

\documentclass[11pt]{book}

\usepackage{amsmath, amssymb, amscd, russcorr, theorem, fancyhdr, epsfig}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

\newcommand{\version}{version 2.0,\ \   2.05.2008}

\setlength{\headheight}{15pt}
\pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny НМУ, весна 2008, первый
курс, лекции 7-8} 
\cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version}
\rhead{{\small  Миша Вербицкий}}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  equations                          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\@addtoreset{footnote}{section}
\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  listki-new.tex                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Spec{\operatorname{\sf Spec}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{\sf char}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
%        \writevedomost{\string\mc{\thezadacha} \string & \string & \string 
%        \\ \string \hline}
   }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
   \writevedomost{\string\mc{\thezadacha ##3}  \string & \string \grd \string & \string\grp
   \string \\ \string \hline}
    }}
\endgroup

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{zadacha}{Задача}[chapter]

\begingroup
\gdef\th@generic{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
     }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
    }}
\endgroup

\theoremstyle{generic}

\newtheorem{opredelenie}[zadacha]{Определение}
\newtheorem{ukazanie}[zadacha]{Указание}
\newtheorem{zamechanie}[zadacha]{Замечание}

\renewcommand{\labelenumi}{\ralph{enumi}.}


\newcommand{\listok}[2]{%
\setcounter{page}{1}
\renewcommand{\@oddhead}{\hfil #2 \hfil}
\renewcommand{\@evenhead}{\hfil #2 \hfil}
\section*{#2}
\refstepcounter{section}
\setcounter{section}{#1}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% VEDOMOST GENERATION
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newwrite\Vedomost
%\immediate\openout\Vedomost = \jobname.vdm
%\newcommand{\writevedomost}[1]{\immediate\write\Vedomost{ #1 }}
\newcommand{\writevedomost}[1]{}

\def\grd{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\dtt}}\vphantom{666}}
\def\grp{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\pdp}}\vphantom{666}}

\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%   Chapter                         %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



  \renewcommand{\chapter}{%
     \secdef\ChapterNumbered\ChapterStarred}

  \def\ChapterNumbered[#1]#2{%
      \addcontentsline{toc}{chapter}{\thechapter. #1}
      \refstepcounter{chapter}
      {
\vspace{\baselineskip}
\chaptermark{#2}
          { {{\noindent\bf\huge \thechapter. \ #2\par}}}
      }
    \vspace{\baselineskip}
}

  \newcommand{\ChapterStarred}[1]{%
      \refstepcounter{chapter}
      \chaptermark{#1}%
      \vspace{\baselineskip}}

  \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{#1}}
                             



\newcommand{\пример}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Пример \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\лемма}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Лемма \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Теорема \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Утверждение \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}

\def\хфилл{\hfill}
\def\ноиндент{\noindent}
\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\задача{\begin{zadacha}}
\def\ез{\end{zadacha}}
\def\замечание{\begin{zamechanie}}
\def\еза{\end{zamechanie}}
\def\указание{\begin{ukazanie}}
\def\еу{\end{ukazanie}}
\def\eu{\end{ukazanie}}
\def\определение{\begin{opredelenie}}
\def\ео{\end{opredelenie}}
\def\eo{\end{opredelenie}}
\def\goth{\mathfrak}
\def\енум{\begin{enumerate}} 
\def\ее{\end{enumerate}}
\def\ee{\end{enumerate}}
\def\итем{\item $\bullet$ %
    \writevedomost{\string & \ralph{enumi} \string &\string & \string \\ \string \hline } }

\begin{document}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{chapter}{6}
\lhead{{\scriptsize  Топология, лекция 7: лемма Урысона}}
\chapter{Топология, лекция 7: \\Теорема о метризации}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Нормальные топологические пространства}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Топологическое пространство $M$ называется
{\бф нормальным}, если любые два непересекающихся замкнутых подмножества
$A$ и $B\subset M$ имеют непересекающиеся окрестности.
\ео

\замечание
Напомним, что {\ем аксиома Хаусдорфа} утверждает что любые
две разные точки топологического пространства 
имеют непересекающиеся окрестности.
Если все точки пространства замкнуты, то из нормальности вытекает
хаусдорфовость. Пространство удовлетворяет аксиоме
Т4, если оно нормально и хаусдорфово.
\еза

\определение
Пусть $U\subset V$ два подмножества топологического
пространства, причем замыкание $U$ лежит в $V$. Это 
отношение обозначается так: $U \Subset V$.
\ео

\замечание 
Нормальность топологического пространства
равносильнa такому свойству. Пусть $U\supset A$ --
окрестность замкнутого множества $A$. Тогда 
есть окрестность $V \supset A$ такая, что
$V\Subset U$. Возьмем $B:= M\backslash U$,
и воспользуемся определением нормальности.
Это даст окрестность $U\supset A$, которая
не пересекается с некоторой окрестностью 
$W\supset B$. Дополнение к $W$ замкнуто,
содержит $V$, и содержится в $U$, поэтому
замыкание $V$ тоже содержится в $U$.
\еза

\begin{figure}[ht]
\begin{center}\ \\
\epsfig{file=normalnost.eps,width=0.5\linewidth}\\
{\small \em Непересекающиеся окрестности замкнутых множеств}
\end{center}
\end{figure}

\замечание\label{_exist_interme_okre_Zamechanie_}
Пусть $U_0\Subset U_1$ - два открытых множества в нормальном
топологическом пространстве. Тогда существует открытое множество $U_{1/2}$,
с $U_0\Subset U_{1/2} \Subset U_1$. Действительно,
возьмем в качестве $A$ замыкание $U_0$, и воспользуемся
предыдущим замечанием.
\еза



\замечание
Пусть $M$ - метрическое пространство. 
Тогда $M$ нормально и хаусдорфово. Действительно,
пусть $A$, $B$ - непересекающиеся замкнутые множества.
Возьмем открытые множества
\[
V:= \bigcup_{z\in A} B_{\frac 1 2 d(z, B)}(z), \ \ 
W:= \bigcup_{z\in B} B_{\frac 1 2 d(z, A)}(z).
\]
Они не пересекаются (проверьте это).
\еза



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Функции Урысона}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение 
Пусть $A$, $B$ - непересекающиеся замкнутые множества
в топологическом пространстве $M$. Непрерывная функция
$\phi:\; M \arrow [0,1]$ называется {\бф функцией Урысона}
(Urysohn function),
если $\phi \restrict A =0$, $\phi\restrict B =1$.
\ео

\хфилл

\замечание 
В метрическом пространстве функцию Урысона можно построить,
воспользовавшись формулой
\[
\phi(z) = \min\left(1, \frac{d(x,A)}{d(x,B)}\right).
\]
\еза

\хфилл

\теорема 
(Лемма Урысона)
Пусть $M$ - топологическое пространство.
$M$ нормально тогда и только тогда, когда 
для любых двух непересекающихся замкнутых
множеств существует функция Урысона.

\хфилл

Доказательство леммы Урысона довольно просто. 
Обозначим за $U_1$ дополнение к $B$, за $U_0$ обозначим $A$.
Возьмем $U_{1/2}$ такое, что 
$U_0\Subset U_{1/2} \Subset U_1$, потом возьмем
$U_{1/4}$ такое, что $U_0\Subset U_{1/4}\Subset U_{1/2}$
и $U_{3/4}$ такое, что $U_{1/2} \Subset U_{3/4}\Subset U_1$.
Воспользуемся индукцией. Получим, что для каждого
двоично-рационального числа\footnote{Напомним, что
двоично-рациональным числом называется рациональное
число вида $\frac n {2^m}$, где $n,m$ целые.} 
$\lambda\in [0,1]$ выбрано множество $U_\lambda$, открытое при $\lambda>0$,
причем для $\lambda < \mu$, имеем $U_\lambda \Subset U_\mu$.

Рассмотрим функцию $\phi:\; U_1 \arrow [0,1]$
\[
\phi(x):= \inf \{ \lambda \ \ |\ \ x\in U_\lambda\}.
\]
Продолжим эту функцию на $M$, доопределив ее
посредством $\phi\restrict B=1$.
Легко видеть, что $\phi\restrict A=0$.
Чтобы доказать, что $\phi$ - функция Урысона, надо 
убедиться в ее непрерывности. Для этого достаточно
проверить, что $\phi^{-1}([0,\alpha[)$ открыто, а
$\phi^{-1}([0,\beta])$ замкнуто, для любых
$\alpha, \beta \in [0,1]$.

Имеем 
\[ \phi^{-1}([0,\alpha[) = \bigcup_{\lambda < \alpha} U_\lambda\]
(проверьте это). Это множество очевидно открыто. 
Аналогично,
\[
\phi^{-1}([0,\beta])=\bigcap_{\alpha > \beta} \phi^{-1}([0,\alpha[) =
\bigcap_{\alpha > \beta} \left(\bigcup_{\lambda < \alpha} U_\lambda\right).
\]
Это дает
\[
\phi^{-1}([0,\beta]) =\bigcap_{\lambda > \beta} U_\lambda.
\]
Обозначим за $\overline{U_\lambda}$ замыкание $U_\lambda.$
Поскольку 
\[ U_{\lambda}\subset 
\overline{U_\lambda}\subset U_{\lambda+\frac {\lambda-\beta}2}\]
для каждого $\lambda > \beta$, имеем
\[ 
\bigcap_{\lambda > \beta} U_\lambda \subset 
\bigcap_{\lambda > \beta}\overline{U_\lambda} \subset 
\bigcap_{\lambda > \beta}U_{\lambda+\frac {\lambda-\beta}2}=
\bigcap_{\lambda > \beta} U_\lambda.
\]
Мы получили 
\[
\phi^{-1}([0,\beta])= \bigcap_{\lambda > \beta}\overline{U_\lambda},
\]
а это множество, очевидно, замкнуто. 
Мы доказали лемму Урысона.

\замечание
Если в пространстве верна лемма Урысона, оно нормально
(докажите).
\еза

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{"Создатель советской топологии"}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Основные результаты общей топологии принадлежат
"московской школе топологии" - Урысону, Александрову и 
Тихонову, которые провели начало и середину 1920-х годов,
решая проблему метризации топологических пространств,
и изучая компактные пространства.

П. С. Александров был учеником Н. Н. Лузина,
специалиста по теории функций действительного
переменного. В конце 1910-х годов, Лузин занимался
общими вопросами теории множеств. 
В 1917-м году Лузин предложил Александрову
доказать общую форму кон\-ти\-ну\-ум-\-ги\-по\-тезы
(о несуществовании множеств мощности, промежуточной 
между $X$ и $2^X$). Сейчас известно, что
ни континуум-гипотеза, ни ее отрицание 
не следует из аксиом теории множеств.
Александров провел немало времени,
записывая доказательство этого утверждения,
как оказалось - неправильное. После того,
этой катастрофы, Александров бросил
математику, и стал режиссером.

Проведя несколько лет в занятиях театром
и литературной деятельностью, Александров вернулся
в Москву и поступил в аспирантуру. Там он встретился
с П. С. Урысоном, студентом на 2 года его младше.

После возвращения в Москву Александров продолжил занятия
функциями действительного переменного, популярные
в Москве. Урысон принадлежал к другому поколению.
Начав свое образование как физик, он опубликовал
свою первую статью, о рентгеновском свечении,
 в 1915-м году, 17-ти лет, но в скором времени
заинтересовался математикой. Защитив диссертацию
по интегральным уравнениям, Урысон, по совету
Д. Ф. Егорова, занялся топологией, и провел
1921 и 1922 годы, разрабатывая теорию размерности
для общего метрического пространства. 

Урысон пытался объединить абстрактные топологические
конструкции Хаусдорфа с геометрическими идеями,
подчерпнутыми у Пуанкаре, и немало преуспел в этом -
сам предмет теоремы о метризации состоит в нахождении
геометрической структуры на абстрактном топологическом
пространстве.

В 1921-22 годах Урысон читал в Московском Университете
курс, под названием "Топология континуума", на котором 
приобщал московскую математическую общественность
к топологии, и приобщил; П. С. Александров
называет Урысона "создателем советской топологии".
Тогда же Урысон стал, на краткое время, научным 
руководителем А. Н. Колмогорова (Колмогорову было 
18 лет, но он успел прославиться, найдя контрпример
к одной из задач Н. Н. Лузина). 

К исследованиям Урысона 
вскоре присоединился и сам Александров,
и в 1923-м году Александров и Урысон написали
совместную работу, где дали определение компактного
пространства (в терминологии того времени "бикомпактного";
русские специалисты по общей топологии до сих пор
иногда используют это слово).

1923-й и 1924-й годы Александров и Урысон 
провели в поездках заграницу. Деньги на эти
поездки они зарабатывали, читая в Москве,
Воронеже, Смоленске и других городах публичные
лекции по теории относительности Эйштейна.
Выгодное соотношение курса червонца к 
западным валютам привело к тому, что денег
от 20 лекций хватало для полугодичной поездки
по научным центрам Европы, и длительных
пешеходных экспедиций.

За 2 года, оставшиеся до его смерти в 1924-м году
(Урысон утонул в море у берегов Бретани), Урысон
доказал теорему о метризации нормальных
пространств со счетной базой; для доказательства
этой теоремы он изобрел лемму, названную его именем.

\begin{figure}[ht]
\begin{center}\ \\
\epsfig{file=Urysohn.eps,width=0.7\linewidth}\\
{Павел Самуилович Урысон\\
(1898 - 1924)}
\end{center}
\end{figure}


Последней работой Урысона была
статья об универсальном метрическом пространстве
(универсальном пространстве Урысона), в которое 
изометрически вкладывается любое
метрическое пространство ограниченной
мощности и диаметра. 

Лемма Урысона считается важнейшим результатом
общей топологии, наряду с теоремой
Тихонова о компактности произведения
компактных пространств.
Условие нормальности, которое требуется
в лемме Урысона, совсем не ограничительно:
как будет видно из следующей лекции,
любое компактное, хаусдорфово пространство
нормально. 

Из леммы Урысона следует чрезвычайно
полезная {\ем теорема Титце о продолжении}
(Tietze extension theorem): если $A\subset M$ -- замкнутое
подмножество нормального топологического пространства,
а $f:\; A \arrow [0,1]$ -- непрерывная функция на $A$,
ее можно продолжить до непрерывной функции
$F:\; M \arrow [0,1]$ такой, что $F\restrict A =f$.

Для доказательства этой теоремы требуется равномерная
сходимость функций: надо записать $f$
как сумму ряда, составленного из функций 
$f_i:\;M \arrow [0, \alpha_i]$, $\sum \alpha_i < 1$,
постоянных на замкнутых подмножествах $A$,
и продолжить каждую из этих функций до функции
из $M$ в $[0, \alpha_i]$ по лемме Урысона.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Нормальные пространства \\и нуль-множества}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Пусть $M$ -- топологическое пространство.
Напомним, что $M$ {\бф удовлетворяет аксиоме Т6,}
если оно хаусдорфово, нормально и каждое замкнутое подмножество
в $M$ получается как пересечение счетного числа
своих окрестностей.


\хфилл

\утверждение \label{_T_6_Utverzhdenie_}
Любое хаусдорфово, нормальное 
пространство $M$ со счетной базой 
удовлетворяет Т6.  

\хфилл

\noindent
{\бф Доказательство} \\
{\бф Шаг 1:} Пусть $\{U_i\}$ - множество всех элементов
из счетной базы топологии $M$ таких, что
замыкание каждого $U_i$ не пересекается с $A$. Выведите
из нормальности, что $\bigcup_i U_i= M\backslash A$.

\хфилл

\ноиндент
{\бф Шаг 2:}
Возьмем, для каждого $U_i$, открытое множество
$V_i:= M \backslash \overline{U_i}$, где $\overline{U_i}$ --
замыкание $U_i$. Пересечение всех $V_i$ содержит $A$,
поскольку $\overline{U_i}$ не пересекаются с $A$.
С другой стороны, 
\[
\bigcap V_i \subset \bigcap_i (M \backslash U_i) = 
M \backslash\bigcup_i U_i = A.
\]
Мы доказали, что в $М$ выполняется аксиома Т6.
\endproof

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\теорема\label{_T6_sche_Theorem_}
Пусть $M$ -- нормальное топологическое
пространство, а $A\subset M$ -- замкнутое подмножество.
Тогда следующие свойства равносильны.

\begin{description}
\item[(i)]
Множество $A$ можно получить как пересечение счетного числа
открытых  окрестностей $W_i \supset A$.
\item[(ii)] Существует непрерывная функция 
$f:\; M \arrow [0,1]$ такая, что $A = f^{-1}(0)$.
\end{description}

\noindent
{\bf Доказательство:}
Из утверждения (ii) легко следует (i).
Действительно, $A= \bigcap_i f^{-1}([0, \frac 1 {2^i}[)$,
а все эти множества открыты.
Следствие (i) $\Rightarrow$ (ii) можно получить, немного 
видоизменив аргумент, доказывающий лемму Урысона.
Возьмем в качестве $B$ пустое множество, и пусть
$V_1\supset V_2 \supset V_3 \supset ...$ -- последовательность
открытых множеств, дающая $\bigcap_i V_i =A$.

Будем строить набор открытых множеств
$U_{\frac m {2^n}}$, $U_\lambda\Subset U_\mu$ для всех
$\lambda <\mu$, таким образом, чтобы множество
$U_{\frac 1 {2^n}}$ содержалось в $V_n$.
Это можно осуществить, заменив на каждом шаге
выбранное $U_{\frac 1 {2^n}}$ 
на $U_{\frac 1 {2^n}}\cap V_n$. Такая замена
корректна, ибо все, что требуется от $U_{\frac 1 {2^n}}$
условиями конструкции Урысона
-- это $A \subset U_{\frac 1 {2^n}} \Subset U_{\frac 1 {2^{n-1}}}$,
а при замене $U_{\frac 1 {2^n}}$ 
на $U_{\frac 1 {2^n}}\cap V_n$, это условие сохраняется.

Пусть 
\[
f(x):= \inf \{ \lambda \ \ |\ \ x\in U_\lambda\} 
\]
функция Урысона, построенная по набору $\{U_\lambda\}$,
и принимающая значение 0 на $A$.
Тогда $f^{-1}([0, \frac 1 {2^i}[)\subset V_i$,
а значит 
\[ f^{-1}(0) = 
   \bigcap_i f^{-1}\left (\left[0, \frac 1{2^i}\right[\right)\subset \bigcap_i
   V_i = A.
\]
\endproof

\определение
Пусть $A\subset M$ -- замкнутое подмножество,
такое, что для некоторой непрерывной функции 
$f:\; M \arrow [0,1]$ имеем $A = f^{-1}(0)$.
Тогда $A$ называется {\бф нуль-множеством}.
\ео

Таким образом, аксиома Т6 для топологического
пространства $M$ равносильна тому, что $M$ нормально,
хаусдорфово, а всякое замкнутое подмножество $M$
является нуль-множеством.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Теорема Урысона о метризации}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Пусть $M$ -- нормальное, хаусдорфово топологическое пространство.
Тогда для любых двух разных точек $x, y \in M$ найдется
функция Урысона $f_{x,y}:\; M \arrow [0,1]$, принимающая 
0 на $x$, и 1 на $y$.

Возьмем в качестве множества индексов 
множество ${\goth I} = M \times M \backslash \Delta$,
где $\Delta$ это диагональ. Функции $f_{x,y}$
задают отображение
\begin{equation} \label{_embe_via_Ury_Equation_}
\begin{CD}
M @>{\prod_{(x,y)\in {\goth I}} f_{x,y}}>>  [0,1]^{\goth I}
\end{CD}
\end{equation}
в тихоновский куб; по определению топологии произведения,
оно непрерывно. Поскольку $f_{x,y}(x) \neq f_{x,y}(y)$,
отображение $F:= \prod_{(x,y)\in {\goth I}} f_{x,y}$
инъективно.

Это утверждение не очень полезно.
Из инъективности $F$ не следует, что $M$
гомеоморфно образу $F$. Также, тихоновский куб
$[0,1]^{\goth I}$ не метризуем, если
${\goth I}$ несчетно.

Немного видоизменив этот аргумент, можно добиться
и того, и другого.


\хфилл

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\теорема\label{_Urysohn_Metrization_}
Пусть $M$ -- нормальное, хаусдорфово топологическое
пространство со счетной базой. Тогда существует
непрерывное, инъективное вложение 
$M \stackrel \Phi \hookrightarrow [0,1]^{\N}$ в
счетное произведение отрезков.
Более того, $\Phi$ является гомеоморфизмом $M$
на его образ.

\hfill

\замечание
Из теоремы \ref{_Urysohn_Metrization_}
немедленно следует теорема Урысона о метризации:
любое нормальное, хаусдорфово топологическое
пространство $M$ со счетной базой метризуемо.
Действительно, $M$ гомеоморфно подмножеству
тихоновского куба $[0,1]^{\N}$, а тихоновский куб
метризуем, ибо он гомеоморфен гильбертову
кубу (об этом см. предыдущую лекцию).
\еза

\хфилл

\noindent
{\бф Доказательство теоремы \ref{_Urysohn_Metrization_}.}\\
Пусть $\{U_i\}$ -- счетная база топологии $M$, а 
$A_i:= M \backslash U_i$. Поскольку $M$ -- нормальное, 
хаусдорфово пространство со счетной базой, каждое
$A_i$ является нуль-множеством. И в самом деле,
из Утверждения \ref{_T_6_Utverzhdenie_}
следует, что в $M$ выполнено условие Т6.
Из Теоремы \ref{_T6_sche_Theorem_} следует,
что в такой ситуации существует функция
$f_i:\; M \arrow [0,1]$, такая, что $f_i^{-1}(0)=A_i$.

Возьмем следующее отображение из $M$ в тихоновский куб:
\[
M \stackrel{\prod_i f_i}\arrow [0,1]^{\N}.
\]
Поскольку $U_i$ это база хаусдорфовой топологии, 
для любых двух точек $x\neq y$ существует $A_i$, которое содержит 
$x$ и не содержит $y$ (докажите это). Поскольку $f_i^{-1}(0)=A_i$,
соответствующая функция Урысона удовлетворяет
$f_i(x)=0, f_i(y)\neq 0$. Поэтому $\Phi:=\prod_i f_i$ 
инъективно.

Для доказательства Теоремы \ref{_Urysohn_Metrization_},
осталось убедиться, что $\Phi$ -- это гомеоморфизм $M$ на
его образ.  А приори, это может быть и не так. Например,
если $M$ -- пространство с дискретной топологией,
любое отображение $M \arrow [0,1]^{\N}$ непрерывно,
но не любое вложение -- гомеоморфизм.

Чтобы $\Phi$ было гомеоморфизмом на его образ, нужно, чтобы
любое открытое множество в $M$ получалось как прообраз
$\Phi^{-1}(U)$, для какого-то открытого $U\subset [0,1]^{\N}$. 
Для открытых множеств, принадлежащих базе $U_i$, это верно,
ибо $U_i = f_i^{-1}(]0,1])$, а множество $U_i$  будет
прообразом открытого множества вида
\[
[0,1]\times [0,1] \times \cdots \times ]0,1] \times [0,1]\times \cdots \subset [0,1]^{\N}.
\] 
Поскольку каждое открытое множество в $M$ 
получается объединением $U_i$, все открытые множества
в $M$ -- прообразы открытых в $[0,1]^{\N}.$
Поэтому $\Phi$ -- гомеоморфизм. Мы доказали теорему Урысона.
\endproof

\хфилл

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Теоремы о метризуемости}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Теорема Урысона дает полную характеризацию метризуемых 
топологических пространств со счетной базой. Пространство
со счетной базой является метризуемым тогда и только
тогда, когда оно нормально и хаусдорфово.


\hfill

Для пространств, не имеющих счетной базы,
простого критерия метризуемости нет.

Существует много версий метризационной
теоремы, которые не требуют счетной базы.

Самая полезная из них принадлежит Ю. М. Смирнову (1951),
и требует определения паракомпактности. В дальнейшем
это понятие использоваться не будет.

\хфилл

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\определение
Покрытие $\{U_\alpha\}$ топологического пространства $M$ 
называется {\бф локально конечным}, если любая точка
$M$ лежит в конечном числе элементов $\{U_\alpha\}$
Покрытие $\{V_\beta\}$ называется {\бф измельчением}
покрытия $\{U_\alpha\}$, если каждый элемент $\{V_\beta\}$
лежит в каком-то элементе $\{U_\alpha\}$.
Топологическое пространство $M$ называется {\бф
паракомпактным}, если каждое покрытие $M$
имеет локально конечное измельчение.
\ео

\хфилл

Английский математик Артур Харольд Стоун
(Arthur Harold Stone), изобретатель 
флексагона, доказал в 1948-м году,
что все метрические пространства паракомпактны.
Теорема Смирнова о метризации утверждает,
наоборот, что любое паракомпактное топологическое
пространство метризуемо, если оно {\ем локально
метризуемо}, то есть если у каждой точки
есть метризуемая окрестность. Таким образом
удается ответить на вопрос о метризуемости
многообразий (топологических пространств,
которые локально гомеоморфны $\R^n$).


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\lhead{{\scriptsize  Топология, лекция 8: Компакты}}
\chapter{Топология, лекция 8:\\ Компакты}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Компакты и слабо секвенциально компактные пространства}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Следующее определение хорошо всем знакомо.

\определение
Топологическое пространство $M$ называется
{\бф компактным}, если каждое открытое покрытие $M$
имеет конечное подпокрытие.
\ео

Термин "компакт" введен Фреше, а современное понятие
компакта принадлежит П. С. Урысону и П. С. Александрову.

\begin{figure}[ht]
\begin{center}\ \\
\epsfig{file=Alexandrov.eps,width=0.6\linewidth}\\
{Павел Сергеевич Александров\\
(1896 - 1982)}
\end{center}
\end{figure}

\замечание
Замкнутое подмножество компакта очевидно компак\-тно
(докажите). Обратное, вообще говоря, неверно.
В отличие от ситуации, известной из метрической
топологии, компактные подмножества не обязательно
замкнуты. Замкнутость компакта следует из хаусдорфовости.
\еза

Действительно, пусть $X \subset M$ - компактное
подмножество, а $z$ - точка его замыкания, которая
не лежит в $Z$. Воспользовавшись хаусдорфовостью, 
найдем у каждой точки $x\in X$ 
окрестность $U_х \ni x$, замыкание которой
$\overline{U_x}$ не содержит $z$. Выбрав из $\{U_x\}$
конечное подпокрытие, получим покрытие $U_i$, $i =1,2,3, ..., n$
множества $X$, причем для всех $i$,
замыкание $\overline{U_i}$ не содержит $z$.
Воспользуемся равенством
\[\overline{\bigcup_{i=1}^n U_i} = \bigcup_{i=1}^n \overline {U_i}
\]
(докажите его). Получаем, что $\bigcup_{i=1}^n \overline {U_i}$
замкнуто и не содержит $z$. 

\замечание
Мы доказали,
что всякое компактное подмножество в хаусдорфовом пространстве
замкнуто. В нехаусдорфовом пространстве это не всегда
верно (докажите).
\еза

Следующий элементарный факт чрезвычайно важен.

\хфилл

\утверждение
Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- непрерывное отображение.
Тогда образ компактного подмножества $X$ компактен. 

\хфилл

\ноиндент
{\бф Доказательство.}
Пусть $Z\subset X$ - компактное подмножество,
а $f(Z)$ -- его образ. Возьмем открытое покрытие $\{U_\alpha\}$
множества $f(Z)$. Прообразы элементов этого  покрытия
образуют покрытие $\{f(U_\alpha)\}$
компактного множества $Z$; выбрать из него конечное
подпокрытие значит выбрать конечное покрытие из
$\{U_\alpha\}$.\endproof



\определение
Топологическое пространство $M$ называется
{\бф слабо секвенциально компактным}, если каждая последовательность
$\{x_i\}$ в $M$ имеет предельную точку (точку, в любой окрестности
которой содержится бесконечное количество членов
$\{x_i\}$).\footnote{Такие точки еще называются {\бф
точками накопления.}
\ео

\замечание
Для метрических пространств, слабая секвенциальная компактность
совпадает с обычной, как следует из теоремы Гейне-Бореля. 
\еза

\утверждение
Слабая секвенциальная компактность вытекает из обычной.

\хфилл

\ноиндент {\бф Доказательство:}
Пусть $M$ -- компактное топологическое пространство.
Из компактности легко выводится, что последовательность
вложенных, непустых, замкнутых подмножеств
\[
A_1 \supset A_2 \supset \cdots
\]
всегда имеет непустое пересечение.
Пусть $\{ x_i\}$ -- последовательность точек $M$,
$R_n$ -- множество $\{x_n, x_{n+1}, x_{n+2}, ...\}$,
a $\overline{R_n}$ -- его замыкание.  Тогда пересечение 
$\bigcap_i \overline{R_i}$ непусто. Ясно, что это
пересечение состоит из предельных точек последовательности
$\{ x_i\}$. Значит, $М$ слабо секвенциально компактно.
\endproof

\определение
Топологическое пространство $M$ называется
{\бф счетно компактным}, если
из любого счетного покрытия $M$ можно выбрать
конечное подпокрытие.
\ео

\утверждение
Пусть $M$ -- топологическое пространство, удовлетворяющее
аксиоме Хаусдорфа Т1 (все точки $M$ замкнуты).
Тогда для $M$ слабая секвенциальная компактность
равносильна счетной. 

\хфилл

\ноиндент
{\бф Доказательство:}
Пусть $M$ счетно компактно, а
$\{ x_i\}$ -- последовательность, не имеющая
предельных точек. Положим $U_n:= M\backslash \{x_1,
... x_{n-1}\}$. В силу Т1 и отсутствия у $\{x_i\}$ 
предельных точек, все $U_i$ открыты. 
Тогда $\{U_i\}$ -- счетное покрытие
$M$, не имеющее конечного подпокрытия. Если же,
наоборот, $M$ слабо секвенциально компактно, а $\{U_i\}$ --
счетное покрытие, из котогого нельзя выбрать 
конечного подпокрытия, рассмотрим 
$V_n:= \bigcup_{i=1}^n U_i$. Легко видеть,
что $\{V_i\}$ -- тоже покрытие, из которого 
нельзя выбрать конечного подпокрытия,
причем $V_{i-1}\subset V_i$
Выкинув совпадающие $V_i$, можно
считать, что $V_{i-1}\subsetneq V_i$.
Пусть последовательность $\{x_i\}$
выбрана таким образом, что $x_i \in V_i\backslash V_{i-1}$,
а $x$ -- ее предельная точка. Предположим, что $x\in V_N$.
Тогда бесконечное число элементов $\{x_i\}$ лежит в
$V_N$, что невозможно по построению этой последовательности.
\endproof


\хфилл

Любая непрерывная функция $f:\; M \arrow \R$
на счетном компакте принимает максимум и минимум. 
Действительно, пусть $\{x_i\}$ - последовательность
точек, такая, что 
\[ 
  \lim_{i\arrow \infty} f(x_i) = \sup_{x\in M} f(x),
\]
а $x$ - предельная точка этой последовательности.
Поскольку $f$ непрерывно, $f(x)=\sup_{x\in M} f(x)$
(докажите).

Мы получили такую цепочку импликаций, верных
для любого топологического пространства:
\[
 \boxed{ \begin{minipage}{0.19\linewidth}
{компактность}\end{minipage}} \ \Rightarrow\ 
\boxed{ \begin{minipage}{0.23\linewidth}
{слабая \\секвенциальная\\ компактность}\end{minipage}} \ \Rightarrow\ 
\boxed{ \begin{minipage}{0.33\linewidth}
{непрерывные функции достигают минимума и максимума}\end{minipage} }
\]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Компакты и нормальные пространства}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Следующая простая теорема чрезвычайно полезна, потому что из нее
вытекает существование функций Урысона на компактах.

\хфилл

\теорема
Пусть $M$ -- компактное, хаусдорфово
топологическое пространство. Тогда $M$ нормально.

\хфилл

\noindent
{\бф Доказательство.}\\
{\бф Шаг 1:} Докажем, что в $M$ выполнена аксиома Т3,
то есть для каждого замкнутого множества 
$A\subset M$, и точки $x\notin A$, существуют непересекающиеся
окрестности $A$ и $x$. Это равносильно тому,
что у $A$ есть окрестность, замыкание которой
не содержит $x$.

Для всех $z\in A$, выберем окрестность
$U_z\ni z$, замыкание которой $\overline {U_z}$ не содержит $x$ (такая
окрестность существует в силу хаусдорфовости -- докажите).
Поскольку $A$ компактно, а $U_z$ - открытое покрытие
$A$, из него можно выбрать конечное подпокрытие
$U_1, ..., U_n$. Замыкание множества $\bigcup U_i$
не содержит $x$, потому что 
\begin{equation}\label{_zamy_kone_union_Equation_}
\overline{\bigcup_{i=1}^n  U_i} = \bigcup_{i=1}^n \overline {U_i}.
\end{equation}

\хфилл

\ноиндент
{\бф Шаг 2:} Тот же самый аргумент позволяет
вывести из T3 и компактности T4. Пусть $A$ и $B$ -
два непересекающихся замкнутых подмножества $M$.
Нам нужно найти окрестность $A$ такую, что
ее замыкание не пересекается с $B$. У каждой
точки $z\in A$ есть окрестность $U_z$, замыкание которой
не пересекается с $B$, в силу T3. Выбрав из $\{U_z\}$
конечное подпокрытие, как на предыдущем шаге,
мы получим конечное покрытие $A$ множествами $U_1, ..., U_n$
такими, что $\overline {U_i}\cap B=\emptyset$.
Снова воспользуемся \eqref{_zamy_kone_union_Equation_},
и получим, что $\bigcup U_i$ -- окрестность
$A$, замыкание которой не пересекается с $B$.
\endproof

\хфилл

Для компакта проблема метризации
дополнительно упрощается следующим простым 
и чрезвычайно важным наблюдением.

\хфилл

\утверждение \label{_nepre_vlo_comp_Utverzhdenie_}
Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- непрерывное вложение
хаусдорфовых топологических пространств, причем $X$ -- компакт.
Рассмотрим образ $f(X) \subset Y$ как топологическое
пространство, с индуцированной топологией.
Тогда $f$ -- это гомеоморфизм.

\хфилл

\ноиндент
{\бф Доказательство:}
Для доказательства, нам нужно убедиться,
что образ открытого множества открыт в $f(X)$.
Это равносильно тому, что
образ замкнутого множества замкнут.

Как мы только что видели, образ компактного подмножества
всегда компактен. Поскольку $X$ компактно и хаусдорфово,
компактность подмножества равносильна его замкнутости.
Поэтому образ любого замкнутого подмножества $A\subset X$
компактен в $Y$, а следовательно, замкнут.
\endproof

\хфилл

Мы использовали этот факт несколько лекций назад,
при доказательстве того, что непрерывное
взаимно однозначное отображение из отрезка
в отрезок -- это гомеоморфизм.

\замечание
Легко видеть, что из Утверждения \ref{_nepre_vlo_comp_Utverzhdenie_}
и леммы Урысона следует, что всякое компактное, хаусдорфово топологическое
пространство $M$ гомеоморфно подмножеству тихоновского куба $[0,1]^{\goth I}$,
где ${\goth I}= M \times M \backslash \Delta$.
Непрерывное вложение $M \stackrel\Phi\arrow  [0,1]^{\goth I}$ было построено в
\eqref{_embe_via_Ury_Equation_} с использованием леммы Урысона
и нормальности $M$, доказанной для компактов чуть выше.
В силу Утверждения \ref{_nepre_vlo_comp_Utverzhdenie_},
отображение $\Phi$ является гомеоморфизмом $M$ на его образ.
\еза

\end{document}



