \nu(v)$,
\end{description}
для любых $v$, $v'\in V$, и  любого $\lambda\in \R$.
\ео

Векторное пространство с полунормой наделено полуметрикой,
по формуле $d(x,y) = \nu(x-y)$. Множество векторов,
удовлетворяющих $\nu(x)=0$, называется {\бф
нуль-пространством} полунормы (nullspace).
Применив конструкцию, описанную в Утверждении
\ref{_metrika_iz_polumetriki_Utverzhdenie_},
мы получим, что отображение $V\arrow \underline V$
это отображение $V$ в его факторпространство по
нуль-пространству, а $\underline V$ - нормированное
векторное пространство.


\определение
Пусть $M$ -- множество, наделенное семейством
полуметрик $\{d_\alpha\}$. {\бф Открытым шаром в полуметрике $d_\alpha$}
называется множество
\[ 
  B_{r,d_\alpha}(x) = \{ y\in M \ \ | \ \ d(x,y) < r\}.
\]
{\бф Топология, заданная семейством полуметрик} - это
топология, построенная по предбазе $B_{r,d_\alpha}(x)$,
для всех $x\in M, d_\alpha \in \{d_\alpha\}, r\in \R^{>0}$.
\ео

\хфилл


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Тихоновская топология}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Обозначим за $\Map(A,B)$ множество всех отображений из 
множества $A$ в $B$.

Пусть $M$ - некоторое множество, а ${\goth I}$ -- набор
индексов (не обязательно конечный или счетный), а 
$M^{\goth I}$ - произведение $M$ на себя ${\goth I}$ раз.
Можно думать про $M^{\goth I}$ как про множество
последовательностей, индексированных элементами из ${\cal
I}$, или как про множество отображений $\Map({\goth I}, M)$.

\hfill


Пусть $M$ топологическое пространство, ${\goth I}$ -- набор
индексов, $\alpha \in {\goth I}$, 
а $\pi_\alpha:\; M^{\goth I} \arrow M$ -- проекция из 
$M^{\goth I}$ на компонентu с индексом $\alpha$.
Если мы отождествим  $M^{\goth I}$  с $\Map({\goth I}, M)$,
то $\pi_\alpha$ переводит отображение $f:\; {\goth I}\arrow M$
в $f(\alpha)$.

Для какого-то набора индексов $\alpha_1, ..., \alpha_n \in {\goth I}$,
обозначим за \[ \pi_{\alpha_1, ..., \alpha_n}:\; M^{\goth I}\arrow M^n\]
проекцию $M^{\goth I}$ на произведение компонент с
индексами $\alpha_1, ..., \alpha_n$.

\хфилл

\утверждение
В этих условиях, пусть ${\cal U}$ - слабейшая топология на $M^{\goth I}$,
в которой непрерывны все отображения $\pi_\alpha$.
Тогда ${\cal U}$ задается предбазой вида 
\[ \{ \pi_\alpha^{-1}(U)\ \ | \ \ \alpha \in {\goth I}, 
U \subset M,\ \  \text{$U$ открыто}\}.
\]
Кроме того, ${\cal U}$ задается базой вида 
\[
 \{ \pi_{\alpha_1, ..., \alpha_n}^{-1}(U_1\times U_2 \times ... \times U_n)\ \ 
| \ \ \alpha_1, ..., \alpha_n  \in {\goth I}, 
\ \ U_i \subset M,\ \  \text{$U_i$ открыты}\}.
\]
{\бф Доказательство:} 
Множества $\pi_\alpha^{-1}(U)$ 
открыты в силу непрерывности $\pi_\alpha$,
и порождают слабейшую топологию, в которой
все $\pi_\alpha$ непрерывны. Пересечение
таких множеств имеет вид 
\[
\bigcap_i \pi_{\alpha_i}^{-1}(U_i)=
 \pi_{\alpha_1, ..., \alpha_n}^{-1}(U_1\times U_2 \times ... \times U_n),
\]
а конечные пересечения множеств из предбазы образуют базу
(докажите это).
\endproof

\определение
Построенная выше топология на $M^{\goth I}$
называется {\бф тихоновской топологией}, или 
{\бф топологией произведения}.
\ео

\задача
Пусть $M$ -- хаусдорфово топологическое пространство.
Докажите, что $M^{\goth I}$ хаусдорфово.
\ез

\хфилл

\утверждение
Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство. 
Для каждого индекса $\alpha \in {\goth I}$,
определим полуметрику $d_\alpha$ на $M^{\goth I}$
по формуле $d_\alpha(x,y) = d(\pi_\alpha(x), \pi_\alpha(y))$.
Рассмотрим топологию ${\cal U}_1$, определенную на $M$ системой
полунорм $d_\alpha$. Тогда эта топология совпадает с
тихоновской.

\хфилл

\ноиндент
{\бф Доказательство:}
Предбазой для топологии ${\cal U}_1$
являются множество открытых шаров вида $B_{r,d_\alpha}(x)$.
Очевидно, \[ B_{r,d_\alpha}(x)=\pi_\alpha^{-1}(U), \]
где $U= B_r(\pi_\alpha(x))$ -- это открытый шар в 
$M$ (докажите это). Поэтому предбаза для
топологии ${\cal U}_1$ является предбазой для
тихоновской топологии, и эти две топологии совпадают.
\endproof

\определение
Пусть $(M, \{d_\alpha\})$ пространство с семейством
полуметрик, а $\{x_i\}$ -- последовательность точек в $M$.
Мы говорим, что $\{x_i\}$ -- {\бф последовательность Коши
относительно этого семейства полуметрик}, если 
для каждого индекса $\alpha$, и для каждого $\epsilon >0$,
почти все элементы $\{x_i\}$ лежат в $\epsilon$-шаре 
$B_{\epsilon,d_\alpha}(x)$. Мы говорим, что $(M, \{d_\alpha\})$
{\бф полно}, если каждая последовательность Коши 
имеет предел в топологии, заданной полуметриками.
\ео

\хфилл

\теорема\label{_prod_polno_Teorema_}
Пусть $M$ -- полное метрическое
пространство, а ${\goth I}$ - некоторый набор индексов.
Рассмотрим $M^{\goth I}$ с тихоновской топологией, и
полуметриками, заданными выше. Тогда $M^{\goth I}$ 
полно.

\хфилл

{\бф Доказательство:} Пусть $\{x_i\}\in M^{\goth I}$ -
последовательность Коши. Отождествляя $M^{\goth I}$ 
с $\Map({\goth I}, M)$, как выше, мы можем рассматривать
$x_i$ как отображения ${\goth I}\stackrel{x_i}\arrow M$.
По определению, $\{x_i\}$ является последовательностью
Коши тогда и только тогда, когда для каждого индекса
$\alpha \in {\goth I}$, образы $\{x_i(\alpha)\}$
задают последовательность Коши в $M$.
Поскольку $M$ полно, последовательность Коши 
$\{x_i(\alpha)\}$ сходится к элементу $x(\alpha)\in M$.
Это задает отображение ${\goth I}\stackrel{x}\arrow M$,
которое и будет пределом $\{x_i\}$.
\endproof

\hfill

Из этого доказательства ясно,
что последовательность \[ \{x_i\}\in \Map({\goth I}, M)\]
сходится к ${\goth I}\stackrel{x}\arrow M$ в 
тихоновской топологии тогда и только тогда, когда последовательность
$\{x_i(\alpha)\}$ сходится для любого индекса $\alpha$.
Поэтому тихоновскую топологию называют еще
{\бф топологией поточечной сходимости},
и {\бф топологией почленной сходимости}.

Когда $M=\R$, а ${\goth I}=\N$ (множество натуральных чисел), 
$M^{\goth I}$ -- это множество последовательностей
вещественных чисел, с топологией почленной сходимости.
Эту топологию часто называют {\бф слабой топологией}.

Слабую топологию открыл венгерский математик Фридьеш Рисс.

\begin{figure}[ht]
\begin{center}\ \\
\epsfig{file=Frigyes_Riesz.eps,width=0.5\linewidth}\\
{Frigyes Riesz\\
(1880 -- 1956)}
\end{center}
\end{figure}

Довольно рано стало ясно, что ее невозможно задать 
никакой нормой. Обнаружив это, Рисс придумал
в 1909-м году определение топологического пространства
(независимое от нормы и метрики), основанное
на понятии замыкания. Таким образом появилось
первое определение топологического пространства.
Впоследствии идеи Рисса развил Хаусдорф, получив
современное определение топологического пространства.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Пространства Фреше}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $V$ векторное пространство, на котором задана
топология ${\cal U}$. Пространство $(V,  {\cal U})$
называется {\бф топологическим векторным пространством},
если  $x,y \arrow x+y$ непрерывно как отображение
$V \times V \arrow V$, и для любого ненулевого $\lambda\in \R$,
отображение $x \arrow \lambda x$ задает гомеоморфизм
из $V$ в $V$.
\ео

Топология на топологическом векторном пространстве
не обязательно задается нормой (даже если у пространства
есть счетная база). Во многих случаях, топология задается 
не нормой, а системой полунорм. Есть и более экзотические 
способы задания топологии.

\определение
Пространство $V$ с системой полунорм $\{d_\alpha\}$ называется
{\бф пространством Фреше} ("Fr\'echet space"), если эта система задает на $V$
хаусдорфову топологию, и $V$ полно как пространство с 
семейством полунорм.
\ео

Напомним, что векторное пространство с нормой
называется {\бф банаховым}, если оно полно как
метрическое пространство. Банахово пространство
является (дурацким) примером пространства Фреше.
Другим примером пространства Фреше является
пространство $\R^\N$ последовательностей вещественных
чисел, с топологией почленной сходимости
(оно полно, как следует из Теоремы
\ref{_prod_polno_Teorema_}). 
Можно доказать, что эта топология на 
$\R^\N$ не может быть задана никакой нормой.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Тихоновский куб и гильбертов куб}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Рассмотрим отрезок $[0,1]$, и пусть $[0,1]^{\N}$ --
множество последовательностей точек из $[0,1]$.
Для $\{x_i\}, \{y_i\}\in [0,1]^{\N}$, определим
\[ 
  d_h(\{x_i\}, \{y_i\}):= \sqrt{\sum^\infty_{i=1} \frac{|x_i-y_i|^2}{i^2}}
\]
Легко видеть, что $d_h$ задает метрику на $[0,1]^{\N}$ 
(докажите).

\определение
Построенное таким образом метрическое
про\-с\-т\-ранство $([0,1]^{\N}, d_h)$ называется
{\бф гильбертов куб} ("Hilbert cube").
\ео

\определение
Пространство $[0,1]^{\N}$ с топологией произведения
называется {\бф тихоновский куб} ("Tychonoff cube").
\ео

\хфилл

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\теорема\label{_Hilb_Tych_Theorem_}
Тождественное отображение
задает гомеоморфизм между тихоновским
кубом и гильбертовым кубом.

\хфилл

\noindent
{\бф Доказательство:}\\
\noindent
{\бф Шаг 1.} Пусть $I_h$ -- это гильбертов куб, $I_t$ -- тихоновский
куб. Обозначим за $\pi_n:\; [0,1]^{\N} \arrow [0,1]$ проекцию
$\{x_i\}\arrow x_n$. Поскольку отображение \[ \pi_n:\; I_h\arrow [0,1]\]
$n^2$-липшицево (докажите), проекции $\pi_n$  непрерывны на $I_h$.

\хфилл

\noindent
{\бф Шаг 2.} Для любого топологического пространства
$X$, отображение $X \stackrel \phi\arrow I_t$ 
непрерывно тогда и только тогда, когда композиция $\phi\circ \pi_i$
непрерывна для всех $i$
(это следует из определения тихоновского куба;
см. также доказательство 
Утверждения \ref{_product_functiorial_Utverzhdenie_}).

Поскольку проекции $\pi_n:\; I_h\arrow [0,1]$ 
непрерывны (Шаг 1), тождественное отображение 
$I_h \arrow I_t$
непрерывно.

\хфилл

\noindent
{\бф Шаг 3.} \\
{\bf Лемма:}
Пусть $(M, \{d_\alpha\})$ - пространство с топологией,
заданной системой полуметрик $\{d_\alpha\}$,
а $d_\alpha(x, \cdot):\; M \arrow \R$
функция, которая переводит $y$ в $d_\alpha(x, y)$.
Тогда функция $d_\alpha(x, \cdot)$ непрерывна.

\хфилл

\noindent
{\бф Доказательство:} Открытый шар
$B_{r,d_\alpha}(x)$ открыт по определению.
Замкнутый шар 
\[
\bar B_{r,d_\alpha}(x)= \{ y \in M \ \ | \ \ d_\alpha(x, y) \leq r\}
\]
замкнут, поскольку каждая точка $y$, которая ему не принадлежит,
принадлежит открытому шару $B_{\epsilon,d_\alpha}(x)$,
для любого $\epsilon < d(y,x) -r$, который не пересекается с 
$\bar B_{r,d_\alpha}(x)$. Поэтому прообраз любого открытого отрезка
\[
  d_\alpha(x, \cdot)^{-1}(]\alpha, \beta[)
\]
открыт (это дополнение открытого шара до замкнутого).


\hfill

\noindent
{\бф Шаг 4.} 
Пусть ${\goth v}=\{x_i\}\in [0,1]^{\N}$ -- любая последовательность.
Рассмотрим функцию
$\mu_{\goth v}:\; I_t \arrow \R$,
\[
\mu_{\goth v}(\{y_i\}):= \sum_{k=1}^\infty \frac {d_k(\{x_i\}, \{y_i\})}{k^2}
\]
где $d_k(\{x_i\}, \{y_i\})= |x_k- y_k|$.
Поскольку $d_k$ это $k$-я полуметрика, используемая
для определения тихоновской топологии, 
 функция \[ \{y_i\}\arrow d_k(\{x_i\}, \{y_i\})\]
непрерывна в силу леммы, доказанной в Шаге 3.
Поэтому функция $\mu_{\goth v}$ тоже непрерывна.

\хфилл

\noindent
{\бф Шаг 5.}\\ 
\ноиндент
{\бф Лемма:}
Пусть $f:\; X \arrow M$ -- отображение из топологического
пространства в метрическое пространство $(M, d)$.
Для любой точки $z\in M$, рассмотрим функцию $d_z:\; M
\arrow \R^{\geq 0}$,
$d_z(x):= d(z,x)$. Тогда $f$ непрерывна тогда и только
тогда, когда композиции $f\circ d_z:\; Z \arrow \R$ непрерывны
для всех $z$.

\хфилл

\ноиндент
{\бф Доказательство:}
Функции $d_z$ непрерывны, ибо они 1-липшицевы.
Поэтому если $f$ непрерывна, то композиции $f\circ d_z$ тоже
непрерывны. С другой стороны, 
\[ (f\circ d_z)^{-1}([0, \alpha[) = f^{-1}(B_\alpha(z)),\]
поэтому из непрерывности $f\circ d_z$ следует
открытость $f^{-1}(B_\alpha(z))$, что влечет
непрерывность $f$.



\хфилл

\noindent
{\бф Шаг 6.} Рассмотрим тождественное отображение
$I_t\stackrel\iota \arrow I_h$. Непрерывность $\iota^{-1}$
доказана на шаге 1, поэтому чтобы убедиться, что
$\iota$ это гомеоморфизм, достаточно доказать, что
это отображение непрерывно. В силу леммы из Шага 5,
для этого достаточно доказать, что функция
$d_h({\goth v}, \cdot):\; I_t \arrow \R$ непрерывна,
для любого ${\goth v}=\{x_i\}\in [0,1]^\N$.
Эта функция может быть явно записана как 
\[
\mu_{\goth v}(\{y_i\}):= \sum_{k=1}^\infty \frac {d_k(\{x_i\}, \{y_i\})}{k^2}
\]
и на шаге 4 мы доказали, что она непрерывна.
Теорема \ref{_Hilb_Tych_Theorem_} 
доказана. Тихоновский куб гомеоморфен гильбертову!
\endproof



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{История, замечания}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Я называл "тихоновским кубом" пространство
$[0,1]^\N$ -- произведение счетного числа
интервалов. Но никто не мешает нам взять в
качестве множества индексов любое 
множество $A$, например несчетное. 
Пространство $[0,1]^A$ с тихоновской 
топологией тоже называется
тихоновским кубом. Оно компактно.



Для $[0,1]^\N$ этот удивительный факт,
который называется теоремой Тихонова,
можно вывести из гомеоморфизма $[0,1]^\N$
и гильбертова куба. Но для общего $A$
доказательство компактности $[0,1]^A$  
имеет другую природу, и
кажется совершенно неправдоподобным.


\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\epsfig{file=Tikhonov.eps,width=0.55\linewidth}\\
{Андрей Николаевич Тихонов\\
(1906 -- 1993)}
\end{center}
\end{figure}


Тихонов доказал свою теорему в 1924-м году (ему
было тогда 18 лет). В том же 1924-м году он доказал
теорему о метризации -- любое хаусдорфово топологическое
пространство со счетной базой, которое нормально
(то есть удовлетворяет аксиоме Хаусдорфа Т4)
метризуемо. Этот результат был немедленно
(в 1925-м году) опубликован в Mathematische Annalen,
тогда же вошел в переиздание учебника Хаусдорфа и стал
широко известен. 
 
Теорема Тихонова не была опубликована вплоть до 1930-го
года, а ее полная версия (любое произведение компактов
компактно), также известная Тихонову, не была опубликована 
им никогда: ее доказал независимо от Тихонова 
чешский математик Эдуард Чех (Eduard \v Cech) в 1937-м году. 

Дело в том, что среди 
старших товарищей Тихонова много лет никто не 
верил, что подобное утверждение может быть вообще 
верно.
Теорема Тихонова (и его работа
1930-го года с публикацией) - самая цитируемая
и знаменитая теорема общей топологии. Но в
1920-х и начале 1930-х, когда Тихонов занимался
чистой математикой, он был знаменит в основном
работами о метризации.

Причина этого, видимо, лежит в парадоксальности
самого понятия тихоновской топологии на произведении
топологических пространств.
Сейчас свежесть и необычность этого определения
не ощущается, но в 1924-м году оно
было в полной мере революционным. 










\end{document}



