

\documentclass{slides}

\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}


\usepackage{amsmath, amssymb, amscd, color,  epsfig}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}
\def\goth{\mathfrak}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Топология, первый курс, второй семестр\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother


   \setlength\paperheight {9in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}



\begin{document}

\setcounter{page}{0}

\ \newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Топология, лекция 6: \\[3mm] Произведения
  топологических пространств}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 3 марта, 2008\\
Независимый Университет}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

{\bf \blue База топологии. Предбаза топологии.}

{\bf \green Определение:}
{\bf \blue Базой топологии} на $M$ называется
такой набор открытых подмножеств $\{U_\alpha\}\subset
2^M$, что любое открытое множество получается как 
объединение элементов $\{U_\alpha\}$. 


{\bf \green Определение:}
{\bf \blue Предбазой топологии} на $M$ называется
такой набор открытых подмножеств $\{U_\alpha\}\subset
2^M$, что любое открытое множество получается как 
объединение и конечное пересечение элементов из 
$\{U_\alpha\}$.

{\bf \red Замечание:}
Любой набор множеств $\{U_\alpha\}\subset
2^M$, такой, что $\bigcup_\alpha U_\alpha=M,$ является
предбазой некоторой топологии на $M$. 


{\bf \red Замечание:}
Любой набор множеств $\{U_\alpha\}\subset
2^M$, замкнутый относительно конечных
пересечений, и такой, что $\bigcup_\alpha U_\alpha=M,$ является
базой некоторой топологии на $M$. 


\newpage

{\bf \blue База топологии: основные свойства.}

{\bf \red Утверждение:}
Пусть $M$ -- топологическое пространство, а
$\{U_\alpha\}\subset 2^M$ -- набор открытых подмножеств
в $M$. Тогда следующие утверждения равносильны.

{\bf \purple 1.}  $\{U_\alpha\}$ {\bf \green является базой топологии
  на $M$.}

{\bf \purple 2.}  Для каждого $x\in M$, и каждой
окрестности $U\ni x$, {\bf \green найдется окрестность $U_\alpha\in
\{U_\alpha\}$, такая, что
\[
x\in U_\alpha \subset U.
\]}

{\bf \green Пример:} Открытые шары в метрическом пространстве.

\newpage

{\bf \blue Произведение топологических пространств}

Пусть $M, M'$ -- топологические пространства,
а ${\cal U}\subset 2^{M\times M'}$ - набор подмножеств
$M\times M'$ вида $U\times U'$, где $U\subset M$, $U'\subset M'$
открыты. Имеем
\[
U_1\times U'_1 \cap U_2\times U'_2 = (U_1\cap U_2) \times (U'_1\cap U'_2),
\]
и поэтому {\purple ${\cal U}$  замкнут относительно 
конечных пересечений.} Следовательно, {\bf \red ${\cal U}$ -- это
база топологии на $M\times M'$}

{\bf \green Определение:}
Рассмотрим $M\times M'$ с топологией, заданной базой
открытых множеств вида $U\times U'$, где $U\subset M$, $U'\subset M'$
открыты. Это топологическое пространство называется
{\bf \blue  произведением $M_1$ и $M_2$}.


{\bf \green Свойства произведения:} Если в $M$, $M'$
выполнены следующие аксиомы, то и в $M\times M'$ 
они тоже выполнены.

{\bf \red
1. Первая и вторая аксиома счетности.

2. Аксиомы Хаусдорфа T1 и T2.}



\newpage

{\bf \blue Диагональ и график.}


{\bf \green Определение:}
Отображение $M \arrow M\times M$, $x\stackrel \Delta \arrow (x,x)$
называется {\bf \blue диагональным вложением}, а его
образ - {\bf\blue диагональю}. 

{\bf \green Свойства диагонали:}

{\bf \purple
1. Отображение $M \stackrel \Delta\arrow M\times M$ непрерывно.

2.  $M$ хаусдорфово тогда и только тогда, когда диагональ
замкнута.
}

{\bf \green Определение:} Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- любое отображение.
{\bf \blue График $f$} $\Gamma_f\subset X \times Y$ - множество всех пар
вида $(x, f(x))\in X\times Y$. Диагональ является
графиком тождественного отображения.

{\bf \green Утверждение:}  {\bf \red График непрерывного 
отображения хаусдорфовых 
пространств замкнут:} он является прообразом диагонали
при непрерывном отображении 
\[  X \times Y \stackrel{f\times \Id}\arrow Y \times Y
\]

\newpage

{\bf \blue Слабость и сила топологии}

{\bf \green Определение:}
Пусть на множестве $M$ заданы две топологии: ${\cal U}_1$
и ${\cal U}_2$. Топология {\bf\blue ${\cal U}_1$ слабее ${\cal U}_2$},
если тождественное отображение $(M, {\cal U}_2) \arrow (M,
{\cal U}_1)$ непрерывно. В этом случае еще говорят 
{\bf\blue ${\cal U}_2$ сильнее ${\cal U}_1$}.

{\bf \green Замечание:} {\bf \red Это равносильно ${\cal U}_1\subset {\cal U}_2$.}

Чем {\green слабее} топология, тем {\green больше} 
сходящихся последовательностей, {\green меньше} 
непрерывных функций, и {\green меньше} открытых множеств.

{\bf \purple На каждом множестве, кодискретная топология -- самая слабая,
а дискретная -- самая сильная.}

{\bf\green  Пример:} Равномерная сходимость на пространстве
функций задает топологию, которая сильнее 
топологии поточечной сходимости.

{\bf\green  Определение:} Если на множестве заданы
топологии ${\cal U}_1$ и ${\cal U}_2$, при этом ${\cal U}_1$ 
не слабее и не сильнее ${\cal U}_2$, говорят, что топологии
${\cal U}_1$ и ${\cal U}_2$ {\bf \blue несравнимы.}


\newpage

{\bf \blue Отображения в $M\times M'$.}

{\bf \green Замечание:} Топология произведения -- 
слабейшая топология на $M\times M'$ такая, что проекции
$M\times M'\stackrel \pi\arrow M$, $M\times M'\stackrel {\pi'}\arrow M'$
непрерывны. {\red Действительно, предбаза топологии
на $M\times M'$ порождена прообразами
открытых множеств.}

{\bf \green Утверждение:}
{\bf \blue Отображение $X \stackrel \phi\arrow M\times M'$
непрерывно тогда и только тогда,
когда непрерывны композиции $\phi \circ \pi$, $\phi
\circ\pi'$.}

Это задает биекцию
\[  
\left\{ \begin{minipage}{0.3\linewidth}
{пары непрерывных \\отображений \\ $X\stackrel \phi \arrow
M$, $X\stackrel {\phi'}\arrow M'$}\end{minipage} \right\} 
\leftrightarrow 
\left\{ \begin{minipage}{0.2\linewidth}{непрерывные\\отображения \\ $X\arrow M\times M'$}\end{minipage}\right\}
\]
\newpage

{\bf \blue Произведение нескольких пространств.}

{\bf \green Определение.}
Произведение нескольких топологических пространств
определяется индуктивно:

\[ M_1 \times M_2 \times M_3 \times ... = (M_1\times M_2)\times M_3\times ...
\]

Аналогично задается биекция
\[  \left\{ \begin{minipage}{0.3\linewidth}
{$n$-ки непрерывных \\отображений \\ $X\stackrel {\phi_i} \arrow
M_i$, $i=1, ..., n$}\end{minipage} \right\} 
\leftrightarrow 
\left\{ \begin{minipage}{0.3\linewidth}{непрерывные\\отображения \\ $X\arrow M_1 \times M_2 \times\cdots$}\end{minipage}\right\}
\]


{\bf \red Замечание:}\\
{\green \bf Из этого свойства следует ассоциативность произведения:}
\[ (M_1\times M_2)\times M_3 = M_1\times (M_2\times M_3).
\]
Действительно, из $M_1\times (M_2\times M_3)$
есть каноническое отображение в $(M_1\times M_2)\times M_3$,
которое получается из этого соответствия.


\newpage


{\bf \blue Произведение метрических пространств.}

{\bf \green Утверждение.}
Пусть $(M, d)$ и $(M', d')$ - метрические
пространства, а $\rho:\; (\R^{\geq 0})^2\arrow \R^{\geq 0}$ функция,
удовлетворяющая следующим  условиям: 

{\bf \purple невырожденность:} 
$\rho(\lambda, \mu)=0$ $\Leftrightarrow$ $\lambda=\mu=0$

{\bf \purple субаддитивность:} $\rho(x+y) \leq \rho(x)+\rho(y)$

{\bf \purple монотонность:} $\rho (a, b)\geq \rho(a_1, b_1)$, если $a\geq a_1$,
а $b\geq b_1$.

Тогда
\[
d_\rho((x, x'), (y, y')):= \rho(d(x,y), d'(x',y'))
\]
{\bf \blue задает метрику на $M\times M'$.}

\newpage

{\bf \blue Произведение метрических пространств
(продолжение).}

Неравенство треугольника в $(M\times M', d_\rho)$
доказывается так:
\begin{align*}
d_\rho((x, x'), (z, z')) & = 
\rho(d(x,z), d'(x', z'))
\\ \ &\leq \rho(d(x,y)+ d(y,z), d'(x',y')+ d'(y',z'))\\ \ &\leq 
\rho(d(x,y), d'(x',y')) + \rho(d(y, z), d'(y',z'))\\ \ & = 
d_\rho((x, x'), (y, y'))+ d_\rho((y, y'), (z, z')).
\end{align*}

{\bf \purple Примеры функций $\rho$, удовлетворяющих этим условиям:}

1.  $\rho_1(x,y) = x+y$  \\ 2. $\rho_2(x,y)= \sqrt{x^2 + y^2}$ \\
3. $\rho_\infty(x,y) = \max(x,y)$.

{\bf \green Определение:} Пусть $M, M'$ -- метрические
пространства. Рассмотрим $(M\times M', d_{\rho_2})$,
построенное выше. Оно называется {\bf\blue произведением 
$M\times M'$}.

\newpage

{\bf\blue Произведение метрических пространств и топология}

{\bf\green Определение:}
Пусть $f:\; M_1 \arrow M_2$ - биективное отображение
метрических пространств. Оно называется {\bf \blue
билипшицевым}, если $f$ и $f^{-1}$ липшицевы.

{\bf \red Билипшицево отображение -- гомеоморфизм.}

{\bf \green Замечание:} Из неравенств
\[
\sqrt{a^2+ b^2}\leq a+b \leq 2 \sqrt{a^2+ b^2}.
\]
\[
\max(a,b) \leq a+b \leq 2 \max(a,b).
\]
следует, что тождественные отображения
\[
(M\times M', d_{\rho_2}) \arrow (M\times M', d_{\rho_1})
\]
\[
(M\times M', d_{\rho_\infty}) \arrow (M\times M', d_{\rho_1})
\]
{\bf \blue являются гомеоморфизмами} (они билипшицевы).

\newpage


{\bf\blue Произведение метрических пространств и топология (2)}

{\bf \red Утверждение:}
Тождественное отображение
\[ M\times M'\stackrel \Id\arrow (M\times M', d_{\rho_\infty})\]
гомеоморфизм.

{\bf \purple Доказательство:}\\
{\bf \green Шаг 1:} Открытые шары
в $(M\times M', d_{\rho_\infty})$ имеют вид
$B_r(x) \times B_r(x')$. Следовательно, 
$M\times M'\stackrel \Id\arrow (M\times M', d_{\rho_\infty})$
непрерывно.


{\bf \green Шаг 2:} Проекции 
$(M\times M', d_{\rho_\infty})\stackrel {\pi}\arrow M$,
$(M\times M', d_{\rho_\infty})\stackrel {\pi'}\arrow M'$ непрерывны,
потому что они липшицевы. 

{\bf \green Шаг 3:}
Отображение $X \arrow M\times M'$ непрерывно
тогда и только тогда, когда его композиции с $\pi, \pi'$
непрерывны. Поэтому 
\[ (M\times M', d_{\rho_\infty})\stackrel \Id\arrow M\times M'\]
непрерывно.

\newpage

{\bf \blue Полуметрики: определение}

{\bf \green Определение:}\\
Пусть $d:\; M \times M \arrow \R^{\geq 0}$
функция, такая, что выполнены:\\
{\bf \purple Рефлексивность:} $d(x,x)=0$\\
{\bf \purple Симметричность:}  $d(x,y)=d(y,x)$\\
{\bf \purple Неравенство треугольника:}\ \  $d(x,y) \leq d(x, z) + d(z,y)$

Тогда $d$ называется {\bf \blue полуметрикой}

{\red От определения метрики это отличается только
отсутствием условия невырожденности: $d(x,y)=0$
$\Rightarrow$ $x=y$.}

{\bf \green Определение:} \\
{\bf\blue Открытым шаром в полуметрике $d$}
называется множество
\[ 
  B_{r,d}(x) = \{ y\in M \ \ | \ \ d(x,y) < r\}.
\]
Открытые шары задают на $M$ топологию, {\red нехаусдорфову
если $M$ не метрика.}


{\bf \green Замечание:}\\
Условие $d(x,y)=0$ задает на $M$
отношение эквивалентности.



\newpage


{\bf \blue Полуметрики и метрики}

Если $d(x,y)=0$, то
\[
d(z,x) + d(x,y) \geq d(y,z), \ \ d(z,y) + d(y,x) \geq d(z,x),
\]
поэтому $d(z,x) = d(y,z)$. {\bf\purple
Следовательно, функция $d$ корректно определена на 
множестве $\underline M$ классов эквивалентности по отношению $d(x,y)=0$.
} {\bf \red Она задает метрику на $\underline M$.}

{\bf \green Утверждение:} 
Каждое пространство $(M,d)$ с полуметрикой наделено сюрьективным
отображением $\pi:\; M \arrow \underline M$
в метрическое пространство $(\underline M, \underline d)$,
при этом 
\[
d(x,y) = \underline d(\pi(x), \pi(y)). \ \ \ \ (*)
\]

{\bf \green Замечание:} Если задано отображение 
$\pi:\; M \arrow \underline M$ в метрическое пространство,  
то формула (*) определяет
на $M$ полуметрику.

\newpage

{\bf \blue Полунормы на векторном пространстве}

{\bf \green Определение:}
Пусть $V$ - векторное пространство над $\R$.
Функция $\nu:\; V \arrow \R^{\geq 0}$ называется 
{\bf \blue полунормой} на
$V$, если имеет место следующее 

{\bf \purple Неравенство треугольника:} $\nu (v+v') \leq \nu(v) + \nu(v')$.\\
{\bf \purple Инвариантность относительно гомотетии:}
$\nu(\lambda v) = |\lambda| \nu(v)$.

{\bf \red Векторное пространство с полунормой наделено полуметрикой,
по формуле $d(x,y) = \nu(x-y)$. }

{\bf \green Определение:} Множество векторов,
удовлетворяющих $\nu(x)=0$, называется {\bf \blue
нуль-пространством} полунормы.

{\bf \green Замечание:} Отображение $V\arrow \underline V$
это отображение $V$ в его факторпространство по
нуль-пространству, а $\underline V$ - нормированное
векторное пространство.

\newpage

{\bf \blue Тихоновская топология}

{\bf \green Обозначения:}
{\red $\Map(A,B)$ -- множество всех отображений из  $A$ в $B$}

Пусть $M$ - некоторое множество, а ${\goth I}$ -- набор
индексов (не обязательно конечный или счетный). {\red  Обозначим за
$M^{\goth I}$ произведение $M$ на себя ${\goth I}$ раз.}

{\bf Замечание:} Пространство
$M^{\goth I}$ естественно отождествляется с $\Map({\goth I}, M)$

Если $\alpha \in {\goth I}$, 
обозначим за $\pi_\alpha:\; M^{\goth I} \arrow M$ {\red проекцию из 
$M^{\goth I}$ на компоненту с индексом $\alpha$.}

Для набора индексов $\alpha_1, ..., \alpha_n \in {\goth I}$,
обозначим за \[ \pi_{\alpha_1, ..., \alpha_n}:\; M^{\goth I}\arrow M^n\]
{\red проекцию $M^{\goth I}$ на произведение компонент с
индексами $\alpha_1, ..., \alpha_n$.}

\newpage

{\bf \blue Тихоновская топология (продолжение)}


{\bf \green Утверждение:} Пусть $M$ -- топологическое пространство,
а ${\cal U}$ - слабейшая топология на $M^{\goth I}$,
в которой непрерывны все отображения $\pi_\alpha$.
 Тогда {\bf \purple ${\cal U}$ задается предбазой вида
\[ \{ \pi_\alpha^{-1}(U)\ \ | \ \ \alpha \in {\goth I}, 
U \subset M,\ \  \text{$U$ открыто}\}.
\]}
Кроме того, {\bf \purple ${\cal U}$ задается базой вида 
\[
 \{ \pi_{\alpha_1, ..., \alpha_n}^{-1}(U_1\times U_2 \times ... \times U_n)\ \ 
| \ \ \alpha_1, ..., \alpha_n  \in {\goth I}, 
\ \ U_i \subset M,\ \  \text{$U_i$ открыты}\}.
\]}

{\bf \green Доказательство:} Предбаза $\pi_\alpha^{-1}(U)$
состоит из прообразов открытых множеств на $M$. Конечные
пересечения элементов из $\pi_\alpha^{-1}(U)$ задают
$\pi_{\alpha_1, ..., \alpha_n}^{-1}(U_1\times U_2 \times ... \times U_n)$,
потому что
\[
\bigcap_i \pi_{\alpha_i}^{-1}(U_i)=
 \pi_{\alpha_1, ..., \alpha_n}^{-1}(U_1\times U_2 \times ... \times U_n),
\]

{\bf \green Определение:} Такая топология на $M^{\goth I}$
называется {\bf \blue тихоновской}, или  {\bf \blue топологией
произведения,} или {\bf \blue  слабой топологией}.

\newpage

{\bf Тихоновская топология (продолжение)}

{\bf \green Замечание:} $M^{\goth I}$ хаусдорфово, если $M$ хаусдорфово.

{\bf \green Замечание:} Отображение
$X \arrow M^{\goth I}$ непрерывно тогда и только тогда,
когда непрерывны его композиции с $\pi_\alpha$, для всех $\alpha \in {\goth I}$.

{\bf \green Определение:} Пусть на множестве
$M$ задана набор полуметрик $\{d_\alpha\}$.
{\bf \blue Топология, заданная семейством полуметрик $\{d_\alpha\}$} - это
топология, построенная по предбазе $B_{r,d_\alpha}(x)$,
для всех $x\in M, d_\alpha \in \{d_\alpha\}, r\in \R^{>0}$.

{\bf \red Утверждение:}
Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство. 
Для каждого индекса $\alpha \in {\goth I}$,
определим полуметрику $d_\alpha$ на $M^{\goth I}$
по формуле \[ d_\alpha(x,y) = d(\pi_\alpha(x), \pi_\alpha(y)).\]
Рассмотрим топологию ${\cal U}_1$, определенную на $M$ системой
полунорм $d_\alpha$. {\bf \red Тогда эта топология совпадает с
тихоновской.}

{\bf \green Доказательство:}
Предбаза для тихоновской топологии -- прообразы открытых шаров
$\pi_\alpha^{-1}(B_r(x)$. Топология ${\cal U}_1$ задается той же предбазой.

\newpage

{\bf \blue Полнота семейства полуметрик}

{\bf \green Определение:}
Пусть $(M, \{d_\alpha\})$ пространство с семейством
полуметрик, а $\{x_i\}$ -- последовательность точек в $M$.
Говорится, что $\{x_i\}$ -- {\bf \blue последовательность Коши
относительно этого семейства полуметрик}, если 
{\purple для каждого индекса $\alpha$, и для каждого $\epsilon >0$,
почти все элементы $\{x_i\}$ лежат в $\epsilon$-шаре 
$B_{\epsilon,d_\alpha}(x)$.} Говорится, что $(M, \{d_\alpha\})$
{\bf \blue  полно}, если {\purple  каждая последовательность Коши 
имеет предел в топологии, заданной полуметриками.}

{\bf \red Утверждение:}
Пусть $M$ -- полное метрическое
пространство, а ${\goth I}$ - некоторый набор индексов.
Рассмотрим $M^{\goth I}$ с тихоновской топологией, и
полуметриками $d_\alpha$, заданными выше. Тогда $M^{\goth I}$ 
полно.

{\bf \green Доказательство:} \\{\scriptsize Пусть $\{x_i\}\in M^{\goth I}$ -
последовательность Коши. Отождествляя $M^{\goth I}$ 
с $\Map({\goth I}, M)$,  мы можем рассматривать
$x_i$ как отображения ${\goth I}\stackrel{x_i}\arrow M$.

По определению, $\{x_i\}$ является последовательностью
Коши $\Leftrightarrow$ для каждого индекса
$\alpha \in {\goth I}$, образы $\{x_i(\alpha)\}$
задают последовательность Коши в $M$.

Поскольку $M$ полно, последовательность Коши 
$\{x_i(\alpha)\}$ сходится к элементу $x(\alpha)\in M$.
Это задает отображение ${\goth I}\stackrel{x}\arrow M$,
которое и будет пределом $\{x_i\}$.}

\newpage

{\bf \blue Топология поточечной сходимости}

{\bf \green Замечание:}
Последовательность \[ \{x_i\}\in \Map({\goth I}, M)\]
сходится к ${\goth I}\stackrel{x}\arrow M$ в 
тихоновской топологии тогда и только тогда, когда последовательность
$\{x_i(\alpha)\}$ сходится к $x(\alpha)$ для любого индекса $\alpha$.
Поэтому тихоновскую топологию называют еще
{\bf \blue топологией поточечной (почленной) сходимости}.

Когда $M=\R$, а ${\goth I}=\N$ (множество натуральных чисел), 
$M^{\goth I}$ -- это множество последовательностей
вещественных чисел, с топологией почленной сходимости.
Эту топологию часто называют {\bf\blue слабой топологией}.

Слабую топологию открыл венгерский математик Фридьеш Рисс.

{ \purple 
Она замечательна тем, что не может быть индуцирована никакой нормой.
}
\newpage

\begin{center}
\epsfig{file=Frigyes_Riesz.jpg,width=0.40\linewidth}\\
{Frigyes Riesz\\
(1880 -- 1956)}
\end{center}

\newpage

{\bf \blue Гильбертов куб и тихоновский куб}


{\bf \green Определение:}
Рассмотрим отрезок $[0,1]$, и пусть $[0,1]^{\N}$ --
множество последовательностей точек из $[0,1]$.
Для $\{x_i\}, \{y_i\}\in [0,1]^{\N}$, определим метрику формулой
\[ 
  d_h(\{x_i\}, \{y_i\}):= \sqrt{\sum^\infty_{i=1} \frac{|x_i-y_i|^2}{i^2}}
\]
Пространство $([0,1]^{\N}, d_h)$ называется {\bf \blue гильбертов куб}.

{\bf \green Определение:}
Пространство $[0,1]^{\N}$ с топологией произведения
называется {\bf \blue тихоновский куб}.

{\bf \red Теорема:}
Тождественное отображение $\Id$
задает гомеоморфизм между тихоновским
кубом $I_t$ и гильбертовым кубом $I_h$.

\newpage

{\bf \blue Гильбертов куб и тихоновский куб (продолжение)}



{\bf \purple Доказательство того, что $I_h \stackrel \Id\arrow I_t$ --
 гомеоморфизм.}

{\bf \green Шаг 1.}
Пусть $\pi_n:\; [0,1]^{\N} \arrow [0,1]$ -- проекция.
Поскольку \[ \pi_n:\; I_h\arrow [0,1]\]
$n^2$-липшицево,  {\bf \red $\pi_n$  непрерывно на $I_h$.}

{\bf \green  Шаг 2.}\\ Для любого топологического пространства
$X$, отображение $X \stackrel \phi\arrow I_t$ 
непрерывно тогда и только тогда, когда композиция $\phi\circ \pi_i$
непрерывна для всех $i$. Поэтому {\bf \red $I_h \stackrel \Id\arrow I_t$
непрерывно.}

{\bf \green  Шаг 3.}\\
Пусть $(M, \{d_\alpha\})$ - пространство с топологией,
заданной системой полуметрик $\{d_\alpha\}$,
а $d_\alpha(x, \cdot):\; M \arrow \R$
функция, которая переводит $y$ в $d_\alpha(x, y)$.
Тогда {\bf \red функция $d_\alpha(x, \cdot)$ непрерывна.}

\newpage


{\bf \blue Гильбертов куб и тихоновский куб (часть 3)}

{\bf \green  Шаг 4.}
Пусть ${\goth v}=\{v_i\}\in [0,1]^{\N}$ -- любая последовательность.
Рассмотрим функцию
$\mu_{\goth v}:\; I_t \arrow \R$,
\[
\mu_{\goth v}(\{y_i\}):= \sum_{k=1}^\infty \frac {d_k(\{x_i\}, \{y_i\})}{k^2}
\]
{\bf \red Она непрерывна,} потому что является суммой ряда, составленного
из функций вида $d_\alpha(x, \cdot)$.

{\bf \green  Шаг 5.}\\
Пусть $f:\; X \arrow M$ -- отображение из топологического
пространства в метрическое пространство $(M, d)$.
Для любой точки $z\in M$, рассмотрим функцию $d_z:\; M
\arrow \R^{\geq 0}$, $d_z(x):= d(z,x)$.
{\bf \red Если композиции $f\circ d_z:\; Z \arrow \R$ непрерывны
для всех $z$, то $f$ тоже непрерывна.}

{\bf \green  Шаг 6.}
{\bf \red Тождественное отображение $I_t \stackrel \iota \arrow I_h$
непрерывно,} потому что непрерывны функции $\iota \circ d_z$.
В самом деле, $\iota \circ d_z = \mu_z$, где $\mu_z$ --
функция, определенная в Шаге 4.

\newpage


\begin{center}
\epsfig{file=Tikhonov.jpg,width=0.35\linewidth}\\
{Андрей Николаевич Тихонов\\
(1906 -- 1993)}
\end{center}



\end{document}



